考研数学三（微积分）模拟试卷2（共264题）

考研数学三（微积分）模拟试卷2（共9套）（共264题）考研数学三（微积分）模拟试卷第1套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、下列各式中正确的是（）A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由重要极限结论=e，可立即排除B、D。对于A、C选项，只要验算其中之一即可。对于C选项，因=e—1，故C不正确，选A。2、设对任意的x，总有φ（x）≤f（x）≤g（x），且[g（x）—φ（x）]=0，则A、存在且等于零B、存在但不一定为零C、一定不存在D、不一定存在标准答案：D知识点解析：取φ（x）=f（x）=g（x）=x，显然有φ（x）≤f（x）≤g（x），且[g（x）—φ（x）]=0，但[g（x）一φ（x）]=0，但=1，可见C也不正确，敬选D。3、设f（x）在[a，b]可导，f（a）=，则（）A、f+’（0）=0B、f+’（a）≥0C、f+’（A）＜0D、f+’（a）≤0标准答案：D知识点解析：由题设条件f+’（a）=≤0，故选D。4、设f（x）在（1—δ，1+δ）内存在导数，f’（x）严格单调减少，且f（1）=f’（1）=1，则（）A、在（1—δ，1）和（1，1+∞内均有f（x）＜xB、在（1—δ，1）和（1，1+∞内均有f（x）＞xC、在（1—δ，1）有f（x）＜x，在（1，1+δ）内均有f（x）＞xD、在（1—δ，1）有f（x）＞x，在（1，1+δ）内均有f（x）＜x标准答案：A知识点解析：f’（x）在（1—δ，1+δ）上严格单调减少，则f（x）在（1—δ，1+δ）是凸的，因此在此区间上，y=f（x）在点（1，1）处的切线为y—l=f’（1）（x—1），即y=x在此曲线的上方（除切点外）。因此f（x）＜x（x∈（1—δ，1+δ），x≠1）。5、已知f（x）在x=0的某个邻域内连续，且f（0）=0，=2，则在点x=0处f（x）（）A、不可导B、可导且f’（0）≠0C、取得极大值D、取得极小值标准答案：D知识点解析：因当x→0时，1—cosx～，故极限条件等价于=2。从而可取f（x）=x2，显然满足题设条件。而f（x）=x2在x=0处取得极小值，故选D。6、若f（x）的导函数是sinx，则f（x）有一个原函数为（）A、1+sinxB、1—sinxC、1+cosxD、1—cosx标准答案：B知识点解析：由f’（x）=sinx，得f（x）=∫f’（x）dx=∫sinxdx=—cosx+C1，所以f（x）的原函数是F（x）=∫f（x）dx=∫（一cosx+C1）dx=—sinx+C1x+C2，其中C1，C2为任意常数。令C1=0，C2=1得F（x）=1—sinx。故选B。7、方程根的个数为（）A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：设F（x）=∫0x则F（x）在（一∞，+∞）内连续，又F（0）=，由零点定理得F（x）=0至少有一个根。又易知且当x∈（一∞，+∞）时，≥1（等号仅当x=0成立），又≤1，—1≤sinx≤1，所以有—1≤≤1，又F’（0）=1＞0，因此F’（x）＞0，从而有F（x）在（一∞，+∞）严格单调递增，由此F（x）=0最多有一个实根。综上，F（x）=0在（一∞，+∞）上有且仅有一个实根，故选B。8、设可微函数f（x，y）在点（x0，y0）取得极小值，则下列结论正确的是（）A、f（x0，y）在y=y0处的导数大于零B、f（x0，y）在y=y0处的导数等于零C、f（x0，y）在y=y0处的导数小于零D、f（x0，y）在y=y0处的导数不存在标准答案：B知识点解析：因可微函数f（x，y）在点（x0，y0）取得极小值，故有fx’（x0，y0）=0，fy’（x0，y0）=0。又由f’（x0，y0）f（x0，y）|y=y0，可知B正确。9、交换积分次序∫1edx∫0lnxf（x，y）dy为（）A、∫0edy∫0lnxdyf（x，y）dxB、∫0edy∫0lnxdyf（x，y）dxC、∫0edy∫0lnxdyf（x，y）dxD、∫0edy∫0lnxdyf（x，y）dx标准答案：D知识点解析：交换积分次序得∫1edx∫0lnxf（x，y）dy=∫01dy∫eyef（x，y）dx。10、已知级数an收敛，则下列级数中必收敛的是（）A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于（an+an+k）=an去掉了前k项，因此也收敛，故（an+an+an+k）必收敛，应选D。11、设幂级数的收敛半径为（）A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：设极限都存在，则由题设条件可知12、具有特解y1=e—x，y2=2xe—x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是（）A、y"’—y"—y’+y=0B、y"’+y"—y’—y=0C、y"’—6y"+11y’—6y=0D、y"—2y"—y’+2y=0标准答案：B知识点解析：由y1=e—x，y2=2xe—x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，r=—1，—1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为（r—1）（r+1）2=0，即r3+r2—r—1=0，对应的微分方程为y"’+y"—y’—y=0，故选B．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)13、数列xn=标准答案：知识点解析：利用等价无穷小因子代换，14、已知y=lnlnlnx，则y’=________。标准答案：知识点解析：15、设f（x）在x=0处连续，且=2，则曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为________。标准答案：知识点解析：当x→0时，arcslnx—x～由极限的运算法则可得所以曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为16、设a＞0，则I=标准答案：知识点解析：由题干可知，原式可化为17、设二元函数z=xex+y1+（x+1）ln（1+y），则出|（1，0）=________。标准答案：2edx+（e+2）dy知识点解析：由已知因此dz|（1，0）=2edx+（e+2）dy。18、交换积分次序∫—10dy∫21—y（x，y）dx=________。标准答案：∫12dx∫01—xf（x，y）dy知识点解析：由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D（如图1—4—11）：—1≤y≤0，1—y≤x≤2。则有∫—10dy∫1—y2f（x，y）dx=交换积分次序∫—10dy∫21—y（x，y）dx=∫—12f（x，y）dx=一∫12dx∫1—x0f（x，y）dy=∫12dx∫01—xf（x，y）dy。19、在x=—1处的泰勒展开式为_________。标准答案：（—1）n（x+1）n，（—2＜x＜0）知识点解析：20、微分方程xy’+y=0满足条件y（1）=1的特解为y=________。标准答案：知识点解析：由两边积分，得ln|y|=—ln|x|+C，代入条件y（1）=1，得C=0。所以y=三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)21、求函数的间断点，并指出类型。标准答案：函数f（x）的间断点只有x=0和x=1。所以x=0为可去间断点，x=1为跳跃间断点。知识点解析：暂无解析22、设函数f（x）在（一∞，+∞）上有定义，在区间[0，2]上，f（x）=x（x2—4），若对任意的x都满足f（x）=kf（x+2），其中k为常数。（Ⅰ）写出f（x）在[—2，0）上的表达式；（Ⅱ）问k为何值时，f（x）在x=0处可导。标准答案：（Ⅰ）当—2≤x＜0，即0≤x+2＜2时，则f（x）=kf（x+2）=k（x+2）[（x+2）2—4]=kx（x+2）（x+4），所以f（x）在[—2，0）上的表达式为f（x）=kx（x+2）（x+4）。（Ⅱ）由题设知f（0）=0。令f—’（0）=f+’+（0），得k=时，f（x）在x=0处可导。知识点解析：暂无解析23、设=1，且f"（x）＞0，证明f（x）＞x（x≠0）。标准答案：由=0，所以f（0）=0（因为f"（x）存在，则f（x）一定连续）。且f（x）在x=0处展成一阶麦克劳林公式因为f"（x）＞0，所以f"（ξ）＞0，即f（x）＞f（0）+f’（0）x=x。知识点解析：暂无解析24、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析25、设曲线y=ax2（x≥0，常数a＞0）与曲线y=1—x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D，求：（Ⅰ）D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V（a）；（Ⅱ）a的值，使V（a）为最大。