考研数学三（无穷级数）模拟试卷1（共272题）

考研数学三（无穷级数）模拟试卷1（共9套）（共272题）考研数学三（无穷级数）模拟试卷第1套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、下列结论中正确的是A、若数列{un}单调有界，则级数收敛．B、若级数C、若级数收敛，则数列{un}单调有界．D、若级数收敛，则级数部分和数列{Sn}单调有界．标准答案：B知识点解析：由级数收敛的概念知级数收敛就是其部分和数列{Sn}收敛．数列{un}单调有界只说明存在；由{Sn}单调有界必存在极限即可判定级数收敛，故选(B)．而由级数收敛，虽然可以确定数列{Sn}和{un}收敛，但{Sn}和{un}未必是单调的.2、现有命题其中真命题的序号是A、①与②．B、②与③．C、③与④．D、①与④．标准答案：B知识点解析：设un=(-1)n-1(n=1，2，3，…)，于是发散．可见命题①不正确．或把去掉括号后所得的级数．由级数的基本性质5：收敛级数加括号之后所得级数仍收敛，且收敛于原级数的和；但若加括号所得新级数发散时，则原级数必发散；而当加括号后所得新级数收敛时，则原级数的敛散性不能确定，即原级数未必收敛．故命题①不是真命题．设的部分和Tn=Sn+1000-S1000，(n=1，2，…)，从而收敛．设，由极限的保号性质可知，存在自然数N，使得当n＞N时成立，这表明当n＞N时un同号且后项与前项的比值大于1．无妨设uN+1＞0，于是有0＜uN+1＜uN+2＜…＜un＜…(n＞N)，从而有负项，可类似证明同样结论成立．可见命题②与③都是真命题．设un=1，vn=-1(n=1，2，3…)，于是都发散．可见命题④不是真命题．故应选(B)．3、若级数当x＞0时发散，而当x=0时收敛，则常数a=A、1．B、-1．C、2．D、-2标准答案：B知识点解析：本题是一个具体的幂级数，可直接求出该级数的收敛域，再根据题设条件确定a的取值．由知收敛半径为1，从而收敛区间为｜x-a｜＜1，即a-1＜x＜a+1．又当x-a=1即x=a+1时，原级数变为，收敛；当x-a=-1即x=a-1时，原级数变为，发散．因此，原级数的收敛域为a-1＜x≤a+1．于是，由题设x=0时级数收敛，x＞0时级数发散可知，x=0是收敛区间的一个端点，且位于收敛域内．因此只有a+1=0，从而a=-1．故选(B).4、设常数λ＞0且级数A、发散．B、条件收敛．C、绝对收敛．D、收敛性与A有关．标准答案：C知识点解析：利用不等式2｜ab｜≤a2+b2可得均收敛，所以原级数绝对收敛，即(C)正确．故选(C)．5、设un=，则级数A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：是交错级数，满足莱布尼茨判别法的两个条件，所以是收敛的．而发散．这就说明(C)正确．6、设a＞0为常数，则级数A、发散．B、条件收敛．C、绝对收敛．D、敛散性与a有关．标准答案：B知识点解析：用分解法．分解级数的一般项条件收敛．选(B)．7、设常数a＞2，则级数A、发散．B、条件收敛．C、绝对收敛．D、敛散性与a有关．标准答案：C知识点解析：由于设常数p满足1-p＜＜α-1，则有由正项级数比较判别法的极限形式知级数绝对收敛，即(C)正确．二、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)8、已知级数收敛，并求此级数的和．标准答案：由级数收敛则它的任何加括号级数也收敛的性质及知，级数收敛，其和数为2，且an→0．又由于，从而设的部分和为Sn，则Sn=a1+an+…+a2n-1+a2n=(a1+an)+…+(a2n-1+a2n)是，注意到S2n+1=S2n+a2n+1，因此收敛且其和为8．知识点解析：注意到的一个加括号级数，由题设知级数的奇数项构成的级数收敛，从而可以由级数的性质通过运算来判定收敛并求出其和．9、判定下列级数的敛散性：标准答案：(Ⅰ)当a＞1时，1+an＞an，因此当0＜a≤1时，1+an≤2，因此，由级数收敛的必要条件可知发散．(Ⅱ)注意到xlnn=elnnlnx=nlnx，这样原级数转化为p一级数．知识点解析：暂无解析10、判定下列正项级数的敛散性：标准答案：(Ⅰ)利用比值判别法．因，故原级数收敛．(Ⅱ)利用比较判别法的一般形式．由于发散，故原级数发散．(Ⅲ)利用比较判别法的极限形式．由于，而级数也发散．(Ⅳ)利用比较判别法的一般形式．由不等式ln(1+x)≤x(x＞0)可得(Ⅴ)利用比较判别法的极限形式．取，那么，由(Ⅵ)注意到当n→∞时，由洛必达法则可得知识点解析：暂无解析11、判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛：标准答案：(Ⅰ)由于收敛，所以此级数绝对收敛．(Ⅱ)由于当n充分大时有，所以此级数为交错级数，且此时还有知识点解析：暂无解析12、求下列幂级数的收敛域：标准答案：(Ⅰ)因(Ⅱ)由于的收敛半径R=+∞，即收敛域D为(-∞，+∞)．(Ⅲ)该幂级数缺偶次方项，即a2n=0，故不能用比值法来求其收敛半径．此时，可将x看成数，把原幂级数当作一个数项级数来处理．由于故当4｜x｜2＜1即｜x｜＜时级数绝对收敛；当4｜x｜2＞1即，｜x｜＞时通项不趋于0，级数发散，所以收敛半径R=，发散．故原幂级数的收敛域为知识点解析：暂无解析13、求及arctanx的麦克劳林级数．标准答案：利用公式，并以x2代替其中的x，则有由于arctanx在[-1，1]上连续，幂级数在[-1，1]上收敛，故当x=±1时上述展开式也成立．即arctanx=知识点解析：暂无解析14、求下列幂级数的和函数：标准答案：(Ⅰ)令S1(x)=，则易知S1(x)的收敛域为(-1，1)，且S(x)=xS1(x)．为求其和函数S(x)首先求S1(x)，在其收敛区间(-1，1)内进行逐项积分得(Ⅱ)容易求得幂级数的收敛域为[-1，1)．为求其和函数首先在收敛区间(-1，1)内进行逐项求导，得又因为S(0)=0，因此S(x)=S(x)-S(0)==-ln(1-x)(-1＜x＜1)．注意和函数S(x)与函数-ln(1-x)都在[-1，1)上连续，它们又在(-1，1)内恒等，于是由连续性可知S(x)=-ln(1-x)也在x=-1处成立，即S(x)=-ln(1-x)(-1≤x＜1)．知识点解析：暂无解析15、判别下列正项级数的敛散性：标准答案：利用比值判别法．(Ⅰ)由于，所以，当p＜e时，级数收敛；当p＞e时，该级数发散；当p=e时，比值判别法失效．注意到数列是单调递增趋于e的，所以当p=e时，，即{un}单调递增不是无穷小量，所以该级数也是发散的．从而，级数当p＜e时收敛，p≥e时发散．(Ⅱ)，因此，当β＜1时，原级数收敛，当β＞1时发散．若β=1，则原级数为，因此，当α＞1时收敛，α≤1时发散．知识点解析：暂无解析16、判别下列正项级数的敛散性：标准答案：(Ⅰ)利用比较判别法的极限形式，由于级数发散，而且当n→∞时所以原级数也发散．(Ⅱ)仍利用比较判别法的极限形式．先改写用泰勒公式确定的阶．由于(Ⅲ)注意到也收敛．知识点解析：暂无解析17、判别下列正项级数的敛散性：(Ⅰ)，其中{xn}是单调递增而且有界的正数数列．标准答案：(Ⅰ)直接利用定义来判别其收敛性．由可知=4e-1，所以原级数收敛，且其和为4e-1．(Ⅱ)首先因为{xn}是单调递增的有界正数数列，所以0≤1-现考察原级数的部分和数列{Sn}，由于又{xn}有界，即｜xn｜≤M(M＞0为常数)，故所以{Sn}也是有界的．由正项级数收敛的充要条件知原级数收敛．知识点解析：暂无解析18、考察级数，p为常数．(Ⅰ)证明：(n=2，3，4，…)；(Ⅱ)证明：级数当p＞2时收敛，当p≤2时发散．标准答案：(Ⅰ)将(Ⅱ)容易验证比值判别法对级数失效，因此需要用适当放大缩小法与比较原理来讨论它的敛散性．题(Ⅰ)已给出了{an}上下界的估计，由当p＞2时收敛，当p≤2时发散．知识点解析：暂无解析19、判别下列正项级数的敛散性：标准答案：(Ⅰ)当p≤0时，有≥(ln3)-p≥1(n≥3)成立，即级数的一般项不是无穷小量，故级数发散．当p＞0时，令发散，故级数发散．综合即知：无论常数p取何值，题设的级数总是发散的．(Ⅱ)因(lnn)lnn=elnn.ln(lnn)=nln(lnn)＞n2收敛，故级数收敛．(Ⅲ)当p＞1时，由于n≥3时有收敛，故级数收敛．当p＜1时，因发散，故级数发散．知识点解析：暂无解析20、讨论级数标准答案：当x∈[0，1]时，x(1-x)sin2nx≥0，从而un≥0．