考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷1（共247题）

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷1（共9套）（共247题）考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第1套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设随机变量X的分布函数为F(x)，密度函数为其中A为常数，则F=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由2、设随机变量X的密度函数为f(x)=(λ＞0)，则概率P{λ＜X＜λ+a}(a＞0)的值()A、与a无关，随λ增大而增大B、与a无关，随λ增大而减小C、与λ无关，随a增大而增大D、与λ无关，随a增大而减小标准答案：C知识点解析：由密度函数的性质，可得A=e-λ．于是与λ无关，随a增大而增大．3、设随机变量X与Y均服从正态分布，X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，记p1=P{X≤μ-4)，p2=P{Y≥μ+5)，则()A、对任意实数μ，都有p1=p2B、对任意实数μ，都有p1＜p2C、只对μ的个别值，才有p1=p2D、对任意实数μ，都有p1＞p2标准答案：A知识点解析：用Ф代表标准正态分布N(0，1)的分布函数，有由于Ф(-1)=1-Ф(1)，所以p1=p2．4、设X的概率密度为f(x)=，则Y=2X的概率密度为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：FY(y)=P{Y≤y)=P{2X≤y)=所以，fY(y)=，故选(C)．5、已知随机向量(X1，X2)的概率密度为f1(x1，x2)，设Y1=2X1，，则随机向量(Y1，Y2)的概率密度为f2(y1，y2)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：设(X1，X2)的分布函数为F1(x1，x2)，(Y1，Y2)的分布函数为F2(y1，y2)，则二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、设随机变量X服从正态分布，其概率密度为则常数k=_______标准答案：知识点解析：方法一因为，所以，7、设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0，4)内的密度函数为fY(y)=________标准答案：知识点解析：8、设二维随机变量(X，Y)在区域D=上服从均匀分布，则(X，Y)的关于X的边缘概率密度fX(z)在点x=e处的值为______标准答案：知识点解析：D如图3-2阴影部分所示，它的面积所以(X，Y)的概率密度为9、设二维随机变量(X，Y)在G=上服从均匀分布，则条件概率=_______标准答案：1知识点解析：G如图3-3中△OAB，它的面积S=，所以(X，Y)的概率密度为由于关于Y的边缘概率密度其中，D如图3-3带阴影的三角形．10、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=，则对x＞0，fY｜X(y｜x)=______标准答案：知识点解析：由f(x，y)的表达式知X与Y相互独立，且关于X与关于Y的边缘概率密度分别为由此可知，当x＞0时，由fX(x)＞0知fY｜X(y｜x)=fY(y)=三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)已知随机变量X1与X2的概率分布，而且P{X1X2=0}-1．11、求X1与X2的联合分布；标准答案：由联合分布与边缘分布的关系可知，X1与X2的联合分布有如下形式：其中p12=p32=0是由于P{X1X2=0)=1，所以，P(X1X2≠0)=0．再根据边缘分布与联合分布的关系可写出联合分布如下：知识点解析：暂无解析12、问X1与X2是否独立?为什么?标准答案：由联合分布表可以看出P{X1=-1，X2=0}=，而所以，X1与X2不独立．知识点解析：暂无解析13、设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别为求随机变量Z=2X+Y的概率密度fZ(z)标准答案：本题可以按以下公式先算出Z的分布函数FZ(z)：FZ(z)=fX(x)fY(y)dxdy(其中Dz={(x，y)｜2x+y≤z})，然后对FZ(z)求导算出fZ(z)，但较麻烦．记U=2X，则由随机变量的函数的概率密度计算公式得于是，Z=2X+Y=U+Y(其中U与Y相互独立)的概率密度即fU(u)fY(z-u)仅在Dz={(u，z)｜0＜u＜2，z-u＞0)(如图3-8的阴影部分)上取值在uOz平面的其他部分都取值为0，所以知识点解析：暂无解析14、设随机变量(X，Y)的概率密度为求随机变量Z=X-Y的概率密度fZ(z)．标准答案：由于X，Y不是相互独立的，所以记V=-Y时，(X，V)的概率密度不易计算．应先计算Z的分布函数，再计算概率密度fZ(z)．记Z的分布函数为FZ(z)，则FZ(z)=P{Z≤x)=P{X-Y≤z}=，其中Dz={(x，y)｜x-y≤z)(直线x-y=z的上方部分)，由Dz与D={(x，y)}0＜x＜1，0＜y＜x)(如图3-9的带阴影的△OSC)相对位置可得：当z＜0时，Dz与D不相交，所以当0≤z＜1时，Dz∩D=四边形OABC，知识点解析：暂无解析15、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求二维随机变量(X2，Y2)的概率密度．标准答案：由f(x，y)的表达式知，X与Y相互独立，且它们的概率密度都为记u=g(x)=x2，它在f(x)≠0的区间(0，1)内单调可导，且反函数为x=h(u)=(0＜u＜1)，所以U=X2的概率密度同样地，V=Y2的概率密度为φ(u)=由X与Y相互独立知X2与Y2相互独立，从而(X2，Y2)的概率密度为知识点解析：暂无解析16、设二次方程x2-Xx+Y=0的两个根相互独立，且都在(0，2)上服从均匀分布，分别求X与Y的概率密度．标准答案：设二次方程的两个根为X1，X2，则它们的概率密度都为f(t)=记X的概率密度为fX(x)，则由X=X1+X2得fX(x)=其中f(t)f(x-t)=即f(t)f(x-t)仅在图3-10的带阴影的平行四边形中取值为，在tOx平面的其余部分取值为零．因此，当x＜0或x＞4时，fX(x)=0；记Y的概率密度为fY(y)，则由Y=X1X2得当y≤0或y≥4时，fY(y)=0；当0＜y＜4时，知识点解析：暂无解析17、设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布，证明：Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布．标准答案：P{Z=k}=P{X+Y=k}={X=i}P{Y=k-i}故Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布．知识点解析：暂无解析18、设ξ，η是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为，i=1，2，3，又设X=max{ξ，η)，=min{ξ，η}，试写出二维随机变量(X，Y)的分布律及边缘分布律，并求P{ξ=η}标准答案：X的可能值为1，2，3，Y的可能值为1，2，3．P{X=1，Y=1)=P{max{ξ，η}=1，min{ξ，η}=1}=P{ξ=1，η=1}=以此类推可求出(X，Y)的分布律及边缘分布列如下：知识点解析：暂无解析19、设随机变量X与Y相互独立，都服从均匀分布U(0，1)．求Z=｜X-Y｜的概率密度及标准答案：U=X-Y的密度为当u≤-1或u≥1时，fu(u)=0；所以，Z=｜X-Y｜=｜U｜的密度为知识点解析：暂无解析20、设(X，Y)的概率密度为问X，Y是否独立?标准答案：边缘密度为因为f(x，y)=fX(x).fY(y)，所以X，Y独立．知识点解析：暂无解析21、设随机变量(X，Y)的概率密度为求Z=X2+Y的概率密度fZ(z)．标准答案：设Z的分布函数为FZ(z)，则知识点解析：暂无解析22、设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，且Xi服从参数为λi的指数分布，其密度为求P{X1}=min{X1，X2，…，Xn)}．