考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷1（共274题）

考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷1（共9套）（共274题）考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第1套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为（）A、“甲种产品滞销，乙种产品畅销”B、“甲、乙两种产品均畅销”C、“甲种产品滞销”D、“甲种产品滞销或乙种产品畅销”标准答案：D知识点解析：设A1={甲种产品畅销}，A2={乙种产品滞销}，则A=A1A2。由德摩根定律得为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”，故选项D正确。选项A，B中的事件与事件A都是互斥但非对立（互逆）的；选项C中事件的逆事件显然包含事件A，故选项A，B，C都不正确。2、设A，B是任意两个随机事件，又知BA，且P（A）＜P（B）＜1，则一定有（）A、P（A∪B）=P（A）+P（B）B、P（A—B）=P（A）—P（B）C、P（AB）=P（A）P（B|A）D、P（A|B）≠P（A）标准答案：D知识点解析：由于BA，则A∪B=B，AB=A。当P（A）＞0，选项A不成立；当P（A）=0时，条件概率P（B|A）不存在，选项C不成立；由于任何事件概率的非负性，而题设P（A）＜P（B），故选项B不成立。对于选项D，根据题设条件0≤P（A）＜P（B）＜1，可知条件概率P（A|B）存在，并且故应选D。3、设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0，P（B）＞0，则下列结论中一定成立的有（）A、A，B为对立事件B、互不相容C、A，B不独立D、A，B相互独立标准答案：C知识点解析：A，B互不相容，只说明AB=，但并不一定满足A∪B=Ω，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因A∪B=Ω不一定成立，故）=0，但是P（A）P（B）＞0，即P（AB）≠P（A）P（B），故A与B一定不独立，应选C。4、在最简单的全概率公式P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）中，要求事件A与B必须满足的条件是（）A、0＜P（A）＜1，B为任意随机事件B、A与B为互不相容事件C、A与B为对立事件D、A与B为相互独立事件标准答案：A知识点解析：故选项A正确。5、连续型随机变量X的分布函数F（x）=则其中的常数a和b为（）A、a=1，b=1B、a=1，b=—1C、a=—1，b=1D、a=0，b=1标准答案：B知识点解析：（a+be—x）=a=1。F（x）为连续型随机变量X的分布，故F（x）必连续，那么F（x）在x=0连续。所以F（x）=0，即a+b=0，b=—1，故选项B正确。6、设随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则随σ的增大，概率P{|X一μ|＜σ}应该（）A、单调增大B、单调减少C、保持不变D、增减不定标准答案：C知识点解析：若X一N（μ，σ2），则～N（0，1），因此P{|X一μ|＜σ}==2Ф（1）—1。该概率值与σ无关，故选项C正确。7、设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX（x）fY（y）分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y条件下，X的条件概率密度fX|Y（x|y）为（）A、fX（x）B、fY（y）C、fX（x）fY（y）D、标准答案：A知识点解析：因为（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，那么X与Y独立，且f（x，y）=fX（x）fY（y）。则fX，Y（x|y）=故正确答案为A。8、设（X，Y）为二维随机变量，则下列结论正确的是（）A、若X与Y不相关，则X2与Y2不相关B、若X2与Y不相关，则X与Y不相关C、若X与Y均服从正态分布，则X与Y独立和X与Y不相关等价D、若X与Y均服从0—1分布，则X与Y独立和X与Y不相关等价标准答案：D知识点解析：对于选项D：设X～B（1，p），Y～B（1，g），当X与Y独立时X与Y不相关。反之，当X与Y不相关，即E（XY）=E（X）E（Y）=pq时，可得下列分布律由此可知X与Y独立。故此时X与Y独立和X与Y不相关等价，故选项D正确。根据不相关的性质可排除选项A和B。对于选项C，当X与Y均服从正态分布时，（X，Y）未必服从二维正态分布，故选项C不正确。9、对于任意两随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是（）A、E（XY）=E（X）．E（Y）B、Cov（X，Y）=0C、D（XY）=D（X）．D（Y）D、D（X+Y）=D（X）+D（Y）标准答案：C知识点解析：因为Cov（X，Y）=E（XY）—E（X）E（Y）=0是“X和Y不相关”的充分必要条件，所以A与B等价。由D（X+Y）=D（X）+D（Y）的充分必要条件是Cov（X，Y）=0，可见选项B与D等价。于是，“X和Y不相关”与选项A，B和D等价。故应选C。10、设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立，则根据辛钦大数定律，依概率收敛于其数学期望，只要{Xn：n≥1}（）A、有相同的期望B、有相同的方差C、有相同的分布D、服从同参数p的0—1分布标准答案：D知识点解析：由于辛钦大数定律除了要求随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立的条件之外，还要求X1，X2，…，X2n，…同分布与期望存在。只有选项D同时满足后面的两个条件，应选D。11、设总体X服从参数为λ（λ＞0）的泊松分布，X1，X2，…，Xn（n≥2）为取自总体的简单随机样本，则对应的统计量T1=有（）A、E（T1）＞E（T2），D（T1）＞D（T2）B、E（T1）＞E（T2），D（T1）＜D（T2）C、E（T1）＜E（T2），D（T1）＞D（T2）D、E（T1）＜E（T2），D（T1）＜D（T2）标准答案：D知识点解析：因为X服从参数为λ（λ＞0）的泊松分布，那么E（Xi）=A，D（Xi）=λ，i=1，2，…，n，则所以E（T1）＜E（T2），D（T1）＜D（T2），故选D。12、设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N（0，σ2）的简单随机样本，是样本均值，记S12=，则可以作出服从自由度为n—1的t分布统计量（）A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由于不独立，所以C和D也不正确。故选B。undefined二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)13、将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现两次的概率为________。标准答案：知识点解析：该试验为独立重复试验序列概型，记A=“正、反面都至少出现两次”，X为将硬币投掷五次正面出现的次数，则X—B（5，），而Y=5—X为5次投掷中反面出现的次数，那么A={2≤X≤5，2≤y≤5}={2≤X≤5，2≤5一X≤5}={2≤X≤5，0≤X≤3}={X=2}∪{X=3}，所以P（A）=P{X=2}+P{X=3}=14、假设盒内有10件产品，其正品数为0，1，…，10个是等可能的，今向盒内放入一件正品，然后从盒内随机取出一件产品发现它是正品，则原来盒内有7件正品的概率α=________。标准答案：知识点解析：设事件Ai=“盒内原有i件正品”，i=0，1，…，10；事件B=“取出的产品是正品”，所以A0，A1，…，A10构成一个完备事件组，依题意有所求概率P（A7|B）可直接应用贝叶斯公式：或先应用全概率公式求出P（B）=再根据条件概率定义计算出P（A7|B）。15、假设X是在区间（0，1）内取值的连续型随机变量，而Y=1—X。已知P{X≤0．29}=0．75，则满足P{Y≤k}=0．25的常数k=________。标准答案：0．71知识点解析：由于P{Y≤k}=P{1—X≤k}=P{X≥1—k}=1—P{X＜1—k}=0．25，所以P{X＜1—k}=1—0．25=0．75。又因P{X≤0．