故为正项级数．又sin2nx≤x2n(x∈[0，1])，所以知识点解析：暂无解析21、判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛)标准答案：(Ⅰ)由于发散，所以原级数不是绝对收敛的．原级数是交错级数，易知的单调性，令f(x)=可知当x充分大时g(x)单调增加，从而f(x)单调增加．故当n充分大时单调减少．这说明级数满足莱布尼茨判别法的两个条件，所以该级数收敛，并且是条件收敛的．(Ⅱ)由于发散，这说明原级数不是绝对收敛的．由于sinx在第一象限是单调递增函数，而满足莱布尼茨判别法的两个条件，从而它是收敛的．结合前面的讨论，知其为条件收敛．知识点解析：暂无解析22、判别级数的敛散性．标准答案：注意级数的一般项满足知识点解析：设．对于交错级数首先要讨论它是否绝对收敛，为此采取比较判别法的极限形式，由于un满足可见级数不绝对收敛．又因级数的一般项的绝对值不是单调减少的，从而不能用莱布尼茨判别法来判别这个级数的条件收敛性，必须用其他方法来讨论它是否条件收敛．以下介绍两种方法．23、判断如下命题是否正确：设无穷小un～vn(n→∞)，若级数也收敛．证明你的判断．标准答案：对于正项级数，比较判别法的极限形式就是：若知识点解析：暂无解析24、求下列幂级数的收敛域：标准答案：(Ⅰ)有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式即(5．1)式计算收敛半径，首先计算所以R=1．再考察幂级数在两个端点x=±l处的敛散性．当x=1时，级数从而满足莱布尼茨判别法的两个条件，故该级数收敛．这样即得的收敛域为[-1，1)．(Ⅱ)由于，所以其收敛半径为2．又由于本题是关于x+1的幂级数，所以收敛区间的两个端点为x=-3与x=1．当x=-3时，原级数为是一个交错级数，而且容易看出它满足莱布尼茨判别法的两个条件，所以是收敛的．这表明幂级数的收敛域为(-3，1]．(Ⅲ)有相同的收敛半径R=3．因而其收敛区间为(-2，4)．(Ⅳ)考瘵，由题设t=-3时它收敛知收敛半径R≥3，又t=3时其发散知R≤3．因此R=3，由此可知的收敛域是[-3，3)，故原级数的收敛域是[0，6)．知识点解析：暂无解析25、求下列幂级数的收敛域及其和函数：标准答案：(Ⅰ)由于均发散，所以其收敛域为(-1，1)．为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数．设当x=0时，上面的运算不能进行，然而从原级数可直接得出S(0)=a0=1．综合得幂级数容易看出．这就说明S(x)在x=0处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质．(Ⅱ)利用同样的方法容易求得级数的收敛域为(-1，1)．知识点解析：暂无解析26、将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间：(I)ln(1+x+x2)；(Ⅱ)标准答案：(Ⅰ)由于ln(1+x+x2)==ln(1-x3)-ln(1-x)，利用公式(5．11)，并分别以(-x3)与(-x)代替其中的x，就有(Ⅱ)由于，利用公式(5．13)，并以x2代替其中的x，就有注意函数在点x=-1处也收敛，从而上式在端点x=-1处也成立，即知识点解析：暂无解析27、将下列函数在指定点处展开为泰勒级数：(Ⅰ)，在x=1处；(Ⅱ)ln(2x2+x-3)，在x=3处．标准答案：(Ⅰ)(Ⅱ)由于ln(2x2+x-3)=ln(2x+3)(x-1)=ln(2x+3)+ln(x-1)，对于右端两项应用公式(5．11)，得知识点解析：使用间接法在指定点x0处作泰勒展开，就要用x-x0，或者x-x0的倍数与方幂等代替原来的x．28、将f(x)=展开为x的幂级数，并求f(n)(0)，其中n=1，2，3，…．标准答案：于是xn的系数，由此可知当n≥2时有此外还有f’(0)=0．知识点解析：暂无解析29、将下列函数展开成x的幂级数：标准答案：(Ⅰ)由于(Ⅲ)被积函数的幂级数展开式为逐项积分即得知识点解析：在后两个小题中除了作幂级数展开之外还涉及分析运算：一个含有求导，一个含有积分其实在第(Ⅰ)小题中由于分母含有(1-x)2，也要借助于求导．像这样的题目，到底是应该先展开后做分析运算，还是应该先做分析运算后展开呢?一般来说应该先展开，因为对展开式的分析运算就是逐项求导、逐项积分，比较简便．而且某些题目也必须先展开，第(Ⅲ)小题就是如此．30、将函数f(x)=展开成x的幂级数，并求其收敛域．标准答案：f’(x)=arctanx，f’’(x)=，将f’’(x)展开，有从而当｜x｜＜1时有f’(x)=当x=±1时，右边级数收敛，又f(x)连续，所以收敛域为-1≤x≤1．知识点解析：暂无解析考研数学三（无穷级数）模拟试卷第2套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设级数发散(an＞0)，令Sn=a1+a2+…+an，则()．A、发散B、收敛于C、收敛于0D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：因为正项级数发散，所以=+∞，令S’n=因为，所以选(B)．2、设收敛，则下列正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：(A)不对，如收敛，但发散；(B)不对，如收敛，也收敛；(C)不对，如收敛，但发散，选(D)．3、设an＞0(n=1，2，…)且收敛，又0＜k＜，则级数()．A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性与k有关标准答案：A知识点解析：令un=(一1)n因为|un|=a2n～ka2n，而an收敛，所以ka2n收敛，于是un绝对收敛，选(A)．4、下列结论正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：(A)正确，因为0≤(un±υn)2≤2(un2+υn2)，而收敛，所以由正项级数的比较审敛法得(un±υn)2收敛；(B)不对，如un=unυn=un收敛，而显然un≤υn(n=1，2，…)且发散．5、设a为任意常数，则级数()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性与常数a有关标准答案：B知识点解析：因为单调减少且以零为极限，所以发散，所以条件收敛，选(B)．6、设k＞0，且级数收敛，则级数()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性与k的取值有关标准答案：C知识点解析：因为都收敛，所以绝对收敛，正确答案为(C)．7、设an(x一1)n在x=一1处收敛，则此级数在x=2处()．A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：因为an(x一1)n在x=一1处收敛，即an(一2)n收敛，所以antn的收敛半径R≥2，故当x=2时，|2一1|＜R，所以级数n(x一1)n在x=2处绝对收敛，选(B)．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)8、级数的收敛域为________，和函数为________．标准答案：(一2≤x＜2)．知识点解析：由得收敛半径为R=2，当x=一2时级数收敛，当x=2时级数发散，故级数的收敛域为[一2，2)，令S(x)=则S(x)=(一2≤x＜2)．9、级数在一1＜x＜1内的和函数为________．．标准答案：xln(1一x2)+x3一x3ln(1一x2)(一1＜x＜1)．知识点解析：而=一ln(1一x2)(一1＜x＜1)，一x2=一ln(1一x2)一x2(一1＜x＜1)，所以=xln(1一x2)+x3一x3ln(1一x2)(一1＜x＜1)．10、=________．标准答案：2．知识点解析：三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)11、设f(x)=S0=∫02f(x)e一xdx，S1=∫24f(x一2)e一xdx，…，Sn=∫2n2n+2+2f(x一2n)e一xdx，求标准答案：S0=∫02f(x)e一xdx=∫01xe一xdx+∫12(2一x)e一xdx=令t=x一2，则S1=e一2∫02f(t)e一tdt=e一2S0，令t=x一2n，则Sn=e一2n∫02f(t)e一tdt=e一2nnS0，知识点解析：暂无解析12、判断级数的敛散性．