标准答案：方法一P{X1=min{X1，X2，…，Xn}}=P{X1≤min{X2，X3，…，Xn}}，记Y=min{X2，X3，…，Xn}，则有(X1，y)的概率密度为f(x，y)=f1(x)fY(y)．方法二利用连续型的全概率公式．知识点解析：暂无解析23、设X关于Y的条件概率密度为而Y的概率密度为求标准答案：(X，Y)的概率密度为如图3-12所示，则知识点解析：暂无解析24、设(X，Y)服从G={(x，y)｜x2+y2≤1}上的均匀分布，试求给定Y=y的条件下X的条件概率密度函数fX｜Y(x｜y)．标准答案：因为(X，Y)服从G={(x，y)｜x2+y2≤1}上的均匀分布，所以所以，当-1＜y＜1时，有知识点解析：暂无解析25、设试验成功的概率为，独立重复试验直到成功两次为止，试求试验次数的数学期望．标准答案：设X表示所需试验次数，则X的可能取值为2，3，…，于是知识点解析：暂无解析26、市场上有两种股票，股票A的价格为60元／股，每股年收益为R1元，其均值为7，方差为50．股票B的价格为40元／股，每股年收益为R2元，其均值为3．2，方差为25，设R1和R2互相独立．某投资者有10000元，拟购买s1股股票A，s2股股票B，剩下的s3元存银行，设银行1年期定期存款利率为5％，投资者希望该投资策略的年平均收益不少于800元，并使投资收益的方差最小，求这个投资策略(s1，s2，s3)，并计算该策略的收益的标准差．标准答案：设投资策略为(s1，s2，s3)，则该投资策略的收益为S=，平均收益及方差为：ES=s1×7+s2×3．2+(10000-60s1-40s2)×5％，问题为求的最小值．约束条件为：ES=s1×7+s2×3．2+(10000-60s1-40s2)×5％≥800．用拉格朗日乘数法求解该问题，令L=+δ[800-s1×7-s2×3．2-(10000-60s1-40s2)×5％]，其中δ是待定系数，最优解应满足的一阶条件为：解此方程组得：s1=63．56股，s2=38．14股，s3=4660．8元．该投资策略的方差和标准差分别为：DS=50×63．562+25×38．142≈238360，σ==488．22．知识点解析：暂无解析27、设随机变量服从几何分布，其分布律为P(X=k)=(1-p)k-1p，0＜p＜1，k=1，2，…，求EX与DX．标准答案：其中q=1-p．知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第2套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、若事件A和B同时出现的概率P(AB)=0，则()A、A和B不相容(互斥)。B、AB是不可能事件。C、AB未必是不可能事件。D、P(A)=0或P(B)=0。标准答案：C知识点解析：不可能事件与零概率事件之间的区别和联系：不可能事件发生的概率为零，但零概率事件未必是不可能事件。由P(AB)=0不能推出AB是不可能事件，故选C。2、设A，B为随机事件，P(A)＞0，则P(B｜A)=1不等价于()A、P(A-B)=0。B、P(B-A)=0。C、P(AB)=P(A)。D、P(A∪B)=P(B)。标准答案：B知识点解析：P(B｜A)==P(A)，然而P(B-A)=P(B)-P(AB)，所以选项B正确。容易验证其余三个选项与已知条件是等价的，事实上：A选项P(A-B)=P(A)-P(AB)=0P(AB)=P(A)。C选项P(AB)=P(A)P(B｜A)=1。D选项P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(B)P(A)=P(AB)。3、连续抛掷一枚硬币，第k(k≤n)次正面向上在第n次抛掷时出现的概率为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：依据题意，总共抛掷n次，其中有k次出现正面，余下的为n-k次反面。第n次必是正面向上，前n-1次中有n-k次反面，k-1次正面(如上图所示)。根据伯努利公式，所以概率为4、设F1(x)，F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是()A、f1(x)f2(x)。B、2f2(x)F1(x)。C、f1(x)F2(x)。D、f1(x)F2(x)+f2(x)F2(x)。标准答案：D知识点解析：因为f1(x)与f2(x)均为连续函数，故它们的分布函数F1(x)与F2(x)也连续。根据概率密度的性质，应有f(x)非负，且。在四个选项中，只有D项满足。故选项D正确。5、设随机变量X～N(μ，σ2)，σ＞0，其分布函数F(x)的曲线的拐点为(a，b)，则(a，b)为()A、(μ，σ)。B、C、D、(0，σ)。标准答案：C知识点解析：X～N(μ，σ2)，其密度函数F(X)=f(x)的拐点的x坐标a应满足F’’(a)=f’(a)=0，故a=μ为f(x)的驻点，当x=μ时，F(μ)=，故曲线拐点在，故选项C正确。6、设随机变量Xi～(i=1，2)且满足P{X1X2=0}=1，则P{X1=X2}等于()A、0。B、C、D、1。标准答案：A知识点解析：由P{X1X2=0}=1得知，P{X1X2≠0}=0。于是根据X1，X2的分布律，有P{X1=-1，X2=-1}=0，P{X1=-1，X2=1}=0。P{X1=1，X2=-1}--0，P{X1=1，X2=1}=0。再根据联合分布律与边缘分布律的性质及其关系可得(X1，X2)的联合分布律如下表。由上表显然可见，X1=X2有三种情况，每种情况的概率均为0，因此P{X1=X2}=0，故选项A正确。7、设随机变量X与Y相互独立。且X～N，则与随机变量Z=Y-X同分布的随机变量是()A、X-Y。B、X+Y。C、X-2Y。D、Y-2X。标准答案：B知识点解析：由题意知，X～N(1，1)，而X+Y～N(1，1)，故X+Y和Z是同分布的随机变量。8、已知随机变量X与Y的相关系数大于零，则()A、D(X+Y)≥D(X)+D(Y)。B、D(X+Y)＜D(X)+D(Y)。C、D(X-Y)≥D(X)+D(Y)。D、D(X-Y)＜D(X)+D(Y)。标准答案：D知识点解析：根据公式D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X，Y)确定正确选项。由于X与Y的相关系数Cov(X，Y)＞0。所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)＞D(X)+D(Y)。D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)＜D(X)+D(Y)。应选D。9、已知(X，Y)服从二维正态分布，E(X)=E(Y)=μ，D(X)=D(Y)=σ2，X和Y的相关系数ρ=0，则X和Y()A、独立且有相同的分布。B、独立且有不相同的分布。C、不独立且有相同的分布。D、不独立且有不相同的分布。标准答案：A知识点解析：二维正态分布独立和不相关等价，故首先可以得到X和Y独立；又(X，Y)服从二维正态分布，故其边缘分布服从一维正态分布，且X～N(μ，σ2)，Y～N(μ，σ2)。所以选A。10、设X1，X2，…，Xn，…相互独立且都服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，则当n→∞时，以Ф(x)为极限的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由于X1，X2，…，Xn，…相互独立同分布，其期望和方差都存在，且E(Xi)=λ，D(Xi)=λ，根据方差与期望的运算法则，有以Ф(x)为极限，故应选C。11、设X1，X2，X2，X4是取自总体N(0，1)的简单随机样本，已知服从χ2(n)，则n+a=()A、5。B、4。C、3。D、2。标准答案：C知识点解析：由Y～χ2(n)可知n=2，且(X1+X2)～N(0，1)，故则n+a=3，选C。12、已知总体X服从正态分布N(μ，σ2)(σ2已知)，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，均值为，则由P{a＜U＜b}=1-α，可以求得μ置信度为1-α的置信区间，其中a、b是()A、满足P{U＞b}=的唯一实数。B、满足P{U＞b}=的唯一实数。C、满足P{U＞b}=的唯一实数。D、满足P{U＞b}+P{U＜a}=α的任意实数。标准答案：D知识点解析：a、b应使P{a＜U＜b}=1-aa、b应满足P{U≥b}+P{U≤a}=α,故选D。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)13、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是_______。