29}=0．75，得1—k=0．29，即k=0．71。16、设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则标准答案：知识点解析：由题设，可知17、设X是服从参数为2的指数分布的随机变量，则随机变量Y=X一的概率密度函数fY（y）=________。标准答案：知识点解析：X～E（2），所以其概率密度函数为fX（x）=所以FY（y）=P{Y≤y}=P{X—所以fY（y）=F’Y（y）=18、设二维随机变量（X，Y）在xOy平面上由直线y=x与曲线y=x2所围成的区域上服从均匀分布，则P{0＜X＜标准答案：知识点解析：由直线y=x与曲线y=x2所围成的区域面积为A=∫01（x—x2）dx=所以（X，Y）的概率密度函数为f（x，y）=于是19、设随机变量X服从[1，3]上的均匀分布，则标准答案：知识点解析：随机变量X的密度函数20、设盒子中装有m个颜色各异的球，有放回地抽取n次，每次1个球。设X表示n次中抽到的球的颜色种数，则E（X）=________。标准答案：知识点解析：令Xi=X=X1+X2+…+Xm。事件“Xi=0”表示n次中没有抽到第i种颜色的球，由于是有放回抽取，n次中各次抽取结果互不影响，所以有21、设随机变量X和Y均服从B（1，）且D（X+Y）=1，则X与Y的相关系数ρ=________。标准答案：1知识点解析：根据题意可知D（X）=D（Y）=，且1=D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2Cov（X，Y）=+2Cov（X，Y）解得Cov（X，Y）=故相关系数三、解答题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)22、已知一本书中每页印刷错误的个数X服从参数为0．2的泊松分布，写出X的概率分布，并求一页上印刷错误不多于1个的概率。标准答案：由题意可知，X～p（0．2），X的概率函数为将x=0，1，2，3…代入函数，可得p（0）≈0．8187，p（1）≈0．1637，p（2）≈0．0164，p（3）≈0．0011，p（4）≈0．0001，p（5）≈0。X的概率分布表如下：一页上印刷错误不多于1个的概率p=p（0）+p（1）≈0．9824。知识点解析：暂无解析23、设二维离散型随机变量（X，Y）的联合概率分布为试求：（Ⅰ）X与Y的边缘分布律，并判断X与Y是否相互独立；（Ⅱ）P{X=Y}。标准答案：（Ⅰ）因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以P1．=P2．=p3．=p4．=（Pi．=p{X=i}，p．j=P{Y=j}）假如随机变量X与Y相互独立，就应该对任意的i，j都有pij=Pi．P．j，而本题中p14=0，但是p1．与p．4均不为零，所以p14≠P1．P．4，故X与Y不是相互独立的。知识点解析：暂无解析24、将三封信随机地投入编号为1，2，3，4的四个邮筒。记X为1号邮筒内信的数目，Y为有信的邮筒数目。求：（Ⅰ）（X，Y）的联合概率分布；（Ⅱ）Y的边缘分布；（Ⅲ）在X=0的条件下，关于Y的条件分布。标准答案：（Ⅰ）根据题意，（X，Y）的全部可能取值为（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，2），（3，1），再分别计算相应的概率。事件{X=0，Y=1}表示“三封信均投入后3个邮筒中的某一个邮筒内”。根据古典概型公式，样本空间所含样本点数为43=64，有利于事件{X=0，Y=1}的样本点数为C31=3，于是类似地可以计算出各有关概率值，列表如下：（Ⅱ）从表中看出Y只取1，2，3三个可能值，相应概率分别是对表中pij的各列求和。于是Y的边缘分布为表中最下行值。在X=0条件下，关于Y的条件分布，可以应用上述公式计算出来，列表如下：知识点解析：暂无解析25、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为求：（Ⅰ）（X，Y）的边缘概率密度fX（X）fY（Y）；（Ⅱ）Z=2X—Y的概率密度fZ（Z）。标准答案：（Ⅰ）已知（X，Y）的概率密度，所以关于X的边缘概率密度（Ⅱ）设FZ（z）=P{Z≤z}=P{2X—Y≤z}，（1）当z＜0时，FZ（z）=P{2X—Y≤z}=0；（2）当0≤z＜2时，FZ（z）=P{2X—Y≤z}=z—（3）当z≥2时，FZ（z）=P{2X—Y≤z}=1。所以FZ（z）的即分布函数为：FZ（z）=故所求的概率密度为fZ（z）=知识点解析：暂无解析26、设随机变量X和Y分别服从，已知P{X=0，Y=0}=求：（Ⅰ）（X，Y）的分布；（Ⅱ）X和l，的相关系数；（Ⅲ）P{X=1|X2+Y2=1}。标准答案：（Ⅰ）由已知条件及离散型随机变量边缘分布的性质，得知识点解析：暂无解析27、设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N（μ，σ2）与N（μ，2σ2），其中σ是未知参数且σ＞0，设Z=X—Y。（Ⅰ）求Z的概率密度f（z；σ2）；（Ⅱ）设Z1，Z2，…，Zn为来自总体Z的简单随机样本，求σ2的最大似然估计量标准答案：（Ⅰ）因为X～N（μ，σ2），Y～N（μ，2σ2），且X与Y相互独立，故Z=X—Y～N（0，3σ2）。所以，Z的概率密度为解得最大似然估计值为知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第2套一、选择题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)1、下列事件中与A互不相容的事件是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于不可能事件φ与任何一个事件A都相互不相容，即Aφ=φ，而综上分析，选项D正确．2、设随机事件A与B为对立事件，0＜P(A)＜1，则一定有()A、0＜P(A∪B)＜1．B、0＜P(B)＜1．C、0＜P(AB)＜1．D、标准答案：B知识点解析：因A、B为对立事件，即A∪B=Ω，AB=φ，所以P(AB)=0，=0，且P(A)+P(B)=P(A∪B)=1．因此选项A、C、D均不成立，故选B．3、在最简单的全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+要求事件A与B必须满足的条件是()A、0＜P(A)＜1，B为任意随机事件．B、A与B为互不相容事件．C、A与B为对立事件．D、A与B为相互独立事件．标准答案：A知识点解析：故选项A正确．4、在全概率公式P(B)=中，除了要求条件B是任意随机事件及P(Ai)>0(i=1，2，…，n)之外，我们可以将其他条件改为()A、A1，A2，…，An两两独立，但不相互独立．B、A1，A2，…，An相互独立．C、A1，A2，…，An两两互不相容．D、A1，A2，…，An两两互不相容，其和包含事件B，即标准答案：D知识点解析：如果A1，A2，…，An两两互不相容，则A1B，A2B，…，AnB亦两两互不相容，且因故应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即应选D．5、同时抛掷三枚匀称的硬币，正面和反面都出现的概率为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：设Bk表示三枚硬币中出现正面硬币个数，k=0，1，2，3，P(A)为所求概率，根据题意应选D．6、将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是()A、A与B独立．B、B与C独立．C、A与C独立．D、B∪C与A独立．标准答案：B知识点解析：试验的样本空间有8个样本点，即Ω={(正，正，正)，(正，反，反)，…，(反，反，反)}．显然B与C为对立事件，且依古典型概率公式有P(BC)=P(φ)=0，P(B∪C)=P(Ω)=1．由于P(A)P(B)=即P(AB)=P(A)P(B)．因此A与B独立，类似地A与C也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此B∪C与A也独立，用排除法应选B．7、设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则()A、P(C)≤P(A)+P(B)一1．B、P(C)≥P(A)+P(B)一1．C、P(C)=P(AB)．D、P(C)=P(A∪B)．标准答案：B知识点解析：由题设条件可知，于是根据概率的性质、加法公式，有P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)一P(A∪B)≥P(A)+P(B)一1故B正确．