标准答案：因为是正项级数，又收敛，根据比较审敛法的极限形式，级数收敛．知识点解析：暂无解析13、判断级数的敛散性．标准答案：因为发散，由比较审敛法的极限形式得级数发散．知识点解析：暂无解析14、判断级数的敛散性．标准答案：因为所以级数收敛．知识点解析：暂无解析15、判断级数的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？标准答案：知识点解析：暂无解析16、设为发散的正项级数，令Sn=a1+a2+…+an(n=1，2，…)．证明：收敛．标准答案：显然{Sn}n=1∞，单调增加，因为级数an发散，所以Sn=+∞．对交错级数单调减少，且收敛．知识点解析：暂无解析17、判断级数的敛散性，若级数收敛，判断其是绝对收敛还是条件收敛．标准答案：级数是交错级数，知识点解析：暂无解析设为两个正项级数．证明：18、若收敛；标准答案：取ε0=1，由=0，根据极限的定义，存在N＞0，当n＞N时，＜1，即0≤an＜bn，由收敛得收敛(收敛级数去掉有限项不改变敛散性)，由比较审敛法得收敛，从而an收敛(收敛级数添加有限项不改变敛散性)．知识点解析：暂无解析19、若发散．标准答案：根据(1)，当n＞N时，有0≤an＜bn，因为发散，所以发散，由比较审敛法，发散，进一步得bn发散．知识点解析：暂无解析20、求幂级数的收敛域．标准答案：令x一1=t，显然级数的收敛半径为R=1，又当t=±1时，由绝对收敛，所以级数的收敛区间为[一1，1]，故原级数的收敛域为[0，2]．知识点解析：暂无解析21、求幂级数的和函数．标准答案：由得收敛半径为R=4，当x=±4时，因为(±4)n一1→∞(n→∞)，所以幂级数的收敛域为(一4，4)．知识点解析：暂无解析22、求幂级数的和函数．标准答案：幂级数的收敛半径为R=+∞，收敛区间为(一∞，+∞)．知识点解析：暂无解析23、求幂级数的收敛域，并求其和函数．标准答案：则收敛半径为R=2，知识点解析：暂无解析24、验证y=x+满足微分方程(1一x)y’+y=1+x．标准答案：显然级数y=x+的收敛域为[一1，1]．即级数满足微分方程(1一x)y’+y=1+x(一1≤x≤1)．知识点解析：暂无解析25、将f(x)=展开成x一2的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学三（无穷级数）模拟试卷第3套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、当｜x｜＜1时，级数的和函数是()A、ln(1－x)B、C、ln(x－1)D、－ln(x／－1)标准答案：B知识点解析：设S(x)=(｜x｜＜1)，则S(0)=0．因．故S(x)=∫0xSˊ(x)dx+S(0)=∫0xdx+0=－ln(1－x)=1n．2、设un=(－1)nln(1+)，则级数()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：为交错级数，为正项级数．因｜un｜==｜un+1｜，且=0，则由莱布尼茨定理，收敛．因发散．3、函数项级的收敛域为()A、(－1，1)B、(－1，0)C、[－1，0]D、[－1，0)标准答案：D知识点解析：因．令y=x+，原级数为，而ρ==2，故R=．又因y=发散．而y=时，收敛，从而的收敛域为．又因y=x+，所以[－1，0)为原级数的收敛域．4、函数f(x)=展开为(x－1)的幂级数，则其收敛半径R等于()A、B、2C、4D、1标准答案：B知识点解析：因(1+x)m=1+mx+…+xn+…，其中－1＜x＜1，故－1＜＜1，有－2＜x－1＜2，所以R=2．5、已知级数(1)，则()A、级数(1)收敛，级数(2)发散B、级数(1)发散，级数(2)收敛C、两级数都收敛D、两级数都发散标准答案：D知识点解析：设un=1－，则{u2n}为单调增数列，故≠0，从而级数(1)发散，由级数发散的定义可知，级数(2)一般项极限不为零，故发散．6、当级数都收敛时，级数()A、一定条件收敛B、一定绝对收敛C、一定发散D、可能收敛，也可能发散标准答案：B知识点解析：因级数都为正项级数，且收敛，又｜anbn｜=由比较审敛法，｜anbn｜收敛，即anbn绝对收敛．7、级数(a为常数)()A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性与a有关标准答案：D知识点解析：当a=0时，为交错级数，当n＞3时满足莱布尼茨定理，所以收敛．当a=1时，不趋于零，发散，所以，敛散性与a有关．8、若正项级数收敛，级数发散，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：级数=0=>存在N，当n＞N时，an2≤an，由比较审敛法，an2必收敛．9、设数列｛an｝单调减少，(n=1，2，…)无界，则幂级数an(x－1)n的收敛域为()A、(－1，1]B、[－1，1)C、[0，2)D、(0，2]标准答案：C知识点解析：本题主要考查交错级数的莱布尼茨判别法和幂级数的收敛区间、收敛域的概念，是一道综合了多个知识点的考题．因数列｛an｝单调减少，且=0，故根据莱布尼茨判别法知，交错级数(－1)nan收敛，即幂级数an(x－1)n在x=0处条件收敛；又Sn=ak(n=1，2，…)无界，所以幂级数an(x－1)n在x=2处发散；综上，幂级数an(x－1)n的收敛域为[0，2)，故答案应选(C)．10、设un≠0(n=1，2，…)，且()A、发散B、绝对收敛C、条件收敛D、敛散性由所给条件无法确定标准答案：C知识点解析：由=0．所考查级数为交错级数，但不能保证的单调性，不满足莱布尼茨定理的条件，于是按定义考查部分和故原级数收敛．再考查取绝对值后的级数发散，所以发散．二、解答题(本题共31题，每题1.0分，共31分。)11、求(a为常数，0＜｜a｜＜e)．标准答案：利用级数的收敛，求数列极限或证明数列收敛．若收敛，则=0．对于级数，由知识点解析：暂无解析12、求标准答案：由为正项级数，设un=，由知识点解析：暂无解析13、判别下列级数的敛性(k＞1，a＞1)：标准答案：(1)因为＜1，所以该级数收敛．(2)因为=0＜1，所以该级数收敛．(3)因为＜1，所以该级数收敛．知识点解析：暂无解析14、判别级数的敛散性．标准答案：易知当n充分大时，单调递减且此数列收敛于0，由莱布尼茨判别法知，级数收敛．知识点解析：暂无解析15、判别级数的敛散性．标准答案：0≤un=，故原级数收敛．知识点解析：暂无解析16、判别级数的敛散性．标准答案：由泰勒公式，由于，表明级数发散；而级数(条件)收敛，故原级数发散．知识点解析：暂无解析17、判别级数的敛散性．标准答案：un=设f(x)=＜0，f(x)单调减少，因此级数满足莱布尼茨判别法条件，是条件收敛的．但级数发散．因为收敛级数与发散级数的代数和是发散级数，故原级数发散．知识点解析：暂无解析18、已知fn(x)满足fˊn(x)=fn(x)+xn－1ex(n为正整数)，且fn(1)=，求函数项级数之和．标准答案：由题设条件知，函数fn(x)满足一阶线性非齐次微分方程fˊn(x)－fn(x)=xn－1ex，其通解为fn(x)=ex(+C)．由条件fn(1)=得C=0，所以，fn(x)=ex，于是记S(x)=，容易求出其收敛域为[－1，1)，且S(0)=0，当x∈(－1，1)时，求导得Sˊ(x)=于是得S(x)=S(0)+∫0xSˊ(t)dt=∫0xdt=－ln(1－x)．由S(x)=－ln(1－x)在x=－1点的连续性知，上述和函数在x=－1点也成立．于是，当－1≤x＜1时，有fn(x)=exS(x)=－exln(1－x)．知识点解析：暂无解析19、设有两条抛物线y=nx2+和y=(n+1)x2+，记它们交点的横坐标的绝对值为an．求：(1)这两条抛物线所围成的平面图形的面积Sn．(2)级数的和．标准答案：(1)解方程nx2+=(n+1)x2+，得两条抛物线交点的横坐标的绝对值为an=．根据对称性可得(2)因为，n=1，2，…，所以知识点解析：暂无解析20、将函数f(x)=展开成x的幂级数，并指出其收敛区间．标准答案：f(x)=由已知展开式知知识点解析：暂无解析21、求幂级数的收敛域与和函数，并求的和．标准答案：=｜x｜3，当｜x｜＜1时，幂级数收敛；当｜x｜＞1时，幂级数发散；当x=1时，级数为，收敛；当x=－1时，级数为，发散．