考研数学（数学二）模拟试卷6（共204题）

考研数学（数学二）模拟试卷6（共9套）（共204题）考研数学（数学二）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(χ)＝则()．A、f(χ)在χ＝1连续，在χ＝－1间断B、f(χ)在χ＝1间断，存χ＝－1连续C、f(χ)在χ＝1，χ＝－1都连续D、f(χ)在χ＝1，χ＝－1都间断标准答案：B知识点解析：由＝0，f(－1)＝0，得f(χ)在χ＝－1处连续．由f(1－0)＝－π，f(1＋0)＝＝π，得χ＝1为f(χ)的跳跃间断点，选B.2、设f(χ)连续，且＝2，则下列结论正确的是()．A、f(1)是f(χ)的极大值B、f(1)是f(χ)的极小值C、(1，f(1))不是曲线y＝f(χ)的拐点D、f(1)不是f(χ)的极值，但(1，f(1))是曲线y＝f(χ)的拐点标准答案：B知识点解析：因为＝2，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜χ－1｜＜δ时，有＞0，即当χ∈(1－δ，1)时，f′(χ)<0；当χ∈(1，1＋δ)时，f′(χ)>0，根据极值的定义，f(1)为f(χ)的极小值，选B．3、设f(χ)在[a，＋∞)内二阶可导，f(a)＝A＞0，f′(a)＜0，f〞(χ)≤0(χ＞a)，则f(χ)在[a，＋∞)内()．A、无根B、有两个根C、有无穷多个根D、有且仅有一个根标准答案：D知识点解析：f(χ)＝f(a)＋f′(a)(χ－a)＋(χ－a)2，其中ξ介于a与χ之间．因为f(a)＝A>0，f(χ)＝－∞，所以f(χ)在[a，＋∞)上至少有一个根．由f〞(χ)≤0(χ＞a)f′(χ)单调不增，所以当χ＞a以时，f′(χ)≤f′(a)＜0f(χ)在[a，＋∞)为单调减函数，所以根是唯一的．4、下列结论正确的是()．A、若f(χ)可导且单调增加，则f′(χ)＞0B、若f(χ)，g(χ)皆可导且f′(χ)＞g′(χ)，则f(χ)＞g(χ)C、若f(χ)，g(χ)皆可导且f(χ)＞g′(χ)，则f′(χ)＞g′(χ)D、若f′(χ)＞0，则f(χ)单调增加标准答案：D知识点解析：f(χ)＝χ3为单调增加的函数，f′(χ)＝3χ3，因为f′(0)＝0，所以f′(χ)≥0，选项不对；令f(χ)＝χ，g(χ)＝2(χ＜1)，显然f′(χ)＞g′(χ)，但f(χ)＜g(χ)，(B)不对；令f(χ)＝2，g(χ)＝χ(χ＜2)，显然f(χ)＞g(χ)，但f′(χ)＜g′(χ)，选项C不对；由微分中值定理得f(χ2)－f(χ1)＝f′(ξ)(χ2－χ1)，因为f′(χ)＞0，所以χ2－χ1与f(χ2)－f(χ1)同号，即f(χ)单调增加，选D．5、设t＞0，则当t→0时，f(t)＝[1－cos(χ2＋y2)]dχdy是t的n阶无穷小量，则n为()．A、2B、4C、6D、8标准答案：C知识点解析：因为，所以f(t)~t6，即n＝6，故选C.6、设y1(χ)，y2(χ)是微分方程y〞＋py′＋qy＝0的解，则由y1(χ)，y2(χ)能构成方程通解的充分条件是()．A、y′1y2－y1y′2＝0B、y′1y2－y1y′2≠0C、y′1y2＋y1y′2＝0D、y′1y2＋y1y′2≠0标准答案：B知识点解析：y1(χ)，y2(χ)能构成微分方程y〞＋Py′＋qy＝0通解的充分必要条件是不是常数，即≠0，选B.7、没线性方程组AX＝kβ1＋β2有解，其中A则k为().A、1B、－1C、2D、－2标准答案：D知识点解析：因为AX＝kβ1＋β2有解，所以，解得k＝－2，选D．8、设n阶矩阵A＝(α1，α2，…，αn)，B＝(β1，β2，…，βn)，AB＝(γ1，γ2，…，γn)，令向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量组(Ⅲ)线性相关，则().A、向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)都线性相关B、向量组(Ⅰ)线性相关C、向量组(Ⅱ)线性相关D、向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)至少有一个线性相关标准答案：D知识点解析：当向量组(Ⅰ)线性相关时，r(A)＜n，由r(AB)≤r(A)得r(AB)＜n，即向量组(Ⅲ)线性相关；同理，当向量组(Ⅱ)线性相关时，r(B)＜n，r(AB)≤r(B)得r(AB)＜n，即向量组(Ⅲ)线性相关；应选D.二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、若当χ→0时，(1＋2χ)χ－cosχ~a2，则a＝_______．标准答案：知识点解析：因为当χ→0时，(1＋2χ)χ－1＝eχln(1＋2χ)－1~χln(1＋2χ)~2χ2，所以(1＋2χ)χ－cos＝(1＋2χ)χ－1＋1－cosχ~2χ2＋，于是a＝．10、设f(χ)χ2ln(1＋χ)，则f(50)(0)＝_______．标准答案：知识点解析：．11、＝_______.标准答案：10π知识点解析：12、由方程χ＋2y＋z－2＝0所确定的函数z＝z(χ，y)在点(1，1，2)处的全微分dz＝_______标准答案：dχ－2dy知识点解析：χ＋2y＋z－2＝0两边对χ求偏导得.则.χ＋2y＋z－2＝0两边对y求偏导得2＋＝0.则＝－2.于是dz＝dχ－2dy．13、设函数y＝y(χ)在(0，＋∞)上满足△y＝(＋χsinχ)△χ＋o(△χ)，且，则y(χ)＝_______.