考研数学三（微积分）模拟试卷5（共279题）

考研数学三（微积分）模拟试卷5（共9套）（共279题）考研数学三（微积分）模拟试卷第1套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设当x→0时，有ax3+bx2+cx～∫0ln(1+2x)sintdt，则()．A、a=，b=1，c=0B、a=-，b=1，c=0C、a=，b=一1，c=0D、a=0，b=2，c=0标准答案：D知识点解析：因为ax3+bx2+cx～∫0ln(1+2x)sintdt，得a=0，b=2，选D．2、设f(x)=∫0sinxsint3dt，g(x)=x3+x4，当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、等价无穷小B、同阶但非等价无穷小C、高阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：B知识点解析：因为，所以正确答案为B．3、设f(x)=∫0xdt∫0ttin(1+u2)du，g(x)=[*](1一cost)dt，则当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：A知识点解析：故x→0时，f(x)是g(x)的低阶无穷小，应选A．4、设{an}与{bn}为两个数列，下列说法正确的是()．A、若{an}与{bn}都发散，则{anbn}一定发散B、若{an}与{bn}都无界，则{anbn}一定无界C、若{an}无界且D、若an为无穷大，且=0，则bn一定是无穷小标准答案：D知识点解析：A不对，如an=2+(一1)n，bn=2一(一1)n，显然{an}与{bn}都发散，但anbn=3，显然{anbn}收敛；B、C都不对，如an=n[1+(一1)n]，bn=n[1一(一1)n]，显然{an}与{bn}都无界，但anbn=0，显然{anbn}有界≠0；正确答案为D．5、设f(x)=，则()．A、a＞0，b＞0B、a＜0，b＜0C、a≥0，b＜0D、a≤0，b＞0标准答案：C知识点解析：因为f(x)==0，所以b＜0，选C．二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)6、=________标准答案：1知识点解析：7、=________标准答案：知识点解析：8、=________标准答案：知识点解析：9、=________标准答案：知识点解析：10、当x→0时，x—sinxcos2x～cxk，则c=________，k=________．标准答案：；3知识点解析：11、设，则a=________．标准答案：2知识点解析：.由ea一aea一ea得a=2．12、=________标准答案：知识点解析：13、=________标准答案：知识点解析：14、设=8，则a=________．标准答案：lna知识点解析：，由e3a=8，得a=ln2．15、=________标准答案：知识点解析：16、=________标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)17、确定常数a，b，c，使得=c．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求标准答案：知识点解析：暂无解析19、求标准答案：知识点解析：暂无解析20、求标准答案：知识点解析：暂无解析21、设f"(0)=6，且标准答案：知识点解析：暂无解析22、设标准答案：知识点解析：暂无解析23、求标准答案：知识点解析：暂无解析24、求标准答案：知识点解析：暂无解析25、求标准答案：知识点解析：暂无解析26、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析27、设f’(x)连续，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0xtf(t一x)dt，且当x→0时，F(x)～x，求n及f’(0)．标准答案：知识点解析：暂无解析28、设f(x)在[1，+∞)内可导，f’(x)＜0且标准答案：因为f’(x)＜0，所以f(x)单调减少．又因为an+1一an=f(n+1)一∫nn+1f(x)dx—f(n+1)一f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])，所以{an}单调减少．知识点解析：暂无解析29、设a＞0，x1＞0，且定义xn+1=存在并求其值．标准答案：因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有知识点解析：暂无解析30、设a1=1，当n≥1时，an+1=，证明：数列{an}收敛并求其极限．标准答案：知识点解析：暂无解析31、设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)=0，f(1)=1．证明：(1)存在c∈(0，1)，使得f(c)=1—2c；(2)存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．标准答案：(1)令φ(x)=f(x)一1+2x，φ(0)=一1，φ(1)=2，因为φ(0)φ(1)＜0，所以存在c∈(0，1)，使得φ(c)=0，于是f(c)=1—2c．(2)因为f(x)∈C[0，2]，所以f(x)在[0，2]上取到最小值m和最大值M，于是2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．知识点解析：暂无解析32、设=A，证明：数列{an}有界．标准答案：取ε0=1，因为=A，根据极限定义，存在N＞0，当n＞N时，有｜an一A｜＜1，所以｜an｜≤｜A｜+1．取M=max{｜a1｜，｜a2｜，…，｜aN｜，｜A｜+1)，则对一切的n，有｜an｜≤M．知识点解析：暂无解析33、设f(x)在[0，1]上有定义，且exf(x)与e-f(x)在[0，1]上单调增加．证明：f(x)在[0，1]上连续．标准答案：对任意的x∈[0，1]，因为ex(x)与e-f(x)在[0，1]上单调增加，令x→x0，由夹逼定理得f(x0+0)=f(x0)，故f(x0一0)=f(x0+0)=f(x0)，即f(x)在x=x0处连续，由x0的任意性得f(x)在[0，1]上连续．知识点解析：暂无解析34、设f(x)在[a，+∞)上连续，f(a)＜0，而存在且大于零．证明：f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．标准答案：令，所以存在X0＞0，当x≥X0时，有｜f(x)一k｜≤，特别地，f(X0)＞0，因为f(x1)在[a，X0]上连续，且f(a)f(X0)＜0，所以存在ξ∈(a，X0)，使得f(ξ)=0．知识点解析：暂无解析35、设f(x)=，求f(x)的间断点并判断其类型．标准答案：知识点解析：暂无解析36、求f(x)=的间断点并判断其类型．标准答案：f(x)的间断点为x=0，一1，一2，…及x=1．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第2套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设g(x)=∫0xf(du)du，其中f(x)=则g(x)在(0，2)内()．A、单调减少B、无界C、连续D、有第一类间断点标准答案：C知识点解析：因为f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以g(x)在(O，2)内连续，选C．2、设f(x)在R上是以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是()．A、∫axf(t)dtB、∫-xaf(t)dtC、∫-x0f(t)dt—∫x0f(t)dtD、∫-xxtf(t)dt标准答案：D知识点解析：设φ(x)=∫-xxtf(t)dt=2∫0xtf(t)dt，φ(x+T)=2∫0x+Ttf(t)dt=2∫0xtf(t)dt+2∫xx+Ttf(t)dt≠φ(c)，选D。