8、设A，B为随机事件，P(A)＞0，则P(B|A)=1不等价于()A、P(A—B)=0．B、P(B—A)=0．C、P(AB)=P(A)．D、P(A∪B)=P(B)．标准答案：B知识点解析：，然而P(B一A)=P(B)一P(AB)，所以选项B正确．容易验证其余三个选项与已知条件是等价的，事实上，9、设A、B、C为事件，P(ABC)＞0，则P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)的充要条件是()A、P(A|C)=P(A)．B、P(B|C)=P(B)．C、P(AB|C)=P(AB)．D、P(B|AC)=P(B|C)．标准答案：D知识点解析：P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，指在C发生的条件下，A与B独立，所以“在C发生的条件下，A发生与否不影响B发生的概率”，即P(B|AC)=P(B|C)，故选D．选项A、B、C分别是A与C、B与C、AB与C独立的充要条件．10、设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A|B)+=1，则事件A和B()A、互不相容．B、相容．C、不独立．D、独立．标准答案：D知识点解析：根据得由上式解得P(AB)=P(A)P(B)．故选项D正确．11、袋中有5个球，其中白球2个，黑球3个，甲、乙两人依次从袋中各取一球，记A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球”．①若取后放回，此时记p1=P(A)，p2=P(B)；②若取后不放回，此时记p3=P(A)，p4=P(B)．则()A、p1≠p2≠p3≠p4．B、p1=p2≠p3≠p4．C、p1=p2=p3≠p4．D、p1=p2=p3=p4．标准答案：D知识点解析：依据取球方式知p1=p2=p3，又因为“抽签结果与先后顺序无关”，得p3=p4，所以正确答案是D．12、已知0＜P(B)＜1，且P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B)，则下列选项成立的是()A、B、P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)．C、P(A1+A2)=P(A1|B)+P(A2|B)．D、P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)．标准答案：B知识点解析：将题设条件两边乘以P(B)，得P[(A1+A2)|B]P(B)=P(A1|B)P(B)+P(A2|B)P(B);P[(A1+A2)B]=P(A1B)+P(A2B)P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)，由乘法公式可知，上式即为选项B，故选项B正确．13、连续抛掷一枚硬币，第k次(k≤n)正面向上在第n次抛掷时出现的概率为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：依据题意，总共抛掷n次，其中有k次出现正面，余下的为n一k次反面．第n次必是正面向上，前n一1次中有n一k次反面，k一1次正面(如上图所示)．根据伯努利公式，所以概率为14、设A、B为任意两个事件，且，P(B)＞0，则下列选项必然成立的是()A、P(A)＜P(A|B)．B、P(A)≤P(A|B)．C、P(A)＞P(A|B)．D、P(A)≥P(A|B)．标准答案：B知识点解析：由于可得A=AB，于是P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)≤P(A|B)．故选项B正确．15、设A、B是两个随机事件，且＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(B|A)=，则必有()A、P(A|B)=B、P(A|B)≠C、P(AB)=P(A)P(B)．D、P(AB)≠P(A)P(B)．标准答案：C知识点解析：由P(B|A)=可得化简整理上式可得P(AB)=P(A)P(B)．即A，B相互独立，故选项C正确．16、设A、B、C是三个相互独立的随机事件，且0＜P(C)＜1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：本题考查多个随机事件间的独立性的关系．由A、B、C相互独立可知，事件A、B的和、差、积(或其逆)与事件C或C必相互独立，因此选项A、C、D均被排除，选项B正确．17、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电．以E表示事件“电炉断电”，而T1≤T2≤T3≤T4为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E=()A、{T1≥t0}．B、{T2≥t0}．C、{T3≥t0}．D、{T4≥t0}．标准答案：C知识点解析：由于T1≤T2≤T3≤T4，因此，当有两个温控器显示温度大于等于t0时，E发生，即当{T3≥t0}和{T4≥t0}发生时，E发生．又因为{T3≥t0}发生时，{T4≥t0}必发生，故选C．18、设A、B、C三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的充分必要条件是()A、A与BC独立．B、AB与A∪C独立．C、AB与AC独立．D、A∪B与A∪C独立．标准答案：A知识点解析：经观察，即可知由选项A能够推得所需条件．事实上，若A与BC独立，则有P(ABC)=P(A)P(BC)．而由题设知P(BC)=P(B)P(C)．从而P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．故选A．19、对于任意两事件A和B，与A∪B=B不等价的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：选项A、B、C均与A∪B=B等价，当A≠B时，由A∪B=B不能推得选项D．这表明A∪B=B与不等价，故选D．20、将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件()A、A1，A2，A3相互独立．B、A2，A3，A4相互独立．C、A1，A2，A3两两独立．D、A2，A3，A4两两独立．标准答案：C知识点解析：显然P(A1)=P(A2)=且A1与A2相互独立．故选项C正确．21、对于任意两事件A和B()A、若AB≠φ，则A，B一定独立．B、若AB≠φ，则A，B有可能独立．C、若AB=φ，则A，B一定独立．D、若AB=φ，则A，B一定不独立．标准答案：B知识点解析：由AB≠φ不能推得P(Ab)=P(A)P(B)，因此推不出A、B一定独立，排除选项A．若AB≠φ，则P(AB)=0，但P(A)P(B)是否为零不能确定，因此选项C、D也不正确，故正确选项为选项B．22、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜p＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()A、3p(1一p)2．B、6p(1一p)2．C、3p2(1一p)2．D、6p2(1一p)2．标准答案：C知识点解析：根据题干可知p={前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标}=C31p(1一p)2p=3p2(1一p)2，故正确答案为C．23、设事件A与事件B互不相容，则()A、B、P(AB)=P(A)P(B)．C、P(A)=1一P(B)．D、标准答案：D知识点解析：由于事件A，B互不相容，则P(AB)=0．因为P(A∪B)不一定等于1，A项错误；B项：当P(A)，P(B)不为0时，B不成立，B项排除；C项：只有当A，B互为对立事件的时候才成立，C项排除；故选项D正确．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)24、设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1％和2％，现从由A和B的产品分别占60％和40％的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是_______．标准答案：知识点解析：设事件A={抽到的产品为工厂A生产的}，事件B={抽到的产品为工厂B生产的}，事件C={抽到的产品是次品}，则P(A)=0．