标准答案：χ(1－cosχ)知识点解析：由可微的定义，函数y＝y(χ)在(0，＋∞)内可微且y′＝×χsinχ或y′－＝χsinχ，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得y＝＝(－cosχ＋C)χ由得C＝1，所以y＝χ(1－cosχ).14、设矩阵，矩阵A满足B-1＝B*A＋A，则A＝_______．标准答案：知识点解析：｜B｜＝＝2，B-1＝B*A＋A两边左乘B得E＝2A＋BA，即(B＋2E)＝E，则A＝(B＋2E)-1＝三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)15、设f(χ)连续＝1求．标准答案：由＝1得f(0)＝0，f′(0)＝1..知识点解析：暂无解析16、设f(χ)在(－1,1)内有f〞(χ)＜0，且＝2.证明在(－1,1)内有f(χ)≤3χ标准答案：由＝2，得f(0)＝0再由2＝＝f′(0)－1得f′(0)＝3．由泰勒公式得f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋，其中ξ介于0与χ之间，因为f〞(χ)＜0，所以f(χ)≤f(0)＋f′(0)χ＝3χ．知识点解析：暂无解析17、设4χ．(Ⅰ)用变换×＝t2将原方程化为y关于t的微分方程；(Ⅱ)求原方程的通解．标准答案：(Ⅰ)，(Ⅱ)特征方程为λ2－λ－6＝0，特征值为λ1＝－2，λ2＝3，方程－6y＝0的通解为y＝C1e2t＋C2e3t．令－6y＝e3t的特解为y0＝Ate3t,代人得A＝，故原方程的通解为y＝．知识点解析：暂无解析18、(a＞0)．标准答案：令(－≤θ≤0，0≤r≤－2asinθ)，则知识点解析：暂无解析19、设y＝f(χ，t)，而t是由方程G(χ，y，t)＝0确定的χ，y的函数，其中f(χ，t)，G(χ，y，t)为可微函数，求．标准答案：由方程组确定两个一元函数，其中χ为自变量，y，t为函数，对χ求导得知识点解析：暂无解析20、设f(χ)在[1，＋∞)上连续，若曲线y＝f(χ)，直线χ＝1，χ＝t(t＞1)与χ轴围成的平面区域绕χ轴旋转一周所得的旋转体的体积为V(t)＝[t2f(t)－f(1)]且f(2)＝，求函数y＝f(χ)的表达式．标准答案：由旋转体的体积公式得V(t)＝π∫1tf2(u)du，由已知条件得，即3∫1tf2(u)du＝t2f(t)－f(1)．等式两边对t求导得3f2(t)＝2tf(t)＋t2f′(t)于是有χ2y′＝3y2－2χy，变形得．令＝u，则有χ＝3u(u－1)，分离变量并两边积分得＝Cχ3，即y－χ＝Cχ3y由f(2)得C＝－1，故f(χ)＝．知识点解析：暂无解析21、设A为m×n矩阵，且r(A)＝r(A)r＜n，其中＝(A┇b)．(Ⅰ)证明方程组AX＝b有且仅有，n－r＋1个线性无关解；(Ⅱ)若，有三个线性无关解，求a，b的值及方程组的通解．标准答案：(Ⅰ)令ξ1，ξ2，…ξn，的基础解系，η0为AX＝b的特解，显然β0＝η0，β1＝ξ1＋η0，…，βn-r＝ξn-r＋η0为AX＝b的一组解，令k0β0＋k1β1＋…＋kn-rβn-r＝0，即k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＋(k0＋k1＋…＋kn-r)η0＝0上式左乘A得(k0＋k1＋…＋kn-r)b＝0，因为b≠0时，k0＋k1＋…＋kn-r＝0，于是k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＝0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r为AX＝0的基础解系，所以k1＝k2＝…＝kn-r＝0，于是k0＝0，故β0，β1，…βn-r线性无关.若γ0，γ1，…γn-r+1为AX＝b的线性无关解，则ξ1＝γ1－γ0，…，ξn-r+1＝γn-r+1－γ0为AX＝0的解，令k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-r+1ξn-r+1＝0，则k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-r+1ξn-r+1－(k1＋k2＋…＋kn-r+1)γ0＝0.因为γ0，γ1，…，γn-r+1线性无关，所以k1＝2＝…＋kn-r+1＝0，即ξ1，ξ2，…ξn-r+1为AX＝0的线性无关解，矛盾，故方程组AX＝b恰有n－r＋1个线性无关解.(Ⅱ)令化为AX＝β.因为AX＝β有三个非零解，所以AX＝0有两个非零解，故4－r(A)≥2，r(A)≤2，又因为r(A)≥2，所以r(A)＝r(A)＝2知识点解析：暂无解析22、设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝5χ12＋aχ22＋332－2χ1χ2＋6χ1χ3－62χ3的矩阵合同于(Ⅰ)求常数a的值；(Ⅱ)用正交变换法化二次型厂(χ1，χ2，χ3)为标准形．标准答案：(1)令，则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAx．因为A与合同，所以r(A)＝2＜3，故｜A｜＝0．由｜A｜＝＝3(2a－10)＝0得a＝5，A＝．(Ⅱ)由｜λE－A｜＝＝λ(λ－4)(λ－9)＝0得λ1＝0，λ2＝4，λ3＝9由(OE－A)X＝0得ξ1；由(4E－A)X＝0得ξ2＝；由(9E－A)X＝0得知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)=则()．A、f(x)在x=1连续，在x=－1间断B、f(x)在x=1间断，在x=－1连续C、f(x)在x=1，x=－1都连续D、f(x)在x=1，x=－1都间断标准答案：B知识点解析：由=0，f(－1)=0，得f(x)在x=－1处连续．