3、设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是()．A、∫0xt[f(t)一f(一t)]dtB、∫0xt[f(t)+f(一t)]dtC、∫0xf(t2)dtD、∫0xf2(t)dt标准答案：B知识点解析：因为t[f(t)一f(-t)]为偶函数，所以∫0xt[f(t)一f(-t)]dt为奇函数，A不对；因为f(t2)为偶函数，所以∫0xf(t2)dt为奇函数，C不对；因为不确定f2(t)的奇偶性，所以D不对；令F(x)=∫0xt[f(t)+f(-t)]dt，F(-x)=∫0-xt[f(t)+f(-t)-]dt=∫0x(一u)[f(u)+f(-u)](一du)=F(x)，选B．4、若由曲线y=，曲线上某点处的切线以及x=1，x=3围成的平面区域的面积最小，则该切线是()．A、y=B、y=+24C、y=x+1D、y=标准答案：A知识点解析：二、填空题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)5、=________．标准答案：知识点解析：6、=________．标准答案：ln3知识点解析：7、=________．标准答案：知识点解析：8、=________．标准答案：4-π知识点解析：9、设f(x)满足等式xf’(x)-f(x)=，且f(1)=4，则∫01f(x)dx=________．标准答案：知识点解析：10、设函数y=y(x)满足△y=△x+o(△x)，且y(1)=1，则∫01y(x)dx=—一．标准答案：知识点解析：11、设，则a=________．标准答案：ln2知识点解析：12、设f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx=________．标准答案：e-1-e知识点解析：∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π一∫0πf’(x)sinxdx=一∫0πecosx“sinxdx=ecosx｜0π=e-1一e．13、设f(x)连续，且∫0xtf(2x—t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx=________．标准答案：知识点解析：14、设连续非负函数f(x)满足f(x)f(一x)=1，则=________．标准答案：1知识点解析：15、I(x)=在区间[-1，1]上的最大值为=________．标准答案：ln3知识点解析：故I(x)在[一1，1]上的最大值为ln3．16、设f(x)的一个原函数为=________．标准答案：知识点解析：17、y=上的平均值为________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)18、设f’(x)在[0，1]上连续且｜f’(x)｜≤M．证明：标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[0，a]上一阶连续可导，f(0)=0，令标准答案：由微分中值定理得f(x)一f(0)=f’(ξ)x，其中ξ介于0与x之间，因为f(0)=0，所以｜f(x)｜=｜f’(ξ)x｜≤Mx，x∈[0，a]，从而∫0af(x)dx｜≤∫0af(x)｜dx≤∫0aMxdx=．知识点解析：暂无解析20、设f’(x)在[0，1]上连续，且f(1)一f(0)=1．证明：∫01f’2(x)dx≥1．标准答案：由1=f(1)一f(0)=∫01f’(x)dx，得12=1=(∫01f’(x)dx)2≤∫0112dx∫01f’2(x)dx=∫01f’2(x)dx，即∫01f’2(x)dx≥1．知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0．证明：∫abf2(x)dx≤∫ab[f’(x)]2dx．标准答案：由f(a)=0，得f(x)一f(a)=f(x)=∫axf’(t)dt，由柯西不等式得f(x)=(∫axf’(f)dt)2≤∫ax12dt∫axf’2(t)dt≤(x一a)∫abf’2(x)dx积分得∫abf2(x)dx≤∫ab(x—a)dx．∫abf’2(x)dx=∫abf’2(x)dx知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=f(b)=0．证明：｜f(x)｜≤∫ab｜f’(x)｜dx(a＜x＜b)．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[a，b]上连续可导，证明：标准答案：因为f(x)在[a,b]上连续，所以｜f(x)｜在[a，b]上连续，令｜f(c)｜=｜f(x)｜根据积分中值定理，∫abf(x)dx=f(ξ)，其中ξ∈[a，b]．由积分基本定理，f(c)=f(ξ)+∫ξcf’(x)dx，取绝对值得｜f(c)｜≤｜f(ξ)｜+｜∫ξcf’(x)dx｜≤｜f(ξ)｜+∫ab｜f’(x)｜dx，即知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f"(x)＜0．证明：∫01f(x)dx≤．标准答案：知识点解析：暂无解析25、设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f"(x)≥0．证明：标准答案：知识点解析：暂无解析26、设f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0．证明积分不等式：ln∫01f(x)dx≥∫01lnf(x)dx．标准答案：令g(t)=Int(t＞0)，g"(t)=＜0，再令x0=∫01f(x)dx，则有g(t)≤g(x0)+g’(x0)(t一x0)→g[f(x)]≤g(x0)+g’(x0)[f(x)一x0]，两边积分，得∫01lnf(x)dx≤ln∫01f(x)dx．知识点解析：暂无解析27、设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，且a＜1．(1)确定a，使S1+S2达到最小，并求出最小值；(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．标准答案：(1)直线y=ax与抛物线y=x2的交点为(0，0)，(a，a2)．知识点解析：暂无解析28、求曲线y=3一｜x2一1｜与x轴围成的封闭区域绕直线y=3旋转所得的旋转体的体积．标准答案：显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕y=3旋转所成的体积．知识点解析：暂无解析29、求椭圆所围成的公共部分的面积．标准答案：根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的4倍，先求第一象限的面积．知识点解析：暂无解析30、设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕x轴一周所得旋转曲面为S．(1)求旋转曲面的方程；(2)求曲面S介于平面z=0与z=1之间的体积．标准答案：(1)．设对任意的M(x，y，z)∈S，过M垂直于z轴的截口为圆，其与直线AB及z轴的交点为M(x0，y0，z)，T(0，0，z)，由｜MT｜=｜M0T｜，得x2+y2=x02+y02，S：x2+y2=(1一z)2+z2，即S：x2+y2=2z2一2z+1．(2)对任意的z∈[0，1]，垂直于z轴的截口圆面积为A(z)=π(x2+y2)=π(2z2一2z+1)于是V=∫01A(z)dz=知识点解析：暂无解析31、证明：，其中a＞0为常数．