标准答案：知识点解析：设事件A={第一个人取出的球是黄色的}，事件B={第一个人取出的球是白色的}，事件C={第二个人取出的球是黄色的}，则有根据全概率公式可得P(C)=P(A).P(C｜A)+P(B).P(C｜B)14、假设盒内有10件产品，其正品数为0，1，…，10个是等可能的，今向盒内放人一件正品，然后从盒内随机取出一件产品发现它是正品，则原来盒内有7件正品的概率α=________。标准答案：知识点解析：设事件Ai=“盒内原有i件正品”，i=0，1，…，10；事件B=“取出的产品是正品”，所以A0，A1，…，A10构成一个完备事件组，依题意有所求概率P(A7｜B)可直接应用贝叶斯公式：或先应用全概率公式求出P(B)=，再根据条件概率定义计算出P(A7｜B)。15、已知随机变量X的概率分布为P{X=k}=(k=1，2，3)，当X=k时随机变量Y在(0，k)上服从均匀分布，即则P{Y≤2．5}=_________。标准答案：知识点解析：根据题设可知P{X=k}=1，P{X=k}=。根据全概率公式，可得16、已知X的概率密度f(x)=，aX+b～N(0，1)(a＞0)，则常数A=_______，a=______，b=_______。标准答案：知识点解析：又因为17、设二维随机变量(X，Y)在xOy平面上由直线y=x与曲线y=x2所围成的区域上服从均匀分布，则P{0＜X＜=______。标准答案：知识点解析：由直线y=x与曲线y=x2所围成的区域面积为，所以(X，Y)的概率密度函数为f(x，y)=于是18、某车间生产的圆盘其直径服从区间(a，b)上的均匀分布，则圆盘面积的数学期望为________。标准答案：知识点解析：设圆盘直径为X，其概率密度为设圆盘面积为Y，所以那么有19、已知随机变量X～N(2，9)，Y服从参数为0．5的指数分布，且ρXY=-0．25，则D(2X-3Y)=_____。标准答案：90知识点解析：D(2X-3Y)=4D(X)+9D(Y)-2Cov(2X，3Y)=4D(X)+9D(y)-其中D(X)=9，D(Y)=4，代入得D(2X-3Y)=90。20、设随机变量X和Y相互独立，且X～N(0，2)，Y～N(0，3)，则D(X2+Y2)=_____。标准答案：26知识点解析：因X～N(0，2)，故～χ2(1)，所以D(X2)=8，同理D(Y2)=18。又由于X和Y相互独立，故D(X2+Y2)=8+18=26。21、设总体X～N(μ，σ2)，μ未知，X1，X2，…，Xn是取自该总体的样本，样本方差为S2，对H0：σ2≥16←→H1：σ2＜16，其检验统计量为________，拒绝域为_______。标准答案：χ2统计量；知识点解析：μ未知，对σ2的检验使用χ2检验，又根据题设知，假设为单边检验，所以统计量为χ2=～χ2(n-1)，从而拒绝域为三、解答题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)22、设随机变量X的概率密度为求X的分布函数F(x)。标准答案：当x＜1时，F(x)=0；当1≤x＜2时，则当x≥2时，F(x)=1。综上所述，X的分布函数F(x)为知识点解析：暂无解析23、设随机变量，且P{｜X｜≠｜Y｜}=1。(Ⅰ)求X与Y的联合分布律，并讨论X与Y的独立性；(Ⅱ)令U=X+Y，V=X～Y，讨论U与V的独立性。标准答案：(Ⅰ)由P{｜X｜≠｜Y｜}=1知，P{｜X｜=｜Y｜=0。由此可得X与Y的联合分布律为因为P{X=-1，Y=-1}≠P{X=-1}P{Y=-1}，所以X与Y不独立。(Ⅱ)由(X，Y)的联合分布律知P{U=V=-1}=P{X=-1，Y=0}=P{U=-1，V=1}=P{X=0，Y=-1}=P{U=1，V=-1}=P{X=0，Y=1}=P{U=V=1}=P{X=1，V=0}=所以U与V的联合分布律与边缘分布律为即可验证U与V独立。知识点解析：暂无解析24、设随机变量X与Y独立，X在区间[0，2]上服从均匀分布，Y服从参数为2的指数分布，求：(Ⅰ)二维随机变量(X，Y)的联合概率密度；(Ⅱ)概率P{X≤Y}。标准答案：(Ⅰ)已知X在区间[0，2]上服从均匀分布，Y服从指数分布e(2)，因此可得根据随机变量独立的性质，可得(Ⅱ)当x＜0或者x＞2时，f(x，y)=0，因此区域x≤y为y轴和x=2之间，且在直线y=x上方的无界区域，所以其对概率密度在积分区域上进行二重积分，所以可表示为知识点解析：暂无解析25、设二维随机变量(X，Y)在区域G={(x，y)｜1≤x+y≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布。试求：(Ⅰ)(X，Y)的边缘概率密度fX(x)和fY(y)；(Ⅱ)Z=X+Y的概率密度fZ(z)。标准答案：区域G如图3-3-6所示：可知区域G是菱形，其面积为1。故(Ⅱ)FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}知识点解析：暂无解析26、设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为：(Ⅰ)求P(X=2Y)；(Ⅱ)求Cov(X-Y，Y)。标准答案：(Ⅰ)P(X=2Y)=P(X=0，Y=0)+P(X=2，Y=1)=(Ⅱ)Cov(X-Y，Y)=Cov(X，Y)-Cov(Y，Y)，Cov(X，Y)=E(XY)-EXEY，其中知识点解析：暂无解析27、设总体X的概率密度为其中θ为未知参数且大于零，X1，X2，…，Xn为取自总体X的简单随机样本。(Ⅰ)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求θ的最大似然估计量。标准答案：(Ⅰ)E(X)=，得到矩估计量(Ⅱ)对于总体X的样本值x1，x2，…，xn，其似然函数为得到最大似然估计量为知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第3套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设A，B为随机事件，P(B)＞0，则()A、P(A∪B)≥P(A)+P(B)。B、P(A-B)≥P(A)-P(B)。C、P(AB)≥P(A)P(B)。D、P(A｜B)≥。标准答案：B知识点解析：根据概率运算性质可知，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤P(A)+P(B)，选项A不成立。P(A-B)=P(A)-P(AB)≥P(A)-P(B)，故正确选项为B。而P(A｜B)=，所以选项D不成立。至于选项C，它可能成立也可能不成立，如果AB=，P(A)＞0，P(B)＞0，则P(AB)=0＜P(A)P(B)；如果AB，则P(AB)=P(A)≥P(A)P(B)。2、设随机事件A与B互不相容，且P(A)＞0，P(B)＞0，则下列结论中一定成立的有()A、A，B为对立事件。B、互不相容。C、A，B不独立。D、A，B相互独立。标准答案：C知识点解析：A，B互不相容，只说明AB=，但并不一定满足A∪B=Ω，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因A∪B=Ω不一定成立，故亦不一定成立，因此选项A、B都不成立。同时因为P(AB)=，但是P(A)P(B)＞0，即P(AB)≠P(A)P(B)，故A与B一定不独立，应选C。3、在全概率公式P(B)=(Ai)P(B｜Ai)中，除了要求条件B是任意随机事件及P(Ai)＞0(i=1，2，…，n)之外，还可以将其他条件改为()A、A1，A2，…，An两两独立，但不相互独立。B、A1，A2，…，An相互独立。C、A1，A2，…，An两两互不相容。D、A1，A2，…，An两两互不相容，其和包含事件B，即标准答案：D知识点解析：如果A1，A2，…，An两两互不相容，则A1B，A2B，…，AnB亦两两互不相容，且因。应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即应选D。4、假设F(x)是随机变量X的分布函数，则下列结论不正确的是()A、如果F(a)=0，则对任意x≤a有F(x)=0。B、如果F(a)=1，则对任意x≥a有F(x)=1。C、如果F(a)=，则P{X≤a}=D、如果F(a)=，则P{X≥a}=标准答案：D知识点解析：由于F(x)是单调不减且0≤F(x)≤1，F(x)=P{X≤x}，因此选项A、B、C都成立，而选项D未必成立，因此选D。5、设随机变量X的密度函数为φ(x)，且φ(-x)=φ(x)，F(x)为X的分布函数，则对任意实数a，有()A、F(-a)=B、F(-a)=C、F(-a)=F(a)。