考研数学二（二重积分）模拟试卷1（共191题）

考研数学二（二重积分）模拟试卷1（共7套）（共191题）考研数学二（二重积分）模拟试卷第1套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：积分域由两部分组成(如图1．5—1)．设将D=D1∪D2视为Y型区域，则故应选(A)．2、二次积分f(x，y)dy写成另一种次序的积分是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：改变积分次序的步骤是：①由原累次积分的上、下限写出来表示为积分域D的联立不等式，并作出D的草图，原积分变成二重积分②按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式．由已知积分的上、下限，可知积分域的不等式表示为：见图1．5—2．则3、设平面区域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，若[ln(x+y)]3dxdy，[sin(x+y)]3dxdy，则I1，I2，I3的大小顺序为()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2标准答案：C知识点解析：在D内，≤x+y≤1，所以ln(x+y)＜0＜sin(x+y)＜x+y，4、累次积分f(x2+y2)dx(R＞0)化为极坐标形式的累次积分为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：积分域D为：见图1．5—3．在极坐标系下D可表示为：0≤r≤2Rsinθ，0≤θ≤故5、设平面区域D：(x-2)2+(y-1)2≤1，若比较I1=的大小，则有()A、I1=I2B、I1＞I2C、I1＜I2D、不能比较标准答案：C知识点解析：由二重积分的比较性质，只需比较D上(x+y)2与(x+y)3的大小，即x+y与1的大小．从几何的角度也就是考察圆域D与直线x+y=1的位置关系．因积分域D的圆心(2，1)到直线x+y=1的距离＞1(1为圆的半径)，故闭域D在直线x+y=1的上方，即(x，y)∈D，有x+y＞1，从而在D上(x+y)2＜(x+y)3，则I1＜I2．6、设m和n为正整数，a＞0，且为常数，则下列说法不正确的是()A、当m为偶数，n为奇数时，xmyndxdy一定为0B、当m为奇数，n为偶数时，xmyndxdy一定为0C、当m为奇数，n为奇数时，xmyndxdy一定为0D、当m为偶数，n为偶数时，xmyndxdy一定为0标准答案：D知识点解析：(1)当m和n中有且仅有一个为奇数时，(一1)m(一1)n=一1，从而积分为零；(2)当m和n均为奇数时，(一1)m(一1)n=1，从而由于cosmψsinnψ为上的奇函数，故积分为零．总之，当m和n中至少一个为奇数时，故答案选择(D)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)7、二重积分ln(x2+y2)dxdy的符号为_______．标准答案：负号知识点解析：二重积分的积分值的符号由被积函数在积分域内的正负号所确定．积分域D：|x|+|y|≤1．因0≤x2+y2≤(|x|+|y|)2≤1，故ln(x2+y2)≤ln1=0，但又不恒等于零，故ln(x2+y2)dxdy＜0．8、若f(x，y)为关于x的奇函数，且积分区域D关于y轴对称，则当f(x，y)在D上连续时，必有f(x，y)dxdy=_______．标准答案：0知识点解析：设连续函数z=f(x，y)关于x为奇函数(f(一x，y)=一f(x，y))或关于x为偶函数(f(一x，y)=f(x，y))，积分域D关于y轴对称，D1表示D的位于y轴右方的部分，则有同理当z=f(x，y)关于y为奇函数或偶函数，积分域D关于x轴对称也有类似的结论．9、设D={(x，y)|1≤x2+y2≤e2}，则二次积分=_____标准答案：知识点解析：被积函数的特点含有x2+y2的形式，且积分域是以原点为中心的圆环域，选用极坐标计算较方便．10、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=0所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为______，其值等于_________．标准答案：知识点解析：得交点A(e，1)．所求平面图形的面积为11、设f(x，y)ay，交换积分次序后则I=________．标准答案：知识点解析：积分域D为：ex≤y≤e2x，0≤x≤1．曲线y=e2x，y=ex与直线x=1的交点分别为(1，e2)与(1，e)．故12、设f(x，y)为连续函数，则f(x，y)dσ=________,其中D：x2+y2≤t2．标准答案：f(0，0)知识点解析：因被积函数f(x，y)在闭区域D：x2+y2≤t2上是抽象函数，故无法用先求出重积分的方法去求极限，因此考虑：(1)用中值定理先去掉积分号再求极限；(2)用二次积分化分子为积分上限的函数．因f(x，y)在D：x2+y2≤t2上连续，由积分中值定理可知，在D上至少存在一点(ξ，η)=f(ξ，η)σ=πt2f(ξ，η)．因(ξ，η)在D：x2+y2≤t2上，所以当t→0+时，(ξ，η)→(0，0)．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、计算其中D是由圆周x2+y2=4，x2+y2=1及直线y=0，y=x所围的位于第一象限的闭区域．标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：积分区域如图1．5—4所示，交换积分次序，得知识点解析：暂无解析22、记平面区域D={(x，y)|x|+|y|≤1)，计算如下二重积分：(1)其中f(t)为定义在(一∞，+∞)上的连续正值函数，常数a＞0，b＞0；(2)，常数λ＞0．