6，P(B)=0．4，P(C|A)=0．01，P(C|B)=0．02，根据贝叶斯公式可知25、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是_________。标准答案：知识点解析：设事件A={第一个人取出的球是黄色的}，事件B={第一个人取出的球是白色的}，事件C={第二个人取出的球是黄色的}，则有根据全概率公式可得P(C)=P(A).P(C|A)+P(B).P(C|B)=26、设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件：ABC=φ，P(A)=P(B)=P(C)＜且已知P(A∪B∪C)=，则P(A)=_______．标准答案：知识点解析：根据加法公式有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AC)一P(AB)一P(BC)+P(ABC)，由题A，B和C两两独立，ABC=φ，P(A)=P(B)=P(C)＜所以有P(AB)=P(AC)=P(BC)=P2(A)；P(ABC)=P(φ)=0，从而27、设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=_______．标准答案：知识点解析：由题设，有即P(A)[1一P(B)]=[1一P(A)]P(B)，可得P(A)=P(B)．28、在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为_______．标准答案：知识点解析：这是一个几何概型，设x，y为所取的两个数，则样本空间Ω={(x，y)|0＜x，y＜1}，记A={(x，y)|(x，y)∈Ω，|x—y|＜}所以其中SA，SΩ分别表示A与Ω的面积．29、设10件产品有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为______．标准答案：知识点解析：设事件A：所取的两件产品中至少有一件是不合格品．事件B：所取的两件都是不合格品．30、已知X，Y为随机变量且P{X≥0，Y≥0}=，P{X≥0}=P{Y≥0}=设A={max(X，Y)≥0}，B={max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0}，C={max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}，则P(A)=______，P(B)=______，P(C)=______．标准答案：知识点解析：首先分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，后应用概率性质计算概率．由于A={max(X，Y)≥0}={X，Y至少有一个大于等于0}={X≥0}∪{Y≥0}，所以P(A)=P{X≥0}+P{Y≥0}一P{X≥0，Y≥0}=又{max(X，Y)＜0}{min(X，Y)＜0}，则B={max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0}={max(X，Y)＜0}=从而P(B)=根据全集分解式知：A={max(X，Y)≥0}={max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}+{max(X，Y)≥0，min(X，Y)≥0}=C+{X≥0，Y≥0}，故31、假设盒内有10件产品，其正品数为0，1，…，10个是等可能的，今向盒内放入一件正品，然后从盒内随机取出一个产品发现它是正品，则原来盒内有7个正品的概率α=_______．标准答案：知识点解析：设事件Ai=“盒内原有i件正品”，i=0，1，…，10；事件B=“取出的产品是正品”，所以A0，A1，…A10构成一个完备事件组，依题意有所求概率P(A7|B)可直接应用贝叶斯公式：或先应用全概率公式求出P(B)=再根据条件概率定义计算出P(A7|B)．32、统计资料表明，男性患色盲的概率为5％，现有一批男士做体检．则事件“发现首例患色盲的男士已检查了30名男士”的概率α为______．标准答案：0．785知识点解析：设事件X表示发现首例色盲患者时已检查过的男士数，则X服从参数为0．05的几何分布．33、口袋中有n个球，从中取出一个再放入一个白球，如此交换进行n次，已知袋中自球数的期望值为a，那么第n+1次从袋中取出一个白球的概率为______．标准答案：知识点解析：本题主要考查事件的设定、全概概率，题中有一个完备事件组：n次交换后袋中存有白球数X(X=1，2，…，n)，因此是全概概型．设B为第n+1次从袋中取白球，Ak(k=1，2，…，n)表示n次交换后袋中的白球数，则n次交换后袋中的白球数的期望值为34、已知随机变量X服从参数为λ的指数分布，则概率=________标准答案：知识点解析：根据题设知P{X＞0}=1，P{X≤0}=0，应用全概率公式得35、如果用X，Y分别表示将一枚硬币连掷8次正反面出现的次数，则t的一元二次方程t2+Xt+Y=0有重根的概率是_______．标准答案：知识点解析：P{{X2=4Y}=P{X2=4(8一X)}=P{X2+4X一32=0}=P{(X+8)(X一4)=0}=P{X=4}=三、解答题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)36、已知P(A)=0．5，P(B)=0．7，则(I)在怎样的条件下，P(AB)取得最大值?最大值是多少?(Ⅱ)在怎样的条件下，P(AB)取得最小值?最小值是多少?标准答案：(I)由于因此P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)，即P(AB)≤min{P(A)，P(B)}．已知P(A)=0．5，P(B)=0．7，所以P(AB)≤min{P(A)，P(B)}=P(A)=0．5，P(AB)的最大值是0．5，P(AB)=P(A)=0．5成立的条件是AB=A，即．(Ⅱ)根据概率运算的加法原理，P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)=0．5+0．7一P(AB)=1．2一P(AB)，因此可得P(AB)=1．2一P(A∪B)．因为P(A∪B)≤1，所以P(AB)=1．2一P(A∪B)≥1．2一1=0．2，即P(AB)取得的最小值是0．2，故P(AB)=0．2成立的条件是P(A∪B)=1，即A∪B=Ω知识点解析：暂无解析37、袋中有a个白球与b个黑球．每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率．标准答案：设事件A1表示第一次取出的是白球，事件A2表示第二次取出的也是白球，事件B1表示第一次取出的是黑球，事件B2表示第二次取出的也是黑球．如果两次取出的球颜色相同，则用A1A2+B1B2表示．不放回抽取属于条件概率，根据概率运算的加法原理，有知识点解析：暂无解析38、证明：如果P(A|B)=则事件A与B是独立的．标准答案：利用互逆事件概率和为1可证明．如果A与B是独立的，则满足P(A|B)=P(A)．因此P(A|B)=P(A)，所以事件A与B是独立的．知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第3套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、下列事件中与A互不相容的事件是（）A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于与任何一个事件A都相互不相容，即综上分析，选项D正确。2、设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则（）A、P（C）≤P（A）+P（B）一1B、P（C）≥P（A）+P（B）一1C、P（C）=P（AB）D、P（C）=P（A∪B）标准答案：B知识点解析：由题设条件可知CAB，于是根据概率的性质、加法公式，有P（C）≥P（AB）=P（A）+P（B）—P（A∪B）≥P（A）+P（B）—1。故B正确。3、设A、B、C三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的充分必要条件是（）A、A与BC独立B、AB与A∪C独立C、AB与AC独立D、A∪B与A∪C独立标准答案：A知识点解析：经观察，即可知由选项A能够推得所需条件。事实上，若A与BC独立，则有P（ABC）=P（A）P（BC）。而由题设知P（BC）=P（B）P（C）。从而P（ABC）=P（A）P（B）P（C）。故选A。