标准答案：由题意知，y=ax2与），=1—x2的交点为直线OA的方程为（Ⅰ）旋转体的体积当a＞0时，得V（a）的唯一驻点a=4。当0＜a＜4时，V’（a）＞0；当a＞4时，V’（a）＜0。故a=4为V（a）的唯一极大值点，即为最大值点。知识点解析：暂无解析26、设y=y（x），z=z（x）是由方程z=xf（x+y）和F（x，y，z）=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求标准答案：分别在z=xf（x+y）和F（x，y，z）=0的两端对x求导，得知识点解析：暂无解析27、已知=x+2y+3，u（0，0）=1，求u（x，y）及u（x，y）的极值，并问此极值是极大值还是极小值？说明理由。标准答案：由=2x+y+1，有u（X，y）=x2+xy+x+φ（y），再结合=x+2y+3，有x+φ’（y）=x+2y+3，得φ’（y）=2y+3，φ（y）=y2+3y+C。于是u（x，y）=x2+xy+x+y2+3y+C。又由M（0，0）=1得C=1，因此u（x，y）=x2+xy+y2+x+3y+1。知识点解析：暂无解析28、标准答案：知识点解析：暂无解析29、（Ⅰ）验证函数y（x）=（—∞＜x＜+∞）满足微分方程y"+y’+y=ex；（Ⅱ）求幂级数y（x）=的和函数。标准答案：（Ⅰ）因为幂级数的收敛域是（—∞＜x＜+∞），因而可在（一∞＜x＜+∞）上逐项求导数，得（Ⅱ）与y"+y’+y=ex对应的齐次微分方程为y"+y’+y=0，其特征方程为λ2+λ+1=0，特征根为λ1，2=因此齐次微分方程的通解为设非齐次微分方程的特解为y*=Aex，将y*代入方程y"+y’+y=ex可得因此，方程通解为当x=0时，有知识点解析：暂无解析30、用变量代换x=cost（0＜t＜π）化简微分方程（1—x2）y"—xy’+y=0，并求其满足y|x=0=1，y’|x=0=2的特解。标准答案：解此微分方程，得y=C1cost+C2sint=C1x+C2将y|x=0=1，y’|x=0=2代入，得C1=2，C2=1。故满足条件的特解为y=2x+知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第2套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、若f(x)在x=0的某邻域内二阶连续可导，且，则下列正确的是()．A、x=0是f(x)的零点B、(0，f(0))是y=f(x)的拐点C、x=0是f(x)的极大点D、x=0是f(x)的极小点标准答案：D知识点解析：2、设f(x)在x=0的邻域内有定义，且f(0)=0，则f(x)在x=0处可导的充分必要条件是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：3、设曲线y=x2+ax+b与曲线2y=xy3一1在点(1，一1)处切线相同，则()．A、a=1，b=1B、a=一1，b=一1C、a=2，b=1D、a=一2，b=一1．标准答案：B知识点解析：由y=x2+ax+b得y’=2x+a，2y=xy3一1两边对x求导得2y’=y3+3xy2y’，解得，因为两曲线在点(1，一1)处切线相同，所以，应选B．4、设f(x)在(一∞，+∞)上有定义，x0≠0为函数f(x)的极大值点，则()．A、x0为f(x)的驻点B、一x0为一f(一x)的极小值点C、—x0为一f(x)的极小值点D、对一切的x有f(x)≤f(x0)标准答案：B知识点解析：因为y=f(一x)的图像与y=f(x)的图像关于y轴对称，所以一x0为f(一x)的极大值点，从而一x0为—f(一x)的极小值点，选B．5、设f’(x0)=f"(x0)=0，f’"(x0)＞0，则下列正确的是()．A、f’(x0)是f’(x)的极大值B、f(x0)是f(x)的极大值C、f(x0)是f(x)的极小值D、(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点标准答案：D知识点解析：因为f’"(x0)＞0，所以存在δ＞0，当0＜｜x—x0｜＜δ时，，从而当x∈(x0一δ，x0)时，f"(x)＜0；当x∈(x0，x0+δ)时，f"(x)＞0，即(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点，选D．6、设f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极小值一2，则()．A、a=1，b=2B、a=一1，b=一2C、a=0，b=一3D、a=0，b=3标准答案：C知识点解析：f’(x)=3x2+2ax+b，因为f(x)在x=1处有极小值一2，所以，解得a=0,b=一3，选C。二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)7、设f(x)二阶连续可导，且标准答案：知识点解析：8、设f(u)可导，y=f(x2)在x0=一1处取得增量△x=0．05时，函数增量△y的线性部分为0．15，则f’(1)=__________．标准答案：知识点解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy｜x=—1=一2f’(1)×0．05=一0．1f’(1)，因为△y的线性部分为dy，由一0．1f’(1)=0．15得f’(1)=一．9、设标准答案：知识点解析：10、设标准答案：知识点解析：11、设f(x)=ln(2x2一x一1)，则f(n)(x)=_________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)12、证明不等式：xarctanx≥ln(1+x2)．标准答案：令f(x)=xarctanx一，所以x=0位f(x)的极小值点，也为最小值点，而f(0)=0，故对一切的x，有f(x)≥0，即xarctanx≥ln(1+x2)．知识点解析：暂无解析13、求y=(1一t)arctantdt的极值．标准答案：令y’=(1—x)arctanx=0，得x=0或x=1，y"=一arctanx+，因为y"(0)=1＞0，y"(1)=一＜0，所以x=0为极小值点，极小值为y=0；x=1为极大值点，极大值为知识点解析：暂无解析14、设PQ为抛物线y=的弦，它在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的最小值．标准答案：知识点解析：暂无解析15、证明：当0＜x＜1时，(1+x)ln2(1+x)＜x2．标准答案：令f(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，f’(0)=0；故当0＜x＜1时，(1+x)ln2(1+x)＜x2知识点解析：暂无解析16、证明：对任意的x，y∈R且x≠y，有．标准答案：令f(t)=et，因为f"(t)=et＞0，所以函数f(t)=et为凹函数，根据凹函数的定义，对任意的x，y∈R且x≠y，有知识点解析：暂无解析17、设b>a>0，证明：标准答案：知识点解析：暂无解析18、证明：标准答案：知识点解析：暂无解析19、证明方程x+p+qcosx=0有且仅有一个实根，其中p，q为常数，且0＜q＜1．标准答案：令f(x)=x+p+qcosx，因为f’(x)=1—qsinx＞0，所以f(x)在(一∞，+∞)上单调增加，又因为，所以f(x)有且仅有一个零点，即原方程有且仅有一个实根．知识点解析：暂无解析20、证明方程在(0，+∞)内有且仅有两个根．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设k＞0，讨论常数k的取值，使f(x)=xlnx+k在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点．标准答案：f(x)的定义域为(0，+∞)，．由f’(x)=lnx+1=0，得驻点为为f(x)的极小值点，也为最小值点，最小值为，(1)当k＞时，函数f(x)在(0，+∞)内没有零点；(2)当k=时，函数f(x)在(0，+∞)内有唯一零点x=；(3)当时，函数f(x)在(0，+∞)内有两个零点，分别位于内．知识点解析：暂无解析22、设，讨论f(x)的单调性、凹凸性、拐点、水平渐近线．标准答案：因为，所以f(x)在(一∞，+∞)上单调增加．因为，当x＜0时，f"(x)＞0；当x＞0时，f"(x)＜0，则y=f(x)在(一∞，0)的图形是凹的，y=f(x)在(0，+∞)内是凸的，(0，0)为y=f(x)的拐点．因为f(一x)=一f(x)，所以f(x)为奇函数．由为曲线y=f(x)的两条水平渐近线．知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，且f(a)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得．