标准答案：(1)易见，积分区域D是边长为的正方形，故其面积SD=2，因为积分区域D关于直线y=x对称，则由二重积分的性质便有(2)因为积分区域D关于直线y=x对称，又分别关于Oy轴，Ox轴对称；函数eλx一e-λx，eλy一e-λy分别关于x，y为奇函数，则由二重积分的性质得知识点解析：暂无解析23、设p(x)在[a，b]上非负连续，f(x)与g(x)在[a，b]上连续且有相同的单调性，其中D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b)，判别I1=P(x)f(x)P(y)g(y)dxdy，I2=p(x)f(y)p(y)g(y)dxdy的大小，并说明理由．标准答案：由于D关于x与y对称，所以I1一I2又可以写成因g(x)与f(x)的单调性相同，所以(f(x)-f(y))(g(x)一g(y))≥0，从而知I1一I2≤0，有I1≤I2．知识点解析：暂无解析24、设函数f(x，y)连续，且其中D由，x=1，y=2围成，求f(x，y)．标准答案：知识点解析：暂无解析25、交换累次积分I的积分次序：标准答案：由累次积分I的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域σ=σ1∪σ2，它们可表示为显然，平面区域σ的边界曲线为抛物线与直线y=0，则σ1，σ2也可以写为于是，累次积分I交换积分次序后为知识点解析：暂无解析26、交换累次积分J的积分次序：标准答案：由累次积分I的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域为σ=σ1∪σ2∪σ3，其中根据区域σ的图形可知，σ的边界曲线是由上半圆直线x=0与抛物线y=x一x2组成，故可用不等式表示为于是，累次积分I化为另一种先对y后对x的累次积分知识点解析：暂无解析27、(1)计算(2)当x→1-时，求与等价的无穷大量．标准答案：(2)要解决第二个问题，首先需要弄清楚以下几个要点：①x→x0时，f(x)与g(x)为等价无穷大②无穷大量的表达形式众多，有一种常用的形式：此题x→1-，故考虑用于是，根据第一问的提示，我们要凑出“[]”这种形式，故令即知识点解析：暂无解析考研数学二（二重积分）模拟试卷第2套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、其中D={(x，y)|x2+y2≤1)，则()A、c＜b＜aB、a＞b＞cC、b＞a＞cD、c＞a＞b标准答案：A知识点解析：由于D={(x，y)|x2+y2≤1)，所以因此有c＞b＞a．2、设D：|x|+|y|≤1，则(|x|+y)dxdy=()A、0B、C、D、1标准答案：C知识点解析：因为D关于x，y轴都对称，故ydxdy=0，且有3、累次积分∫01dx∫x1f(x,y)dy+∫12dy∫02-yf(x，y)dx可写成()A、∫02dx∫x2-xf(x，y)dyB、∫01dy∫y2-yf(x,y)dxC、∫01dx∫x2-xf(x,y)dyD、∫01dy∫y2-yf(x，y)dx标准答案：C知识点解析：区域D1：0≤x≤1,x≤y≤1为直线x=0，y=x，y=1围成的；区域D2：1≤y≤2，0≤x≤2一y为直线x=0，x+y=2，y=1围成的．所以积分区域D=D1∪D2是由直线x=0，y=x，x+y=2围成的，故原积分形式可写成∫01dx∫x2-xf(x,y)dy．4、f(x，y)dy化为极坐标系中的累次积分为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由y=1+x2+(y一1)2=1(y≥1)，所以积分区域D是圆x2+(y—1)2≤1的右半圆在直线y=x上方的部分，于是，其极坐标形式为5、设D由直线x=0，y=0，x+y=1围成，已知∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx，则f(x)dxdy=()A、2B、0C、D、1标准答案：B知识点解析：由∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx得∫01=(1一x)f(x)dx=0，于是=∫01dx∫01-xf(x)dy=∫01(1一x)f(x)dx=0．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、标准答案：知识点解析：令x=rsinθ，y=rcosθ，则原式=∫01dr∫02π(r2sin2θ+r2cos2θ).rdθ=∫01r3dr∫02πdθ=7、交换二次积分次序：标准答案：知识点解析：由已知有，所求积分区域为所围成的区域，所以8、交换二次积分次序：f(x，y)dy+∫1edx∫lnx1f(x，y)dy=________．标准答案：知识点解析：由已知有，所求积分区域为y=1，y=一x2+1，y=lnx所围成的区域，所以9、设f(x)为连续函数，a与m是常数且a＞0，将二次积分I=∫0ady∫0yem(a-x)f(x)dx化为定积分，则I=_______．标准答案：∫0aem(a-x)f(x)(a-x)dx知识点解析：被积函数仅是z的函数，交换积分次序即可完成一次定积分．由二次积分的积分限可知D为：0≤x≤y，0≤y≤a，故I=∫0adx∫xaem(a-x)f(x)dy=∫0aem(a-x)f(x)(a一x)dx．10、设f(u)为连续函数，D是由y=1，x2一y2=1及y=0所围成的平面闭区域，则标准答案：0知识点解析：因积分域D关于y轴对称，被积函数xf(y2)关于变量x是奇函数，故三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)11、证明：∫01dx∫01(xy)xydy=∫01xxdx．标准答案：本题看似是二重积分问题，事实上，用代换t=xy可将累次积分化为定积分．