D、F(-a)=2F(a)-1。标准答案：B知识点解析：如图3-2-4所示，F(-a)=所以F(-a)=。故选项B正确。6、已知随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜-1＜x＜1，-1＜y＜1}上服从均匀分布，则()A、P{X+Y≥0}=B、P{X-Y≥0}=C、P{max(X，Y)≥0}=D、P{min(X，Y)≥0}=标准答案：D知识点解析：根据题设知(X，Y)的概率密度函数为因P{max(X，Y)≥0}=1-P{max(X，Y)＜0}=1-P{X＜0，Y＜0}所以选项A、B、C都不正确。故选D。7、已知随机变量X1与X2相互独立且有相同的分布：P{Xi=-1}=P{Xi=1}=(i=1，2)，则()A、X1与X1X2独立且有相同的分布。B、X1与X1X2独立且有不同的分布。C、X1与X1X2不独立且有相同的分布。D、X1与X1X2不独立且有不同的分布。标准答案：A知识点解析：根据题设知X1X2可取-1，l，且P{X1X2=-1}=P{X1=-1，X2=1}+P{X1=1，X2=-1}=P{X1=-1}P{X2=1}+P{X1=1}P{X2=-1}又P{X1=-1，X1X2=-1}=P{X1=-1，X2=1}=，所以X1与X1X2的概率分布为从而X1与X1X2有相同的分布且相互独立，故选项A正确。8、设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且方差σ2＞0，记的相关系数为()A、-1。B、0。C、D、1。标准答案：B知识点解析：由于Xi独立同分布，所以D(Xi)=σ2，，Cov(X1，Xi)=0(i≠1)，故选项B正确。9、随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρ=1，则()A、P{Y=-2X-1}=1。B、P{Y=2X-1}=1。C、P{Y=-2X+1}=1。D、P{Y=2X+1}=1标准答案：D知识点解析：设Y=aX+b，因为ρXY=1，得X，Y正相关，得a＞0，排除选项A、C。由X～N(0，1)，Y～N(1，4)，可得E(X)=0，E(Y)=1，所以E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a×0+b=1，所以b=1。排除选项B。故选择D。10、设X1，X2，…，Xn和Y1，Y2，…，Yn是分别取自总体都为正态分布N(μ，σ2)的两个相互独立的简单随机样本，记它们的样本方差分别为，则统计量T=(n-1)的方差D(T)=()A、2nσ4。B、2(n-1)σ4。C、4nσ4。D、4(n-1)σ4。标准答案：D知识点解析：根据已知可得且二者相互独立，所以=σ4[2(n-1)+2(n-1)]=4(n-1)σ4。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)11、如果用X，Y分别表示将一枚硬币连掷8次正反面出现的次数，则t的一元二次方程t2+Xt+Y=0有重根的概率是______。标准答案：知识点解析：根据题意可得，“方程t2+Xt+Y=0有重根”“X2-4Y=0”“X2=4Y”，其中X～B，Y=8-X，所求的概率为P{X2=4Y}=P{X2=4(8-X)}=P{X2+4X-32=0}=P{(X+8)(X-4)=0}=P{X=4}=12、假设X服从参数λ的指数分布，对X做三次独立重复观察，至少有一次观测值大于2的概率为，则λ=_______。标准答案：知识点解析：根据独立试验序列概型，可求得结果。事实上，已知记A={X＞2}，Y为对X做三次独立重复观察事件A发生的次数，则Y～B(3，p)，其中p=P{X＞2}=，依题意P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(1-p)2=13、已知随机变量Y～N(μ，σ2)，且方程x2+x+y=0有实根的概率为，则未知参数μ=________。标准答案：知识点解析：已知Y～N(μ，σ2)，且P{方程有实根}=P{1-4Y≥0}=14、已知X～，且n维向量α1，α2，α3线性无关，则α1+α2，α2+2α3，Xα3+Yα1线性相关的概率为______。标准答案：知识点解析：因为α1，α2，α3线性无关，所以“α1+α2，α2+2α3，Xα3+Yα1线性相关=X+2Y=0”，故所求的概率为P{X+2Y=0}=P{X+2Y=0，Y=}+P{X+2Y=0，Y≠}15、设盒子中装有m个颜色各异的球，有放回地抽取n次，每次1个球。设X表示n次中抽到的球的颜色种数，则E(X)=_______。标准答案：知识点解析：令Xi=则X=X1+X2+…+Xm。事件“Xi=0”表示n次中没有抽到第i种颜色的球，由于是有放回抽取，n次中各次抽取结果互不影响，所以有16、设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=2X-1，则Y与Z的相关系数为_______。标准答案：0．9知识点解析：Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X-1)=2Cov(X，Y)，D(Z)=D(2X-1)=4D(X)。Y与Z的相关系数ρYZ为17、假设随机变量X1，X2，…，X2n独立同分布，且E(Xi)=D(Xi)=1(1≤i≤2n)，如果Yn=，则当常数c=______时，根据独立同分布中心极限定理，当n充分大时，Yn近似服从标准正态分布。标准答案：知识点解析：记Zi=X2i-X2i-1，则Zi(1≤i≤n)独立同分布，且E(Zi)=0，D(Zi)=2。由独立同分布中心极限定理可得，当n充分大时，近似服从标准正态分布，所以18、设X1，X2，…，Xn为取自总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本，记样本方差为S2，则D(S2)________。标准答案：知识点解析：根据性质19、设总体X的概率密度函数为其中0＜θ＜1是位置参数，c是常数，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，则c=______；θ的矩估计量=________。标准答案：知识点解析：根据题意可知三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)20、袋中有a只白球，b只红球，k(k≤a+b)个人依次在袋中取一只球，(1)做放回抽样；(2)做不放回抽样。求第i(i=1，2，…，k)人取到白球(记为事件B)的概率。标准答案：(1)放回抽样的情况，显然有P(B)=(2)不放回抽样的情况，每人取一只球，每种取法是一个基本事件，共有(a+b)(a+b-1)…(a+b-k+1)=个基本事件，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同。当事件B发生时，第i人取的应该是白球，它可以是a只白球中的任一只，有a种取法。其余被取的k-1只球可以是其余a+b-1只球中的任意k-1只，共有(a+b-1)(a+b-2)…[a+b-1-(k-1)+1]=种取法，于是事件B包含个基本事件，故知识点解析：暂无解析21、(Ⅰ)设随机变量x服从参数为λ的指数分布，证明：对任意非负实数s及t，有P{x≥s+t｜X≥s}=P{x≥t}。(Ⅱ)设电视机的使用年数X服从参数为0．1的指数分布，某人买了一台旧电视机，求还能使用5年以上的概率。标准答案：(Ⅰ)已知随机变量X服从指数分布，对于任意的非负实数，根据指数分布的分布函数F(x)=1-e-λx，根据结论对任意非负实数s及t，有因为X是连续的随机变量，根据分布函数的定义，对任意实数x，有P{X＜x}=P{X≤x}=F(x)。P{X≥t}=1-P{X＜t}=1-P{X≤t}=1-F(t)=1-(1-e-λt)=e-λt，因此可得P{X≥s+t｜X≥s}=P{X≥t}成立。(Ⅱ)已知电子仪器的使用年数服从指数分布X～e(0．1)，则其概率分布函数为根据(Ⅰ)的结论，P(X≥s+t}X≥s)=P(X≥t)=e-λt，假设某人买回来的电视机已经用了x年，则它还可以使用五年以上的概率为P(X≥x+5｜X≥5)=P(X≥5)=e-0.1×5=e-0.5≈0．6065。知识点解析：暂无解析22、设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布率及关于X和关于Y的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。