标准答案：知识点解析：暂无解析32、证明：当x≥0时，f(x)=∫0x(t一t2)sin2ntdt的最大值不超过标准答案：当x＞0时，令f’(x)=(x—x2)sin2nx=0得x=1，x=kπ(k=1，2，…)，当0＜x＜1时，f’(x)＞0；当x＞1时，f’(x)≤0(除x=kπ(k=1，2，…)外f’(x)＜0)，于是x=1为f(x)的最大值点，f(x)的最大值为f(1)．因为当x≥0时，sinx≤x，所以当x∈[0，1]时，(x—x2)sin2nx≤(x—x2)x2n=x2n+1一x2n+2，于是f(x)≤f(1)=l(x—x2)sin2nxdx知识点解析：暂无解析33、设f(x)在[a，b]上连续，且对任意的t∈[0，1]及任意的x1，x2∈[a，b]满足：f(tx1+(1一t)x2)≤tf(x1)+(1一t)f(x2)．证明：标准答案：因为∫abf(x)dx=(b一a)∫01f[ta+(1一tb)]dt知识点解析：暂无解析34、设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1．证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．标准答案：因为f"(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x—x0)．取x0=∫abxφ(x)dx，因为φ(x)≥0，所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫abφ(x)dx=1，于是有a≤∫abxφ(x)dx=x0≤b．把x0=∫abxφ(x)dx代入f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0)中，再由φ(x)≥0，得f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f’(x0)[xφ(x)一x0φ(x)]，上述不等式两边再在区间[a，b]上积分，得∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．知识点解析：暂无解析35、令f(x)=x—[x]，求极限标准答案：因为[x+m]=[x]+m(其中m为整数)，所以f(x)=x一[x]是以1为周期的函数，又[x]≤x，故f(x)≥0，且f(x)在[0，1]上的表达式为f(x)=，对充分大的x，存在自然数n，使得n≤x＜n+1，则∫0nf(x)dx≤∫0xf(x)dx≤∫0n+1f(x)dx，知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第3套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设x→a时，f（x）与g（x）分别是x—a的n阶与m阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是（）①f（x）g（x）是x—a的n+m阶无穷小。②若n＞m，则是x一a的n—m阶无穷小。③若n≤m，则f（x）+g（x）是x—a的n阶无穷小。A、1B、2C、3D、0标准答案：B知识点解析：此类问题要逐一进行分析，按无穷小阶的定义：关于①：故f（x）g（x）是x—a的n+m阶无穷小；关于②：若n＞m，故f（x）/g（x）是x—a的n—m阶无穷小；关于③：例如，x→0时，sinx与—x均是x的一阶无穷小，但即sinx+（—x）是x的三阶无穷小。因此①，②正确，③错误。故选B。2、设f（x）=|（x—1）（x—2）2（x—3）3|，则导数f’（x）不存在的点的个数是（）A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：设φ（x）=（x—1）（x—2）2（x—3）3，则f（x）=|φ（x）|。使φ（x）=0的点x=1，x=2，x=3可能是f（x）的不可导点，还需考虑φ’（x）在这些点的值。φ’（x）=（x—2）2（x—3）3+2（x—1）（x—2）（x—3）3+3（x—1）（x—2）2（x—3）3，显然，φ’（1）≠0，φ’（2）=0，φ’（3）=0，所以只有一个不可导点x=1，故选B。3、设函数f（x）在（一∞，+∞）存在二阶导数，且f（x）=f（—x），当x＜0时有f’（x）＜0，f"（x）＞0，则当x＞0时，有（）A、f’（x）＜0，f"（x）＞0B、f’（x）＞0，f"（x）＜0C、f’（x）＞0，f"（x）＞0D、f’（x）＜0，f"（x）＜0标准答案：C知识点解析：由f（x）=f（—x）可知，f（x）为偶函数，因可导偶函数的导函数是奇函数，可导奇函数的导函数是偶函数，即f’（x）为奇函数，f"（x）为偶函数，因此当x＜0时，有f’（x）＜0，f"（x）＞0，则当x＞0时，有f’（x）＞0，f"（x）＞0。故选C。4、设f（x）在（一∞，+∞）可导，x0≠0，（x0f（x0））是y=f（x）的拐点，则（）A、x0必是f’（x）的驻点B、（—x0，—f（—x0））必是y=—f（—x）的拐点C、（—x0，一f（—x0））必是y=一f（x）的拐点D、对任意的x＞x0与x＜x0，y=f（x）的凹凸性相反标准答案：B知识点解析：从几何意义上分析，y=f（x）与y=—f（—x）的图形关于原点对称。x0≠0，（x0，f（x0））是y=f（x）的拐点，那么（—x0，—f（x0））是y=一f（—x）的拐点。故选B。5、设f（x）在[a，b]连续，则f（x）在[a，b]非负且在[a，b]的任意子区间上不恒为零是F（x）=∫axf（t）dt在[a，b]单调增加的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件标准答案：C知识点解析：已知g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则g（x）在[a，b]单调增加g’（x）≥0（x∈（a，b）），在（a，b）内的任意子区间内g’（x）≠0。因此，F（x）=∫0xf（t）dt（在[a，b]可导）在[a，b]单调增加F’（x）=f（x）≥0（x∈（a，b））且在（a，b）内的任意子区间内F’（x）=f（x）≠0。故选C。6、已知f’（x0，y0）存在，则A、fx’（x0，y0）B、0C、2fx’（x0，y0）D、fx’（x0，y0）标准答案：C知识点解析：由题意=fx’（x0，y）+fx’（x0，y）=2fx’（x0，y0），故选C。7、设I1=cos（x2+y2）2dσ，其中D={（x，y）|x2+y2≤1}，则（）A、I3＞I2＞I1B、I1＞I2＞I3C、I2＞I1＞I3D、I3＞I1＞I2标准答案：A知识点解析：在区域D={（x，y）|x2+y2≤1}上，有0≤x2+y2≤1，从而有cos（x2+y2）2dσ故应选A。undefinedundefinedundefined8、设函数f（t）连续，则二重积分f（r2）rdr=（）A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为曲线r=2在直角坐标系中的方程为x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐标系中的方程为x2+y2=2x，即（x—1）2+y2=1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得9、设pn=n=1，2，…，则下列命题正确的是（）A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：若|an|收敛，由级数绝对收敛的性质知an收敛。而pn=再由收敛级数的运算性质知，都收敛，故选B。二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)10、标准答案：知识点解析：将分子化简后，应用等价无穷小因子代换。易知11、若函数f（x）=在x=1处连续且可导，那么a=________，b=________。标准答案：a=2，b=—1知识点解析：因f（x）在x=1处连续，则=f（1），即1=a+b。