在∫01(xy)xydy中，视x为常数，令t=xy，dt=xdy,当y从1变到1时，从0变到x，则于是也就是要证明一∫01ttlntdt=∫01ttdt，移项后就是要证明∫01tt(1+lnt)dt=0．事实上，tt(1+lnt)dt=etlnt(1+lnt)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt)，故∫01tt(1+lnt)dt=etlnt|01=0．知识点解析：暂无解析12、设F(x，y)=在D=[a，b]×[c，d]上连续，求并证明：I≤2(M-m)，其中M和m分别是f(x，y)在D上的最大值和最小值．标准答案：显见，I≤2(M一m)．知识点解析：暂无解析13、(1)设D=((x，y)|a≤x≤b，c≤y≤d)，若fxy"与fyx"在D上连续，证明：(2)设D为xOy平面上的区域，若fxy"与fyx"都在D上连续，证明：fxy"与fyx"在D上相等．标准答案：=∫abdx∫cdfxy"(x，y)dy=∫abfx’(x,y)|cddx=∫ab[fx’(x，d)一fx’(x，c)]dx=f(x，d)|ab—f(x，c)|ab=f(b，d)一f(a，d)+f(a，c)一f(b，c)．同理，=∫cddy∫abfyx"(x,y)dx=f(b，d)一f(b，d)+f(a，c)一f(b，c)?结论成立．(2)用反证法．设P0(x0，y0)∈D，有fxy"(x0，y0)≠fyx"(x0，y0)．不妨设fxy"(x0，y0)一fyx"(x0，y0)＞0，由于当P(x，y)∈U(P0，δ)时有fxy"(x，y)一fyx"(x，y)＞ε0．知识点解析：暂无解析14、标准答案：一方面，有知识点解析：暂无解析15、设函数f(x)在[0，1]上连续，证明：∫01ef(x)dx∫01e-f(y)≥1．标准答案：知识点解析：暂无解析16、求V(t)=((t一1)y+1)dxdy的最大值，其中Dt={(x，y)|x2+y2≤1，≤y≤1)，2≤t≤3．标准答案：知识点解析：暂无解析17、变换二次积分的积分次序：标准答案：如图1．5—5，则知识点解析：暂无解析18、变换二次积分的积分次序：标准答案：如图1．5—6则知识点解析：暂无解析19、变换二次积分的积分次序：标准答案：如图1．5—7，D=D1+D2，其中知识点解析：暂无解析20、变换二次积分的积分次序：标准答案：如图1．5—8，D故知识点解析：暂无解析21、计算二重积分其中D是第一象限中由直线y=x和曲线y=x3所围成的封闭区域．标准答案：知识点解析：暂无解析22、计算二重积分其中D={(x，y)|0≤y≤x，x2+y2≤2x}．标准答案：知识点解析：暂无解析23、求二重积分其中D是由曲线直线y=2，y=x所围成的平面区域．标准答案：知识点解析：暂无解析24、求其中D={(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤1}．标准答案：积分区域：min{x，y}=其中D1={(x，y)|0≤y≤1，y≤x≤3}，D2={(x，y)|0≤y≤1，0≤x≤y)．所以知识点解析：暂无解析25、计算．其中a，b＞0．标准答案：知识点解析：暂无解析26、计算ln(1+x2+y2)dxdy，其中D：x2+y2≤1．标准答案：知识点解析：暂无解析27、计算(x2+y2)dxdy，其中D由y=一x，x2+y2=4，y=所围成．标准答案：(x一1)2+y2=1，y≥0．y=一x与x2+y2=4的交点为y=一x与y=的交点为(0，0)．x2+y2=4与y=的交点为(2，0)．如图1．5—9所示．知识点解析：暂无解析28、标准答案：知识点解析：暂无解析29、设f(x，y)=，其中D为正方形域0≤x≤1，0≤y≤1．标准答案：知识点解析：暂无解析30、设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续且单调增，证明：∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx．标准答案：设I=(b一a)∫abf(x)g(x)dx—∫abf(x)dx∫abg(x)dx=∫abdy∫abf(x)g(x)dx一∫abf(x)dx∫abg(y)dy其中D：a≤x≤b，a≤y≤b．因为D关于y=x对称，所以由f(x)，g(x)在[a，b]上单调递增，得2I≥0，即I≥0，故∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b-a)∫abf(x)g(x)dx．知识点解析：暂无解析31、标准答案：设a＞0，Da={(x，y)|一a≤x≤a，一a≤y≤a)，则当a→+∞时，Da→D，从而知识点解析：暂无解析考研数学二（二重积分）模拟试卷第3套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设平面区域D由曲线y=(xy3一1)dσ等于()A、2B、一2C、7cD、一7c标准答案：D知识点解析：如图1．5—1所示，用曲线y=一sinx(一≤x≤0)将区域D划分为D1和D2两部分，则D1关于x轴对称，D2关于y轴对称，所围成矩形的面积相等，故SD=π，故应选(D)．2、已知I=，则I=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：积分域由两部分组成(如图1．5—2)．设故应选(A)．3、二次积分∫02dxf(x，y)dy写成另一种次序的积分是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：改变积分次序的步骤是：①由原累次积分的上、下限写出来表示为积分域D的联立不等式，并作出D的草图，原积分变成二重积f(x，y)dxdy．②按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式．