标准答案：令φ(x)=(b一x)af(x)，显然φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，因为φ(a)=φ(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，由φ’(x)=(b一x)a—1[(b一x)f’(x)一af(x)]得(b一ξ)a—1[(b一ξ)f’(ξ)一af(ξ)]且(b一ξ)a—1≠0，故f(ξ)=．知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得nf’(η)+f(η)=0．标准答案：(1)令φ(x)=f(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=，故f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)令φ(x)=xf(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在φ∈(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=xf’(x)+f(x)，故nf’(φ)+f(η)=0．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，证明：存在ξ∈(1，2)，使得∈f’(ξ)一f(ξ)=f(2)一2f(1)．标准答案：令，则φ(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且φ(1)=φ(2)=f(2)一f(1)，由罗尔定理，存在ξ∈(1，2)，使得φ’(ξ)=0，而，故ξf’(ξ)一f(ξ)=f(2)一2f(1)．知识点解析：26、设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f’(x)≠0，证明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得。标准答案：令F(x)=lnx，F’(x)≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第3套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设f(x)二阶连续可导，，则()．A、f(2)是f(x)的极小值B、f(2)是f(x)的极大值C、(2，f(2))是曲线y=f(x)的拐点D、f(2)不是函数f(x)的极值，(2，f(2))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：A知识点解析：由，则存在δ＞0，当0＜｜x一2｜＜δ时，有，即当x∈(2一δ，2)时，f’(x)＞0；当x∈(2，2+δ)时，f’(x)＞0，于是x=2为f(x)的极小点，选A．2、设f(x)在x=0的邻域内连续可导，g(x)在x=0的邻域内连续，且，又f’(x)=一2x2+∫0xg(x—t)dt，则()．A、x=0是f(x)的极大值点B、x=0是f(x)的极小值点、C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：3、设f(x)二阶连续可导，且，则()．A、f(0)是f(x)的极小值B、f(0)是f(x)的极大值C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、x=0是f(x)的驻点但不是极值点标准答案：C知识点解析：x∈(一δ，0)时，f(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f"(x)＜0，所以(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，选C．4、设函数f(x)满足关系f"(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，则()．A、f(0)是f(x)的极小值B、f(0)是f(x)的极大值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐点D、(0，f(0))不是y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由f’(0)=0得f"(0)=0，f"’(x)=1—2f’(x)f"(x)，f"’(0)=1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f"’(x)＞0，再由f"(0)=0，得故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选C．5、下列说法正确的是()．A、设f(x)在x0二阶可导，则f"(x)在x=x0处连续B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值C、f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点标准答案：D知识点解析：令不存在，所以A不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以B不对；C显然不对，选D．6、设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＞0，f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为()．A、0个B、1个C、2个D、3个标准答案：B知识点解析：因为f’(a)=0，且f"(x)≥k(x＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x一a)+为f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选B．7、设k＞0，则函数f(c)=lnx一+k的零点个数为()．A、0个B、1个C、2个D、3个标准答案：C知识点解析：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，由f’(x)==0得x=e，当0＜x＜e时，f’(x)＞0；当x＞e时，f’(x)＜0，由驻点的唯一性知x=e为函数f(x)的最大值点，最大值为f(e)=k＞0，又，于是f(x)在(0，+∞)内有且仅有两个零点，选C．8、曲线y=的渐近线的条数为()．A、0条B、1条C、2条D、3条标准答案：D知识点解析：9、设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导数的图形如右图，则f(x)有()．A、两个极大点，两个极小点，一个拐点B、两个极大点，两个极小点，两个拐点C、三个极大点，两个极小点，两个拐点D、两个极大点，三个极小点，两个拐点标准答案：C知识点解析：设当x＜0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；当x＞0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4．当x＜x1时，f’(x)＞0，当x∈(x1，x2)时，f’(x)＜0，则x=x1为f(x)的极大点；当x∈(x2，0)时，f’(x)＞0，则x=x2为f(x)的极小点；当x∈(0，x3)时，f’(x)＜0，则x=0为f(x)的极大点；当x∈(x3，x4)时，f’(x)＞0，则x=x3为f(x)的极小点；当x＞x4时，f’(x)＜0，则x=x4为f(x)的极大点，即f(x)有三个极大点，两个极小点，又f"(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选C．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)10、设函数y=y(x)由确定，则y=y(x)在x=ln2处的法线方程为________．标准答案：知识点解析：当x=ln2时，t=±1；当t=±i时，y=0．11、设在x=1处可微，则a=________，b=________．标准答案：2；-1知识点解析：因为f(x)在x=1处可微，所以f(x)在x=1处连续，于是f(1一0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1．由f(x)在x=1处可微得a=2，所以a=2，b=一1．12、设F(x)=∫0x(x2一t2)f’(x)出，其中f’(x)在x=0处连续，且当x→0时，F’(x)～x2，则f’(0)=________．标准答案：知识点解析：F(x)=x2∫0xf’(t)dt—∫0xt2f(t)dt，F’(x)=2x∫0xf’(t)dt，13、设f(x)在(一∞，+∞)上可导，，则a=________．