所以，幂级数的收敛域为(－1，1]．记S(x)=，φ(x)=xS(x)=，一1＜x≤1，则φ(0)=0，S(0)=1，且φˊ(x)=，－1＜x＜1．因为于是令x=1，得知识点解析：暂无解析22、设an=∫0nπx｜sinx｜dx，n=1，2，…，试求的值．标准答案：令x=nπ－t，则an=－∫nπ0(nπ－t)｜sint｜dt=nπ∫0nπ｜sinx｜dx－∫0nπ｜sinx｜dx，所以an=∫0nπ｜sinx｜dx=∫0πsinxdx=n2π，n=1，2，…．记S(x)=∑，n2xn，－1＜x＜1，因为，－1＜x＜1，逐项求导，得，－1＜x＜1．整理得，－1＜x＜1．再次逐项求导，得，－1＜x＜1．整理得，－1＜x＜1．从而知识点解析：暂无解析23、求级数的和函数．标准答案：又y(0)=1，yˊ(0)=0．于是得到如下微分方程：特征方程为r2－1=0，r=±1，得通解：y=C1ex+C2e－x．求导，得yˊ=C1ex－C2e－x．将初值条件代入，解得C1=C2=．故(ex+e－x)，｜x｜＜+∞．知识点解析：暂无解析24、求幂级数的和函数S(x)．标准答案：因为=0，所以该幂级数的收敛域为(－∞，+∞)．由S(x)=逐项求导4次，依次得整理得S(4)(x)－S(x)=0．解此四阶常系数齐次线性微分方程得S(x)=C1ex+C2e－x+C3cosx+C4sinx．代入初值条件S(0)=1，Sˊ(0)=Sˊˊ(0)=Sˊˊˊ(0)=0，得C1=C2=，C3=，C4=0．所以S(x)=知识点解析：暂无解析25、判断下列正项级数的敛散性：标准答案：(1)显然，0＜收敛，由比较审敛法得收敛．(2)因收敛，则由比较审敛法得收敛．(3)因又因发散，则由比较审敛法得发散．知识点解析：暂无解析26、设都是正项级数．试证：标准答案：(1)un收敛，且有收敛．(2)un单调减少=>un+1≤un=>un+12≤unun+1=>un+1≤收敛．(3)(4)知识点解析：暂无解析27、证明：级数条件收敛．标准答案：是交错级数，但不满足莱布尼茨判别法的(2)，故莱布尼茨判别法失效．因为｜u｜=，所以由正项级数的比较审敛法知，发散，又因为S2n=由于上式每个括号都小于0，所以｛S2n｝单调递减，再由S2n＞知｛S2n｝单调递减有下界，故｛S2n｝收敛，记=S，易知=0，则=S+0=S．所以，原级数的部分和数列｛Sn｝收敛，从而级数收敛，所以，原级数条件收敛．知识点解析：暂无解析28、设u1=2，un+1=(n=1，2，…)．证明：级数收敛．标准答案：由算术平均值不小于其几何平均值得un+1==1，即数列{un}有下界1，由此又得un+1－un=(1－un2)≤0，即{un}单调减少，则根据单调有界准则知极必存在，由{un}单调减少知所考虑的级数为正项级数，且有0≤≤un－un+1．因Sn=(uk－uk+1)=u1－un，存在，故极限存在，则由级数敛散性的定义知级数收敛．于是，由比较审敛法得原正项级数收敛．知识点解析：暂无解析29、试判断级数的敛散性．标准答案：由于该级数的通项un=，且当n≥2时有0＜，因此sin＞0，则题给的级数是交错级数，它可以改写为因｜un｜=，且当n≥2时发散，由比较审敛法知发散，又因=1，则由极限形式的比较审敛法知发散，即题给的级数不是绝对收敛．显然，数列｛｜un｜｝满足=0，设函数f(x)=sin，则在x≥2时，fˊ(x)=＜0，故f(x)在[2，+∞)内单调减少，从而数列｛｜un｜｝单调减少，于是，题给的级数满足莱布尼茨定理的条件，故它是收敛的，且是条件收敛．知识点解析：暂无解析30、设是正项级数，并设=b．(1)求证：若b＞1，则收敛；若b＜1，则发散；(2)当b=1时，试举出可能收敛也可能发散的例子．标准答案：(1)设b＞1，任取ε＞0，使得b－e＞1，因为N，当n≥N时，因b－ε＞1，所以收敛，由正项级数的比较审敛法知收敛．又假设b＜1，任取ε＞0，使得b+ε＜1，因为N，当n≥N时，因b+ε＜1，所以发散，由正项级数的比较审敛法知发散．(2)级数发散，这时b==1；级数根据积分审敛法易知其收敛，这时令x=lnn，n→+∞=>x→+∞，则有所以有b==1．知识点解析：暂无解析31、根据阿贝尔定理，已知(x－x0)n在某点x1(x1≠x0)的敛散性，证明该幂级数的收敛半径可分为以下三种情况：(1)若在x1处收敛，则收敛半径R≥｜x1－x0｜；(2)若在x1处发散，则收敛半径R≤｜x1－x0｜；(3)若在x1处条件收敛，则收敛半径R=｜x1－x0｜．标准答案：根据阿贝尔定理，(1)(2)是显然的．对于(3)，因幂级数an(x－x0)n在点x1处收敛，则R≥｜x1－x0｜；另一方面，因幂级数an(x－x0)n在点x1处条件收敛，则R≤｜x1－x0｜．因若不然，则该点是绝对收敛，而不是条件收敛，这与题设矛盾．于是，综合上述两方面得该幂级数的收敛半径R=｜x1－x0｜．知识点解析：暂无解析32、设幂级数在x=0处收敛，在x=2b处发散，求幂级数的收敛半径R与收敛域，并分别求幂级数的收敛半径．标准答案：令t=x－b，收敛中心x0=b的幂级数an(x－b)n化为收敛中心t0=0的幂级数antn．根据阿贝尔定理可以得到如下结论：因为an(x－b)n在x=0处收敛，所以antn在t=－b处收敛，从而当｜t｜＜｜－b｜=｜b｜时，幂级数antn绝对收敛．由于an(x－b)n在x=2b处发散，故antn在t=b处发散，进而当｜t｜＞｜b｜时，幂级数antn发散．由上述两方面，根据幂级数收敛半径的定义即知anxn的收敛半径R=｜b｜，其收敛域为－｜b｜≤x＜｜b｜．注意到幂级数分别经逐项求导和逐项积分所得，根据幂级数逐项求导、逐项积分所得幂级数的收敛半径不变的性质，即知它们的收敛半径都是R=｜b｜．知识点解析：暂无解析33、将y=sinx展开为(x－)的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析34、将f(x)=展开为(x+1)的幂级数．标准答案：如果此题这样做：f(x)=是行不通的．改用“先积后导”的方法：知识点解析：暂无解析35、设f(x)=(1)将f(x)展开为x的幂级数；(2)分别判断级数的敛散性．标准答案：(1)把f(x)作初等变换，并利用几何级数，｜x｜＜1，则f(x)展开为x的幂级数(2)根据幂级数展开式的唯一性得f(x)在x0=0处的高阶导数则所考虑的都为正项级数．取vn=收敛．因故由极限形式的比较审敛法得收敛．注意到发散．知识点解析：暂无解析36、设an=，n=1，2…．证明：级数收敛，并求其和．标准答案：因为收敛，故收敛．为求的和，作S(x)=，x∈[－1，1)，从而，知识点解析：暂无解析37、(1)证明(2)求标准答案：(1)(2)由于由待定系数法得，，则知识点解析：暂无解析38、求级数标准答案：本题考查无穷级数的求和，涉及逐项积分和逐项求导的恒等变形，是常规考题．本题要求给出幂级数，其收敛区间为(－∞，+∞)，并记其和函数逐项积分得所以两边求导得S(x)=，故知识点解析：暂无解析39、(1)求函数项级数e－x－2x－nxln2ln3S(x)dx．标准答案：(1)该函数项级数的通项un(x)=ne－ux，un+1(x)=(n+1)e－(n+1)x，故，当＜1，即x＞0时，un(x)收敛；当x＜0时，un(x)发散；当x=0时，该级数成为1+2+…+n+…，显然是发散的，所以该级数当x＞0时收敛于S(x)．(2)S(x)=e－x+2e－2x+…+ne－nx…t+2t2+…+ntn+…=t(1+2t+…+ntn－1+…)=t(t+t2+…+tn+…)ˊ=]，x＞0．于是知识点解析：暂无解析40、设数列｛an｝满足a1=a2=1，且an+1=an+an－1，n=2，3，…．证明：在｜x｜＜时幂级数收敛，并求其和函数与系数an．标准答案：(1)显然，｛an｝是正项严格单调增加数列，且有a3=2，a4=a2+a3＜2a3=22，假设an＜2n－2，则有an+1=an+an－1＜2an＜2n－1，故由归纳法得ann－2．于是，所考虑的级数的通项有｜anxn－1｜＜(2x)n－1．因级数(2x)n－1在｜2x｜＜1时收敛，故由比较审敛法知，级数anxn－1在｜2x｜＜1，即｜x｜＜时绝对收敛．(2)原幂级数化为移项后得原幂级数的和函数为(3)将展开为x的幂级数，有而又是幂级数的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，经比较系数得原幂级数的系数，知识点解析：暂无解析41、设(1)求y(0)，yˊ(0)，并证明：(1－x2)yˊˊ－xyˊ=4；(2)求的和函数及级数的值．