由已知积分的上、下限，可知积分域的不等式表示为：4、设平面区域D由x=0，y=0，x+y=[sin(x+y)]3dxdy，则I1，I2，I3的大小顺序为()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2标准答案：C知识点解析：在D内，≤x+y≤1，所以ln(x+y)＜0＜sin(x+y)＜x+y，于是5、累次积分f(x2+y2)dx(R＞0)化为极坐标形式的累次积分为()A、∫0πdθ∫02Rsinθf(r2)rdrB、dθ∫02Rcosθf(r2)rdrC、dθ∫02Rsinθf(r2)rdrD、∫0πdθ∫02Rcosθf(r2)rdr标准答案：C知识点解析：6、设平面区域D：(x一2)2+(y一1)2≤1，若比较I1=(x+y)3dσ的大小，则有()A、I1=I2B、I1＞I2C、I1＜I2D、不能比较标准答案：C知识点解析：由二重积分的比较性质，只需比较D上(x+y)2与(x+y)2的大小，即x+y与1的大小．从几何的角度也就是考察圆域D与直线x+y=1的位置关系．因积分域D的圆心(2，1)到直线x+y=1的距离d=＞1(1为圆的半径)，故闭域D在直线x+y=1的上方，即(x，y)∈D，有x+y＞1，从而在D上(x+y)2＜(x+y)2，则I1＜I2．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)7、二重积分ln(x2+y2)dxdy的符号为____________．标准答案：负号知识点解析：二重积分的积分值的符号由被积函数在积分域内的正负号所确定．积分域D：｜x｜+｜y｜≤1．因0≤x2+y2≤(｜x｜+｜y｜)2≤1，故ln(x2+y2)≤ln1=0，但又不恒等于零，故ln(x2+y2)dxdy＜0．8、若f(x，y)为关于x的奇函数，且积分区域D关于y轴对称，则当f(x，y)在D上连续时，必有(x，y)dxdy=____________．标准答案：0知识点解析：设连续函数z=f(x，y)关于x为奇函数(f(一x，y)=一f(x，y))或关于x为偶函数(f(一x，y)=f(x，y))，积分域D关于y轴对称，D1表示D的位于y轴右方的部分，则有同理当z=f(x，y)关于y为奇函数或偶函数，积分域D关于x轴对称也有类似的结论．9、设D={(x，y)｜1≤x2+y2≤e2}，则二次积分=____________。标准答案：(e2+1)知识点解析：被积函数的特点含有x2+y2的形式，且积分域是以原点为中心的圆环域，选用极坐标计算较方便．．10、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=0所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为____________，其值等于____________．标准答案：知识点解析：11、设I=f(x，y)dy，交换积分次序后则I=____________．标准答案：知识点解析：积分域D为：ex≤y≤e2x，0≤x≤1．曲线y=e2x，y=ex与直线x=1的交点分别为(1，e2)与(1，e)．故三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)12、计算∫01dy∫3y3dx．标准答案：知识点解析：暂无解析13、计算∫01dy．标准答案：知识点解析：暂无解析14、计算∫01dxx3siny3dy．标准答案：知识点解析：暂无解析15、计算∫01dy．标准答案：知识点解析：暂无解析16、计算∫02dx(x2+y2)dy．标准答案：知识点解析：暂无解析17、计算∫01dx．标准答案：知识点解析：暂无解析18、计算∫12dx∫0x．标准答案：知识点解析：暂无解析19、计算，其中D是由圆周x2+y2=4，x2+y2=1及直线y=0，y=x所围的位于第一象限的闭区域．标准答案：知识点解析：暂无解析20、计算．标准答案：积分区域如图1．5—5所示，交换积分次序，得知识点解析：暂无解析21、记平面区域D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，计算如下二重积分：(1)I1=，其中f(t)为定义在(一∞，+∞)上的连续正值函数，常数a＞0，b＞0；(2)I2=(eλx一e一λy)dσ，常数λ＞0．标准答案：(1)易见，积分区域D是边长为的正方形，故其面积SD=2，因为积分区域D关于直线y=x对称，则由二重积分的性质便有(2)因为积分区域D关于直线y=x对称，又分别关于Oy轴，Ox轴对称；函数eλx一e一λx，eλy一e一λy分别关于x，y为奇函数，则由二重积分的性质得知识点解析：暂无解析22、设p(x)在[a，b]上非负连续，f(x)与g(x)在[a，b]上连续且有相同的单调性，其中D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}，判别I1=(x)f(y)p(y)g(y)dxdy的大小，并说明理由．标准答案：因g(x)与f(x)的单调性相同，所以[f(x)一f(y)][g(x)一g(y)]≥0，从而知I1一I2≤0，有I1≤I2．知识点解析：暂无解析23、设函数f(x，y)连续，且f(x，y)=x+yf(u，v)dudv，其中D由y=，x=1，y=2围成，求f(x，y)．标准答案：知识点解析：这是一道综合题目，表面看来很复杂，只要分析清楚了并不难．首先可以知道积分f(u，v)dudv，两边再求二重积分就可能解决了．24、交换累次积分I的积分次序：I=．标准答案：由累次积分I的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域σ=σ1∪σ2，它们可表示为知识点解析：暂无解析25、交换累次积分I的积分次序：I=．标准答案：由累次积分I的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域为σ=σ1∪σ2∪σ3，其中知识点解析：暂无解析26、(1)计算∫0+∞dx，(2)当x→1一时，求与∫0+∞dt等价的无穷大量．