4、设随机变量X的密度函数为f（x）=λ＞0，则概率P{λ＜X＜λ+a}（a＞0）的值（）A、与a无关，随λ的增大而增大B、与a无关，随λ的增大而减小C、与λ无关，随a的增大而增大D、与λ无关，随a的增大而减小标准答案：C知识点解析：概率P{λ＜X＜λ+a}（a＞0），显然与a有关，固定λ随a的增大而增大，因而选C。事实上，由于1=∫—∞+∞f（x）dx=A∫—∞+∞e—xdx=Ae—λA=eλ，概率P{λ＜X＜λ+a}=A∫λλ+ae—xdx=eA（e—λ一e—aλ）=1一e—a，与λ无关，随a的增大而增大，故选项C正确。5、设随机变量X服从正态分布N（0，1），对给定的α∈（0，1），数uα满足P{X＞uα}=α，若P{|X|＜x}=α，则x等于（）A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：标准正态分布上α分位数的定义及条件P{X＞uα}=α与P{|X|＜x}=α，并考虑到标准正态分布概率密度曲线的对称性，可作出如图3—2—2及图3—2—3所示图形。如图3—2—3所示，根据标准正态分布的上α分位数的定义，可知，故选项C正确。6、设相互独立的两随机变量x与y均服从分布B（1，），则P{x≤2Y}=（）A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：P{X≤2Y}=P{X=0}+P{X=1，Y=1}=+P{x=1}P{Y=1}故选项D正确。7、设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X，2}的分布函数（）A、是连续函数B、至少有两个间断点C、是阶梯函数D、恰好有一个间断点标准答案：D知识点解析：考虑分布函数的连续性问题，需求出其分布函数。因为X服从指数分布，则其概率密度为其中λ＞0为参数。由分布函数的定义FY（y）=P{Y≤y}=P{min（X，2）≤y}，当y＜0时，FY（y）=0；当y≥2时，FY（y）=1；当0≤y＜2时，FY（y）=P{min{X，2}≤y}=P{X≤y}=∫0yλe—λxxdx=1—e—λy，故因为FY（y）=1—e—2λ≠FY（2）=1，所以y=2是FY（y）的唯一间断点，故选D。8、已知随机变量X服从二项分布，且E（X=2．4，D（X=1．44，则二项分布的参数n，p的值为（）A、n=4，p=0．6B、n=6，p=0．4．C、n，=8，p=0．3D、n=24，p=0．1标准答案：B知识点解析：因为X～B（n，p），所以E（X）=np，D（X）=np（1—p），将已知条件代入，可得解此方程组，得n=6，p=0．4，故选项B正确。9、设随机变量X与Y相互独立，且方差D（X）＞0，D（Y）＞0，则（）A、X与X+Y一定相关B、X与X+Y一定不相关C、X与XY一定相关D、X与XY—定不相关标准答案：A知识点解析：直接根据计算协方差来判断，已知X与y独立，故Cov（X，Y）=0，Cov（X，X+Y）=Cov（X，X）+Cov（X，Y）=D（X）＞0。所以X与X+Y一定相关，应选A。又由于Cov（X，XY）=E（X2Y）—E（X）．E（XY）故选项C、D有时成立，有时不成立。10、设随机变量X～t（n）（n＞1），Y=则（）A、Y～χ2（n）B、Y～χ2（n—1）C、Y～F（n，1）D、Y～F（1，n）标准答案：C知识点解析：因X～t（n），故根据t分布定义知X=其中U～N（0，1），V～χ2（n）。于是Y=～F（n，1）（F分布定义）。故选C。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)11、设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生日不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P（A）=________。标准答案：知识点解析：由题设，有由于A和B相互独立，所以即P（A）[1一P（B）]=[1一P（A）]P（B），可得P（A）=P（B）。从而，且P（A）≤1，解得P（A）=12、已知事件A、B仅发生一个的概率为0．3，且P（A）+P（B）=0．5，则A，B至少有一个不发生的概率为________。标准答案：0．9知识点解析：由题设=P（A）+P（B）—2P（AB）=0．3。P（A）+P（B）=0．5，于是解得P（AB）=0．1，所以所求的概率为=1—P（AB）=1—0．1=0．9。13、已知随机变量x的概率分布为P{x=k}=（k=1，2，3），当X=k时随机变量Y在（0，k）上服从均匀分布，即则P{Y≤2．5}=________。标准答案：知识点解析：根据题设可知根据全概率公式，可得14、若f（x）=为随机变量X的概率密度函数，则a=________。标准答案：知识点解析：15、设二维随机变量（X，Y）的分布函数为Ф（2x+1）Ф（2y—1），其中Ф（x）为标准正态分布函数，则（X，Y）～N________。标准答案：知识点解析：（X，Y）的分布函数为Ф（2x+1）Ф（2y—1），所以可知X，Y独立。根据正态分布X一N（μ，σ2）的标准化可知16、将10双不同的鞋随意分成10堆，每堆2只，以X表示10堆中恰好配成一双鞋的堆数，则E（X）=________。标准答案：知识点解析：将第i堆的第一只鞋固定，第二只鞋要与第一只鞋配对，只有在不同于第一只鞋剩下的19只中唯一的一只才有可能，故P{xi=1}=，也就有17、设随机变量X和Y相互独立，且X～N（0，1），Y～N（0，2），则E（X2+Y）=________。标准答案：1知识点解析：因为X和Y相互独立，所以X2与Y相互独立，E（X2+Y）=E（X2）+E（Y），由于X～N（0，1），所以E（X）=0，D（X）=1。因此E（X2）=D（X）+（EX）2=1，Y～N（0，2），故E（Y）=0，所以E（X2+Y）=1。18、假设随机变量X1，X2，…，X2n独立同分布，且E（Xi）=D（Xi）=1（1≤i≤2n），如果Yn=则当常数C=________时，根据独立同分布中心极限定理，当n充分大时，Yn近似服从标准正态分布。标准答案：知识点解析：记Zi=X2i—X2i—1，则Zi（1≤i≤n）独立同分布，且E（Zi）=0，D（Zi）=2。由独立同分布中心极限定理可得，当n充分大时，近似服从标准正态分布，所以c=19、设随机变量X和Y相互独立，且X～N（0，2），X～N（0，3），则D（X2+Y2）=________。标准答案：26知识点解析：因X～N（0，2），故～χ2（1），所以D（X2）=8，同理D（Y2）=18。又由于X和Y相互独立，故D（X2+Y2）=8+18=26。20、设X1，X2，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，则λ的极大似然估计量为________。标准答案：知识点解析：因为p（xi；λ）=P{X=xi}=（Xi=0，1，…），则极大似然估计为三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)21、甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率。标准答案：设甲、乙两艘船到达的时间分别为x，y，并把（x，y）视为直角坐标系里的一个点的坐标，则x，y满足条件0≤x≤24，0≤y≤24。所以总的基本事件数为坐标系中边长为24的正方形的面积，如图3—1—4所示。用事件A表示“两艘船中任何一艘都不需要等候码头空出”，则x，y满足不等式y—x≥1，x—y≥2。则上述不等式组表示的区域为图中阴影部分的面积，即事件A的基本事件数。容易求得正方形面积为S=242，阴影部分面积为×232，根据几何概型，可得知识点解析：暂无解析22、设连续型随机变量X的分布函数F（x）=求：（Ⅰ）常数A；（Ⅱ）X的密度函数f（x）；标准答案：（Ⅰ）因X是连续型随机变量，故其分布函数F（x）在x=1处连续，即所以A=1。（Ⅱ）当x＜0时，F（x）=0，所以f（x）=F’（x）=0；当0≤x＜1时，F（x）=x2，所以f（x）=F’（x）=2x；当x≥1时，F（x）=1，所以f（x）=F’（x）=0。综上所述知识点解析：暂无解析23、已知随机变量X的概率密度（Ⅰ）求分布函数F（x）。（Ⅱ）若令y=F（X），求Y的分布函数FY（y）。标准答案：直接根据F（x）=P{X≤x}，FY（y）=P{F（X）≤y}求解。（Ⅱ）令Y=F（X），则由0≤F（x）≤1及F（x）为x的单调不减连续函数知（如图3—2—6所示），当y＜0时，FY（y）=0；当y≥1时，FY（y）=1；当0≤y＜时，知识点解析：暂无解析24、设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布率及关于X和关于Y的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。