标准答案：1知识点解析：14、设f(x，y)可微，f(1，2)=2，f’(1．2)=3，f’y(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，则φ’(1)=________．标准答案：47知识点解析：因为φ’(x)=f’x[x，f(x，2x)]+f’y[x，f(x，2x)]×[f’x(x，2x)+2f’y(x，2x)]，所以φ’(1)=f’x[1，f(1，2)]+f’y[1，f(1，2)]×[f’x(1，2)+2f’y(1，2)]=3+4×(3+8)=47．15、曲线的斜渐近线为________．标准答案：y=2x-4知识点解析：三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)16、就k的不同取值情况，确定方程x2一3x+k=0根的个数．标准答案：令f(x)=x3一3x+k，．由f’(x)=3x2一3=0，得驻点为x1=一1，x2=1．f"(x)=6x，由f"(一1)=一6，f"(1)=6，得x1=一1，x2=1分别为f(x)的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别为f(一1)=2+k，f(1)=k一2．(1)当k＜一2时，方程只有一个根；(2)当k=一2时，方程有两个根，其中一个为x=一1，另一个位于(1，+∞)内；(3)当一2＜k＜2时，方程有三个根，分别位于(一∞，-1)，(一1，1)，(1，+∞)内；(4)当忌一2时，方程有两个根，一个位于(一∞，一1)内，另一个为x=1；(5)当k＞2时，方程只有一个根．知识点解析：暂无解析17、设k为常数，方程kx一+1=0在(0，+∞)内恰有一根，求k的取值范围．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[一1，1]上可导，f(x)在x=0处二阶可导，且f’(0)=0，f"(0)=4．求标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)二阶连续可导且f(0)=f’(0)=0，f"(x)＞0．曲线y=f(x)上任一点(x，f(x))(x≠0)处作切线，此切线在x轴上的截距为u，求．标准答案：曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线方程为Y一f(x)=f’(x)(X—x)，知识点解析：暂无解析20、设函数其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1．(1)确定常数a，使得f(x)在x=0处连续；(2)求f’(x)；(3)讨论f’(x)在x=0处的连续性．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’+(a)f’-一(b)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．标准答案：不妨设f’+(a)＞0，f’-(b)＜0，根据极限的保号性，f’+(a)=＞0，则存在δ＞0(δ＜b一a)，当0＜x一a＜δ时，，即f(x)＞f(x)，所以存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)．同理由f’-(b)＜0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＞f(b)．因为f(x)在[a，b]上连续，且f(x1)＞f(a)，f(x2)＞f(b)，所以f(x)的最大值在(a，b)内取到，即存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)为f(x)在[a，b]上的最大值，故f’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f’(1)=0，f(2)=．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"(ξ)=2．标准答案：先作一个函数P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得令g(x)=f(x)一P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g’(c1)=g’(1)=g’(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g"(d1)=g"(d2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d1，d2)(0，2)，使得g"’(ξ)=0，而g"’(x)=f"’(x)一2，所以f"’(ξ)=2．知识点解析：暂无解析23、设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)．证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得=1．标准答案：令h=．因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)，所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n一1)h＜b=f(b)，由端点介值定理和函数单调性，存在a＜c1＜c2＜…＜cn-1＜b，使得f(c1)=a+h，f(c2)=a+2h，…，f(cn-1)=a+(n一1)h，再由微分中值定理，得f(c1)一f(a)=f’(ξ)(c1一a)，ξ∈(a，c1)，f(c2)一f(c1)=f’(ξ2)(c2一c1)，ξ2∈(c1，c2)，…f(b)一f(cn-1)=f’(ξn)(b一cn-1)，ξ∈(cn-1，b)，从而有知识点解析：暂无解析24、设函数y=f(x)二阶可导，f’(x)≠0，且与x=φ(y)互为反函数，求φ"(y)．标准答案：因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以知识点解析：暂无解析25、设f(x)在x=x0的邻域内连续，在x=x0的去心邻域内可导，且=M．证明：f’(x0)=M．标准答案：由微分中值定理得f(x)一f(x0)=f’(ξ)(x一x0)，其中ξ介于x0与x之间．知识点解析：暂无解析26、设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=标准答案：令φ(x)=(x一1)2f’(x)，显然φ(x)在[0，1]上可导，由f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0，再由φ(c)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=2(x一1)f’(x)+(x一1)2f"(x)，所以2(ξ一1)f’(ξ)+(ξ一1)2f"(ξ)=0，整理得f"(ξ)=．知识点解析：暂无解析27、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的a＞0，b＞0，存在ξ，η∈(0，1)，使得标准答案：因为f(x)在[0，1]上连续，f(0)=0，f(1)=1，且f(0)＜＜f(1)，所以由端点介值定理，存在c∈(0，1)，使得f(c)=．由微分中值定理，存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得知识点解析：暂无解析28、设f(z)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：(1)存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；(2)存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；(3)存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=f(ξ)；(4)存在η∈(a，b)，使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．标准答案：(1)令F(x)=∫axf(x)dt，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F’(x)=f(x)．故存在c∈(a，6)，使得∫abf(x)dx=F(b)一F(a)=F’(c)(b一a)=f(c)(b一a)=0，即f(c)=0．(2)令h(x)=exf(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f’(x)+f(x)]且ex≠0，所以f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．