标准答案：知识点解析：暂无解析23、设(X，Y)的联合分布函数为其中参数λ＞0，试求X与Y的边缘分布函数。标准答案：当x＞0时，FX(x)=P{X≤x}=F(x，+∞)=1-e-x；当x≤0时，FX(x)=0，所以关于X的边缘分布函数为同理，关于Y的边缘分布函数为知识点解析：暂无解析24、设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0，1]上的均匀分布，试求：(Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u)；(Ⅱ)V=｜X-Y｜的概率密度fV(v)。标准答案：根据X与Y相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分布函数法和公式法求出U、V，的概率密度。(Ⅰ)分布函数法。根据题设知(X，Y)联合概率密度所以U=XY的分布函数为(如图3-3-9所示)FU(u)=P{XY≤u}=(1)当u≤0时，FU(u)=0；当u≥1时，FU(u)=1；(2)当0＜u＜1时，(Ⅱ)公式法。设Z=X-Y=X+(-Y)。其中X与(-Y)独立，概率密度分别为根据卷积公式得Z的概率密度V=｜X-Y｜=｜Z｜的分布函数为FV(v)=P{｜Z｜≤v}，可得当v≤0时，FV(v)=0；当v＞0时，FV(v)=P{-v≤Z≤v}=由此知，当0＜v＜1时，知识点解析：暂无解析25、设随机变量U服从二项分布，随机变量求随机变量X-Y与X+Y的方差和X与Y的协方差。标准答案：先求出X与Y的概率分布及XY的概率分布。即P{X=-1}=P{U≤0}=P{U=0}=P{Y=-1}=P{U＜2}=1-P{U=2}=P{XY=-1}=P{X=-1，Y=1}+P{X=1，Y=-1}=P{XY=1}=1-P{XY=-1}=其次计算E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)与E(XY)。即E(X)=-P{X=-1}+P{X=1}=E(X2)=E(XY)=-P{XY=-1}+P{XY=1}=0。最后应用公式可得Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=D(X+Y)=D(X)+2Cov(X，Y)+D(Y)=2，D(X-Y)=D(X)-2Cov(X，Y)+D(Y)=1。知识点解析：暂无解析26、设总体X的概率密度为其中θ(0＜θ＜1)是未知参数，X1，X2…，Xn为取自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1，x2…，xn中小于1的个数，求θ的最大似然估计量。标准答案：记似然函数为L(θ)，则知识点解析：暂无解析27、已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4．40，0．052)，某日测得5炉铁水的含碳量如下：4．344．404．424．304．35如果标准差不变，该日铁水含碳量的均值是否显著降低?(取显著性水平α=0．05)标准答案：根据题意，原假设和备择假设分别为H0：μ=4．40，H1：μ＜4．40。根据已知数据计算得样本均值为=4．362，选取的μ统计量为已知μ0=4．40，σ0=0．05，n=5，并将样本均值=4．362代入得显著性水平α=0．05，因此临界值为Zα=μ0.05=1．645。因为Z＜-Zα，所以拒绝原假设而接受备择假设，可以认为该日铁水含碳量的均值显著降低。知识点解析：暂无解析28、进行5次试验，测得锰的熔化点(℃)如下：12691271125612651254已知锰的熔化点服从正态分布，是否可以认为锰的熔化点显著高于1250℃?(取显著性水平α=0．01)标准答案：根据题意，原假设和备择假设分别为H0：μ=1250，H1：μ＞1250。根据已知数据计算的样本均值和标准差为=1263，S≈7．65，选取的t统计量为已知μ0=1250，n=5，并将样本均值和标准差代入得显著性水平α=0．01，因此临界值为tα(n-1)=t0.01(4)=3．75。因为t＞tα(n-1)，所以拒绝原假设而接受备择假设，认为锰的熔化点显著高于1250℃。知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第4套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设A和B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论肯定正确的是()A、不相容。B、相容。C、P(AB)=P(A)P(B)。D、P(A-B)=P(A)。标准答案：D知识点解析：因为AB=，所以A-B=A-AB=A-=A，从而P(A-B)=P(A)，故选项D正确。对于选项A、B可举反例排除，如取Ω={1，2，3}，A={1}，B={2}，则AB=，故选项A不正确；如果取A={1}，B={2，3}，显然AB=不相容，选项B也不正确。对于选项C，由于AB=，所以P(AB)=0，但由题设知P(A)P(B)＞0，因此选项C不正确。2、设A和B为任意两不相容事件，且P(A)P(B)＞0，则必有()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为故应选C。3、设A、B、C是三个相互独立的随机事件，且0＜P(C)＜1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：本题考查多个随机事件间的独立性的关系。由A、B、C相互独立可知，事件A、B的和、差、积(或其逆)与事件C或必相互独立，因此选项A、C、D均被排除，选项B正确。4、设函数F(x)=，则F(x)()A、不是任何随机变量的分布函数。B、是某连续型随机变量的分布函数。C、是某随机变量的分布函数。D、无法确定。标准答案：C知识点解析：由函数F(x)的表达式可知，F(x)是单调非减的；F(x)是有界的；F(x)是右连续的(主要在x=0和x=2这两点处)，即F(x)满足分布函数的三条基本性质，所以F(x)一定是某个随机变量的分布函数。此外，因连续型随机变量的分布函数必为连续函数，而F(x)在x=2处不连续，所以F(x)不是连续型随机变量的分布函数，故选项C正确。5、设相互独立的两随机变量X与Y均服从分布B(1，)，则P{X≤2Y}=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：P{X≤2Y}=P{X=0}+P{X=1，Y=1}=+P{X=1}P{Y=1}故选项D正确。6、设随机变量X1与X2相互独立，其分布函数分别为则X1+X2的分布函数F(x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据题意知X1为离散型随机变量，其分布律为F(x)=P{X1+X2≤x}=P{X1=0}P{X1+X2≤x｜X1=0}+P{X1=1}P{X1+X2≤x｜X1=1}故选项D正确。7、设随机变量X和Y独立同分布，记U=X-Y，V=X+Y，则随机变量U与V必然()A、不独立。B、独立。C、相关系数不为零。D、相关系数为零。标准答案：D知识点解析：因为Cov(U，V)=E(UV)-E(U).E(V)=E(X2-Y2)-E(X-Y).E(X+Y)=E(X2)-E(Y2)-E2(X)+E2(Y)=D(X)-D(Y)=0。则所以U与V的相关系数为零，故选D。8、设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其均值和方差分别为，S2，则可以作出服从自由度为n的χ2分布的随机变量是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于总体X～N(μ，σ2)，故各选项的第二项与S2独立，根据χ2分布可加性，仅需确定服从χ2(1)分布的随机变量。因为。故选D。9、设为未知参数θ的无偏一致估计，且的()A、无偏一致估计。B、无偏非一致估计。C、非无偏一致估计。D、非无偏非一致估计。标准答案：C知识点解析：根据无偏估计和一致估计的概念可得的非无偏一致估计。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)10、设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=________。标准答案：知识点解析：由题设，有由于A和B相互独立，所以A与与B也相互独立，于是由，有即P(A)[1-P(B)]=[1-P(A)]P(B)，可得P(A)=P(B)。