标准答案：知识点解析：暂无解析25、已知（X，Y）在以点（0，0），（1，—1），（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布。（Ⅰ）求（X，Y）的联合密度函数f（x，y）；（Ⅱ）求边缘密度函数fX（x）fY（y）及条件密度函数fX|Y（x|y），fY|X（y|x）；并问X与Y是否独立；（Ⅲ）计算概率P{X＞0，Y＞0}，标准答案：（Ⅰ）由于以（0，0），（1，—1），（1，1）为顶点的三角形面积为1，如图3—3—2所示，故知识点解析：暂无解析26、已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为（Ⅰ）试求（X，Y）的边缘概率密度fX（x）fY（y），并问X与Y是否独立；（Ⅱ）令Z=X—Y，求Z的分布函数Fz（z）与概率密度fZ（z）。标准答案：画出f（x，y）非零定义域，应用定义、公式进行计算。因为fX（x）fY（y）≠f（x，y），所以X与Y不独立。（Ⅱ）分布函数法。Z=X—Y的分布函数为由于FZ（z）为z的连续函数，除z=0外，导函数存在且连续，故知识点解析：暂无解析27、设ξ和η是独立同分布的两个随机变量。已知ξ的分布律为P|ξ=i}=，i=1，2，3，又设X=max{ξ，η}，Y=min{ξ，η}。（Ⅰ）写出二维随机变量（X，Y）的分布律；（Ⅱ）求E（X）。标准答案：（Ⅰ）X，Y可能的取值均为1，2，3。由题意可知X≥Y始终成立，即{X＜Y}是不可能事件，故P{X=1，Y=2}=P{X=1，Y=3}=P{X=2，Y=3}=0。（X，Y）的联合分布律如下表:知识点解析：暂无解析28、设随机变量X的概率密度为对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求Y2的数学期望。标准答案：因为则有E（Y2）=D（Y）+E2（Y）=npq+（np）2=4×=5。知识点解析：暂无解析29、设某种元件的使用寿命X的概率密度为f（x；θ）=其中0＞0为未知参数。又设x1，x2，…，xn是X的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值。标准答案：似然函数为L（θ）=L（x1，x2，…，xn；θ）=当xi＞9（i=1，2，…，n）时，L（θ）＞0，取对数，得因为=2n＞0，所以L（θ）单调增加。由于θ必须满足xi＞θ（i=1，2，…，n），因此当θ取x1，x2，…，xn中最小值时，L（θ）取最大值，所以θ的最大似然估计值为=min{x1，x2，…，xn}。知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第4套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、假设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为λ的指数分布，Y的分布律为P{Y=1}=P{Y=一1}=，则X+Y的分布函数()A、是连续函数．B、恰有一个间断点的阶梯函数．C、恰有一个间断点的非阶梯函数．D、至少有两个间断点．标准答案：A知识点解析：依题意要通过确定Z=X+Y分布函数FZ(z)有几个间断点来确定正确选项．由于FZ(z)在Z=a间断FZ(a)一FZ(a—0)≠0P{Z=a}≠0，所以可通过计算概率P{Z=a}来确定正确选项．根据全概率公式可知，对任意的a∈R．P{X+Y=a}=P{X+Y=a，Y=1}+P{X+Y=a，Y=一1}=P{X=a一1，Y=1}+P{X=a+1，Y=-1}≤P{X=a一1}+P{X=a+1}=0，所以X+y的分布函数是连续函数，故选项A正确．2、设随机变量X与Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是()A、X=YB、P{X=Y}=0．C、D、P{X=Y}=1．标准答案：C知识点解析：因为随机变量X和Y可以取不同的值，所以排除选项A，D．又因为X和Y也可以取相同的值，所以排除选项B，故选项C正确．3、设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，边缘分布为FX(x)和FY(y)，则概率P{X＞x，Y＞y}等于()A、1一F(x，y)．B、1—FX(x)一FY(y)．C、F(x，y)一FX(x)一FY(y)+1．D、FX(x)+FY(y)+F(x，y)一1．标准答案：C知识点解析：记事件A={X≤X}，B={Y≤Y}，则P{X＞x，Y＞y}==1一P(A∪B)=1一P(A)一P(B)+P(AB)=1一P{X≤x}一P{Y≤y}+P{X≤x，Y≤y}=1一FX(x)一FY(y)+F(x，y)，故选项C正确．4、设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是()A、X2B、X—YC、X+YD、(X，Y)．标准答案：D知识点解析：根据X，Y的独立性可知，(X，Y)的联合密度f(x，y)=因此(X，Y)服从区域D={(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜1}上的二维均匀分布，故选项D正确．5、设随机变量X与Y相互独立，其分布函数分别为FX(x)与FY(y)，则Z=max{X，Y}的分布函数FZ(z)是()A、max{FX(z)，FY(z)}．B、FX(z)+FY(z)一FX(z)FY(z)．C、FX(z)FY(z)．D、标准答案：C知识点解析：FZ(z)=P{max(X，Y)≤z}=P{X≤z，Y≤z}=P{X≤z}.P{X≤z}=FX(z).FY(z)，故选项C正确．6、设随机变量X1与X2相互独立，其分布函数分别为则X1+X2的分布函数F(x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据题意知X1，为离散型随机变量，其分布律为F(x)=P{X1+X2≤x}=P{X1=0}P{X1+X2≤x|X1=0}+P{X1=1}P{X1+X2≤x|X1=1}=故选项D正确．7、设随机变量X和Y都服从正态分布，则()A、X+Y一定服从正态分布．B、X和Y不相关与独立等价．C、(X，Y)一定服从正态分布．D、(X，一Y)未必服从正态分布．标准答案：D知识点解析：选项A不成立，例如，若Y=一X，则X+Y=0不服从正态分布．选项C不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布．选项B也不成立，因为只有当X和Y的联合分布是二维正态分布时“X和Y独立”与“X和Y不相关”二者等价．故应选D．虽然随机变量X和一Y都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，一Y)未必服从正态分布．8、已知随机变量X1与X2相互独立且有相同的分布：P{Xi=一1}=P{Xi=1}=(i=1，2)，则()A、X1与X1X2独立且有相同的分布．B、X1与X1X2独立且有不同的分布．C、X1与X1X2不独立且有相同的分布．D、X1与X1X2不独立且有不同的分布．标准答案：A知识点解析：根据题设知X1X2可取一1，1，且P{X1X2=一1}=P{X1=一1，X2=1}+P{X1=1，X2=一1}=P{X1=一1}P{X2=1}+P{X1=1}P{X2=一1}=又P{X1=一1，X1X2=一1}=P{X1=一1，X2=1}=所以X1与X1X2的概率分布为从而X1与X1X2有相同的分布且相互独立，故选项A正确。9、已知随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|一1＜x＜1，一1＜y＜1)上服从均匀分布，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据题设知(X，Y)的概率密度函数为所以选项A、B、C都不正确．故选D．10、设相互独立的两随机变量X与Y，其中X～B，而Y具有概率密度f(y)=则P{X+Y≤}的值为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：．X取值只能是X=0或X=1，将X=0和X=1看成完备事件组，用全概率公式有故选项A正确．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)11、已知随机变量X与Y都服从正态分布N(μ，σ2)，如果P{max(X，Y)＞μ}=a(0＜a＜1)，则P{min(X，Y)≤μ}=______．