标准答案：(1)由y(x)=(2x)2n，得y(0)=0；又yˊ(x)=，于是yˊ(0)=0，yˊˊ(x)=以下证明微分方程成立：(2)下面求解微分方程(1－x2)yˊˊ－xyˊ=4．首先，应该可以想到本题用“二阶可降阶”的方法，令yˊ=p，考生可以自练．但是本题更好的做法如下：微分方程两边同乘以(想想看这个是怎么推导出来的)，则有于是有=4arcsinx+C．根据yˊ(0)=0=>C=0，即两边再积分，得=2arcsin2x+C，故y(x)=2arcsin2x+C．知识点解析：暂无解析考研数学三（无穷级数）模拟试卷第4套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、若an(x－1)n在x=－1处收敛，则在x=2处是()A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：由an(x－1)n在x=－1处收敛，则收敛半径R≥｜－1－1｜=2．而x=2，即｜2－1｜=1＜R，所以x=2在收敛区间内，即原级数在x=2处绝对收敛，故应选(B)．2、已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：设un=(－1)nn，则当n→∞时，｜un｜～的敛散性相同，故α－．而由条件收敛可知0＜3－α≤1，即2≤α＜3．若使两个结论都成立，只有＜α＜3，故选(D)．3、设an=(n=1，2，3，…)，则级数()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为an=cosnπ，所以级数是满足莱布尼茨条件的交错级数，因此收敛，因为an2=ln2(1+)在n→∞时与是等价无穷小，且调和级数发散，所以发散，故选(C)．4、下列命题中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为wn＜un＜vn，所以0＜un－wn＜vn－wn．又因为收敛，所以(un－wn)收敛，因而(un－wn)收敛．故收敛．因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B)，(C)将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对．例如取级数可以说明(B)不对，取级数就可以说明(C)不对．选(D)．5、下列命题中错误的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由级数收敛的性质知命题(A)正确．由反证法可知命题(B)正确．若设，这两个级数都发散，但是=0收敛，可知命题(C)正确，但命题(D)错误．6、对于级数，其中un＞0(n=1，2，…)，则下列命题正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因｜(－1)n－1un｜=｜un｜=un，由un收敛知(－1)n－1un绝对收敛，命题(B)正确．(A)错误：如；(C)，(D)错误：如7、下列结论正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由幂级数anxn在收敛域(－R，R)上的和函数性质可知，命题(C)正确．(A)错误：如，收敛域为(－1，1]，但在x=1处，条件收敛．(B)错误：因为可能R=0或R=+∞．(D)错误：由幂级数的定义可知不是幂级数．8、设0≤un≤，则下列级数中一定收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因0≤un≤，有un2≤收敛，由正项级数的比较审敛法知收敛，故绝对收敛．从而收敛，故选(D)．(A)，(C)错：如．(B)错：如9、设a＞0为常数，则()A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性与a有关标准答案：A知识点解析：因0＜1－收敛，因此绝对收敛．10、级数()A、收敛B、发散C、条件收敛D、绝对收敛标准答案：C知识点解析：设un=(－1)n－1ln(1+)．对于发散，故由比较审敛法的极限形式可知｜un｜发散．而为交错级数．因｜un+1｜==｜un｜(或因当x＞0时，＜0)，因此｛｜un｜｝即｛ln(1+)｝是单调递减数列，且极限显然为0．由莱布尼茨定理知，收敛且为条件收敛．二、填空题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)11、设a为正常数，则的敛散性为_________．标准答案：发散知识点解析：因绝对收敛，所以原级数发散．12、设a为常数，若级数=_________．标准答案：a知识点解析：因级数(un－a)收敛，所以(un－a)=0，从而=a．13、级数的和为_________．标准答案：知识点解析：因级数为等比级数，其公比q满足｜q｜==1．故收敛且和为14、级数的收敛域是_________．标准答案：(－1，1]知识点解析：因为不缺项的x的幂级数，又因ρ==1，故R=1．在x=1处，收敛；在x=－1处，发散．故的收敛域为(－1，1]．15、函数f(x)=展开成的(x－1)的幂级数为_________．标准答案：(－1)n(x－1)n，0＜x＜2知识点解析：因(－1)n.xn，－1＜x＜1．故(－1)n(x－1)n，－1＜x－1＜1，即0＜x＜2．16、常数项级数的敛散性为_________．标准答案：发散知识点解析：将已给级数每相邻二项加括号得新级数因发散，由于加括号后级数发散，故原级数必发散．17、幂级数在收敛区间(－a，a)内的和函数S(x)为_________．标准答案：知识点解析：记S(x)=，x∈(－a，a)．因，故S(x)=18、函数f(x)=ln(3+x)展开为x的幂级数为_________．标准答案：ln3+，－3＜x≤3知识点解析：f(x)=ln(3+x)=ln[3(1+)]=ln3+1n(1+)．因ln(1+x)=xn+1(－1＜x≤1)，故f(x)=ln3+ln(1+)=ln3+－1＜≤1，即－3＜x≤3．19、幂级数的收敛域为_________．标准答案：[1，3)知识点解析：令y=x－2，则为不缺项级数，an==1，故R=1．当y=1时，发散(p级数，p=＜1)，当y=－1时，为收敛的交错级数．因此的收敛域为[－1，1)．可知－1≤x－2＜1，即1≤x＜3时，原级数(x－2)n收敛．20、设的敛散性为_________．标准答案：发散知识点解析：由收敛，知=0，故=∞(≠0)，从而发散．21、正项级数收敛的充分必要条件为其部分和数列｛Sn｝_________．标准答案：有界(或有上界)知识点解析：级数收敛等价于｛Sn｝收敛．对于正项级数，｛Sn｝为单调递增数列．由数列极限存在准则与数列收敛的必要条件可知，单调递增数列｛Sn｝收敛等价于｛Sn｝有界(或有上界)．22、幂级数的收敛域为_________．标准答案：[－1，1]知识点解析：为缺项级数，不能通过求R，可用比值审敛法求收敛半径尺．具体为：=x2．当｜x2｜＜1，即｜x｜＜1时，级数绝对收敛；当｜x2｜＞1，即｜x｜＞1时，级数发散，故R=1．当x=1时，原级数收敛；当x=－1时，原级数收敛，从而收敛区间为[－1，1]．23、ex展开成(x－3)的幂级数为_________．标准答案：e3(其中－∞＜x＜+∞)知识点解析：ex=e3+(x－3)=e3.ex－3，因ex=+…(－∞＜x＜+∞)．从而ex=e3.ex－3=e3(x－3)n(－∞＜x－3＜+∞即－∞＜x＜+∞)．24、级数，当________时绝对收敛；当_________时条件收敛；当_________时发散．标准答案：p＞1；0＜p≤1；p≤0知识点解析：设un=(－1)n－1当p＞1时，绝对收敛；当0＜p≤1时，为交错级数且｜un｜==un+1，=0．故由莱布尼茨定理收敛且为条件收敛；当p≤0时，≠0，则级数发散．25、若在x=－3处为条件收敛，则其收敛半径R=_________．标准答案：3知识点解析：因anxn在x=－3收敛，故由阿贝尔定理，｜x｜＜3时，anxn绝对收敛．又因anxn在x=－3条件收敛，故｜x｜＞3时，anxn发散．如若不然，必存在x1，使｜x1｜＞3且有在x=x1处anxn收敛．由阿贝尔定理便可推出｜x｜＜｜x1｜时，特别是x=－3时anxn绝对收敛．