从而解得P(A)=11、已知X，Y为随机变量且P{X≥0，Y≥0}=，P{X≥0}=P{Y≥0}=，设A={max(X，Y)≥0}，B={max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0}，C={max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}，则P(A)=________，P(B)=________，P(C)=_____。标准答案：知识点解析：首先分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，后应用概率性质计算概率。由于A={max(X，Y)≥0}={X，Y至少有一个大于等于0}={X≥0}∪{Y≥0}，所以P(A)=P{X≥0}+P{Y≥0}-P{x≥0，Y≥0}=又{max(X，Y)<0}{min(X，Y)＜0}，则B={max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0}={max(X，Y)＜0}=。从而P(B)=根据全集分解式知：A={max(X，Y)≥0}={max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}+{max(X，Y)≥0，min(X，Y)≥0}=C+{X≥0，Y≥0}，故P(C)=P(A)-P{X≥0，Y≥0}=12、设随机变量X的概率分布P(X=k)=，k=1，2，…，其中a为常数。X的分布函数为F(x)，已知F(b)=，则b的取值应为_______。标准答案：3≤b＜4知识点解析：首先确定a，由解得a=1。又当i≤x＜i+1时，F(x)=，故i=3，3≤b＜4。13、设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X＞}=_________。标准答案：知识点解析：由题设，可知D(X)=，于是14、设随机变量X服从参数为1的指数分布，随机变量函数Y=1-e-X的分布函数为FY(y)，则=______。标准答案：知识点解析：15、设(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则P{X＜Y}=______。标准答案：知识点解析：16、已知随机变量X的概率密度为f(x)=，-∞＜x＜+∞，则(X2)=_______。标准答案：20知识点解析：由于D(X2)=E(X4)-E2(X2)。所以D(X2)=4!-(2!)2=24-4=20。17、设随机变量X的概率密度为f(x)=(-∞＜x＜+∞)，则随机变量X的二阶原点矩为_______。标准答案：知识点解析：根据题意，即求E(X2)。首先对所给概率密度作变换：对于x(-∞＜x＜+∞)，有由此可知随机变量X服从正态分布，从而E(X)=。于是E(X2)=D(X)+E2X=三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)18、设事件A与B互不相容，P(A)=0．4，P(B)=0．3，求标准答案：因A与B互不相容，所以AB=，故知识点解析：暂无解析19、设离散型随机变量X服从参数p(0＜p＜1)的0-1分布。(Ⅰ)求X的分布函数F(x)；(Ⅱ)令Y=F(X)，求Y的分布律及分布函数G(y)。标准答案：(Ⅰ)F(x)=P{X≤x}=(Ⅱ)Y=F(X)=P{Y=0}=P{X＜0}=0，P{Y=1-P}=P{0≤X＜1}=P{X=0}=1-P，P{Y=1}=P{X≥1}=P{X=1}=p，于是y的分布律与分布函数分别为知识点解析：暂无解析20、袋中有1个红球，2个黑球和3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。(Ⅰ)求{P{X=1｜Z=0}；(Ⅱ)求二维随机变量(X，Y)的概率分布。标准答案：(Ⅰ)在没有取白球的情况下取了一次红球，根据压缩样本空间原则，相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球。所以(Ⅱ)X，Y取值范围为0，1，2，故知识点解析：暂无解析21、设以X表示某一推销员一天花费在汽油上的款项(以美元计)，以Y表示推销员一天所得的补贴(以美元计)，已知X和Y的联合概率密度为(Ⅰ)求边缘概率密度fX(x)fY(y)；(Ⅱ)求条件概率密度fY｜X(y｜x)，fX｜Y(x｜)；(Ⅲ)求x=12时Y的条件概率密度；(Ⅳ)求条件概率P{Y≥8｜X=12}。标准答案：(Ⅰ)如图3-3-5所示(Ⅱ)(1)当10＜x＜20时，fX(x)≠0，条件概率密度fY｜X(y｜x)存在。(2)当10＜x＜20时，有(3)当5＜y＜10或10≤y＜20，fY(y)≠0，fX｜Y(x｜y)存在。当5＜y＜10时，(4)当10≤y＜20时，fX｜Y(x｜y)是单个自变量x的函数，y是一个固定值。(Ⅲ)当x=12时Y的条件概率密度为(Ⅳ)P{Y≥8｜X=12}=知识点解析：暂无解析22、设总体X的概率密度为其中θ＞0是未知参数。从总体X中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn，记=min{X1，X2，…，Xn}。(Ⅰ)求总体X的分布函数F(x)；(Ⅱ)求统计量的分布函数。标准答案：知识点解析：暂无解析23、设ξ和η是独立同分布的两个随机变量。已知ξ的分布律为P{ξ=i}=，i=1，2，3，又设X=max{ξ，η}，Y=min{ξ，η}。(Ⅰ)写出二维随机变量(X，Y)的分布律；(Ⅱ)求E(X)。标准答案：(Ⅰ)X，Y可能的取值均为1，2，3。P{X=1，Y=1}=P{ξ=1，η=1}=P{ξ=1}P{η=1}=同理P{X=2，Y=2}=P{X=3，Y=3}=P{X=2，Y=1}=P{ξ=2，η=1}+P{ξ=1，η=2}=2.P{ξ=1}.P{η=2}=同理P{X=3，Y=1}=P{X=3，Y=2}=由题意可知X≥Y始终成立，即{X＜Y}是不可能事件，故P{X=1，Y=2}=P{X=1，Y=3}=P{X=2，Y=3}=0。(X，Y)的联合分布律如下表：知识点解析：暂无解析24、设X1，X2，…，Xn(n＞2)为取自总体N(0，1)的简单随机样本，为样本均值，记Yi=Xi-，i=1，2，…，n。求：(Ⅰ)Yi的方差D(Yi)，i=1，2，…，n；(Ⅱ)Y1与Yn的协方差Cov(Y1，Yn)。标准答案：根据题设，知X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立，且E(Xi)=0，D(Xi)=1(i=1，2，…，n)，(Ⅱ)因为已知X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立，知识点解析：暂无解析25、设各零件的质量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0．5kg，均方差为0．1kg，问5000只零件的总质量超过2510kg的概率是多少?标准答案：根据独立同分布中心极限定理，设Xi表示第i只零件的质量(i=1，2，…，5000)，且E(Xi)=0．5，0(Xi)=0．12。设总质量为Y=，则有E(Y)=5000×0．5=2500，D(Y)=5000×0．12=50，根据独立同分布中心极限定理可知Y近似服从正态分布N(2500，50)，而近似服从标准正态分布N(0，1)所求概率为知识点解析：暂无解析26、设总体X的概率密度为其中θ＞-1是未知参数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量。标准答案：总体X的数学期望是设x1，x2，…，x3是相对于样本X1，X2，…，Xn的一组观测值，则似然函数为当0＜xi＜1时，L＞0且lnL=，解得θ的极大似然估计量为知识点解析：暂无解析27、设总体X的概率密度为其中θ＞0是未知参数。从总体X中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn，记=min{X1，X2，…，Xn}。(Ⅰ)求总体X的分布函数F(x)；(Ⅱ)求统计量的分布函数；(Ⅲ)如果用作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性。标准答案：(Ⅱ)=P{min{X1，X2，…，Xn}≤x}=1-P{min{X1，X2，…，Xn}＞x}=1-P{X1＞x，X2＞x，…，Xn＞x}=1-[1-F(x)]n所以作为θ的估计量不具有无偏性。知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第5套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为()A、“甲种产品滞销，乙种产品畅销”。