标准答案：知识点解析：暂无解析27、证明：∫01dx∫01(xy)xydy=∫01xxdx．标准答案：本题看似是二重积分问题，事实上，用代换t=xy可将累次积分化为定积分．在∫01(xy)xydy中，视x为常数，令t=xy，dt=xdy，当y从0变到1时，t从0变到x，则于是也就是要证明一∫01ttlntdt=∫01ttdt，移项后就是要证明∫01tt(1+lnt)dt=0．事实上，tt(1+lnt)dt=etlntt(1+lnt)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt)，故∫01tt(1+lny)dt=一etlint｜01=0．知识点解析：暂无解析28、设F(x，y)=在D=[a，b]×[c，d]上连续，求I=F(x，y)dxdy，并证明：I≤2(M一m)，其中M和m分别是f(x，y)在D上的最大值和最小值．标准答案：显然I≤2(M—m)．知识点解析：暂无解析29、(1)设D=((x，y)｜a≤x≤b，c≤y≤d}，若f"xy与f"yx在D上连续，证明：(2)设D为xOy平面上的区域，若f"xy与f"yx都在D上连续，证明：f"xy与f"yx在D上相等．标准答案：(1)f"xy(x，y)dxdy=∫abdx∫cdf’xy(x，y)=∫abf’x(x，y)∫cddx=∫ab[f’x(x，d)一f’x(x，c)]dx=f(x，d)｜ab—f(x，c)｜ab=f(b，d)一f(a，d)+f(a，c)一f(b，c)．同理，f"yx(x，y)dxdy=∫cddy∫abf"yx(x，y)dx=f(b，d)一f(a，d)+f(a，c)一f(b，c)．结论成立．(2)用反证法．设存在P0(x0，y0)∈D，有f"xy(x0，y0)≠f"yx(x0，y0)．不妨设f"xy(x0，y0)一f"yx(x0，y0)＞0，由于[f"xy(x，y)一f"yx(x，y)]=f"xy(x0，y0)一f"yx(x0，y0)＞0．由极限的保号性，ε0＞0，δ＞0，当P(x，y)∈U(P0，δ)时有f"xy(x，y)一f"yx(x，y)＞ε0．由(1)有，[f"xy(x，y)一f"yx(x，y)]dxdy=0，这与上述结论矛盾，故f"xy(x，y)与f"yx(x，y)在D上相等．知识点解析：暂无解析考研数学二（二重积分）模拟试卷第4套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设D是有界闭区域，下列命题中错误的是A、若f(χ，y)在D连续，对D的任何子区域D0均有(χ，y)dσ＝0，则f(χ，y)≡0((χ，y)∈D)．B、若f(χ，y)在D可积，f(χ，y)≥0但不恒等于0((χ，y)∈D)，则f(χ，y)dσ＞0．C、若f(χ，y)在D连续，f(χ，y)dσ＝0，则f(χ，y)≡0((χ，y)∈D)D、若f(χ，y)在D连续，f(χ，y)＞0((χ，y)∈D)，则f(χ，y)dσ＞0．标准答案：B知识点解析：设(χ，y)是D中某点，令f(χ，y)＝则在区域D上f(χ，y)≥0且不恒等于0，但f(χ，y)dσ＝0，因此选B．2、比较下列积分值的大小：其中D由χ＝0，y＝0，χ＋y＝，χ＋y＝1围成，则I1，I2，I3之间的大小顺序为A、I＜1I2＜I3．B、I＜3I2＜I1．C、I＜1I3＜I2．D、I＜3I1＜I2．标准答案：C知识点解析：在区域D上，≤χ＋y≤1．当≤t≤1时，lnt≤sint≤t，从而有(χ，y)∈D时，因此选C．3、J＝dχdy，i＝1，2，3，其中D1＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤R2}，D2＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤2R2}，D3＝{(χ，y)｜｜χ｜≤R，｜y｜≤R}．则J1，J2，J3之间的大小顺序为A、J1＜J2＜J3．B、J2＜J3＜J1．C、J1＜J3＜J2．D、J3＜J2＜J1．标准答案：C知识点解析：D1，D2是以原点为圆心，半径分别为R，的圆，D3是正方形，显然有D1D2．因此C成立．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)4、设D为两个圆：χ2＋y2≤1及(χ－2)2＋y2≤4的公共部分，则I＝ydχdy＝________．标准答案：0．知识点解析：暂无解析5、设D为y＝χ2及χ＝－1，y＝1所围成的区域，则I＝dχdy＝_______．标准答案：0．知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)6、计算dχdy，其中D为曲线y＝lnχ与两直线y＝0，y＝(e＋1)－χ所围成的平面区域．标准答案：y＝lnχ与y＝(e＋1)－χ的交点是(e，1)，D如图8．4所示，在Oχy坐标系中选择先χ后Y的积分顺序(D不必分块)得知识点解析：暂无解析7、计算I＝dχdy，其中D是以0(0，0)，A(1，1)，B(－1，1)为顶点的三角形区域．标准答案：D如图8．5所示，D关于y轴对称，被积函数对χ为偶函数．I＝2dχdy，其中D1＝D∩{χ≥0}．选择先χ后y的积分顺序知识点解析：暂无解析8、计算dχdy，其中D：1≤χ2＋y2≤9，．标准答案：令χ＝rcosθ，y＝rsinθ，则D：1≤r≤3，．于是知识点解析：暂无解析9、计算｜sin(χ－y)｜dχdy，其中D：0≤χ≤y≤2π．标准答案：利用对称法，如图8．6－(d)，D与D*关于y＝χ对称．知识点解析：暂无解析10、计算(χ＋y)2dχdy，其中D：｜χ｜＋｜y｜≤1．标准答案：D关于χ，y轴均对称，它在第一象限部分记为D1，如图8．7．知识点解析：暂无解析11、计算dχdy，其中D：χ≥0，y≥0，χ＋y≤1．