若函数f（x）在x=1处可导，必须有f—’（1）=f+’（1）。由已知可得因此可得a=2，b=—1。12、标准答案：知识点解析：13、设y=y（x）是由方程2y3—2y2+2xy—x2=1确定的，则y=y（x）的极值点是________。标准答案：x=1知识点解析：方程两边对x求导，可得y’（3y2—2y+x）=x—y，（*）令y’=0，有x=y，代入2y3—2y2+2xy—x2=1中，可得（x—1）（2x2+x+1）=0。那么x=1是唯一的驻点。下面判断x=1是否为极值点：在（*）两端对x求导得y"（3y2—2y+x）+y’（3y2—2y+x）’x=1—y’，把x=y=1，y’（1）=0代入上式，得y"（1）=＞0。故y（x）只有极值点为x=1，它是极小值点。14、标准答案：知识点解析：令x—1=sint，则15、设函数f（x）=且λ＞0，则∫—∞+∞xf（x）dx=________。标准答案：知识点解析：已知x≤0时，函数值恒为0，因此可得16、设函数则dz|（1，1）=________。标准答案：（1+21n2）dx+（—1—2ln2）dy知识点解析：17、设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分标准答案：知识点解析：本题可以利用极坐标变换，18、幂级数的收敛域为_________。标准答案：[4，6）知识点解析：幂级数的系数为an=则有因此，幂级数的收敛半径为R=1，其收敛区间为（4，6）。当x=4时，原级数为收敛；当x=6时，原级数为发散，故幂级数的收敛域是[4，6）。19、微分方程的通解是________。标准答案：y=Cxe—x（x≠0），C为任意常数知识点解析：原方程等价为两边积分得lny=lnx—x+C1。取C=eC1，整理得y=Cxe—x（x≠0），C为任意常数。20、微分方程（y+x2e—x）dx—xdy=0的通解为y=________。标准答案：x（—e—x+C），C为任意常数知识点解析：微分方程（y+x2e—x）dx—xdy=0，可变形为=xe—x所以其通解为=x（—e—x+C），C为任意常数。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)21、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析22、设a为常数，讨论方程ex=ax2的实根个数。标准答案：当a≤0时，显然无实根。以下讨论当a＞0时的情形，由题意知x=0显然不是原方程的根，当x＜0时，f’（x）＞0；当0＜x＜2时f’（x）＜0；当x＞2时f’（x）＞0。且所以当a＞0时f（x）在区间（一∞，0）上有唯一实零点。又在区间（0，+∞）上，fmin(x)=f(2)=-a。当＞a时，f（x）在区间（0，+∞）上无实数根；当=a时，f（x）在区间（0，+∞）上有唯一实数根；当=+∞，f（x）在（0，+∞）上有两个实数根。综上所述，当a≤0时，f（x）=0无实根；当＞a＞0时，仅当x＜0时，f（x）=0有唯一实根；当=a时，f（x）=0仅有两个实根，一正一负；当＜a时，f（x）=0恰有三个实根，一负两正。知识点解析：暂无解析23、设奇函数f（x）在[—1，1]上具有二阶导数，且f（1）=1，证明：（Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得f’（ξ）=1；（Ⅱ）存在η∈（—1，1），使得f"（η）+f’（η）=1。标准答案：（Ⅰ）令F（x）=f（x）—x，F（0）=f（0）=0，F（1）=f（1）—1=0，则由罗尔定理知，存在ξ∈（0，1）使得F’（ξ）=0，即f’（ξ）=1。（Ⅱ）令G（x）=ex[f’（x）—1]，由（Ⅰ）知，存在ξ∈（0，1），使G（ξ）=0，又因为f（x）为奇函数．故f’（x）为偶函数，知G（—ξ）=0，则存在η∈（一ξ，ξ）（—1，1），使得G’（η）=0，即eη（f’（η）—1）+e’eηf"（η）=0，f"（η）+f’（η）=1。知识点解析：暂无解析24、设f（x）在[a，b]上有二阶连续导数，证明标准答案：连续利用分部积分法有∫abf（x）dx=∫abf（x）d（x一b）=f（a）（b—a）一∫abf’（x）（x一b）d（x一a）=f（a）（b—a）+∫ab（x—a）d[f’（x）（x—b）]=f（a）（b一a）+∫abb（x一a）df（x）+∫abbf"（x）（x一a）（x一b）dx=f（a）（b—a）+f（b）（b—a）一∫abf（x）clx+∫abbf"（x）（x一a）（x一b）dx，移项并整理后得∫abf（x）dx=∫abf（x）dx+∫abbf"（x）（x一a）（x一b）dx。知识点解析：暂无解析25、设z=f（x+y，x—y，xy），其中f具有二阶连续偏导数，求dz与标准答案：由题意=f1’—f2’+xf3’，所以=（f1’+f2’+yf3’）dx+（f1’一f2’+xf3’）dy，=f11"．1+f12"．（—1）+f13"．x+f21"+f22"（—1）+f23"?x+f3"+y[f31"．1+f32"．（—1）+f33"?x]=f3"+f11"—f22"+xyf33"+（x+y）f13"+（x—y）f23"。知识点解析：暂无解析26、已知函数z=f（x，y）的全微分出=2xdx—2ydy，并且f（1，1）=2。求f（x，y）在椭圆域D={（x，y）|x2+≤1}上的最大值和最小值。标准答案：根据题意可知=—2y，于是f（x，y）=x2+C（y），且C’（y）=—2y，因此有C（y）=一y2+C，由f（1，1）=2，得C=2，故f（x，y）=x2一y2+2。△=B2—AC=4＞0，所以点（0，0）不是极值点，也不可能是最值点。得可能极值点x=0，y=2，λ=4；x=0，y=—2，λ=4；x=1，y=0，λ=—1；x=—1，y=0，λ=—1。将其分别代入f（x，y）得，（0，±2）=—2，f（±1，0）=3，因此z=f（x，y）在区域D={（x，y）|x2+≤1}内的最大值为3，最小值为一2。知识点解析：暂无解析27、计算二重积分x（y+1）dσ，其中积分区域D是由y轴与曲线y=所围成。标准答案：引入极坐标（r，θ）满足x=rcosθ，y=rsinθ，在极坐标（r，θ）中积分区域D可表示为知识点解析：暂无解析28、设有正项级数是它的部分和。（Ⅰ）证明收敛；（Ⅱ）判断级数是条件收敛还是绝对收敛，并给予证明。标准答案：（Ⅰ）设Tn为因正项级数的部分和数列Sn单调上升，将上式放缩由（Ⅰ）可知收敛，再由比较原理知，收敛，因此原级数绝对收敛。知识点解析：暂无解析29、将函数f（x）=展开成x—1的幂级数，并指出其收敛区间。标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第4套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、以下3个命题：①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A；②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A；③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．正确的个数为()A、0B、1C、2D、3标准答案：D知识点解析：对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n>N时，恒有|un一A|＜ε，则当ni>N时，恒有|uni一A|＜ε，因此数列{un}也收敛于A，可知命题正确．对于命题②，不妨设数列{xn}为单调增加的，即x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一给定子数列{xn}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当ni>N时，恒有|xni一A|＜ε．由于数列{xn}为单调增加的数列，对于任意的n>N，必定存在ni≤n≤ni+1，有一εni—A≤xn一A≤xni+1一A＜ε，从而|xn一A|＜ε．