(3)令φ(x)=e-x[f’(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-x[f"(x)一f(x)]且e-x≠0，所以f"(ξ)=f(ξ)．(4)令g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由罗尔定理，存在η1(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)=g’(η2)=0，而g’(x)=e-x[f’(x)一f(x)]且e≠0，所以f’(η1)一f(η1)=0，f’(η2)一f(η2)=0．令φ(x)=e-2x[f’(x)一f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e-2x[f"(x)一3f’(x)+2f(x)]且e-2x≠0，所以f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．知识点解析：暂无解析29、设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得标准答案：当c=ai(i=1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a1，an)，结论成立；设c为异于a1，a2，…，an的数，不妨设a1＜c＜a2＜…＜an．令，构造辅助函数φ(x)=f(x)一k(x一a1)(x一a2)…(x一an)，显然φ(x)在[a1，an]上n阶可导，且φ(a1)=φ(c)=φ(a2)=…=φ(an)=0，由罗尔定理，存在ξ1(1)∈(a1，c)，ξ2(1)∈(c，a2)，…，ξn(1)∈(an-1，an)，使得φ’(ξ1(1))=φ’(ξ2(1))=…=φ(ξn(1))=0，φ’(x)在(a1，an)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则φ(n-1)(x)在(a1，an)内至少有两个不同零点，设为c1，c2∈(a1，an)，使得φ(n-1)(c1)=φ(n-1)(c2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(c1，c2)(a1，a2)，使得φ(n)(ξ)=0．而φ(n)(x)=f(n)(x)一n!k，所以f(n)(ξ)=n!k，从而有知识点解析：暂无解析30、设f(x)二阶连续可导，且f"(x)≠0，又f(x+h)=f(x)+f’(x+θh)h(0＜θ＜1)．证明：．标准答案：由泰勒公式得知识点解析：暂无解析31、设f(x)在[0，1]连续可导，且f(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．标准答案：因为f’(x)在区间[0，1]上连续，所以f’(x)在区间[0，1]上取到最大值M和最小值m，对f(x)一f(0)=f’(f)x(其中c介于0与x之间)两边积分得∫01f(x)dx=∫01f’(c)xdx，由m≤f’(c)≤M得m∫01xdx≤∫01f’(c)xdx≤M∫01xdx，即m≤2∫01f’(c)xdx≤M或m≤2∫01f(x)dx≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．知识点解析：暂无解析32、求的最大项．标准答案：当x∈(0，e)时，f’(x)＞0；当x∈(e，+∞)时，f’(x)＜0，则x=e为f(x)的最大点，知识点解析：暂无解析33、设x3一3xy+y3=3确定隐函数y=y(x)，求y=y(x)的极值．标准答案：k3一3xy+y3=3两边对x求导得3x2一3y一3xy’+3y2y’=0，知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、函数+6x+1的图形在点(0，1)处的切线与x轴交点的坐标是()A、(一1，0)B、C、(1，0)D、标准答案：B知识点解析：因为f’(x)=x2+x+6，所以f’(0)=6．故过(0，1)的切线方程为y一1=6x，因此与x轴的交点为2、函数f(x)=2x+()A、只有极大值，没有极小值B、只有极小值，没有极大值C、在x=-1处取极大值，x=0处取极小值D、在x=-1处取极小值，x=0处取极大值标准答案：C知识点解析：令f’(x)=0，得x=-1，且当x=0时，f’(x)不存在，f(x)在x=-1左侧导数为正，右侧导数为负，因此在x=-1处取极大值；在x=0左侧导数为负，右侧导数为正，因此在x=0处取极小值．3、设f(x)在(一∞，+∞)内可导，且对任意x1，x2，当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)，则()A、对任意x，f’(x)＞0B、对任意x，f’(一x)≤0C、函数f(一x)单调增加D、函数一f(一x)单调增加标准答案：D知识点解析：根据单调性的定义直接可以得出(D)项正确．4、两曲线y=与y=ax2+b在点处相切，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：因两曲线相切于点，故相交于该点。将x=2，y=代入y=ax2+b中得=4a+b，又因为相切于该点，故切线斜率相等，即导数相等，所以=2ax，将x=2代入得5、设函数在x=0处f(x)()A、不连续B、连续，但不可导C、可导，但导数不连续D、可导，且导数连续标准答案：C知识点解析：6、设g(x)在x=0处二阶可导，且g(0)=g’(0)=0，设则f(x)在x=0处()A、不连续B、连续，但不可导C、可导，但导函数不连续D、可导，导函数连续标准答案：D知识点解析：所以导函数在x=0处连续．7、设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…(enx一n)，其中n为正整数，则f’(0)=()A、(一1)n-1(n一1)!B、(一1)n(n—1)!C、(一1)n-1n!D、(一1)nn!标准答案：A知识点解析：8、给出如下5个命题：(1)若不恒为常数的函数f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且x0≠0是f(x)的极大值点，则一x0必是一f(-x)的极大值点；(2)设函数f(x)在[a，+∞)上连续，f"(x)在(a，+∞)内存在且大于零，则F(x)=在(a，+∞)内单调增加；(3)若函数f(x)对一切x都满足xf"(x)+3x[f’(x)]2=1一e-x，且y(x0)=0，x0≠0，则f(x0)是f(x)的极大值；(4)设函数y=y(x)由方程2y3一2y2+2xy一x2=1所确定，则y=y(x)的驻点必定是它的极小值点；(5)设函数f(x)=xex，则它的n阶导数f(n)(x)在点x0=-(n+1)处取得极小值。正确命题的个数为()A、2B、3C、4D、5标准答案：B知识点解析：对上述5个命题一一论证．对于(1)，只要注意到：若f(x)在点x0取到极大值，则-f(x)必在点x0处取到极小值，故该结论错误；对于(2)，对任意x＞a，由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(a，x)使f(x)-f(A)=f’(ξ)(x-a)，则由f"(x)＞0知，f’(x)在(a，+∞)内单调增加，因此，对任意的x与ξ，a＜ξ＜x，有f’(x)＞f’(ξ)，从而由上式得F’(x)＞0，所以函数F(x)在(a，+∞)内单调增加，该结论正确；对于(3)，因f’(x0)=0，故所给定的方程为，显然，不论x0＞0，还是x0＜0，都有f"(x0)＞0，于是由f’(x0)=0与f"(x0)＞0得f(x0)是f(x)的极小值，故该结论错误；对于(4)，对给定的方程两边求导，得3y2y’一2yy’+xy’+y—x=0，①再求导，得(3y2-2y+x)y"+(6y-2)(y’)2+2y’=1②令y’=0，则由式①得y=x，再将此代入原方程有2x3-x2=1，从而得y=y(x)的唯一驻点x0=1，因x0=1时y0=1，把它们代入式②得y"|(1，1)＞0，所以唯一驻点x0=1是y=y(x)的极小值点，该结论正确；对于(5)，因为是求n阶导数f(n)(x)的极值问题，故考虑函数f(x)=xex的n+1阶导数f(n+1)(x)，由高阶导数的莱布尼茨公式得f(n)(x)=x(ex)(n)+n(ex)(n-1)=(x+n)ex，f(n+1)(x)=[x+(n+1)]ex；f(n+2)(x)=[x+(n+2)]ex．令f(n+2)(x)=0，得f(n)(x)的唯一驻点x0=-(n+1)；又因f(n+2)(x0)=e-(n+1)＞0，故点x0=一(n+1)是n阶导数f(n)(x)的极小值点，且其极小值为f(n)(x0)=-ef-(n+1)，该结论正确．故正确命题一共3个，答案选择(B)．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)9、若函数f(x)一asinx+处取得极值，则a=________．