标准答案：a知识点解析：P{max(X，Y)＞μ}=P{{X＞μ}∪{Y＞μ}}=P{X＞μ}+P{Y＞μ}一P{X＞μ，Y＞μ}==P{min(X，Y)≤μ}=a．12、假设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立且都服从0一1分布：P{Xi=1}=p，P{Xi=0}=1—p(i=1，2，3，4，0＜p＜1)，已知二阶行列式的值大于零的概率等于则p=______．标准答案：知识点解析：记=X1X4一X2X3，则P应使P{△＞0}=P{X1X4一X2X3＞0}=P{X1X4＞X2X3}=，因为Xi仅能取1或0，且相互独立，故事件{X1X4＞X2X3}={X1X4=1，X2X3=0}，所以=P{X1=1，X4=1，X2=0，X3=0}+P{X1=1，X4=1，X2=0，X3=1}+P{X1=1，X4=1．X2=1，X3=0}=p2(1一p)2+p3(1一p)+p3(1一p)=p2(1一p2)=p2一p4，则p4一p2+13、设随机变量X1和X2相互独立，它们的分布函数分别为F1(x)和F2(x)，已知F1(x)=则X1+X2的分布函数F(x)=_______．标准答案：知识点解析：X1的分布函数为F1(x)，则X1～．即P{X1=0}=，P{X1=1}=根据全概率公式，可得F(x)=P{X1+X2≤x}=P{X1=0}P{X1+X2≤x|X1=0}+P{X1=1}P{X1+X2≤x|X1=1}14、假设随机变量X服从参数为λ的指数分布，Y=|X|，则(X，Y)的联合分布函数F(x，y)=______．标准答案：知识点解析：根据题意，X的概率密度函数为所以P{X＞0}=1，则F(x，y)=P{X≤x，|X|≤y}=P{X≤x，X≤y，X＞0；15、已知(X，Y)的概率分布为且P{X2+Y2=1}=0．5，则P{X2Y2=1}=_______．标准答案：0．3知识点解析：由于0．1+0．2+α+β+0．1+0．2=0．6+α+β=1，即α+β=0.4，又0．5=P{X2+Y2=1}=P{X2=0，Y2=1}+P{X2=1，Y2=0}=P{X=0，Y=1}+P{X=0，Y=一1}+P{X=1，Y=0}=α+0．1+0．1．故α=0．3，β=0．1．那么P{X2Y2=1}=P{X2=1，Y2=1}=P{X=1，Y=1}+P{X=1，Y=一1}=0．2+β=0．3．16、设二维随机变量(X，Y)的分布函数为φ(2x+1)φ(2y一1)，其中φ(x)为标准正态分布函数，则(X，Y)～N(_______)．标准答案：知识点解析：(X,Y)的分布函数为φ(2x+1)φ(2y一1)，所以可知X，Y独立．根据正态分布X～N(μ，σ2)的标准化可知17、已知随机变量X1和X2相互独立，且分别服从参数为λ1，λ2的泊松分布，已知P{X1+X2＞0}=1—e-1，则E(X1+X2)2=_______．标准答案：2知识点解析：已知Xi～P(λi)且X1与X2相互独立．所以E(Xi)=D(Xi)=λi(i=1，2)，E(X1+X2)2=E(X12+2X1X2+X22)=E(X12)+2E(X1)E(X2)+E(X22)=λ1+λ12+2λ1λ2+λ2+λ22=λ1+λ2+(λ1+λ2)2．因为P(X1+X2＞0)=1一P(X1+X2≤0)=1—P(X1+X2=0)=1一P(X1=0，X2=0)=1一P(X1=0)P(X2=0)=所以λ1+λ2=1．故E(X1+X2)2=λ1+λ2+(λ1+λ2)2=2．18、假设随机变量X在[一1，1]上服从均匀分布，a是区间[一1，1]上的一个定点，Y为点X到a的距离，当a=______时，随机变量X与Y不相关．标准答案：0知识点解析：已知X～f(x)=E(X)=0，依题意Y=|X一a|，a应使E(XY)=E(X)E(Y)=0．其中19、已知随机变量X1，X2，X3相互独立，且都服从正态分布N(0，σ2)，如果随机变量Y=X1X2X3的方差D(Y)=则σ2=________．标准答案：知识点解析：已知随机变量X1，X2，X3相互独立，则X12，X22，X32相互独立．又因E(Xi)=0，E(Xi2)=D(Xi)=σ2．故D(Y)=D(X1X2X3)=E(X1X2X3)2-E2(X1X2X3)=[EX12X22X32]一[E(X1)E(X2)E(X3)]2=E(X12)E(X22)E(X32)=(σ2)3=20、设随机变量X和Y均服从且D(X+Y)=1，则X与Y的相关系数ρ=_____标准答案：1知识点解析：根据题意可知D(X)=D(Y)=，且三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)21、设ξ，η是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知ξ的分布率为P(ξ=i)=，i=1，2，3．又设X=max(ξ，η)，Y=min(ξ，η)．(I)写出二维随机变量的分布率：(Ⅱ)求随机变量X的数学期望E(X)．标准答案：(I)根据X=max(ξ，η)，Y=min(ξ，η)的定义可知，P{X＜Y}=0，即P{X=1，Y=2}=P(X=1，Y=3)=P(X=2，Y=3)=0，同时有，P{X=1，Y=1}=P{ξ=1，η=1}=P{ξ=1}.P{η=1}=，P{X=2，Y=2}=P{ξ=2，η=2}=P{ξ=2}.P{η=2}=，P{X=3，Y=3}=P{ξ=3，η=3}=P{ξ=3}.P{η=3}=，P{X=2，Y=1}=P{ξ=1，η=2}+P{ξ=2，η=1}=，P{X=3，Y=2}=P{ξ=2，η=3}+P{ξ=3，η=2}=，P{X=3，Y=1}=[]；所以所求的分布律为(Ⅱ)X的边缘分布为因此X的数学期望为E(X)=知识点解析：暂无解析22、设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布率及关于X和关于Y的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0＜p＜1)，且中途下车与否相互独立．Y为中途下车的人数，求：(I)在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；(Ⅱ)二维随机变量(X，Y)的概率分布．标准答案：(I)P{Y=m|X=n}=Cnmpm(1一p)n-m，0≤m≤n，n=0，1，2，…(Ⅱ)P{X=n，Y=m}=P{x=n}P{Y=m|X=n}=.Cnmpm(1一P)n-m，0≤m≤n，n=0，1，2，…．知识点解析：暂无解析24、设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为求：(I)系数A；(Ⅱ)(X，Y)的联合分布函数；(Ⅲ)边缘概率密度；(Ⅳ)(X，Y)落在区域R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6内的概率．标准答案：(I)根据分布函数的性质∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=∫0+∞∫0+∞Ae-(2x+3y)dxdy=，解得A=6．(Ⅱ)将A=6代入得(X，Y)的联合概率密度为所以当x＞0，y＞0时，F(x，y)=∫0y∫0x6e-(2x+3y)dxdy=6∫0xe-2xdx∫0ye-3ydy=(1一e-2x)(1一e-3y)，而当x和y取其它值时，F(x，y)=0．综上所述，可得联合概率分布函数为(Ⅲ)当x＞0时，X的边缘密度为fX(x)=∫X6e-(2x+3y)dy=2e-2x，当x≤0时,fX(x)=0．因此X的边缘概率密度为同理可得Y的边缘概率密度函数为(IV)根据公式已知R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6，将其转化为二次积分，可表示为知识点解析：暂无解析25、设随机变量X与Y独立，X在区间[0，2]上服从均匀分布，Y服从指数分布e(2)，求：(I)二维随机变量(X，Y)的联合概率密度；(Ⅱ)概率P(X≤Y)．标准答案：(I)已知X在区间[0，2]上服从均匀分布，Y服从指数分布e(2)，因此可得根据随机变量独立的性质，可得(Ⅱ)当x＜0或者x＞2时，f(x，y)=0，因此区域x≤y为y轴和x=2之间，且在直线y=x上方的无界区域，所以其对概率密度在积分区域上进行二重积分，所以可表示为知识点解析：暂无解析26、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求：(I)(X，Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)；(Ⅱ)Z=2X一Y的概率密度fZ(z)．