这与题设在x=－3处条件收敛相矛盾．综上，由收敛半径的定义便有R=3．26、函数f(x)=cosx展开成(x+)的幂级数为_________．标准答案：，－∞＜x＜+∞知识点解析：f(x)=cosx=因cosx=，－∞＜x＜+∞，sinx=，－∞＜x＜+∞．有f(x)27、幂级数在收敛域(－1，1)内的和函数S(x)为_________．标准答案：知识点解析：设S(x)=(－1)n－1nxn－1，x∈(－1，1)．因，故s(x)=[∫0xS(x)dx)]ˊ=考研数学三（无穷级数）模拟试卷第5套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、设则下列级数中肯定收敛的是A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：2、设常数λ＞0，而级数收敛，则级数A、发散．B、条件收敛．C、绝对收敛．D、收敛性与λ有关．标准答案：C知识点解析：3、下述各选项正确的是A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：4、设幂级数的收敛半径分别为的收敛半径为A、5．B、C、D、标准答案：A知识点解析：所以，应选A．5、设则下列命题正确的是A、若都收敛．B、若绝对收敛，则都收敛．C、若条件收敛，则的敛散性都不定．D、若绝对收敛，则的敛散性都不定．标准答案：B知识点解析：都收敛，故应选B．6、设有以下命题：则以上命题中正确的是A、①②B、②③C、③④D、①④标准答案：B知识点解析：7、设收敛，则下列结论正确的是A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：8、若级数收敛，则级数A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：9、设{un}是数列，则下列命题正确的是A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：根据级数的性质，收敛级数加括号仍收敛，故应选A．10、已知级数条件收敛，则A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：11、设{an}为正项数列，下列选项正确的是A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：若存在常数p＞1，使由于an＞0，且收敛，故应选D．12、下列级数中发散的是A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：由交错级数的莱布尼兹准则知，级数发散，故级数发散，选C．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)13、幂级数的收敛域是___________.标准答案：[一1，1)．知识点解析：该幂级数的收敛半径为14、级数的收敛域为_______．标准答案：(0，4)．知识点解析：15、级数的和为_________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)16、若级数均发散，则级数必发散．标准答案：“非”．知识点解析：17、将函数展成x的幂级数，并指出其收敛区间．标准答案：知识点解析：暂无解析18、讨论级数的敛散性．标准答案：则原级数收敛．知识点解析：暂无解析19、设级数均收敛，求证，绝对收敛．标准答案：由不等式2ab≤a2+b2可知，应考虑级数知识点解析：20、已知函数试计算下列各题：(1)(2)(3)(4)标准答案：知识点解析：暂无解析21、将函数y=ln(1一x一2x2)展成x的幂级数，并指出其收敛区间．标准答案：其收敛域为(一1，1]：知识点解析：暂无解析22、从点P1(1，0)作x轴的垂线，交抛物线y=x2于点Q1(1，1)；再从Q1作这条抛物线的切线与x轴交于P2．然后又从P2作x轴的垂线，交抛物线于Q2，依次重复上述过程得到一系列的点P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn；…undefinedundefined标准答案：(1)由y=x2得，y’=2x，对于任意a(0＜a≤1)，抛物线y=x2在点(a,a2)处的切线方程为y一a2=2a(x一a)且该切线与x轴的交点为可见(2)由于可见知识点解析：暂无解析23、设有两条抛物线记它们交点的横坐标的绝对值为an(1)求两条抛物线所围成的平面图形的面积Sn；(2)求级数的和标准答案：知识点解析：暂无解析24、标准答案：4知识点解析：解则25、设标准答案：知识点解析：暂无解析26、已知fn(x)满足fn’(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)，且求函数项级数之和．标准答案：由原题可知fn’(x)一fn(x)=xn-1ex由一阶线性方程通解公式可知知识点解析：暂无解析27、求幂级数的和函数f(x)及其极值．标准答案：令f’(x)=0，得x=0，显然经过x=0点时f’(x)由正变负，则f(x)在x=0处取极大值．知识点解析：暂无解析28、设级数的和函数为S(x)．求：(I)S(x)所满足的一阶微分方程；(Ⅱ)S(x)的表达式．标准答案：知识点解析：暂无解析29、求幂级数在区间(一1，1)内的和函数S(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析30、求幂级数的收敛域及和函数s(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析31、将函数展开成x-1的幂级数，并指出其收敛区间．标准答案：知识点解析：暂无解析32、设银行存款的年利事为r=0．05，并依年复利计算．某基金会希望通过存款A万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取(10+9n)万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元?标准答案：由以上分析知知识点解析：暂无解析33、幂级数的收敛半径为__________．标准答案：知识点解析：34、求幂级数的收敛域及和函数．标准答案：时原级数显然发散，则其收敛域为(一1，1)．知识点解析：暂无解析考研数学三（无穷级数）模拟试卷第6套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、若正项级数收敛，则()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性不确定标准答案：C知识点解析：因为0≤收敛，所以收敛，于是绝对收敛，选(C)．2、若级数收敛(un＞0)，则下列结论正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：令Sn=u1+u2+…+un，因为un收敛，所以Sn存在且un=0，令S’n=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(u2+u3)=2Sn一u1+un+1，于是Sn一u1存在，选(C)，(A)、(B)、(D)都不对．3、设un=(一1)n，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由交错级数审敛法,un收敛，而un2=1n2发散，选(C)．4、下列说法正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：令un=都发散，但(un+υn)收敛，(A)不对；令un=υn=，显然υn都发散，但unυn收敛，(B)不对；5、下列命题正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：选(D)．取un=收敛，(A)不对；取un=收敛，(B)不对；取un=υn=发散，(C)不对；因为=0，从而存在M＞0，使得|un|≤M，于是|unυn|≤Mυn，因为正项级数υn收敛，根据比较审敛法，|unυn|收敛，即unυn绝对收敛．6、级数()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：因为单调减少且以零为极限，由Leibniz审敛法，级数收敛，而条件收敛，正确答案为(B)．