标准答案：2知识点解析：10、曲线的斜渐近线方程为________．标准答案：y=2x+1知识点解析：所以斜渐近线为y=2x+1．11、=________．标准答案：∫x20cost2dt-2x2cosx4知识点解析：三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)12、设f(x)=x3+4x2一3x一1，试讨论方程f(x)=0在(一∞，0)内的实根情况．标准答案：因为f(一5)=-11＜0，f(一1)=5＞0，f(0)=一1＜0，所以f(x)在[一5，一1]及[一1，0]上满足零点定理的条件，故存在ξ1∈(-5，-1)及ξ2∈(-1，0)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0，所以方程f(x)=0在(一∞，0)内存在两个不等的实根．又因为f(1)=1＞0，同样f(x)在[0，1]上满足零点定理的条件，在(0，1)内存在一点ξ3，使得f(ξ3)=0，而f(x)=0为三次多项式方程，它最多只有三个实根，因此方程f(x)=0在(一∞，0)内只有两个不等的实根．知识点解析：暂无解析13、设y=，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析14、曲线的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a，求切线方程和这个图形的面积．当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?标准答案：先求曲线处的切线方程．所以切线斜率，切线方程为知识点解析：暂无解析设fn(x)=x+x2+…+xn，n=2，3，…．证明：15、方程fn(x)=1在[0，+∞)有唯一实根xn；标准答案：fn(x)连续，且fn(0)=0，fn(1)=n＞1，由介值定理，∈(0，1)，使fn(xn)=1，n=2，3，…，又x＞0时，f’n(x)=1+2x+…+nxn-1＞0，故fn(x)严格单增，因此xn是fn(x)=1在[0，+∞)内的唯一实根．知识点解析：暂无解析16、求标准答案：由(1)可得，xn∈(0，1)，n=2，3，…，所以{xn}有界．又因为fn(xn)=1=fn+1(xn+1)，n=2，3，…，所以xn+xn2+…+xnn=xn+1+xn+12+…+xn+1n+xn+1n+1，即(xn+xn2+…+xnn)一(xn+1+xn+12+…+xn+1n)=xn+1n+1＞0，因此xn＞xn+1，n=2，3，…，即{xn}严格单调减少。于是由单调：有界准则知=1．因为0＜xn＜1，所以知识点解析：暂无解析17、f(x)在(一∞，+∞)上连续，=+∞，且f(x)的最小值f(x0)＜x0，证明：f(f(x))至少在两点处取得最小值．标准答案：令F(x)=f(x)一x0，则F(x)在(一∞，+∞)上连续，且F(x0)＜0，F(x)=+∞，由F(x)=+∞，知＜x0，使得F(A)＞0；＞x0，使得F(b)＞0，于是由零点定理，知∈(a，x0)，使得F(x1)=0；∈(x0，b)，使得F(x2)=0，即有x1＜x0＜x2，使得f(x1)=x0=f(x2)，从而得f(f(x1))=f(x0)=f(f(x2))．知识点解析：暂无解析18、已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．标准答案：求切线方程的关键是求斜率，因f(x)的周期为5，故在(6，f(6))处和点(1，f(1))处曲线有相同的斜率，根据已知条件求出f’(1)．则4f’(1)=8，f’(1)=2，由f(6)=f(1)=0，f’(6)=f’(1)=2，故所求切线方程为y=2(x一6)．知识点解析：暂无解析19、试证明：曲线恰有三个拐点，且位于同一条直线上．标准答案：所以这三个拐点在一条直线上．知识点解析：暂无解析20、设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续(a，b＞0)，在(a，b)内可导，试证：在(a，b)内至少有一点ξ，使等式=f(ξ)一ξf’(ξ)成立．标准答案：令它们在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且G’(x)=满足柯西中值定理的三个条件，于是在(a，b)内至少有一点ξ，使得知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[a，b]上连续，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b．试证：在[a，b]内存在ξ，使得标准答案：因为f(x)在[a，b]上连续，所以m≤f(x)≤M，其中m，M分别为f(x)在[a，b]上的最小值和最大值．m≤f(x1)≤M，①m≤f(x2)≤M，②知识点解析：暂无解析设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g"(x)≠0，f(A)=f(b)=g(A)=g(b)=0．证明：22、在(a，b)内，g(x)≠0；标准答案：设c∈(a，b)，g(c)=0．由g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上两次运用罗尔定理可得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0，其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，对g’(x)在[ξ1，ξ2]上运用罗尔定理，可得g"(ξ3)=0．因已知g"(x)≠0，故g(c)≠0．知识点解析：暂无解析23、在(a，b)内至少存在一点ξ，使标准答案：F(x)=(x)g’(x)一f’(x)g(x)在[a，b]上运用罗尔定理，F(a)=0，F(b)=0．故知识点解析：暂无解析24、设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(A)=f(b)=g(A)=0．证明：∈(a，b)，使f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．标准答案：令F(x)=f(x)g(x)，在x=a点展开泰勒公式．因f(a)=f(b)=g(a)=0，则F(a)=F(6)=0，且F’(a)=0，代入②式，得F"(ξ)=0．即f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．知识点解析：暂无解析25、若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1．又x＞x0时，φ(n)(x)＞ψ(k)(x0)．试证：当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．标准答案：令u(n-1)(x)=φ(n-1)(x)一ψ(n-1)(x)．在[x0，x]上用微分中值定理得u(n-1)(x)一u(n-1)(x0)=u(n)(ξ).(x—x0)，x＜ξ＜x．又由u(n)(ξ)＞0可知u(n-1)(x)一u(n-1)(x0)＞0，且u(n-1)(x0)=0，所以u(n-1)(x)＞0，即当x＞x0时，φ(n-1)(x)＞ψ(n-1)(x)．同理u(n-2)(x)=φ(n-2)(x)一ψu(n-2)(x)＞0．归纳有u(n-3)(x)＞0，…，u’(x)＞0，u(x)＞0．于是，当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．知识点解析：暂无解析26、设函数f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和f"(x)在(一∞，+∞)内有界，证明：f’(x)在(一∞，+∞)内有界．标准答案：存在正常数M0，M2，使得对∈(一∞，+∞)，恒有|f(x)|≤M0，|f"(x)|≤M2．由泰勒公式，有所以函数f’(x)在(一∞，+∞)内有界．知识点解析：暂无解析已知f(x)二阶可导，且f(x)＞0，f(x)f"(x)一(f'(x))2≥0(x∈R)．27、证明：f(x1)f(x2)≥标准答案：知识点解析：暂无解析28、若f(0)=1，证明：f(x)≥ef’(0)x(x∈R)．标准答案：g(x)=g(0)+g’(0)x+≥f’(0)x，即f(x)≥ef’(0)x．知识点解析：暂无解析29、设b＞a＞e，证明：ab＞ba．标准答案：设，其中lnx＞lne=1，所以，f’(x)＜0，即函数f(x)单调递减。所以，当b＞a＞e时，知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第5套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设f（x）=则（）A、f（x）在点x=1连续，在点x=—1间断B、f（x）在点x=1间断，在点％=—1连续C、f（x）在点x=1，x=—1都连续D、f（x）在点x=1，x=—1都间断标准答案：B知识点解析：由函数连续的定义可知，所以，f（x）在x=—1处连续，故选B。