标准答案：极坐标变换χ＝rcosθ，y＝rsinθ．知识点解析：暂无解析12、设a＞0为常数，求积分I＝χy2dσ，其中D：χ2＋y2≤aχ．标准答案：D是圆域(如图8．9)：作极坐标变换χ＝rcosθ，y＝rsinθ，并由D关于χ轴对称，χ轴上方部分为D1：0≤θ≤，0≤r≤acosθ．于是知识点解析：暂无解析13、设D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤2χ＋2y}，求I＝(χ＋y2)dχdy．标准答案：利用直角坐标系中的公式I＝4v2dudv，其中D1＝｜(u，v)｜0≤u≤，0≤v≤是D的第一象限部分．因此I＝4π＋π＝5π．知识点解析：暂无解析14、设D＝{(χ，y)｜χ＋y≥1，χ2＋y2≤1}，求I＝(χ2＋y2)dσ．标准答案：直接用极坐标变换(χ＝rcosθ，y＝rsinθ)．D的极坐标表示是知识点解析：暂无解析15、标准答案：如图8．11所示．原式＝知识点解析：暂无解析16、标准答案：如图8．12所示．原式＝知识点解析：暂无解析17、标准答案：如图8．13所示．当χ∈[0，t2]时，≤t(t＞0)，于是知识点解析：暂无解析18、极坐标系下的累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr标准答案：在直角坐标系Oθr中画出D′的草图(如图8．14)．原积分＝f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ．由r＝得r2＝sin2θ．当0≤0≤时0＝arcsinr2；当时0≤π－2θ≤，r2＝sin2θ＝sin(π－2θ)．于是，π－2θ＝arcsinr2，θ＝arcsinr2．因此原积分＝f(rcosθ，rsinθ)rdθ．知识点解析：暂无解析19、标准答案：如图8．15所示．知识点解析：暂无解析20、ln(1＋χ2＋y2)dy(R＞0)．标准答案：如图8．16所示．知识点解析：暂无解析21、标准答案：用分部积分法．知识点解析：暂无解析22、标准答案：D是圆域的一部分，如图8．18所示，则I＝作极坐标变换，圆周方程为(y＋1)2＋χ2＝1，即χ2＋y2＝－2y，即r＝－2sinθ，积分区域D：－≤θ≤0，0≤r≤－2sinθ，于是知识点解析：暂无解析23、设f(u)可导，f(0)＝0，f′(0)＝，I(t)＝，求I(t)．标准答案：t＞0．化二重积分为定积分．作极坐标变换知识点解析：暂无解析24、设f(χ)在[a，b]连续，且f(χ)＞0，∫abf(χ)dχ＝A．D为正方形区域：a≤χ≤b，a≤y≤b，求证：(Ⅰ)I＝(Ⅱ)I≥(b－a)(b－a＋A)标准答案：(Ⅰ)D关于直线y＝χ对称，利用二重积分的有关性质：相加得由初等不等式：(Ⅱ)由不等式et＞1＋t(t＞0)及题(Ⅰ)＝(b－a)2＋(b－a)∫abf(χ)dχ＝(b－a)(b－a＋A)．知识点解析：暂无解析25、将f(χ，y)dχdy化为累次积分，其中D为χ2＋y2≤2aχ与χ2＋y2≤2ay，的公共部分(a＞0)．标准答案：如图8．5，χ2＋y2＝2aχ与χ2＋y2＝2ay是两个圆，其交点为O(0，0)，P(a，a)．因此，若先对y积分，就有若先对χ求积分，则知识点解析：暂无解析26、设D是由曲线＝1(a＞0，b＞0)与χ轴，y轴围成的区域，求I＝ydχdy．标准答案：先对χ积分．区域D如图8．6所示．知识点解析：暂无解析考研数学二（二重积分）模拟试卷第5套一、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、I＝｜χy｜dχdy＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析2、设D：0≤χ≤1，0≤y≤1，则I＝＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析3、设I1＝(χ4＋y4)dσ，I2＝(χ4＋y4)dσ，I3＝2χ2y2dσ则这三个积分的大小顺序是________＜________＜________．标准答案：I3＜I1＜I2．知识点解析：暂无解析4、设D为圆域χ2＋y2≤χ，则I＝＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析5、设D是Oχy平面上以A(1，1)，B(－1，1)和C(－1，－1)为顶点的三角形区域，则I＝dχdy＝_______．标准答案：8．知识点解析：暂无解析二、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)6、在极坐标变换下将f(χ，y)dσ化为累次积分，其中D为：χ2＋y2≤2ax与χ2＋y2≤2ay的公共部分(a＞0)．标准答案：由于两个圆在极坐标下的表达式分别为：r＝2acosθ与r＝2asinθ，交点P处的极坐标是，于是连接OP将区域D分成两部分(见图8．13)，则或者先对θ积分，则知识点解析：暂无解析7、计算二重积分I＝，其中D由y＝χ与y＝χ4围成．标准答案：D的图形如图8．14所示，虽然D的边界不是圆弧，但被积函数是r＝，选用极坐标变换方便．在极坐标变换下，D的边界方程是从而知识点解析：暂无解析8、求I＝，其中D为y＝，y＝χ及χ＝0所同成区域．标准答案：区域D如图8．15．被积函数只含y，先对χ积分，虽然积分区域要分块，但计算较简单．若先对y积分，则求积分要费点功夫．选择先对χ积分，将D分块：知识点解析：暂无解析9、求I＝dχdY，其中D是由抛物线y2＝χ，直线χ＝0，y＝1所同成．标准答案：dy的原函数不是初等函数，故dy积不出来，因此选先χ后y的顺序．积分区域D如图8．16，于是知识点解析：暂无解析10、求I＝χ[1＋yf(χ2＋y2)]dχdy，D由y＝χ3，y＝1，χ＝－1围成，f是连续函数．标准答案：D的图形如图8．17．