得x=1为f(x)的跳跃间断点，选(B)．2、设f(x)连续，且=2，则下列结论正确的是()．A、f(1)是f(x)的极大值B、f(1)是f(x)的极小值C、(1，f(1))不是曲线y=f(x)的拐点D、f(1)不是f(x)的极值，但(1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点标准答案：B知识点解析：因为=2，所以由极限的保号性，存在ξ>0，当0<｜x－1｜<δ时，有>0，即当x∈(1－δ，1)时，fˊ(x)<0；当x∈(1，1+δ)时，fˊ(x)>0．根据极值的定义，f(1)为f(x)的极小值，选(B)．3、设f(x)在[a，+∞)内二阶可导，f(a)=A>0，fˊ(a)<0，fˊˊ(x)≤0(x>a)，则f(x)在[a，+∞)内()．A、无根B、有两个根C、有无穷多个根D、有且仅有一个根标准答案：D知识点解析：f(x)=f(a)+fˊ(a)(x—a)+(x—a)2，其中ξ介于a与x之间．因为f(a)=A>0，f(x)=—∞，所以f(x)在[a，+∞)上至少有一个根．由fˊˊ(x)≤0(x>a)fˊ(x)单调不增，所以当x>a时，fˊ(x)≤fˊ(a)<0f(x)在[a，+∞)为单调减函数，所以根是唯一的，选(D)．4、下列结论正确的是()．A、若f(x)可导且单调增加，则fˊ(x)>0B、若f(x)，g(x)皆可导且fˊ(x)>gˊ(x)，则f(x)>g(x)C、若f(x)，g(x)皆可导且f(x)>g(x)，则fˊ(x)>gˊ(x)D、若fˊ(x)>0，则f(x)单调增加标准答案：D知识点解析：f(x)=x3为单调增加的函数，fˊ(x)=3x2，因为fˊ(0)=0，所以fˊ(x)≥0，(A)不对；令f(x)=x，g(x)=2(x<1)，显然fˊ(x)>gˊ(x)，但f(x)g(x)，但fˊ(x)2)—f(x1)—fˊ(ξ)(x2－x1)，因为fˊ(x)>0，所以x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即f(x)单调增加，选(D)．5、设t>0，则当t→0时，f(t)=[1－cos(x2+y2)]dxdy是t的n阶无穷小量，则n为()．A、2B、4C、6D、8标准答案：C知识点解析：6、设y1(x)，y2(x)是微分方程yˊˊ+pyˊ+qy=0的解，则由y1(x)，y2(x)能构成方程通解的充分条件是()．A、yˊ1y2－y1yˊ2=0B、yˊ1y2－y1yˊ2≠0C、yˊ1y2+y1yˊ2=0D、yˊ1y2+y1yˊ2≠0标准答案：B知识点解析：y1(x)，y2(x)能构成微分方程yˊˊ+pyˊ+qy=0通解的充分必要条件是不是常数，即≠0，选(B)．7、设A为三阶矩阵，为非齐次线性方程组AX=的解，则()A、当t≠2时，r(A)=1B、当t≠2时，r(A)=2C、当t=2时，r(A)=1D、当t=2时，r(A)=2．标准答案：A知识点解析：方法一：为AX=0的两个线性无关的解，从而3—r(A)≥2,r(A)≤1，又由A≠0得，r(A)≥1，即r(A)=1，选(A)．方法二：当t≠2时，B为可逆矩阵，从而r(AB)=r(A)=1，选(A)．8、设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，令向量组(I)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量组(Ⅲ)线性相关，则()．A、向量组(I)与向量组(Ⅱ)都线性相关B、向量组(I)线性相关C、向量组(Ⅱ)线性相关D、向量组(I)与(Ⅱ)至少有一个线性相关标准答案：D知识点解析：当向量组(Ⅰ)线性相关时，r(A)二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设f(x)为单调函数，且g(x)为其反函数，又设f(1)=2，fˊ(1)=，fˊˊ(1)=1．则gˊˊ(2)=__________．标准答案：3知识点解析：gˊ(y)=gˊˊ(y)=则gˊˊ(2)=10、设f(x)=，则f(x)dx=_________．标准答案：+1－ln2知识点解析：当0≤x<1时，f(x)=；当x=1时，f(x)=0；当x>1时，f(x)=，所以f(x)=则11、已知函数z=u(x，y)，且=0，若z=z(x，y)满足方程十z=0，则a=________，b=________．标准答案：a=1，b=1知识点解析：12、dy=_________．标准答案：知识点解析：改变积分次序，得于是又由得13、arcsindx=_________．标准答案：知识点解析：14、设A=且｜A｜=3，B=，则=________．标准答案：知识点解析：因为B=AE12(2)E13，所以｜B｜=｜A｜｜E12(2)｜｜E13｜=－3，又因为B*=｜B｜B－1，所以B*=－3E13－1E12－1(2)A－1=－3E13E12(－2)A－1，故B*A=－3E13E12(－2)=－3E13三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)15、证明：当x<1且x≠0时，标准答案：当x＜0时，令f(x)=x+ln(1－x)－xln(1－x)，显然f(0)=0，因为所以f(x)在(－∞，0)上单调减少，所以当x＜0时，f(x)＞f(0)=0，即x+ln(1－x)－xln(1－x)＞0，于是当0＜x＜1时，令f(x)=x+ln(1－x)－xln(1－x)，且f(0)=0，因为所以f(x)在(0，+∞)内单调增加，于是f(x)＞f(0)=0，故．