可知数列{xn}收敛于A因此命题正确．对于命题③，因由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N1，N2；当2n>N1时，恒有|x2n一A|＜ε；当2n+1>N2时，恒有|x2n+1一A|＜ε．取N=max{N1，N2)，则当n>N时，总有|xn一A|＜ε．因此=A．可知命题正确．故答案选择(D)．2、设在区间(一∞，+∞)内f(x)＞0，且当忌为大于0的常数时有f(x+k)=，则在区间(一∞，+∞)内函数f(c)是()A、奇函数B、偶函数C、周期函数D、单调函数标准答案：C知识点解析：因为f(x+2k)==f(x)，故f(x)是周期函数．3、两个无穷小比较的结果是()A、同阶B、高阶C、低阶D、不确定标准答案：D知识点解析：如，β(x)=x，当x→0时，都是无穷小，但不存在，故α(x)和β(x)无法比较阶的高低．4、极限=A≠0的充要条件是()A、α＞1B、α≠1C、α＞0D、与α无关标准答案：B知识点解析：5、设当x→x0时，α(x)，β(x)都是无穷小(β(x)≠0)，则当x→x0时，下列表达式中不一定为无穷小的是()A、B、α2(x)+β2(x).C、ln[1+α(x).β2(x)]D、|α(x)|+|β(x)|标准答案：A知识点解析：有限个无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小量．6、设当x→0时，f(x)=ax3+bx与g(x)=∫0sinx(ex2一1)dx等价，则()A、a=，b=1B、a=3，b=0C、a=，b=0D、a=1，b=0标准答案：C知识点解析：7、设f(x)=，则()A、x=0，x=1都是f(x)的第一类间断点B、x=0，x=1都是f(x)的第二类间断点C、x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点D、x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点标准答案：D知识点解析：由f(x)的表达式可知x=0，x=1为其间断点．故x=1是第一类间断点，x=0是第二类间断点，选(D)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、对充分大的一切x，给出以下5个函数：1002，log10100，e10x，x1010，，则其中最大的是________．标准答案：知识点解析：当x充分大时，有重要关系：eax＞＞xβ＞＞lnγx，其中α，β，γ＞0，故本题填9、=________．标准答案：e6知识点解析：10、=________．标准答案：e6知识点解析：11、若当x→0时，有，则a________．标准答案：一3知识点解析：当x→0时，故a=-3．12、当x→π时，若有一1～A(x一π)k，则A=________，k=________．标准答案：知识点解析：当x→π时，三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)13、设g(x)=ex，求f[g(x)]．标准答案：知识点解析：暂无解析14、讨论函数f(x)的连续性．标准答案：因为所以f(x)在[0，+∞)上连续．知识点解析：暂无解析15、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析16、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析17、求极限标准答案：连续使用完两次法则，又回到了起点，法则失效，正确的做法是先对式子恒等变形．知识点解析：暂无解析18、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析19、已知，求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设=10，试求α，β的值．标准答案：知识点解析：暂无解析21、计算标准答案：知识点解析：暂无解析22、数列{xn}通项xn=标准答案：知识点解析：暂无解析23、如果数列{xn}收敛，{yn}发散，那么{xnyn}是否一定发散?如果{xn}和{yn}都发散，那么{xnyn}的敛散性又将如何?标准答案：在题设两种情况下，{xnyn}的敛散性都不能确定，现在先就{xn}收敛，{yn}发散的情况来分析．利用这个恒等式，就可得到下述结论：若{xn}收敛且不收敛于零，{yn}发散，则{xnyn}必发散．这是因为若{xnyn}收敛，且又{xn}收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知{yn}收敛，这与假设矛盾．若，且{yn}发散，则{xnyn}可能收敛，也可能发散，如：①xn=，yn=n，则xnyn=1，于是{xnyn}收敛．②xn=，yn=(一1)nn，则xnyn=(一1)n，于是{xnyn}发散．现在再就{xn}和{yn}都发散的情况来分析{xnyn}的敛散性．有下面的结论：若{xn}和{yn}都发散，且两者至少有一个是无穷大，则{xnyn}必发散．这是因为如果{xnyn}收敛，而{xn}为无穷大，从等式yn=便得到{yn}收敛于零，这与假设矛盾．若{xn}和{yn}都不是无穷大且都发散，则{xnyn}可能收敛，也可能发散，如③xn=yn=(一1)n有xnyn=1，于是{xnyn}收敛．④xn=(一1)n，yn=1一(一1)n，有xnyn=(一1)n一1，于是{xnyn}发散．知识点解析：暂无解析24、计算标准答案：知识点解析：暂无解析25、计算标准答案：知识点解析：暂无解析26、求函数的间断点，并判断它们的类型．标准答案：对于函数F(x)的分段点x=0，因知识点解析：暂无解析27、设求f(x)的间断点并判定其类型．标准答案：则x=-1为跳跃间断点．知识点解析：暂无解析28、设求f(x)的间断点，并说明间断点的类型，如是可去间断点，则补充或改变定义使它连续．标准答案：f(x)在(一1，0)，(0，1)及(1，+∞)都是初等函数，是连续的。f(0)无定义，故x=0是间断点。因为，所以x=0为跳跃间断点。知识点解析：暂无解析29、设函数f(x)在[a，b]上连续，x1，x2，…，xn，…是[a，b]上一个点列，求标准答案：本题考虑夹逼准则．由f(x)在[a，b]上连续，知ef(x)在[a，b]上非负连续，且0＜m≤ef(x)≤M，其中M，m分别为ef(x)在[a，b]上的最大值和最小值，于是0＜m≤≤M，故知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第5套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、已知级数条件收敛，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：设，则当n→∞时，|un|～的敛散性相同，故而由条件收敛可知0＜3一α≤1，即2≤α＜3．若使两个结论都成立，只有≤α＜3，故选(D)．2、设，则级数()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：3、下列命题中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为ωn＜un＜υn，所以0＜un一ωn＜υn一ωn．又因为收敛，因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B)，(C)将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对．例如取级数可以说明(B)不对，取级数就可以说明(C)不对，选(D)．4、下列命题中错误的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由级数收敛的性质知命题(A)正确．