B、“甲、乙两种产品均畅销”。C、“甲种产品滞销”。D、“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。标准答案：D知识点解析：设A1={甲种产品畅销}，A2={乙种产品滞销}，则A=A1A2。由德摩根定律得即为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”，故选项D正确。选项A，B中的事件与事件A都是互斥但非对立(互逆)的；选项C中事件的逆事件显然包含事件A，故选项A，B，C都不正确。2、对于任意两事件A和B，若P(AB)=0，则()A、B、AB≠C、P(A)P(B)=0。D、P(A-B)=P(A)。标准答案：D知识点解析：因为P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)。故应选D。不难证明选项A、B、C不成立。设X～N(0，1)，A={X＜0}，B={X＞0}，则P(AB)=0，P(A)P(B)≠0且，从而A项和C项不成立。若A和B互为对立事件，则为对立事件，，故选项B也不成立。3、将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是()A、A与B独立。B、B与C独立。C、A与C独立。D、B∪C与A独立。标准答案：B知识点解析：试验的样本空间有8个样本点，即Ω={(正，正，正)，(正，反，反)，…，(反，反，反)}。显然B与C为对立事件，且依古典型概率公式有P(BC)==0，P(B∪C)=P(Ω)=1。由于P(A)P(B)=，即P(AB)=P(A)P(B)。因此A与B独立，类似地A与C也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此B∪C与A也独立，用排除法知，应选B。4、假设X是只可能取两个值的离散型随机变量，Y是连续型随机变量，则随机变量X+Y的分布函数()A、是连续函数。B、是阶梯函数。C、恰有一个间断点。D、至少有两个间断点。标准答案：A知识点解析：对任意实数t，根据概率性质得0≤P{X+Y=t}=P{X+Y=t，X=a}+P{X+Y=t，X=b}=P{Y=t-a，X=a}+P{Y=t-b，X=b}≤P{Y=t-a}+P{Y=t-b}，又Y是连续型随机变量，所以对任意实数c，有P{Y=c}=0。故对任意实数t，P{X+Y=t}=0X+Y的分布函数是连续函数，因此选A。5、设随机变量X～N(0，1)，其分布函数为Ф(x)，则随机变量Y=min{X，0}的分布函数为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：F(y)=P{Y≤Y}=P{min(X，0)≤y}=1-P{min(X，0)＞y}=1-P{X＞y,0＞y}。当y＜0时，P{X＞y，0＞y}=P{X＞y}，F(y)=1-P{X＞y}=P{X≤y}=Ф(y)。当y≥0时，P{X＞y，0＞y}=0，F(y)=1，故选项B正确。6、设随机变量X与Y相互独立，X～B(1，)，Y的概率密度f(y)=的值为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：X～B，X取值只能是X=0或X=1，将X=0和X=1看成完备事件组，用全概率公式有故选项A正确。7、设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X，2}的分布函数()A、是连续函数。B、至少有两个间断点。C、是阶梯函数。D、恰好有一个间断点。标准答案：D知识点解析：考虑分布函数的连续性问题，需求出其分布函数。因为X服从指数分布，则其概率密度为其中λ＞0为参数。由分布函数的定义FY(y)=P{Y≤y}=P{min(X，2)≤y}，当y＜0时，FY(y)=0；当y≥2时，FY(y)=1；当0≤y＜2时，FY(y)=P{min{X，2}≤y}=P{X≤y}=故因为=1-e-2λ≠FY(2)=1，所以y=2是FY(y)的唯一间断点，故选D。8、对于任意两随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是()A、E(XY)=E(X).E(Y)。B、Cov(X，Y)=0。C、D(XY)=D(X).D(Y)。D、D(X+Y)=D(X)+D(Y)。标准答案：C知识点解析：因为Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0是“X和Y不相关”的充分必要条件，所以A与B等价。由D(X+Y)=D(X)+D(Y)的充分必要条件是Cov(X，Y)=0，可见选项B与D等价。于是，“X和Y不相关”与选项A，B和D等价。故应选C。9、设总体X服从正态分布N(0，σ2)，，S2分别为容量是n的样本的均值和方差，则可以作出服从自由度为n-1的t分布的随机变量是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：根据题设知，Xi～N(0，σ2)，故选项A正确。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)10、设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为_________。标准答案：知识点解析：设事件A：所取的两件产品中至少有一件是不合格品。事件B：所取的两件都是不合格品。因为P(A)=，且P(A)＞P(B)，所以11、已知事件A、B仅发生一个的概率为0．3，且P(A)+P(B)=0．5，则A，B至少有一个不发生的概率为_______。标准答案：0．9知识点解析：由题设P(A)+P(B)=0．5，于是解得P(AB)=0．1，所以所求的概率为=1-P(AB)=1-0.1=0.9。12、设X服从参数为λ的泊松分布，P{X=1}=P{X=2}，则概率P{0＜X2＜3}=_______。标准答案：2e-2知识点解析：已知P{X=k}=(k=0，1，…)，由于P{X=1}=P{X=2}，即，解得λ=2，所以P{0＜X2＜3}=P{X=1}=2e-2。13、设X是服从参数为2的指数分布的随机变量，则随机变量Y=X-的概率密度函数fY(y)=_________。标准答案：知识点解析：X～E(2)，所以其概率密度函数为fX(x)=令Y=X-，所以FY(y)=P{Y≤y}=所以fY(y)=F’Y(y)=14、设随机变量X与Y均服从正态分布N(μ，σ2)，则P{max(X，Y)＞μ}-P{min(X，Y)＜μ}=_______。标准答案：0知识点解析：P{max(X，Y)＞μ}-P{min(X，Y)＜μ}=1-P{max(X，Y)≤μ}-[1-P{min(X，Y)≥μ}]=-P{max(X，Y)≤μ}+P{min(X，Y)≥μ}=-P{X≤μ，Y≤μ}+P{X≥μ，Y≥μ}=-P{X≤μ}+P{X≤μ，Y＞μ}+P{X＞μ，Y＞μ}=-P{X≤μ}+P{Y＞μ}。因为X与Y均服从正态分布N(μ，σ2)，所以P{X≤μ}=，故P{max(X，Y)＞μ}-P{min(X，Y)＜μ}=15、相互独立的随机变量X1和X2均服从正态分布，则D(｜X1-X2｜)=_______。标准答案：知识点解析：根据题意随机变量X1和X2相互独立，且服从正态分布，设Z=X1-X2，则Z～N(0，1)，其概率密度函数为D(｜X1-X2｜)=D(｜Z｜)=E(｜Z｜2)-E2(｜Z｜)=E(Z2)-E2｜Z｜=D(Z)+E2(Z)-E2｜Z｜，显然，D(Z)=1，E(Z)=0。16、设随机变量X概率分布为P{X=k}=(k=0，1，2…)，则E(X2)=______。标准答案：2知识点解析：由概率密度的性质即P{X=k}=，k=0，1，2，…，为参数为1的泊松分布，则有E(X)=1，D(X)=1，故E(X2)=D(X)+E2(X)=2。17、已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布N(μ，1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40cm，则μ的置信度为0．95的置信区间是_______。(Ф(1．96)=0．975，Ф(1．645)=0．95)标准答案：(39．51，40．49)知识点解析：根据题设，1-α=0．95，可见α=0．05。于是=1．96。本题n=16，=40，将其代入，即P{39．51＜μ＜40．49}=0．95，故μ的置信度为0．95的置信区间是(39．51，40．49)。