标准答案：(I)已知(X，Y)的概率密度，所以关于X的边缘概率密度所以，关于Y的边缘概率密度(Ⅱ)设FZ(z)=P{Z≤z}=P{2X一Y≤z}，(1)当z＜0时，FZ(z)=P{2X一Y≤z}=0；(2)当0≤z＜2时，FZ(z)=P{2X—Y≤z}=(3)当z≥2时，FZ(z)=P{2X一Y≤z}=1。所以FZ(z)的即分布函数为：故所求的概率密度为：知识点解析：暂无解析27、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为(I)求P{X＞2Y}；(Ⅱ)求Z=X+Y的概率密度．标准答案：(I)已知X，Y的概率密度，所以P{X＞2Y}=(Ⅱ)先求Z的分布函数：(1)当z＜0时，FZ(0)=0；(2)当0≤z＜1时，FZ(z)=∫0zdy∫0z-y(2一x一y)dx=(3)当1≤z＜2时，FZ(z)=1一P(X+Y＞Z)=1一∫z-11dy∫z-y1(2一x一y)dx=(4)当z≥2时，FZ(z)=1．故Z=X+Y的概率密度为知识点解析：暂无解析28、设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X=i}=(i=一1，0，1)，Y的概率密度为fY(y)=记Z=X+Y(I)求(Ⅱ)求Z的概率密度fZ(z)．标准答案：知识点解析：暂无解析29、袋中有1个红球，2个黑球和3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数．(I)求P{X=1|Z=0}；(Ⅱ)求二维随机变量(X，Y)的概率分布．标准答案：(I)在没有取白球的情况下取了一次红球，根据压缩样本空间原则，相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球．所以(Ⅱ)X，Y取值范围为0，1，2，故知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第5套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：设A={两件产品中有一件是不合格品)，A1={两件产品中一件是不合格品，另一件也是不合格品)，A2={两件产品中一件是不合格品，另一件是合格品)，则A=A1∪A2，A1A2=，求概率P(A1｜A)．P(A1A)=P(A1)=P(A)=P(A1)+P(A2)=所以P(A1｜A)=故应选(C)．2、以下4个结论：(1)教室中有r个学生，则他们的生日都不相同的概率是；(2)教室中有4个学生，则至少两个人的生日在同一个月的概率是；(3)将C，C，E，E，J，N，S共7个字母随机地排成一行，恰好排成英文单词SCIENCE的概率是；(4)袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，则3个球的最小号码为5的概率为．正确的个数为()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：对于4个结论分别分析如下：(1)这是古典概型中典型的随机占位问题．任意一个学生在365天中任何一天出生具有等可能性，此问题等价于“有365个盒子，每个盒子中可以放任意多个球，求将r个球随机放入不同的r个盒子中的概率”．设A1={他们的生日都不相同)，则P(A1)=，正确；(2)设A2={至少有两个人的生日在同一个月)，则考虑对立事件，P(A2)=1－，正确；(3)设A3=｛恰好排成SCIENCE｝，将7个字母排成一列的一种排法看做基本事件，所有的排法：字母C在7个位置中占两个位置，共有C72种占法，字母E在余下的5个位置中占两个位置，共有C52种占法，字母I，N，S剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为C72C523！=1260，而A3中的基本事件只有一个，故P(A3)=，错误；(4)设A4={最小号码为5}，则P(A4)=，正确．综上所述，有3个结论正确，选择(C)．3、设A，B是任意两个事件，且AB，P(B)＞0，则必有()A、P(A)≤P(A｜B)B、P(A)＜P(A｜B)C、P(A)≥P(A｜B)D、P(A)＞P(A｜B)标准答案：A知识点解析：由于AB，因此AB=A，而0＜P(B)≤1，所以P(A)=P(AB)=P(B)P(A｜B)≤P(A｜B)．故选(A)．4、一种零件的加工由两道工序组成．第一道工序的废品率为p1，第二道工序的废品率为p2，则该零件加工的成品率为()A、1－p1－p2B、1－p1p2C、1－p1－p2+p1p2D、(1－p1)+(1－p2)标准答案：C知识点解析：设A=(成品零件}，Ai={第i道工序为成品)，i=1，2．P(A1)=1－p1，P(A2)=1－p2，P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=(1－p1)(1－p2)=1－p1－p2+p1p2．故选(C)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、设两个相互独立的事件A与B至少有一个发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=________．标准答案：知识点解析：已知事件A与B独立，且P(A∪B)=，P(A－B)=P(B－A)，故P(A)－P(AB)=P(B)－P(AB)=>P(A)=P(B)，，所以1－P(A∪B)=即6、事件A与B相互独立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件C发生必然导致A与B同时发生，则A，B，C都不发生的概率为_________．标准答案：(1－a)(1－b)知识点解析：“事件C发生必然导致A与B同时发生”<=>AB，于是=(1－a)(1－b)．7、设事件A，B，C两两独立，三个事件不能同时发生，且它们的概率相等，则P(A∪B∪C)的最大值为__________．标准答案：知识点解析：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C)+P()=3P(A)－3[P(A)]2=故P(A∪B∪C)的最大值为8、设A，B是任意两个事件，则=_________．标准答案：0知识点解析：9、在区间(0，1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6／5”的概率为_________．标准答案：知识点解析：设A=｛两数之和小于6／5｝，两数分别为x，y，由几何概率如图3-2所示．10、一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为_________．标准答案：知识点解析：Ai表示“第i次取的是次品”，i=1，2．则有由全概率公式得P(A2)=P(A1)P(A2｜A1)+三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)11、设有大小相同、标号分别为1，2，3，4，5的五个球，同时有标号为1，2，…，10的十个空盒．将五个球随机放入这十个空盒中，设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的，并且每个空盒可以放五个以上的球，计算下列事件的概率：(1)A={某指定的五个盒子中各有一个球}；(2)B={每个盒子中最多只有一个球}；(3)C={某个指定的盒子不空}．标准答案：每个球都有10种放法，所以，基本事件总数(放法总数)n=105．(1)5个球放入指定的5个盒子中，事件A包含的基本事件数为5！个，所以P(A)==0．0012；(2)事件B是从10个盒子中任选5个(共有C105种选法)，然后将选定的5个盒子中各放入一个球(共有5！种放法)，由乘法法则，事件B包含C105×5！个基本事件，所以P(B)==0．3024；(3)事件C的逆事件表示“某个指定的盒子内无球”，即“5个球都放入其他9个盒子中”，包含的基本事件数为95，所以P(C)=1－=0．40951．知识点解析：暂无解析12、设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．标准答案：设事件A=｛从10件产品中任取两件，有i件不合格品｝，i=0，1，2．记B=A1∪A2，按题意．所求概率为P(A2｜B)．而P(A1)=，P(A2)=P(B)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=因为BA2，所以P(A2B)=P(