由反证法可知命题(B)正确．若设这两个级数都发散，但是收敛，可知命题(C)正确，但命题(D)错误．5、对于级数，其中um＞0(n=1，2，…)，则下列命题正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因|(一1)n-1un|=|un|=un，由绝对收敛，命题(B)正确．(A)错误：如6、下列结论正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由幂级数在收敛域(一R，R)的和函数性质可知，命题(C)正确．(A)错误：如，收敛域为(一1，1]，但在x=1处，条件收敛．(B)错误：因为可能R=0或R=+∞．(D)错误：由幂级数的定义可知不是幂级数．7、设0≤un≤，则下列级数中一定收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因收敛，由正项级数的比较审敛法知收敛，故绝对收敛．从而收敛，故选(D)．(A)，(C)错，如二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)8、函数f(x)=ln(3+x)展开为x的幂级数为________．标准答案：知识点解析：9、幂级数的收敛域为________．标准答案：[1，3)知识点解析：令y=x一2，则10、设的敛散性为________．标准答案：发散知识点解析：11、正项级数收敛的充分必要条件为其部分和数列{Sn}________．标准答案：有界(或有上界)知识点解析：级数收敛等价于{Sn}收敛．对于正项级数为单调递增数列．由数列极限存在准则与数列收敛的必要条件可知，单调递增数列{Sn}收敛等价于{Sn}有界(或有上界)．12、幂级数的收敛域为________．标准答案：[一1，1]知识点解析：从而收敛区间为[一1，1]．13、ex展开成(x一3)的幂级数为________．标准答案：(其中一∞＜x＜+∞)知识点解析：ex=e3+(x-3)=e3.ex-3，因14、级数当________时绝对收敛；当________时条件收敛；当________时发散．标准答案：p＞1；0＜p≤1；p≤0知识点解析：15、若在x=一一3处为条件收敛，则其收敛半径R=________．标准答案：3知识点解析：综上，由收敛半径的定义便有R=3．三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)16、判断下列正项级数的敛散性：(1)(2)(3)标准答案：知识点解析：暂无解析17、设都是正项级数，试证：(1)若收敛；(2)若收敛；(3)若都收敛；(4)若收敛。标准答案：知识点解析：暂无解析18、证明：级数条件收敛．标准答案：所以，原级数的部分和数列{Sn}收敛，从而级数收敛，所以，原级数条件收敛．知识点解析：暂无解析19、设u1=2，un+1=收敛．标准答案：由算术平均值不小于其几何平均值得即数列{un}有下界1，由此又得un+1一un=(1一un2)≤0，即{un}单调减少，则根据单调有界准则知极限必存在，由{un}单调减少知所考虑的级数为正项级数，且有知识点解析：暂无解析20、试判断级数的敛散性．标准答案：由于该级数的通项知识点解析：暂无解析21、设(1)求证：若b＞1，则发散；(2)当b=1时，试举出可能收敛也可能发散的例子．标准答案：知识点解析：暂无解析22、根据阿贝尔定理，已知在某点x1(x1≠x0)的敛散性，证明该幂级数的收敛半径可分为以下三种情况：(1)若在x1处收敛，则收敛半径R≥|x1一x0|；(2)若在x1处发散，则收敛半径R≤|x1一x0|；(3)若在x1处条件收敛，则收敛半径R=|x1一x0|．标准答案：根据阿贝尔定理，(1)(2)是显然的．对于(3)，因幂级数(x一x0)n在点x1处收敛，则R≥|x1一x0|；另一方面，因幂级数(x—x0)n在点x1处条件收敛，则R≤|x1一x0|．因若不然，则该点是绝对收敛，而不是条件收敛，这与题设矛盾．于是，综合上述两方面得该幂级数的收敛半径R=|x1一x0|．知识点解析：暂无解析23、设幂级数在x=0处收敛，在x=2b处发散，求幂级数的收敛半径R与收敛域，并分别求幂级数的收敛半径．标准答案：令t=x—b，收敛中心x0=b的幂级数an(x一b)n化为收敛中心t0=0的幂级数根据幂级数逐项求导、逐项积分所得幂级数的收敛半径不变的性质，即知它们的收敛半径都是R=|b|．知识点解析：暂无解析24、将y=sinx展开为的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析25、将f(x)=展开为(x+1)的幂级数．标准答案：如果此题这样做：是行不通的，改用“先积后导”的方法：知识点解析：暂无解析设f(x)=26、将f(x)展开为x的幂级数；标准答案：把f(x)作初等变换，并利用几何级数|x|＜1，则f(x)展开为x的幂级数知识点解析：暂无解析27、分别判断级数的敛散性．标准答案：根据幂级数展开式的唯一性得f(x)在x0=0处的高阶导数知识点解析：暂无解析28、设an=收敛，并求其和．标准答案：知识点解析：暂无解析29、证明：标准答案：知识点解析：暂无解析30、求标准答案：知识点解析：暂无解析31、求级数标准答案：知识点解析：本题考查无穷级数的求和，涉及逐项积分和逐项求导的恒等变形，是常规考题．32、求函数项级数e-x+2e-2x+…+，ne-nx+…收敛时x的取值范围；标准答案：该函数项级数的通项un(x)=ne-nx，un+1(x)=(n+1)e-(n+1)x，当x=0时，发散；当x=0时，该级数成为1+2+…+n+…，显然是发散的，所以该级数当x＞0时收敛于S(x)．知识点解析：暂无解析33、当上述级数收敛时，求其和函数S(x)，并求∫ln2ln3S(x)dx．标准答案：S(x)=e-x+2e-2x+…+ne-nx+…t+2t2+…+ntn+…=t(1+2t+…+nn-1+…)=t(t+t2+…+tn+…)’知识点解析：暂无解析34、设数列{an}满足a1=a2=1，且an+1=an+an-1，n=2，3，…．证明：在时幂级数收敛，并求其和函数与系数an．标准答案：(1)显然，{an}是正项严格单调增加数列，且有a3=2，a4=a2+a3＜2aa3=22，假设an＜2n-2，则有an+1=an+an-1＜2an＜2n-1，故由归纳法得an＜2n-2．于是，所考虑的级数的通项有(2)原幂级数化为(3)知识点解析：暂无解析设y(x)=35、求y(0)，y’(0)，并证明：(1一x2)y"一xy’=4；标准答案：知识点解析：暂无解析36、求(2x)2n一(|x|＜1)的和函数及级数的值．标准答案：下面求解微分方程(1一x2)y"一xy’=4．首先，应该可以想到本题用“二阶可降阶”的方法，令y’=p，考生可以自练．但是本题更好的做法如下：知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第6套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设f(x)是偶函数，φ(x)是奇函数，则下列函数(假设都有意义)中，是奇函数的是()A、f(φ(x))B、f(f(x))C、φ(f(x))D、φ(φ(x))标准答案：D知识点解析：令g(x)=φ(φ(x))，注意φ(x)是奇函数，有g(-x)一φ(φ(一x))=φ(一φ(x))=-φ(φ(x))=-g(x)．2、设则f(一x)等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：3、函数f(x)一xsinx()A、在(一∞，+∞)内无界B、在(一∞，+∞)内有界C、当x→∞时为无穷大D、当x→∞时极限存在标准答案：A知识点解析：对于任意给定的正数M，总存在着点，故f(x)在(一∞，+∞)内无界．(C)错，对于任意给定的正数M，无论x取多么大的正数，总有,xn=|2nπ|＞x(只要|n|＞)，使f(x)=xnsinxn→0＜M，故当x→∞时f(x)不是无穷大．千万不要将无穷大与无界混为一谈．