知识点解析：暂无解析16、计算标准答案：令x=tant，则知识点解析：暂无解析17、设fˊˊ(x)∈C[a，b]，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=(b－a)ffˊˊ(ξ)．标准答案：令F(x)=∫axf(t)dt，则Fˊ(x)=f(x)，且Fˊˊˊ(x)∈C[a，b]．由泰勒公式得知识点解析：暂无解析18、设f(x)在R上可微且f(0)=0，又fˊ(1nx)=求∫f(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)在(0，+∞)内一阶连续可微，且对x∈(0，+∞)满足x∫01f(xt)dt=2∫0xf(t)dt+xf(x)+x3，又f(1)=0，求f(x)．标准答案：令u=xt，则原方程变换为∫0xf(u)du=2∫0xf(t)dt+xf(x)+x3两边对x求导得f(x)=2f(x)+f(x)+xfˊ(x)+3x2，整理得fˊ(x)+f(x)=－3x．此微分方程的通解为f(x)=．由f(1)=0，得C=,所以f(x)=.知识点解析：暂无解析20、一个容器的内表面侧面由曲线x=(0≤x≤2)绕x轴旋转而成，外表面由曲线x=在点(2，)的切线位于点(2，)与x轴交点之间的部分绕x轴旋转而成，此容器材质的密度为μ．求此容器自身的质量M及其内表面的面积S．标准答案：知识点解析：暂无解析21、位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与及1+yˊ2之积成反比，比例系数k=，求y=y(x)．标准答案：根据题意得知识点解析：暂无解析设A是n阶矩阵，证明：22、r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A=αβT；标准答案：若r(A)=1，则A为非零矩阵且A的任意两行成比例，即反之，若A=αβT，其中α，β都是n维非零列向量，则r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，又因为α，β为非零列向量，所以A为非零矩阵，从而r(A)≥1，于是r(A)=1．知识点解析：暂无解析23、r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．标准答案：因为r(A)=1，所以存在非零列向量口α，β，使得A=αβT，显然tr(A)=(α，β)，因为tr(A)≠0，所以(α，β)=k≠0．令AX=λX，因为A2=kA，所以λ2X=kλX，或(λ2－kλ)X=0，注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k．因为λ1+λ2+…+λn=tr(A)=k，所以λ1=k，λ2=λ3=…=λn=0，由r(0E－A)=r(A)=1，得A一定可以对角化．知识点解析：暂无解析24、设A=，B为三阶非零矩阵,为BX=0的解向量，且AX=α3有解．(Ⅰ)求常数a，b的值；(Ⅱ)求BX=0的通解．标准答案：由B为三阶非零矩阵得r(B)≥1，从而BX=0的基础解系最多有两个线性无关的解向量，知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(χ)＝sinχf(χ)有()A、两个可去间断点B、两个无穷间断点C、一个可去间断点，一个跳跃间断点D、一个可去间断点，一个无穷间断点标准答案：C知识点解析：故χ＝0为f(χ)的可去间断点，χ＝1跳跃间断点，选C．2、设f(χ)＝，f(χ)()A、处处可导B、在点χ＝－1点处可导C、在点χ＝0处可导D、在点χ＝1处可导标准答案：B知识点解析：因此f(χ)在点χ＝－1处可导，故选B．3、设f(χ)为微分方程y′χy＝g(χ)满足y(0)＝1的解，其中g(χ)＝∫0χsin[(χ－t)2]dt，则有()A、在点χ＝0处f(χ)取极大值B、在点χ＝0处f(χ)取极小值C、点(0，f(0))为曲线y＝f(χ)的拐点D、点χ＝0不是f(χ)的极值点，点(0，f(0))也不是曲线y＝f(χ)的拐点标准答案：B知识点解析：由题意知，y′(0)＝0，y〞－y＋χy′＋g′(χ)，y〞(0)＝1＋g′(0)，又g(χ)∫0χsin(u2)du，g′(χ)＝sin(χ2)，g′(0)＝0，所以y〞(0)＝1＞0，故选B．4、设F(χ，y)具有二阶连续偏导数，且F(χ0，y0)＝0，F′χ(χ0，y0)＝0，F′y(χ0，y0)＞0．若一元函数y＝y(χ)是由方程F(χ，y)＝0所确定的在点(χ0，y0)附近的隐函数，则χ0是函数y＝y(χ)的极小值点的一个充分条件是()A、F〞χχ(χ0，y0)＞0B、F〞χχ(χ0，y0)＜0C、F〞yy(χ0，y0)＞0D、F〞yy(χ0，y0)＜0标准答案：B知识点解析：由F′y(χ0，y0)＞0知，当F〞χχ(χ0，y0)＜0时，＞0，y＝y(χ)在χ＝χ0处取极小值．5、设y＝y(χ)在[0，＋∞)可导，在χ∈(0，＋∞)处的增量满足△y(1＋△y)＝＋α，当△χ→0时a是△χ的等价无穷小．又y(0)＝1，则y(χ)＝()A、1＋χB、(1＋χ)[ln(1＋χ)＋1]C、D、ln(1＋χ)＋1标准答案：B知识点解析：由△y(1＋△y)＝，△χ→0，得y′＝＋1．这是一阶线性微分方程，其通解为：Y＝(1＋χ)[∫dχ＋C]＝(1＋χ)[ln(χ＋1)＋C]由y(0)＝1，得C＝1，所以y＝(1＋χ)[ln(1＋χ)＋1]，故应选B．