这里被积函数χy(χ2＋y2)关于(χ，Y)为偶函数，而D1＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤χ*3}与D′1＝{(χ，y)｜－1≤χ≤0，χ3≤y≤0}关于原点对称因此I＝－．知识点解析：暂无解析11、求I＝dχdy，其中D：｜χ｜≤1，0≤y≤2．标准答案：在积分区域D上被积函数分块表示为｜y－χ2，因此要将D分块，用分块积分法．又D关于y轴对称，被积函数关于χ为偶函数，记D1＝{(χ，y)｜(χ，y)∈D，χ≥0，y≥χ2}，D2＝{(χ，y)｜(χ，y)∈D，χ≥0，y≤χ2}，知识点解析：暂无解析12、设D由抛物线y＝χ2，y＝4χ2及直线y＝1所围成．用先χ后y的顺序，将I＝f(χ，y)dχdy，化成累次积分．标准答案：区域D如图8．18所示，将D分成χ≥0与χ≤0两部分才是先积χ后积y的类型，于是用分块积分法即得知识点解析：暂无解析13、求I＝χydχdy，D由曲线χ2＋y2＝2χ＋2y－1所围成．标准答案：D是圆域：(χ－1)2＋(y－1)2≤1，见图8．19．作平移变换u＝χ－1，v＝y－1，则其中D′＝{(u，v)｜u2＋v2≤1}．知识点解析：暂无解析14、交换累次积分的积分顺序：I＝．标准答案：先对χ积分，就是从区域D的左侧边界χ＝y*到右侧边界χ＝y＋2．两边界线的交点为(1，一1)与(4，2)，得I＝知识点解析：暂无解析15、将极坐标变换后的二重积分f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ的如下累次积分交换积分顺序：I＝(r，θ)dr，其中F(r，θ)＝fFcosθ，rsinθ)r．标准答案：r＝2acosθ是圆周χ2＋y2＝2aχ，即(χ－a)2＋y2＝a2，因此D的图形如图8．21所示．为了先θ后r的积分顺序，将D分成两块，如图8．21虚线所示，D＝D1∪D2，知识点解析：暂无解析16、计算累次积分：I＝∫01dχ∫1χ+1ydy＋∫12dχ∫χχ+1ydy＋∫23dχ∫χ3ydy．标准答案：由累次积分限知：0≤χ≤1时1≤y≤χ＋；1≤χ≤2时χ≤y≤χ＋1；2≤χ≤3时χ≤y≤3，于是积分区域D如图8．23所示，因此D可表示为D＝{(χ，y)｜1≤y≤3，y－1≤χ≤y}，则原式＝＝4．知识点解析：暂无解析17、将f(rcosθ，rsinθ)rdr写成直角坐标系下先对y后对χ积分的累次积分．标准答案：D的极坐标表示：≤θ≤π，0≤r≤sinθ，即≤θ≤π，r2≤rsinθ，即χ2＋y2≤y，χ≤0，则D为左半圆域：χ2＋y2≤y，χ≤0，即χ2＋，χ≤0．先对y后对χ积分，D：，于是原式＝知识点解析：暂无解析18、计算标准答案：积分区域D为扇形所以原式＝知识点解析：暂无解析19、计算(a＞0)，其中D是由圆心在点(a，a)、半径为a且与坐标轴相切的圆标准答案：由于圆的方程为：(χ－a)2＋(y－a)2＝a2，区域D的边界所涉及的圆弧为y＝a－，所以知识点解析：暂无解析20、计算二重积分：｜｜χ＋y｜－2｜dχdy，其中D：0≤χ≤2，－2≤y≤2．标准答案：如图8．24，用直线y＝－χ＋2，y＝－χ将D分成D1，D2与D3．于是知识点解析：暂无解析21、计算下列二重积分：(Ⅰ)χydσ，其中D是由曲线r＝sin2θ(0≤θ≤)围成的区域；(Ⅱ)χydσ，其中D是由曲线y＝，χ＋(y－1)2＝1与y轴围成的在右上方的部分．标准答案：(Ⅰ)积分域D见图8．25．D的极坐标表示是：0≤0≤，0≤r≤sin2θ，于是(Ⅱ)选用极坐标系，所涉及两个圆的极坐标方程为r＝1与r＝2sinθ，交点的极坐标为(1，)(见图8．26)，于是积分域D的极坐标表示为D＝{(r，θ)｜，1≤r≤2sinθ)，则知识点解析：暂无解析22、求下列二重积分：(Ⅰ)I＝，其中D为正方形域：0≤χ≤1，0≤y≤1；(Ⅱ)I＝｜3χ＋4y｜dχdy，其中D：χ2＋y2≤1；(Ⅲ)I＝ydχdy，其中D由直线χ＝－2，y＝0，y＝2及曲线χ＝－所围成．标准答案：(Ⅰ)尽管D的边界不是圆弧，但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便．D的边界线χ＝1及y＝1的极坐标方程分别为(Ⅱ)在积分区域D上被积函数分块表示，若用分块积分法较复杂．因D是圆域，可用极坐标变换，转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形．这时可利用周期函数的积分性质．作极坐标变换χ＝rcosθ，y＝rsinθ，则D：0≤θ≤2π，0≤r≤1．从而其中sinθ0＝，cosθ0＝．由周期函数的积分性质，令t＝θ＋θ0就有(Ⅲ)D的图形如图8．27所示．若把D看成正方形区域挖去半圆D1，则计算D1上的积分自然选用极坐标变换．若只考虑区域D，则自然考虑先χ后y的积分顺序化为累次积分．若注意D关于直线y＝1对称，选择平移变换则最为方便．作平移变换u＝χ，v＝y－1，注意曲线χ＝－，即χ2(y－1)2＝1，χ≤0，则D变成D′．D′由u＝－2，v＝－1，v＝1，u2＋v2＝1(u≤0)围成，则知识点解析：暂无解析23、设函数f(χ)在区间[a，b]上连续，且恒大于零，证明：∫f(χ)dχ∫≥(b－a)2标准答案：利用积分变量的改变，可得其中D＝{(χ，y)｜a≤χ≤b，a≤y≤b}．并且利用对称性(D关于y＝χ对称)，可得知识点解析：暂无解析24、(Ⅰ)记Ω(R)＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤R2}，I(R)＝(Ⅱ)证明：标准答案：(Ⅰ)首先用极坐标变换求出I(R)，然后求极限I(R)．作极坐标变换χ＝rcosθ，y＝rsinθ得(Ⅱ)因为在(－∞，＋∞)可积，则通过求∫-RRdχ再求极限的方法行不通，因为∫dχ积不出来(不是初等函数)．但可以估计这个积分值．为了利用dχdy，我们仍把一元函数的积分问题转化为二元函数的重积分问题．其中D(R)＝{(χ，y)｜｜χ｜≤R，｜y｜≤R}．