7、设=2，则级数的收敛半径为()．A、1B、C、D、标准答案：D知识点解析：=2|x|2，当|x|＜绝对收敛；当|x|＞时，级数发散，故其收敛半径为选(D)．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)8、设(一1)n一1an=2，a2n一1=5，则a2n=________。标准答案：8．知识点解析：(—1)n一1an=8．9、函数f(x)=展开成x的幂级数为________．标准答案：知识点解析：10、幂级数的收敛域为________．标准答案：(0，4)．知识点解析：令x一2=t，对级数所以收敛半径为R=2，当t=±2时，的收敛域为(一2，2)，于是原级数的收敛域为(0，4)．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)11、判别级数的敛散性，若收敛求其和．标准答案：所以级数知识点解析：暂无解析12、判断级数的敛散性．标准答案：因为当x≥0时slnx≤x，所以0≤收敛，根据比较审敛法，级数收敛．知识点解析：暂无解析13、判断级数的敛散性．标准答案：由0≤收敛，由比较审敛法得级数收敛．知识点解析：暂无解析14、判断级数的敛散性．标准答案：因为收敛．知识点解析：暂无解析15、判断级数的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛?标准答案：为单调减少的数列，又收敛．因为发散，故级数条件收敛．知识点解析：暂无解析16、设正项级数收敛，证明收敛，并说明反之不成立．标准答案：因为0≤(un+un+1)，而(un+un+1)收敛，所以根据正项级数的比较审敛法知收敛，反之不一定成立，如级数1+0+1+0+…发散，因为unun+1=0(n=1，2，…)，所以收敛．知识点解析：暂无解析17、若正项级数与正项级数都收敛，证明下列级数收敛：标准答案：(1)因为收敛．(2)因为收敛．知识点解析：暂无解析18、求幂级数的收敛域．标准答案：由得收敛半径为R=当发散，故级数的收敛域为知识点解析：暂无解析19、求幂级数的和函数．标准答案：由=4，得幂级数的收敛半径为R=当收敛，故级数的收敛域为所以S(x)=∫0xS’(x)dx=知识点解析：暂无解析20、求幂级数的和函数．标准答案：幂级数n(n+1)xn的收敛半径为R=1，收敛区间为(一1，1)．知识点解析：暂无解析21、求幂级数(2n+1)xn的收敛域及和函数．标准答案：由=1得该级数的收敛半径为R=1，因为当x=±1时，(2n+1)(±1)n发散，所以级数的收敛域为(一1，1)．将x2换成x得S(x)=(一1＜x＜1)．知识点解析：暂无解析22、求幂级数的和函数S(x)及其极值．标准答案：令S’(x)==0，得唯一驻点x=0，当x＜0时，S’(x)＞0，当x＞0时，S’(x)＜0，则x=0为S(x)的极大值点，极大值为S(0)=1．知识点解析：暂无解析23、将f(x)=arctanx展开成x的幂级数．标准答案：由f’(x)=(一1)nx2n(一1＜x＜1)，f(0)=0，得f(x)=f(x)一f(0)=∫0xf’(x)dx=∫0x由逐项可积性得显然x=±1时级数收敛，所以知识点解析：暂无解析24、将f(x)=展开x的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析设有幂级数2+25、求该幂级数的收敛域；标准答案：因为=0，所以收敛半径为R=+∞，故幂级数的收敛域为(一∞，+∞)．知识点解析：暂无解析26、证明此幂级数满足微分方程y"一y=一1;标准答案：令f(x)=2+则f’(x)==1+f(x)一2，故该幂级数满足微分方程y"一y=一1．知识点解析：暂无解析27、求此幂级数的和函数．标准答案：由f"(x)一f(x)=一1得f(x)=C1e一x+C2ex+1，再由f(0)=2，f’(0)=0得C1=，C2=，所以f(x)=chx+1．知识点解析：暂无解析考研数学三（无穷级数）模拟试卷第7套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设幂级数的收敛半径为()A、5．B、C、D、标准答案：A知识点解析：设极限都存在，则由题设条件可知2、an和bb符合下列哪一个条件可由发散?()A、an≤bn．B、|an|≤bn．C、an≤|bn|．D、|an|≤|bn|．标准答案：B知识点解析：反证法．如果收敛与题设矛盾，故选B．3、若级数发散，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由必发散，故选D．4、级数的极限值等于()A、0．B、1．C、2．D、e．标准答案：A知识点解析：根据题意，可以将的部分和，根据级数的性质可知，由于级数也收敛．收敛级数的部分和是有界的，因此极限应选A．5、如果级数A、都收敛．B、都发散．C、敛散性不同．D、同时收敛或同时发散．标准答案：D知识点解析：由于an=(an+bn)一bn，且必发散，故选D．6、设a是常数，则级数A、绝对收敛．B、条件收敛．C、发散．D、收敛性与a的取值有关．标准答案：C知识点解析：7、设收敛，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：当an＞0时，级数为正项级数，由于该级数收敛，则其部分和数列=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)有上界，从而可知正项级数的部分和数列Sn=a1+a2+…+an有上界，则级数必收敛，故选D．8、已知等于()A、3．B、7．C、8．D、9．标准答案：C知识点解析：9、正项级数收敛的()A、充要条件．B、充分条件．C、必要条件．D、既非充分条件，又非必要条件．标准答案：B知识点解析：10、设．则()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：是一个交错级数，而单调递减趋于零，由莱布尼茨定理知，级数收敛．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)11、幂级数的收敛区间为_______．标准答案：[4，6)知识点解析：幂级数的系数为则有因此，幂级数的收敛半径为R=1．当x=4时，原级数为故幂级数的收敛区间是[4，6)．12、无穷级数的收敛区间为______．标准答案：知识点解析：在原级数中令，原级数可化为的收敛半径和收敛区域即可．因此，的收敛半径为1，收敛区间为(一1，1)．13、已知幂级数在x=1处条件收敛，则幂级数的收敛半径为______标准答案：1知识点解析：由题干已知幂级数在x=1处条件收敛，那么x=1为该幂级数收敛区间的端点，其收敛半径为1，因此幂级数收敛半径也为1．14、级数的和为______．标准答案：知识点解析：由麦克劳林公式易知ln(1+x)=则15、设a1=1，的和为______．标准答案：2020知识点解析：级数的部分和数列为Sn=(a2—a1)+(a3一a2)+…+(an+1一an)=an+1—a1=an+1一1．16、级数的和为_______．标准答案：知识点解析：令S(x)=(|x|＜1)，那么有17、f(x)=在x=一1处的泰勒展开式为_______．标准答案：知识点解析：18、将函数展成x的幂级数为_________．标准答案：知识点解析：对已知函数从0到x求积分，有对上式两端求导，得三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)19、求幂级数的收敛区间与和函数f(x)．标准答案：所以当x2＜1时，原级数绝对收敛，当x2＞1．时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为(一1，1)．知识点解析：暂无解析20、将函数f(x)=展开成x的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设幂级数在(一∞，+∞)内收敛，其和函数y(x)满足y”一2xy’一4y=0，y(0)=0，y’(0)=1．(1)证明：，n=1，2，…；(2)求y(x)的表达式．标准答案：故有(n+2)(n+1)an+2—2nan一4an=0，即(2)由初始条件y(0)=0，y’(0)=1，知an=0，a1=1．