6、设平面区域D1＝((χ，y)｜0≤χ≤1，1－χ≤y≤1)，D2＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，1－≤y≤1}，二重积分I1＝则I1，I2，I3的大小关系为()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I2＜I3＜I1D、I1＜I3＜I2标准答案：B知识点解析：由于D1D2，记D3＝D2－D1＝{(χ，y)｜0＜χ＜1，1－≤y＜1－χ)，当(χ，y)∈D3时，χ＋y<1，从而有ln(χ＋y)＜0，所以I2－I1＝ln(χ＋y)dσ＜0，即有I2＜I1，而当(χ，y)≠D2且(0，1)≠(0，1)，(1，0)时，ln(χ＋y)＞in，所以I2＞I3．综上可知I3＜I2＜I1，应选B．7、已知A＝，B是3阶非零矩阵，且AB＝0，则()A、a＝1时，B的秩必为1B、a＝1时，B的秩必为2C、a＝－3时，B的秩必为1D、a＝－3时，B的秩必为2标准答案：C知识点解析：本题考查秩的性质，属于基础题．由AB＝0，得r(A)＋r(B)≤3．若a＝1，则r(A)＝1，从而r(B)≤2．又B是3阶非零矩阵，即r(B)≥1，故r(B)＝1或r(B)＝2．若a＝－3，则r(A)＝2，从而r(B)≤1．又r(B)≥1，所以，r(B)＝1，故应选C．8、下列矩阵中，正定矩阵是()A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：本题考查具体数字矩阵正定的判定，属于基础题．选项A中a33＝－3＜0，选项B中二阶顺序主子式＝0，选项C中｜A｜＝0，均不是正定矩阵，选项D中三个顺序主子式△1＝2，△2＝6，△3＝5，均大于零，故应选D．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、∫χnlnχdχ＝_______．标准答案：＋C．知识点解析：10、曲线y＝－χ＋的拐点是_______．标准答案：(4，一3)．知识点解析：因为y〞(4)＝0，y″′(4)≠0，y(4)＝－3．所以拐点为(4，－3)．11、设f，g为连续可微函数，u＝f(χ，χy)，v＝g(χ＋χy)，则＝_______．标准答案：(f′1＋f′2)(1＋y)g′．知识点解析：12、＝_______标准答案：知识点解析：13、＝_______．标准答案：知识点解析：＝E13，而E132＝E，故E1320＝E，E1319＝E13用E13右乘A＝等于将A的一、三两列对换，故EAE13＝三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、设f(χ)在χ＝0处二阶可导，又＝A，(Ⅰ)求f′(0)与f〞(0)；(Ⅱ)求标准答案：则f(0)，f′(0)＝0，f〞(0)＝A知识点解析：暂无解析15、设z＝f(χ，3χ－y)，χ＝g(y，z)＋φ()，其中f，g，5φ在其定义域内可微，求．标准答案：dz＝f′1dχ＋f′2(3dχ－dy)，dχ＝g′1dy＋g′2dz＋φ′变形为：知识点解析：暂无解析16、已知＝3χ＋y＋1，＝χ＋2y＋3，u(0，0)＝1，求u(χ，y)及u(χ，y)的极值，并问此极值是极大值还是极小值?标准答案：由＝2χ＋y＋1，得u(χ，y)＝χ2＋χy＋χ＋φ(y)，再由＝χ＋2y＋3，得χ＋φ′(y)＝χ＋2y＋3，得φ′(y)＝2y＋3，φ(y)＝y2＋3y＋C．于是，u(χ，y)＝χ2＋χy＋χ＋y2＋3y＋C．又u(0，0)＝1，所以u(χ，y)＝χ2＋χy＋χ＋y2＋3y＋1．再由AC－B2＞0，且A＞0所以是u(χ，y)的极小值．知识点解析：暂无解析17、设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(χ)＞0，若极限存在，证明：(Ⅰ)在(a，b)内f(χ)＞0；(Ⅱ)在(a，b)内存在一点ξ，使；(Ⅲ)在(a，b)内存在与(Ⅱ)中ξ相异的点η，使f′(η)(b2－a2)＝∫abf(χ)dχ．标准答案：(Ⅰ)因为存在，故(2χ－a)＝0，由f(χ)在[a，b]上连续，从而f(a)＝0．又由f′(χ)＞0知f(χ)在(a，b)内单调增加，故f(χ)＞0．(Ⅱ)设F(χ)＝χ2，g(χ)＝∫aχf(t)dt(a≤χ≤b)，则g′(χ)＝f(χ)＞0，故F(χ)，g(χ)满足柯西中值定理的条件，于是在(a，b)内存在一点ξ，使(Ⅲ)因f(ξ)＝f(ξ)－0＝f(ξ)－f(a)，在[a，ξ]上应用拉格朗日中值定理，知在(a，ξ)内存在一点η，使f(ξ)＝f′(η)(ξ－a)，从而由(Ⅱ)的结论得即有f′(η)(b－a)＝f(χ)dχ．知识点解析：暂无解析18、计算二重积χ｜y－eχ｜dσ，其中积分区域D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤2e)．标准答案：如图，将D分成D1、D2两部分，D1，D2除边界无公共部分．知识点解析：暂无解析19、设函数f(χ)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝0且存在反函数，其反函数为g(χ)．若∫0f(χ)g(t)dt＋∫1χf(t)dt＝χeχ－eχ＋1，求f(χ)．标准答案：将∫0f(χ)g(t)dt＋∫0χf(t)dt＝χeχ－eχ＋1两边对χ求导数，得：f′(χ)g(f(χ))＋f(χ)＝χeχ．即：f′(χ)＋f(χ)＝χeχ，即：[χf(χ)]′＝χeχ，两边积分得：χf(χ)＝∫χeχdχ＝χeχ－eχ＋C，即因为f(χ)在＝0处连续，所以f(0)＝＝0，所以C＝1所以知识点解析：暂无解析20、设直线L是曲线y＝eχ过点(1，0)的切线，记L与曲线y＝eχ以及χ轴围成的向χ轴负向无限伸展的图形为D．