4、设当x→x0时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是()A、设当x→x0时，g(x)是无穷小，则f(x)g(x)必是无穷小B、设当x→x0时，g(x)不是无穷小，则f(x)g(x)必不是无穷小C、设在x=x0的某邻域g(x)无界，则当x→x0时，f(x)g(x)必是无穷大D、设在x=x0的某邻域g(x)有界，则当x→x0时，f(x)g(x)必不是无穷大标准答案：D知识点解析：设，当x→0时为无界变量，不是无穷大。令g(x)=x，当x→0时为无穷小，可排除(A)。设x→0时，令f(x)=x2，g(x)=可排除(B)，(C)．5、设当x→0时，etanx一ex与xn是同阶无穷小，则n为()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：6、设当x→0时，f(x)=ln(1+x2)一ln(1+sin2x)是x的n阶无穷小，则正整数n等于()A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：因此，n=4．7、设f(x)=，则f(x)有()A、1个可去间断点，1个跳跃间断点B、1个跳跃间断点，1个无穷间断点C、2个可去间断点D、2个无穷间断点标准答案：A知识点解析：x=0和x=1为f(x)的间断点，其余点连续．则x=0为可去间断点．因x→1时，lnx=n(1+x一1)～x一1，则x=1为跳跃间断点，答案选择(A)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、=________．标准答案：知识点解析：9、=________．标准答案：知识点解析：10、极限=________．标准答案：2知识点解析：11、当x→0时，若有，则A=________，k=________．标准答案：知识点解析：12、若是(-∞，+∞)上的连续函数，则a=________．标准答案：1知识点解析：三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)13、设求f[g(x)]．标准答案：本题同样考查分段函数的复合方法．下面用解析法求解．首先，广义化为由g(x)的表达式知，(1)当g(x)≤0，即{2e2一1≤0}∩{x≤0}或{x2一1≤0}∩{x＞0}，而{2ex一1≤0}∩{z≤0}={x≤一ln2}∩{x≤0}={x≤一ln2}，{x2一1≤0}∩{x＞0}={一1≤x≤1}∩{x＞0}={0＜x≤1}．(2)当g(x)＞0，即{2ex一1＞0}∩{x≤0}或{x2一1>0}∩{x＞0}，而{2ex一1＞0}∩{x≤0}={x＞一ln2}∩{x≤0)={一ln2＜x≤0}，{x2一1＞0}∩{x＞0)={x＞1或x＜一1}∩{x＞0)={x＞1}．综上，得知识点解析：暂无解析14、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析15、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析16、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析17、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f(x)是三次多项式，且有标准答案：知识点解析：暂无解析19、确定常数a和b的值，使标准答案：知识点解析：暂无解析20、已知=D≠0．求常数A，B，C，D．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设a1=2，an+1=存在并求其极限值．标准答案：知识点解析：暂无解析22、分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系?标准答案：不正确．初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数．分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如φ(x)=|x|，通常写成分段函数的形式但也可以写成一个表达式，所以函数φ(x)=|x|是初等函数．而则不是初等函数．知识点解析：暂无解析23、利用夹逼准则证明：标准答案：知识点解析：暂无解析24、设a＞0，x1＞0，xn+1=标准答案：知识点解析：暂无解析25、求函数的间断点并指出其类型．标准答案：显然f(0)无意义．则x=1为跳跃间断点．由于f(x)是偶函数，则x=-1也是跳跃间断点．知识点解析：暂无解析26、设函数f(x)连续可导，且f(0)=0，F(x)=∫0xtn-1f(xn一tn)dt，求．标准答案：知识点解析：暂无解析27、求的连续区间、间断点并判别其类型．标准答案：f(x)无定义的点是使1一x=0和1一=0的点，即x=1和x=0，所以f(x)的连续区间为(一∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)．当x→0时，1一→0，所以=∞，所以x=0是无穷间断点．→1，所以f(1+)=1．所以x=1是跳跃间断点．知识点解析：暂无解析28、设函数f(x)在0＜x≤1时f(x)=xsinx，其他的x满足关系式f(x)+k=2f(x+1)，试求常数k使极限存在．标准答案：因求“00”型未定式极限的常用方法是将该类幂指数函数u(x)υ(x)化为复合函数eυ(x)lnu(x)，故其中，通过等价无穷小替换与洛必达法则求得：根据题设的关系式f(x)=2f(x+1)一k，得，由上述结果f(x)在x=0处右极限f(0+)=1；而其左极限由于极限是存在的，故2一k=f(0-)=f(0+)=1，则常数k=1．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第7套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设f(x)为可导函数，F(x)为其原函数，则()．A、若f(x)是周期函数，则F(x)也是周期函数B、若f(x)是单调函数，则F(x)也是单调函数C、若f(x)是偶函数，则F(x)是奇函数D、若f(x)是奇函数，则F(x)是偶函数标准答案：D知识点解析：令f(x)=cosx一2，F(x)=sinx一2x+C，显然f(x)为周期函数，但F(x)为非局期函数，(A)不对；令f(x)=2x，F(x)=x2+C，显然f(x)为单调增函数，但F(x)为非单调函数，(B)不对；令f(x)=x2，F(x)=x2+2，显然f(x)为偶函数，但F(x)为非奇非偶函数，(C)不对；若f(x)为奇函数，F(x)=∫ax(t)dt，因为所以F(x)为偶函数，选D．2、设∫f(x)dx=x2+C，则∫xf(1一x2)dx等于()．A、(1一x2)2+CB、一(1一x2)2+CC、2(1一x2)2+CD、一2(1一x2)2+C标准答案：B知识点解析：，选B．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)3、=__________标准答案：知识点解析：4、=__________标准答案：知识点解析：5、=__________标准答案：知识点解析：6、∫sin3xcoszdx=__________．