于是根据递推关系式有a2n=0,故知识点解析：暂无解析22、设an为曲线y=xn与y=xn+1(n=1，2，…)所围成区域的面积，记S1=求S1与S2的值．标准答案：由题意，y=xn与y=xn+1在点x=0和x=1处相交，所以故S2=1一ln2．知识点解析：暂无解析23、求幂级数的收敛域及和函数．标准答案：因为所以当x2＜1，即一1＜x＜1时，原幂级数绝对收敛．当x=±1时，级数为显然收敛，故原幂级数的收敛域为[一1，1]．因为又f(0)=0，所以f(x)=∫0xf’(t)dt+f(0)=arctanx．从而S(x)=xarctanx，x∈[一1，1]．即，收敛域x∈[一1，1]，和函数S(x)=xarctanx．知识点解析：暂无解析24、求幂级数的收敛域．标准答案：设所以x∈(一1，1)为函数的收敛域．知识点解析：暂无解析25、设数列{an}满足条件：a0=3，a1=1，an-2一n(n—1)an=0(n≥2)．S(x)是幂级数的和函数．(1)证明：S”(x)一S(x)=0；(2)求S(x)的表达式．标准答案：(1)证明：由题意得因为由已知条件得an=(n+1)(n+2)an+2,(n=0，1，2，…)，所以S”(x)=S(x)，即S”(x)一S(x)=0．(2)S”(x)一S(x)=0为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为λ2一1=0，从而λ=±1，于是S(x)=C1e-x+C2ex，由S(0)=a0=3，S’(0)=a1=1，得所以S(x)=e-x+2ex．知识点解析：暂无解析26、设f(x)在x=0的某邻域内连续且具有连续的导数，又设，试讨论级数是条件收敛，绝对收敛，还是发散?标准答案：由且在x=0处f(x)连续，有由于f(x)在x=0的某邻域内存在连续的导数，所以当x＞0且x足够小时,f’(x)＞0，由拉格朗日中值定理，有所以收敛．知识点解析：暂无解析27、设un=∫01x(1一x)sin2nxdx，讨论级数的敛散性．标准答案：当0≤x≤1时，x(1一x)sin2nx≥0，所以un≥0，为正项级数，又因sin2nx≤x2n，所以知识点解析：暂无解析28、设有正项级数是它的部分和．(1)证明收敛；(2)判断级数是条件收敛还是绝对收敛，并给予证明．标准答案：因正项级数的部分和数列Sn单调上升，将上式放缩知识点解析：暂无解析29、求幂级数的收敛域及其在收敛域内的和函数．标准答案：由于．所以|x一1|＜1，即0＜x＜2，当x=0和x=2时幂级数变为，均发散，故原级数的收敛域为(0，2)．知识点解析：暂无解析考研数学三（无穷级数）模拟试卷第8套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设级数收敛，则必收敛的级数为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为级数收敛，再由收敛级数的和仍收敛可知，级数收敛，故选D．2、如果级数都发散，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于(|an|+|bn|)必发散，故选D．3、已知级数收敛，则下列级数中必收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于去掉了前k项，则其敛散性相同，故(an+an+k)必收敛，应选D．4、设an＞0(n=1，2，…)，且A、绝对收敛．B、条件收敛．C、发散．D、敛散性与λ有关．标准答案：A知识点解析：利用比较法．因为而由正项级数收敛，再由比较法极限形式知，原级数绝对收敛，故选A．5、下列命题成立的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由于中至少有一个不成立，则级数中至少有一个发散，故选C．6、设(n=1，2，…)，则下列级数中肯定收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由收敛及正项级数的比较判别法知，级数收敛，从而绝对收敛，故选D．7、级数(α＞0，β＞0)的敛散性()A、仅与β取值有关．B、仅与α取值有关．C、与α和β的取值都有关．D、与α和β的取值都无关．标准答案：C知识点解析：由于(1)当0＜β＜1时，级数发散．(2)当β＞1时，级数收敛．(3)当β=1时，原级数为当α＞1时收敛，当α≤1时发散，故选C．8、设常数λ＞0，且级数A、发散．B、条件收敛．C、绝对收敛．D、收敛性与λ有关．标准答案：C知识点解析：取显然满足题设条件．而此时于是由比较判别法知，级数绝对收敛，故选C．9、设则下列命题正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：若收敛，由级数绝对收敛的性质知收敛．而pn=，再由收敛级数的运算性质知，都收敛，故选B．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)10、幂级数的收敛半径R=_______．标准答案：知识点解析：首先设则当满足条件该幂级数是收敛的．因此，此幂级数的收敛半径是11、若数列{an}收敛，则级数标准答案：收敛知识点解析：由题干知，级数的部分和数列为Sn=(a2—a1)+(a3—a2)+…+(an+1一an)=an+1一a1，因为数列{an}收敛，所以{Sn}收敛．因此，级数收敛．12、标准答案：知识点解析：根据题意，有令上式的结论中的x=1，则有13、若数列(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…发散，则级数=_______标准答案：发散知识点解析：根据级数性质可知，收敛级数加括号后仍然收敛．假设收敛，则级数(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…收敛，与题设矛盾，故发散．14、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为________标准答案：(一2，4)知识点解析：根据幂级数的性质对原幂级数逐项求导后，得其收敛半径不变，因此有其收敛区间为|x一1|＜3，即(一2，4)．15、幂级数的收敛域为______．标准答案：[一1，1)知识点解析：因为则收敛半径R=1．当x=一1时，原级数为收敛；当x=1时，原级数为发散．因此收敛域为[一1，1)．16、无穷级数的收敛区间为_____．标准答案：知识点解析：幂级数的系数为根据收敛半径的判断方法，有17、幂级数的收敛半径R=______．标准答案：知识点解析：根据收敛半径的判断方法，有由于该幂级数缺奇数项，则18、已知幂级数在x=0处收敛，在x=一4处发散，则幂级数的收敛域为_____．标准答案：(1，5]知识点解析：由题意可知，的收敛域为(一2，2]．所以的收敛域为(1，5]．三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)19、求幂级数在区间(一1，1)内的和函数S(x)．标准答案：设则S(x)=S1(x)一S2(x)，x∈(一1，1)．由于又由于S1(0)=0，故知识点解析：暂无解析20、求级数的和．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设a1=2，证明：标准答案：(1)显然an＞0(n=1，2，…)，由初等不等式：对任意的非负数x，y必有x+y≥易知因此{an}单调递减且有下界，故极限存在．知识点解析：暂无解析22、求标准答案：由于则根据夹逼定理可知，原式=知识点解析：暂无解析23、设正项数列{an}单调递减，且是否收敛?并说明理由．标准答案：由于正项数列{an}单调递减，因此极限存在，将极限记为a，则有an≥a，且a≥0．又因为是发散的，根据莱布尼茨交错级数判别法可知a＞0(否则级数是收敛的)．已知正项级数{an}单调递减，因此知识点解析：暂无解析24、(2)证明对任意的常数λ＞0，级数收敛．标准答案：(1)因为又由部分和数列(2)先估计an的值，因为知识点解析：暂无解析25、求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性．标准答案：因为所以收敛半径为R=3，相应的收敛区间为(一3，3)．当x=3时，因为且发散，所以原级数在点x=3处发散；当x=一3时，由于且都收敛．所以原级数在点x=-3处收敛．知识点解析：暂无解析26、求幂级数的收敛域及和函数S(x)．标准答案：所