2、设f（x）=|x|sin2x，则使导数存在的最高阶数n=（）A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：故f（3）（0）不存在。因此n=2，选C。3、设f（x）为可导函数，且满足条件=—1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为（）A、2B、—1C、D、—2标准答案：D知识点解析：将题中极限条件两端同乘2，得由导数定义可知，f’（1）=一2，故选D。4、曲线y=（x—1）2（x—3）2的拐点个数为（）A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：对于曲线y，有y’=2（x—1）（x—3）2+2（x—1）2（x—3）=4（x—1）（x—2）（x—3），y"=4[（x—2）（x—3）+（x—1）（x—3）+（x—1）（x—2）]=4（3x2—12x+11），令y"=0，得x1=2—又由y"’=24（x—2），可得y"’（x1）≠0，y"’（x2）≠0，因此曲线有两个拐点，故选C。5、设函数f（x）连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是（）A、∫0xt[f（t）—f（—t）]dtB、∫0xt[f（t）+f（—t）]dtC、∫0xf（t2）dtD、∫0x[f（t）]2dt标准答案：B知识点解析：取f（x）=x，则相应的∫0xt[f（x）一f（一t）]dt=2t2dt=∫0xf（t2）dt=∫0xt2dt=∫0x[f（t）]2dt=∫0xt2dt=均为奇函数，故不选A、C、D。应选B。6、设=0，则f（x，y）在点（0，0）处（）A、不连续B、连续但两个偏导数不存在C、两个偏导数存在但不可微D、可微标准答案：D知识点解析：f（x，y）—f（0，0）+2x—y=o（p），（当（x，y）→（0，0）时）即f（x，y）—f（0，0）=—2x+y+o（p），由微分的定义可知f（x，y）在点（0，0）处可微，故选D。7、设D为单位圆x2+y2≤1，I1=（2x6+y5）dxdy，则（）A、I1＜I2＜I3B、I3＜I1＜I2C、I3＜I2＜I1D、I1＜I3＜I2标准答案：D知识点解析：由于积分域D关于两个坐标轴都对称，而x3是x的奇函数，y3是y的奇函数，则由于在D内|x|≤1，|y|≤1，则x6+y6≤x4+y4，则0＜（x4+y4）dxdy，从而有I1＜I3＜I2。故选D。8、设区域D由曲线y=smx，x=（x5y—1）dxdy=（）A、πB、2C、—2D、—π标准答案：D知识点解析：区域D如图1—4—8中阴影部分所示，引入曲线y=—sinx将区域分为D1，D2，D3，D4四部分。由于D1，D2关于y轴对称，可知在D1∪D2上关于x的奇函数积分为零，故x5ydxdy=0；又由于D3，D4关于x轴对称，可知在D3∪D4上关于y的奇函数为零，故x5ydxdy=0。因此，=一π，故选D。9、若级数bn发散，则（）A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由（an+|bn|）必发散，故选D。10、微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y|x=2=1的特解为（）A、xy2=4B、xy=4C、x2y=4D、—xy=4标准答案：C知识点解析：原微分方程分离变量得两端积分得ln|y|=—2ln|x|+lnC，x2y=C，将y|x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4。应选C。二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)11、标准答案：ln2知识点解析：因为=e3a=8，所以a=ln2。12、已知f（x）=则f’（x）=________。标准答案：知识点解析：当x＜0时，f’（x）=cosx；当x＞0时，f’（x）=1；13、已知xy=ex+y，则标准答案：知识点解析：在方程两端分别对x求导，得y+xy’=ex+y+y（1+y’），即其中y=y（x）是由方程xy=ex+y所确定的隐函数。故14、曲线y=（x—5）的拐点坐标为________。标准答案：（—1，—6）知识点解析：已知x=—1时，y"=0，在x=—1左、右两侧的微小邻域内，y"异号；x=0时，y"不存在，在x=0左、右微小邻域内，y"＞0。其中y（—1）=—6，故曲线的拐点为（—1，—6）。15、标准答案：—4π知识点解析：16、∫0+∞标准答案：ln2知识点解析：原式整理得17、将∫01dy∫0yf（x2+y2）dx化为极坐标下的二次积分为________。标准答案：知识点解析：如图1—4—9所示，则有18、交换积分次序标准答案：知识点解析：由题干可知，积分区域如图1—4—13所示，则有19、幂级数的收敛半径R=_________。标准答案：知识点解析：根据收敛半径的判断方法，有由于该幂级数缺奇数项，则20、微分方程xy’+y=0满足初始条件y（1）=2的特解为________。标准答案：知识点解析：原方程可化为（xy）’=0，积分得xy=C，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2，即y=21、设y=ex（asinx+bcosx）（a，b为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为________。标准答案：y"—2y’+2y=0知识点解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是r1，r2=1±i，因此特征方程为（r—r1）（r—r2）=r2一（r1+r2）r+r1r2=r2—2r+2=0，故所求微分方程为y"—2y’+2y=0。三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)22、证明：（Ⅰ）对任意正整数n，都有成立；（Ⅱ）设an=1+—lnn（n=1，2，…），证明{an}收敛。标准答案：（Ⅰ）令=x，则原不等式可化为＜ln（1+x）＜x，x＞0。先证明ln（1+x）＜x，x＞0。令f（x）=x—ln（1+x）。由于f’（x）=1—＞0，x＞0，可知f（x）在[0，+∞）上单调递增。又由于f（0）=0，因此当x＞0时，f（x）＞f（0）=0。也即In（1+x）＜x，x＞0。可知g（x）在[0，+∞）上单调递增。又因g（0）=0，因此当x＞0时，g（x）＞g（0）=0。即再代入=x，即可得到所需证明的不等式。（Ⅱ）an+1—an=可知数列{an}单调递减。又由不等式因此数列{an}是有界的。由单调有界收敛定理可知数列{an}收敛。知识点解析：暂无解析23、证明函数恒等式arctanx=，x∈（—1，1）。标准答案：令f（x）=arctanx，g（x）=要证f（x）=g（x）在x∈（—1，1）时成立，只需证明：（Ⅰ）f（x），g（x）在（—1，1）内可导，且当x∈（—1，1）时，f’（x）=g’（x）；（Ⅱ）存在x0∈（—1，1），使得f（x0）=g（x0）。由初等函数的性质知，f（x）与g（x）都在（—1，1）内可导，且容易计算得到即当x∈（一1，1）时，f’（x）=g’（x）。又f（0）=g（0）=0，因此当x∈（一1，1）时f（x）=g（x），即原等式成立。知识点解析：暂无解析24、设分（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，且f（a）=f（b）=1，证明：必存在ξ，η∈（a，b）使得eη—ξ[f（η）+f’（η）]=1。标准答案：设F（x）=exf（x），由已知f（x）及ex在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此，存在ξ，η∈（a，b），使得F（b）—F（a）=ebf（b）—eaf（A）=F’（η）（b—a）=eη[f’（η）+f（η）]（b—a）及eb—ea=eξ（b—a）。将以上两式相比，且由f（a）=f（b）=1，则有eη—ξ[f（η）+f’（η）]=1。知识点解析：暂无解析25、设f（x）在区间[a，b]上可导，且满足f（b）．cosb=证明至少存在一点ξ∈（a，b），使得f’（ξ）=f（ξ）．tanξ。标准答案：由f（x）在区间[a，b]上可导，知f（x）在区间[a，b]上连续，从而F（x）=f（x）cosx在（a，b）使F’（ξ）=f’（ξ）cosξ—f（ξ）sinξ=0，即f’（ξ）=f（ξ）tanξ，ξ∈（a，b）。