(Ⅰ)求D的面积；(Ⅱ)求D绕χ轴旋转所生成的旋转体的体积V．标准答案：(Ⅰ)设切点为P(χ0，y0)，于是曲线y＝eχ在点P处的切线方程为：y－y0＝(χ－χ0)，将点(1，0)和y0＝代入切线方程得：χ0＝2，y0＝e2．于是切线方程为：y＝e2(χ－1)．D的面积：其中nydy为反常积分，ylny＝0．(Ⅱ)由旋转体体积的套筒法公式有：知识点解析：暂无解析21、设三维向量已知向量组α1，α2，α3与β1，β2，β3是等价的．(Ⅰ)求a，b，c；(Ⅱ)求向量组α1，α2，α3的一个极大无关组，并将β1用α1，α2，α3线性表示．标准答案：(Ⅰ)由于向量组α1，α2，α3与β1，β2，β3等价，可知向量β1，β2，β3都能由向量组α1，α2，α3线性表示，也即线性方程组(α1，α2，α3)χ＝βi，i＝1，2，3有解．为此，对增广矩阵(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行变换，可知a＝1，b＝2，c＝－2(Ⅱ)α1，α2为α1，α2，α3的一个极大无关组，且β1＝(1－k)α1－kα2＋kα3，k为任意常数．知识点解析：暂无解析22、设矩阵A＝有一个特征值是3．(Ⅰ)求y的值；(Ⅱ)求正交矩阵P，使(AP)TAP为对角矩阵；(Ⅲ)判断矩阵A2是否为正定矩阵，并证明你的结论．标准答案：(Ⅰ)3是A的特征值，故｜3E－A｜＝8(3－y－1)＝0，解出y＝2．A2的特征值为λ1＝λ2＝λ3＝1，λ4＝9．当λ＝1时，(E－A2)χ＝0的基础解系为ξ1＝(1，0，0，0)T，ξ2＝(0，1，0，0)T，ξ3＝(0，0，－1，1)T当λ＝9时，(gE－A2)χ＝0的基础解系为ξ4＝(0，0，1，1)T．对ξ1，ξ2，ξ3，ξ4进行单位化：η1＝＝(1，0，0，0)T，η2＝＝(0，1，0，0)T，η3＝＝(0，0，－1，1)T，η4＝＝(0，0，1，1)T，令P＝(η1，η2，η3，η4)＝，则P为正交矩阵，且pTA2p＝(AP)TALP＝A＝(Ⅲ)(A2)T＝A2，所以A2是对称矩阵．由于A2的特征值1，1，1，9全大于零，所以A2为正定矩阵．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设＝1，而＝()A、∞B、0C、6D、－6标准答案：D知识点解析：2、设α是实数，f(χ)＝f(χ)在点χ＝1处可导，则α的取值范围()A、α＜－1B、－1≤α＜0C、0≤α＜1D、a≥1标准答案：A知识点解析：由导数定义知：f′+(1)＝当a＋1＜0，即a＜－1时，(χ－1)-(α＋1)为无穷小，sin为有界变量，故当α＜－1时，f′+(1)＝0，f′-(1)＝0，故f′(1)＝0．3、在下列微分方程中，以y＝(c1＋χ)e-χ＋c2e2χ(c1，c2是任意常数)为通解的是()A、y〞＋y′－2y＝5e-χB、y〞＋y′－2y＝3e-χC、y〞－y′－2y＝－5e-χD、y〞－y′－2y＝－3e-χ标准答案：D知识点解析：y＝(c1＋χ)e-χ＋c2e2χ＝c1e-χ＋c2e2χ＋χe-χ．从而由齐次微分方程的解结构可得λ1＝－1，λ2＝2，y*＝χe-χ，即y〞－y′－2y＝0，再将y*代入上式可得D项正确．4、设F(χ)＝∫0χ(2t－χ)f(t)dt，f(χ)可导，且f′(χ)＞0，则()A、F(0)是极大值B、F(0)是极小值C、F(0)不是极值，但点(0，F(0))是拐点D、F(0)不是极值，(0，F(0))也不是拐点标准答案：C知识点解析：F(χ)＝∫0χ｜2tf(t)dt－χ∫0χf(t)dt，F′(χ)－2χf(χ)－∫0χf(t)dt－χf(χ)，F〞(χ)＝2(f(χ)＋χf′(χ))－f(χ)－f(χ)－χf′(χ)＝χf′(χ)，F〞(0)＝0，由f′(χ)＞0知，当χ＜0时，F〞(χ)＜0；当χ＞0时，F〞(χ)＞0．因而点(0，F(0))为曲线拐点，当χ＜0时，F′(χ)单调减少，因而F′(χ)>F′(0)＝0，当χ＞0时，F′(χ)单调增加，因而F′(χ)>F′(0)＝0，从而推知F(χ)在(－∞，＋∞)内单调增加，故F(0)不是极值．5、设f(χ)在(－∞，＋∞)内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是()A、sinf′(χ)B、∫0χf(t)sintdtC、∫0χsintdtD、∫0χ[sint＋f(t)]dt标准答案：B知识点解析：f(t)为奇函数∫0χf(t)dt为偶函数，f(t)为偶函数∫0χ(f)dt为奇函数，奇函数与奇函数的积为偶函数．从而可得得B正确．6、设IC＝dχdy，C＝1，2，3，其中D1＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤r2}，D2＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤2r2}，D3＝{(χ，y)｜｜χ≤r，｜y｜≤r}，则下列结论中正确的是()A、I1＜I2＜I3B、I2＜I3＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I2＜I1标准答案：C知识点解析：积分区域的由小到大依次为D1，D3，D2，而被积函数均为，从而I1＜I3＜I2．7、设向量组α，β，γ线性无关，向量组α，β，δ线性相关，则()A、α不可由β，γ，δ线性表示B、δ可由α，β，γ线性表示C、β不可由α，γ，δ线性表示D、δ不可由α，β，γ线性表示标准答案：B知识点解析：α，β，γ线性无关r(α，β，γ)＝3；α，β，δ线性相关r(α，β，δ)＜3，从而δ可由α，β线性表示，则δ可由α，β，γ线性表示．