标准答案：知识点解析：7、=__________标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)8、求标准答案：知识点解析：暂无解析9、求标准答案：知识点解析：暂无解析10、求标准答案：知识点解析：暂无解析11、求标准答案：知识点解析：暂无解析12、求∫arcsin2xdx标准答案：知识点解析：暂无解析13、求标准答案：知识点解析：暂无解析14、求标准答案：知识点解析：暂无解析15、求标准答案：知识点解析：暂无解析16、求标准答案：知识点解析：暂无解析17、求标准答案：知识点解析：暂无解析18、求标准答案：知识点解析：暂无解析19、求标准答案：知识点解析：暂无解析20、求标准答案：因为(3+sinxcosx)’=cos2x，所以知识点解析：暂无解析21、求标准答案：知识点解析：暂无解析22、求标准答案：知识点解析：暂无解析23、求标准答案：知识点解析：暂无解析24、求标准答案：知识点解析：暂无解析25、求标准答案：知识点解析：暂无解析26、求标准答案：知识点解析：暂无解析27、求标准答案：知识点解析：暂无解析28、求标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第8套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、已知则I=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：积分域由两部分组成(如图1．5—1)．设故应选(A)．2、二次积分∫02dx∫0x2f(x，y)dy写成另一种次序的积分是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：改变积分次序的步骤是：①由原累次积分的上、下限写出来表示为积分域D的联立不等式，并作出D的草图，原积分变成二重积分②按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式．由已知积分的上、下限，可知积分域的不等式表示为：3、设平面区域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，若，则I1，I2，I3的大小顺序为()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2标准答案：C知识点解析：4、累次积分f(x2+y2)dx(R＞0)化为极坐标形式的累次积分为()A、∫0πdθ∫02Rsinθf(r2)rdrB、C、D、∫0πdθ∫02Rcosθf(r2)rdr标准答案：C知识点解析：积分域D为：0≤x≤，0≤y≤2R，见图1．5—3．在极坐标系下D可表示为：0≤r≤2Rsinθ，0≤θ≤，故5、设平面区域D：(x一2)2+(y一1)2≤1，若比较的大小，则有()A、I1=I2B、I1＞I2C、I1＜I2D、不能比较标准答案：C知识点解析：由二重积分的比较性质，只需比较D上(x+y)2与(x+y)3的大小，即x+y与1的大小。从几何的角度也就是考察圆域D与直线x+y=1的位置关系。因积分域D的圆心(2，1)到直线x+y=1的距离(1为圆的半径)，故闭域D在直线x+y=1的上方，即(x，y)∈D，有x+y＞1，从而在D上(x+y)2＜(x+y)3，则I1＜I2．6、化为极坐标系中的累次积分为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由y=1+x2+(y一1)2=1(y≥1)，所以，积分区域D是圆x2+(y一1)x≤1的右半圆在直线y=x上方的部分，于是，其极坐标形式为7、设D由直线x=0，y=0，x+y=1围成，已知∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx，则f(x)dxdy=()A、2B、0C、D、1标准答案：B知识点解析：二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)8、二重积分ln(x2+y2)dxdy的符号为________．标准答案：负号知识点解析：二重积分的积分值的符号由被积函数在积分域内的正负号所确定．积分域D：|x|+|y|≤1．因0≤x2+y2≤(|x|+|y|)2≤1，故ln(x2+y2)≤ln1=0，但又不恒等于零，故(x2+y2)dxdy＜0．9、若f(x，y)为关于x的奇函数，且积分区域D关于y轴对称，则当f(x，y)在D上连续时，必有=________．标准答案：0知识点解析：设连续函数z=f(x，y)关于x为奇函数(f(一x，y)=一f(x，y))或关于x为偶函数(f(一x，y)=f(x，y))，积分域D关于y轴对称，D1表示D的位于y轴右方的部分．则有同理当z=f(x，y)关于y为奇函数或偶函数，积分域D关于x轴对称也有类似的结论．10、设D={(x，y)|1≤x2+y2≤e2}，则二重积分=________．标准答案：知识点解析：被积函数的特点含有x2+y2的形式，且积分域是以原点为中心的圆环域，选用极坐标计算较方便，11、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=0所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为________，其值等于________．标准答案：知识点解析：由得交点A(e，1)．所求平面图形的面积为12、设I=∫01dx∫exe2xf(x，y)dy，交换积分次序后I=________．标准答案：知识点解析：积分域D为：ex≤y≤e2x，0≤x≤1．曲线y=e2x，y=ex与直线x=1的交点分别为(1，e2)与(1，e)．故13、设f(x，y)为连续函数，则=________，其中D：x2+y2≤t2．标准答案：f(0，0)知识点解析：因被积函数f(x，y)在闭区域D：x2+y2≤t2上是抽象函数，故无法用先求出重积分的方法去求极限，因此考虑：(1)用中值定理先去掉积分号再求极限；(2)用二次积分化分子为积分上限的函数．因f(x，y)在D：x2+y2≤t2上连续，由积分中值定理可知，在D上至少存在一点(ξ，η)使因(ξ，η)在D：x2+y2≤t2上，所以当t→0+时，(ξ，η)→(0，0)．于是14、(x2+y2)dxdy=________．标准答案：知识点解析：令x=rsinθ，y=rcosθ，则原式=∫01dr∫02π(r2sin2θ+r2cos2θ)rdθ=∫01r3dr∫02πdθ=三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)15、设D={(x，y)|a≤x≤b，c≤y≤d)，若f"xy与f"yx在D上连续．证明：标准答案：结论成立．知识点解析：暂无解析16、设D为xOy平面上的区域，若f"xy与f"yx都在D上连续．证明：f"xy与f"yx在D上相等．标准答案：用反证法．设P0(x0，y0)∈D，有f"xy(x0，y0)≠f"yx(x0，y0)，不妨设f"xy(x0，y0)一f"yx(x0，y0)＞0．由于[f"xy(x0(x，y)一f"yx(x0(x，y)]=f"xy(x0(x0，y0)一f"yx(x0(x0，y0)＞0．由极限的保号性，＞0，δ＞0，当P(x，y)∈U(P0，δ)时有f"xy(x，y)一f"yx(x，y)＞ε0．由(1)，[f"xy(x，y)一f"yx(z，y)-]dxdy=0，矛盾，故f"xy(x，y)与f"yx(x，y)在D上相等．知识点解析：暂无解析17、证明：标准答案：一方面，有知识点解析：暂无解析18、设函数f(x)在[0，1]上连续．证明：∫01ef(x)dx∫01e-f(y)dy≥1．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求V(t)=((t一1)y+1)dxdy的最大值，其中Dt={(x，y)|x2+y2≤1，≤y≤1}，2≤t≤3．标准答案：知识点解析：暂无解析变换下列二次积分的积分次序：20、标准答案：如图1．5-4知识点解析：暂无解析21、∫01f(x，y)dx；标准答案：如图1．5-5，知识点解析：暂无解析22、标准答案：如图1．5-6，D=D1+D2，其中知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、计算二重积分，其中D是第一象限中由直线y=x和曲线y=x3所围成的封闭区域．标准答案：知识点解析：暂无解析25、计算二重积分其中D={(x，y)|0≤y≤x，x2+y2≤2x}．标准答案：知识点解析：暂无解析26、求二重积分