undefinedundefined知识点解析：暂无解析26、设z=f（xy，yg（x）），其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g（x）可导，且在x=1处取得极值g（1）=1，求标准答案：由题意=f1’（xy，yg（x））y+f2’（xy，yg（x））yg’（x），=f11"（xy，yg（x））xy+f12"（xy，yg（x））yg（x）+f1’（xy，yg（x））+f21"（xy，yg（x））xyg’（x）+f22"（xy，yg（x））yg（x）g’（x）+f2’（xy，yg（x））g’（x）由g（x）在x=1处取得极值g（1）=1，可知g’（1）=0．故|x=1，y=1=f11"（1，g（1））+f12"（1，g（1））g（1）+f1’（1，g（1））+f21"（1，g（1））g’（1）+f22"（1，g（1））g（1）g’（1）+f2’（1，g（1））g’（1）=f11"（1，1）+f12"（1，1）+f1’（1，1）。知识点解析：暂无解析27、求二重积分（x—y）dxdy，其中D={（x，y）|（x—1）2+（y—1）2≤2，y≥x}。标准答案：由已知条件，积分区域D={（x，y）I（x—1）2+（y—1）2≤2，y≥x}。由（x—1）2+（y—1）2≤2，得r≤2（sinθ+cosθ），于是知识点解析：暂无解析28、设区域D={（x，y）x2+y2≤1，x≥0}，计算二重积分标准答案：积分区域D如图1—4—22所示。因为区域D关于x轴对称，知识点解析：暂无解析29、求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。标准答案：因为所以收敛半径为R=3，相应的收敛区间为（—3，3）。当x=3时，因为都收敛。所以原级数在点x=—3处收敛。知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第6套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、下列广义积分发散的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：2、设在区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f"(x)＞0，令S1=∫abf(x)dx，S2=f(b)(b一a)，S3=[f(a)+f(b)]，则()．A、S1＜S2＜S3B、S2＜S1＜S3C、S3＜S1＜S2D、S2＜S3＜S1标准答案：B知识点解析：因为函数f(x)在[a，b]上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S1＜S2＜S3，选B．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)3、=__________标准答案：知识点解析：因为对[一a，a]上连续的函数f(x)有∫—aaf(x)dx=∫0af(x)+f(—x)]dx，所以4、=__________标准答案：知识点解析：5、设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)=，则f(x)=__________．标准答案：知识点解析：6、设f(x)∈c[1，+∞)，广义积分∫1+∞f(x)dx收敛，且满足f(x)=，则f(x)=__________．标准答案：知识点解析：7、设=__________标准答案：e—1—1知识点解析：三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)8、设f(x)=求∫02f(x一1)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析9、求∫0nπ｜cosx｜dx．标准答案：知识点解析：暂无解析10、求∫0nπ｜cosx｜dx．标准答案：知识点解析：暂无解析11、求∫02π｜sinx—cosx｜dx．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设f(x)∈c[一π，π]，且f(x)=，求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(x)=，求∫01x2f(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析14、设f(x)=，求∫01f(x)dx标准答案：令∫01f(x)dx=A，知识点解析：暂无解析15、求标准答案：知识点解析：暂无解析16、求标准答案：知识点解析：暂无解析17、设f(x)=f(x一π)+sinx，且当x∈[0，π]时，f(x)=x，求∫π3πf(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设标准答案：知识点解析：暂无解析19、设y’=arctan(x一1)2，y(0)=0，求∫01y(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设标准答案：知识点解析：暂无解析21、设f(x)=sin3x+∫—ππxf(x)dx，求∫0πf(x)dx．标准答案：令∫—ππxf(x)dx=A，则f(x)=sin3x+A，xf(x)=xsin3x+Ax两边积分得∫—ππxf(x)dx=∫—ππxsin3xdx+∫—ππAxdx，知识点解析：暂无解析22、求∫—11(｜x｜+x)e—｜x｜dx．标准答案：由定积分的奇偶性得知识点解析：暂无解析23、计算标准答案：知识点解析：暂无解析24、求标准答案：知识点解析：暂无解析25、求标准答案：知识点解析：暂无解析26、求∫—22max(1，x)dx．标准答案：因为max(1，x)是偶函数，知识点解析：暂无解析27、设标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第7套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设条件收敛，且=r，则()．A、|r|＜1B、|r|＞1C、r=一1D、r=1标准答案：C知识点解析：因为un条件收敛，所以级数un一定不是正项或负项级数，故r≤0．2、设un=(一1)nln，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：显然un条件收敛，收敛，所以un2收敛，选(B)．3、设幂级数an(x一2)n在x=6处条件收敛，则幂级数(x一2)2n的收敛半径为()．A、2B、4C、D、无法确定标准答案：A知识点解析：因为anx(x一2)n在x=6处条件收敛，所以级数ann的收敛半径为R=4，又因为级数anxn有相同的收敛半径，所以的收敛半径为R=4，于是(x一2)2n的收敛半径为R=2．选(A)．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)4、已知f(x)=，则f(n)(3)=________．标准答案：知识点解析：5、标准答案：3e．知识点解析：6、标准答案：2(1一ln2)．知识点解析：7、设级数条件收敛，则p的取值范围是________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)8、计算标准答案：知识点解析：暂无解析9、计算其中D为单位圆x2+y2=1所围成的第一象限的部分．标准答案：知识点解析：暂无解析10、计算二重积分(x2+4x+y2)dxdy，其中D是曲线(x2+y2)2=az(x2一y2)围成的区域．标准答案：根据对称性(x2+4x+y2)dxdy=(x2+y2)dxdy，其中D1是D位于第一卦限的区域．知识点解析：暂无解析11、设半径为R的球面S的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a＞0)上，问R取何值时，球面S在定球面内的面积最大？标准答案：设球面S:x2+y2+(z一a)2=R2，由得球面S在定球内的部分在xOy面上的投影区域为Dxy:x2+y2≤(4a2一R2),球面S在定球内的方程为因为时球面S在定球内的面积最大．知识点解析：暂无解析12、设f(x)在[a，b]上连续，证明：∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=[∫abf(x)dx]2．标准答案：令F（x）=∫abf(t)dt，则∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=∫abf(x)[F(b)一F(x)]dx=F(b)∫abf(x)dx一∫abf(x)F(x)dx=F2(b)一∫abF(x)dF(x)知识点解析：暂无解析13、设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得标准答案：因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得