8、以下矩阵可相似对角化的个数为()A、2个B、3个C、4个D、5个标准答案：C知识点解析：(1)有3个不同的特征值，可对角化；(2)的特征值为1，1，3，λ＝1为二重根，但其只有一个特征向量，从而不能对角化；(3)的秩为1，从而特征根为6，0，0，λ＝0为二重根，其有两个特征向量，从而可对角化；(4)为实对称矩阵，则可对角化；(5)A2×2｜A｜＜0，显然有两个不同的特征值，也可对角化；综上所述，可对角化的矩阵有4个．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、[ln(n＋1)＋ln(n＋2)＋…＋ln(n＋n)－lnn]}_______．标准答案：2ln2－1．知识点解析：10、当χ→0时，χ－(a＋bcosχ)sinχ为χ3的高阶无穷小，其中a，b为常数，则(a，b)＝_______．标准答案：知识点解析：由题意知运用洛必达法则，＝0，从而1－a－b＝0，①对上式继续运用洛必达法则，得＝0，所以a－4b＝0②由①②解得a＝，b＝－．11、设y＝，则y(n)＝_______．标准答案：知识点解析：12、＝_______．标准答案：知识点解析：13、当u＞0时，f(u)有一阶连续导数，且f(1)＝0．z＝f(eχ－ey)满足＝1，则f(u)＝_______．标准答案：lnu．知识点解析：令u＝eχ－ey，则＝eχf′(u)－eyf′(u)＝uf′(u)＝1，uf′(u)＝1．当u＞0时，得f(u)＝lnu＋C．由于f(1)＝0，所以f(u)＝lnu．14、设A＝，B＝A-1,则B的伴随矩阵B*的所有元素之和等于_______．标准答案：知识点解析：B*＝｜B｜B-1＝｜B｜A＝故B*的所有元素之和为．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析16、已知，在它的定义域上连续，求常数a和b．标准答案：因为f(χ)在χ＝0处连续，所以－＝b；f(χ)在χ＝1处连续，所以＝a＋b．解之得：a＝π，b＝－．知识点解析：暂无解析17、求由曲线χ＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)，y＝0所围图形(Ⅰ)绕χ轴旋转所成立体的体积；(Ⅱ)绕直线y＝2a旋转所成立体的体积．标准答案：(Ⅰ)由已知的体积公式，得V＝∫02ππa2(1－cost)2χ′(t)dt＝∫02ππa3(1－cost)3dt＝5π2a3．(Ⅱ)V＝8π2a3－π∫02π(2a－y)2χ′(t)dt＝8π2a3－π∫02πa3(1＋cost)2(1－cost)dt＝7π2a3．知识点解析：暂无解析18、设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f()＝1．试证：对任意实数λ，存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1．标准答案：记F(χ)＝[f(χ)－χ]e-λχ，则F(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)＝0．此外，由于＞0，F(1)＝[f(1)－1-]e-λ＝－e-λ＜0，所以由连续函数零点定理知，存在η∈(，1)，使得F(η)＝0，于是F(χ)在[0，η]上满足罗尔定理条件，所以至少存在一点ξ∈(0，η)(0，1)，使得F′(ξ)＝0，即f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1．知识点解析：暂无解析19、设z＝z(χ，y)由方程χ2＋2y－z＝ez所确定，求标准答案：将χ2＋2y－z＝ez两边分别对χ，y求偏导数得将对y求偏导数，其中z应看作χ，y的函数，有知识点解析：暂无解析20、计算I＝｜cosχ｜.max{χ，y}dχdy，其中D＝{χ，y｜0≤χ≤π，0≤y≤π)．标准答案：把积分区域选好，共分为4个区域，这样分别在这四个区域上积分，就去掉了绝对值符号和最值符号：所以，I1＋I2＋I3＋I4＝＋π－2．知识点解析：暂无解析21、求微分方程χy〞＋2y′＝χ满足初始条件y(1)＝1，y′(1)＝的特解．标准答案：令p＝y′，则有y〞＝，原方程化为χ＋2p＝χ，再化为＝1，解得：p＝，于是，再分离变量积分得通解，y＝由y(1)＝1，y′(1)＝得解得C1＝，C2＝1．所以满足初始条件y(1)＝1，y′(1)＝的特解为y*＝＋1．知识点解析：暂无解析22、已知下列非齐次线性方程组：(Ⅰ)求解方程组(a)．(Ⅱ)当方程组(b)中的参数a，b，c为何值时，方程组(a)与(b)同解．标准答案：(Ⅰ)对(a)中的增广矩阵作初等行变换，取χ4为自由变量，令χ4＝1，代入(a)所对应的齐次线性方程组，求得χ3＝－2，χ2＝－5，χ1＝6，故(a)所对应的齐次线性方程组的基础解系为ξ＝(6，－5，－2，1)T．令χ4＝0，代人(Ⅰ)中，得χ3＝－1，χ2＝－4，χ1＝6，故(Ⅰ)的特解为η＝(6，－4，－1，0)T．所以方程组(a)的通解为χ＝kξ＋η其中k为任意常数．(Ⅱ)方程组(a)与(b)同解，则ξ＝(6，－5，－2，1)T满足方程组(b)所对应的齐次线性方程组，即此时，当a＝1，b＝4，c＝4时，有r(B)＝3，且η＝(6，－4，－1，0)T满足方程组(b)，可以作为方程组(b)的特解．所以方程组(b)的通解也为χ＝kξ＋η，其中k为任意常数，所以当a＝1，b＝4，c＝4时，方程组(a)与(b)同解．