三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)18、设P(A)＞0，P(B)＞0，将下列四个数：P(A)，P(AB)，P(A∪B)，P(A)+P(B)，按由小到大的顺序排列，用符号“≤”联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立。标准答案：A、AB、A∪B之间的所属关系为故有P(AB)≤P(A)≤P(A∪B)，根据概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，得P(A∪B)≤P(A)+P(B)，因此四个数由小到大排列为P(AB)≤P(A)≤P(A∪B)≤P(A)+P(B)。P(AB)=P(A)成立的条件是AB=A，即AB。P(A)=P(A∪B)成立的条件是A=A∪B，即BA。P(A∪B)=P(A)+P(B)成立的条件是P(AB)=0。知识点解析：暂无解析19、设有四个编号分别为1，2，3，4的盒子和三只球，现将每只球随机地放入四个盒子，记X为至少有一只球的盒子的最小号码。(Ⅰ)求X的分布律；(Ⅱ)若当X=k(k=1，2，3，4)时，随机变量Y在[0，k]上服从均匀分布，求P{Y≤2}。标准答案：(Ⅰ)随机变量X可能取值为1，2，3，4，设事件Ai(i=1，2，3，4)表示第i个盒子是空的，则P{X=4}=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2｜A1)P(A3｜A1A2)于是X的分布律为(Ⅱ)由于当X=k时．随机变量Y在[0，k]上服从均匀分布，故P{Y≤2｜X=1}=P{Y≤2｜X=2}=1，P{Y≤2｜X=3}=，P{Y≤2｜X=4}=由全概率公式即得知识点解析：暂无解析20、设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0＜p＜1)，且中途下车与否相互独立。Y为中途下车的人数，求：(Ⅰ)在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；(Ⅱ)二维随机变量(X，Y)的概率分布。标准答案：(Ⅰ)P{Y=m｜X=n}=，0≤m≤n，n=0，1，2，…。(Ⅱ)P{X=n，Y=m}=P{X=n}P{Y=m｜X=n}=，0≤m≤n，n=0，1，2，…。知识点解析：暂无解析21、设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，当X取到x(0＜x＜1)时，随机变量Y等可能地在(x，1)上取值。试求：(Ⅰ)(X，Y)的联合概率密度；(Ⅱ)关于Y的边缘概率密度函数；(Ⅲ)P{X+Y＞1}。标准答案：(Ⅰ)根据题设X在(0，1)上服从均匀分布，因此其概率密度函数为而变量Y，在X=x的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度(Ⅱ)根据求得的联合概率密度，不难求出关于Y的边缘概率密度(Ⅲ)如图3-3-4所示知识点解析：暂无解析22、假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=-1}=。求：(Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z)；(Ⅱ)V=｜X-Y｜的概率密度fV(v)。标准答案：(Ⅰ)根据题意P{Y=-1}=，P{Y=1}=，X～N(0，1)且X与Y相互独立，所以Z=XY的分布函数为FZ(z)=P{XY≤z}=P{Y=-1}P{XY≤z｜Y=-1}+P{Y=1}P{XY≤z｜Y=I}=P{Y=-1}P{-X≤z｜Y=-1}+P{Y=1}P{X≤z｜Y=1}=P{Y=-1}P{X≥-z}+P{Y=1}P{X≤z}即Z=XY服从标准正态分布，所以其概率密度为(Ⅱ)由于V=｜X-Y｜只取非负值，因此当v＜0时，其分布函数FV(v)=P{X-Y≤v}=0；当v≥0时，FV(v)=P{-v≤X-Y≤v}=P{Y=-1}P{-v≤X-Y≤v｜Y=-1}+P{Y=1}P{-v≤X-Y≤v｜Y=1}综上计算可得，由于FV(v)是连续函数，且除个别点外，导数都是存在的，所以V的概率密度为知识点解析：暂无解析23、将3个球随机地放入四个盒子中，以随机变量X表示有球的盒子数，求E(X)，D(X)。标准答案：X可能的取值是1，2，3，其中知识点解析：暂无解析24、设随机变量X的概率密度为对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求Y2的数学期望。标准答案：因为，根据题意，Y服从二项分布，则有E(Y2)=D(Y)+E2(Y)=npg+(np)2=知识点解析：暂无解析25、根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。标准答案：根据独立同分布中心极限定理，假设X表示电器元件的寿命，则X的概率密度为随机取出16只元件，其寿命分别用X1，X2，…，X16表示，且它们相互独立，同服从均值为100的指数分布，则16只元件的寿命的总和近似服从正态分布。设寿命总和为Y=，其中E(Xi)=100，D(Xi)=1002，由此得E(Y)==16×100=1600，D(Y)==16×1002，由独立同分布中心极限定理可知，Y近似服从正态分布N(1600，16×1002)，于是知识点解析：暂无解析26、设总体X～N(0，σ2)，参数σ＞0未知，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本(n＞1)，令估计量(Ⅰ)求的数学期望；(Ⅱ)求方差标准答案：(Ⅰ)因为X1，X2，…，Xn相互独立且与总体X同分布，所以(Ⅱ)根据抽样分布有关结论知再由χ2分布随机变量的方差公式有：Y～χ2(n)，则D(Y)=2n。所以知识点解析：暂无解析27、设总体X服从参数为p的几何分布，如果取得样本观测值为x1，x2，…，xn，求参数p的矩估计值与最大似然估计值。标准答案：因为总体X服从参数为p的几何分布，所以总体X的一阶原点矩为v1(x)=E(X)=用样本一阶原点矩的观测值作为v1(X)的估计值，则可得参数p的估计值为所以参数p的矩估计值为参数p的似然函数为两边同时取对数，并对参数p求导，令导函数取值为0，即解得p的最大似然估计值为知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第6套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设随机变量X取非负整数值，P{X=n}=an(n≥1)，且EX=1，则a的值为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：得到a=(1-a)2，a2-3a+1=0，，选(B)．2、设X1，X2，X3相互独立，且均服从参数为λ的泊松分布，令(X1+X2+X3)，则Y2的数学期望为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为X1，X2，X3相互独立且均服从P(λ)，所以X1+X2+X3～P(3λ)，E(X1+X2+X3)=D(X1+X2+x3)=3λ，3、设X为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数C和ε＞0，必有()A、P{｜X-C｜≥ε}=E(｜X-C｜)／εB、P{｜X-C｜≥ε}≥E(｜X-C｜)／εC、P{｜X-C｜≥ε}≤E(｜X-C｜)／εD、P{｜X-C｜≥ε}≤DX／ε2标准答案：C知识点解析：故选(C)．4、设随机向量(X，Y)的概率密度f(x，y)满足f(x，y)=f(-x，y)，且ρxy存在，则ρxy=()A、1B、0C、-1D、-1或1标准答案：B知识点解析：所以E(XY)=0．同理，EX=，所以ρXY=0．同理，当f(x，y)=f(x，-y)时，ρXY=0．5、设随机向量(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为X～N(1，1)，Y～N(2，4)，X与Y的相关系数为ρxy=且概率P{aX+bY≤1}=，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为(X，Y)服从二维正态分布aX+by服从一维正态分布，又EX=1，EY=2，则E(aX+bY)=a+2b，于是显然，只有1-(a+2b)=0时，P(aX+by≤1)=才成立，只有选项(D)满足此条件．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、已知离散型随