显然I(R)≤，又)＝π，于是知识点解析：暂无解析25、设f(χ)在区间[0，1]上连续，证明：∫01f(χ)dχ∫χ1f(y)dy＝[∫01f(χ)dχ]2．标准答案：先将累次积分表成二重积分，则有I＝∫01f(χ)dχ∫χ1f(y)dy＝f(χ)f(y)dχdy，其中D＝{χ，y)｜0≤χ≤1，χ≤y≤1}，如图8．28，它与D′＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤χ}关于y＝χ对称．于是知识点解析：暂无解析考研数学二（二重积分）模拟试卷第6套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设m和n为正整数，a＞0，且为常数，则下列说法不正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：①当m和n中有且仅有一个为奇数时，(一1)m(一1)n=一1，从而积分为零；②当m和n均为奇数时，(一1)m(一1)n=1，从而2、a=(x2+y2)2dσ，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则()A、c＞b＞aB、a＞b＞cC、b＞a＞cD、c＞a＞b标准答案：A知识点解析：由于D={(x，y)｜x+y≤1}，所以因此有c＞b＞a．3、设D：｜x｜+｜y｜≤1，则(｜x｜+y)dxdy=()A、0B、C、D、1标准答案：C知识点解析：4、化为极坐标系中的累次积分为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由y=1+得x2+(y一1)2=1(y≥1)，所以积分区域D是圆x2+(y一1)2≤1的右半圆在直线y=x上方的部分，于是，其极坐标形式为5、设D由直线x=0，y=0，x+y=1围成，已知∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx，则f(x)dxdy=()A、2B、0C、D、1标准答案：B知识点解析：由∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx得∫01(1一x)f(x)dx=0，于是f(x)dxdy=∫01)dx∫01一xf(x)dy=∫01(1一x)f(x)dx=0．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、设f(x，y)为连续函数，则I==____________，其中D：x2+y2≤t2。标准答案：f(0，0)知识点解析：因被积函数f(x，y)在闭区域D：x2+y2≤t2上是抽象函数，故无法用先求出重积分的方法去求极限，因此考虑：①用中值定理先去掉积分号再求极限；②用二次积分化分子为积分上限的函数．因f(x，y)在D：x2+y2≤t2上连续，由积分中值定理可知，在D上至少存在一点(ξ，η)使f(x，y)dσ=f(ξ，η)σ=πt2f(ξ，η)．因(ξ，η)在D：x2+y2≤t2上，所以当t→0+时，(ξ，η)→(0，0)．于是f(ξ，η)=f(0，0)。7、(x2+y2)dxdy=____________．标准答案：知识点解析：令x=rsinθ，y=rcosθ，则原式=∫01dr∫02π(r2sin2θ+r2cos2θ)．rdθ=∫01r3dr∫02πdθ=．8、交换二次积分次序：∫01dyf(x，y)dx=____________。标准答案：∫04dxf(x，y)dy知识点解析：由已知有，所求积分区域为y=，x=y2所围成的区域，所以．9、交换二次积分次序：∫01dxf(x，y)dy+∫1edx∫lnx1f(x，y)dy=____________。标准答案：∫01dyf(x，y)dx知识点解析：由已知有，所求积分区域为y=1，y=一x2+1，y=lnx所围成的区域，所以10、设f(x)为连续函数，a与m是常数且a＞0，将二次积分I=∫0ady∫0yem(a一x)f(x)dx化为定积分，则I=____________．标准答案：∫0aem(a一x)f(x)(a一c)dx知识点解析：被积函数仅是x的函数，交换积分次序即可完成一次定积分．由二次积分的积分限可知D为：0≤x≤y，0≤y≤a，故I=∫0adx∫xaem(a一x)f(x)dy=∫0aem(a一x)f(x)(a一x)dx．11、设f(u)为连续函数，D是由y=1，x2一y2=1及y=0所围成的平面闭区域，则I=xf(y2)dσ=____________．标准答案：0知识点解析：因积分域D关于y轴对称，被积函数xf(y2)关于变量x是奇函数，故xf(y2)dσ=0。三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)12、设函数f(x)在[0，1]上连续，证明：∫01ef(x)dx∫01e一f(y)dy≥1．标准答案：知识点解析：暂无解析13、求V(t)=[(t一1)y+1]dxdy的最大值，其中Dt={(x，y)｜x2+y2≤1，一≤y≤1}，2≤t≤3。标准答案：知识点解析：暂无解析14、变换二次积分的积分次序：。标准答案：知识点解析：暂无解析15、变换二次积分的积分次序：。标准答案：知识点解析：暂无解析16、变换二次积分的积分次序：。标准答案：如图1．5—8所示，D=D1+D2，其中知识点解析：暂无解析17、变换二次积分的积分次序：。标准答案：知识点解析：暂无解析18、计算二重积分，其中D是第一象限中由直线y=x和曲线y=x3所围成的封闭区域．标准答案：知识点解析：暂无解析19、计算二重积分，其中D={(x，y)｜0≤y≤x，x2+y2≤2x}．标准答案：原式=知识点解析：暂无解析20、求二重积分，直线y=2，y=x所围成的平面区域．标准答案：知识点解析：暂无解析21、求min{x，y}dxdy，其中D={(x，y)｜0≤x≤3，0≤y≤1}．标准答案：积分区域：min{x，y