知识点解析：暂无解析23、已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ的矩阵A(aij)满足a11＋a22＋a33＝－6，仙＝C，其中(Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和所得标准形；(Ⅱ)求出该二次型．标准答案：(Ⅰ)记α1＝(1，0，－1)T，α2＝(1，2，1)T，则B＝(α1，α2)，C＝(0，－12α2)．由题设AB＝C知A(α1，α2)＝(0，－12α2)，即Aα1＝0，Aα2＝－12α，所以λ1＝0，λ2＝12是矩阵A的特征值，α1，α2是A的分别属于特征值λ1＝0，λ2＝－12的特征向量．设λ3是第三个特征值，利用题设λ1＋λ2＋λ3＝a11＋a22＋a33＝－6，所以λ3＝6．设λ3＝6对应的特征向量为α3＝(χ1，χ2，χ3)T，由于λ3≠λ2，λ3≠λ1，所以α3与α1，α2均正交，即解得(χ1，χ2，χ3)T＝t(1，－1，1)T，取α3＝(1，－1，1)T，将α1，α2，α3单位化得3个两两正交的单位向量组记U＝(η1，η2，η3)，则U为正交矩阵，且UTAU＝作正交变换χ＝Uy，即得二次型的标准形为：－12y22＋6y32．(Ⅱ)由(Ⅰ)的(*)推得：故所求的二次型为：f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ＝－6χ22－12χ1χ2－12χ2χ3．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设函数f(χ)在χ＝a处可导，则()A、3a2f′(a)＋2f(a)B、C、3a2f′(a)－f(a)D、标准答案：D知识点解析：2、设f(χ)在χ＝0处连续，且＝1，则()A、f(0)是f(χ)的极大值B、f(0)是f(χ)的极小值C、(0，f(0))是曲线y＝f(χ)的拐点D、f(0)不是f(χ)的极值，(0，f(0))也不是曲线y＝f(χ)的拐点标准答案：C知识点解析：即(0，f(0))为拐点．3、设f(χ，y)＝．则f(χ，y)在点(0，0)处()A、不存在B、连续C、可微D、不连续标准答案：C知识点解析：f′χ(0，0)＝＝0，同理f′y(0，0)＝0，故偏导不连续．显然有(χ，y)＝0＝f(O，0)，所以f(χ，y)在(0，0)连续．故A，B，D皆排除了。知f(χ，y)在(0，0)点可微．4、积分I＝dχ的值()A、小于0B、大于0C、等于0D、发散标准答案：A知识点解析：这是无界函数的反常积分．仅A入选．5、用定积分表示曲线(χ2＋y2)2＝χ2－y2所围成的平面区域的面积A为()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：令χ＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入(χ2＋y2)2＝χ2－y2可得ρ2＝cos2θ，再根据对称性，只需计算第一象限部分，即0＜θ＜cos2θdθ从而A＝2cos2θdθ6、y〞－2y′＝χe2χ的特解形式为()A、y*＝(aχ＋b)e2χB、y*＝aχe2χC、y*＝aχ2e2χD、y*＝(aχ2＋bχ)e2χ标准答案：D知识点解析：λ*－2λ＝00，2．从而y*＝(aχ＋b)χe2χ．7、设A，B是n阶可逆矩阵，满足AB＝A＋B．则下面命题中正确的个数是()①｜A＋B｜＝｜A｜｜B｜②(AB)-1＝B-1A-1③(A－E)χ＝0只有零解④B－E不可逆A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：A，B可逆，A＋B＝AB①｜A＋B｜＝｜AB｜＝｜A｜｜B｜；②(AB)-1＝B-1A-1；③A＋B＝ABA＝AB－B＝(A－E)BA－E可逆(A－E)χ＝只有零解；④A＋B＝ABB＝AB－A＝A(B－E)B－E可逆．8、设A＝，B是三阶非零矩阵，且AB＝0，则()A、当k＝1时，r(B)＝1B、当k＝－3时，r(B)＝1C、当k＝1时，r(B)＝2D、当k＝－2时，r(B)＝2标准答案：B知识点解析：A＝，AB＝0r(A)＋r(B)≤3；B≠0r(B)＞0，从而r(A)＜3｜A｜＝0k＝1或k＝－3．当k＝1时，r(A)＝1，r(B)≤2；当k＝－3时，r(A)＝2，r(B)＝1．从而选B．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、函数y＝y(χ)由微分方程χ2y′＋y＋χ2＝0及y(1)＝0确定，则曲线y＝y(χ)的斜渐近线方程为_______．标准答案：y＝－χ．知识点解析：解微分方程可得y＝(1－χ)从而斜渐近线为y＝－χ．10、设函数f(χ，y)在点(0，0)处可微，且f′χ(0，0)＝1，f′y(0，0)＝－1，则极限＝_______．标准答案：1．知识点解析：由极限四则运算得，原极限为1．11、方程2χ＝χ2＋1有且仅有_______个根．标准答案：3．知识点解析：令F(χ)＝2χ－χ2－1，F(0)＝0，F(1)＝0F(2)＝－1＜0，F(5)＞0．F(χ)＝0至少有三个根，F′(χ)＝2χln2－2χ，F〞(χ)＝2χIn22－2，F″′(χ)＝2χIn32≠0，由罗尔定理推论逆否命题知F(χ)＝0最多有三个根．综上所述，F(χ)＝0有且仅有三个根．12、已知三阶矩阵A＝，记它的伴随矩阵为A*，则三阶行列式＝_______．标准答案：－58．知识点解析：13、设y＝y(χ)由确定则y＝y(χ)在任意点处的曲率ρ＝_______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)14、设f(χ)三阶可导，且f″′(a)≠0，f(χ)＝f(a)＋f′(a)(χ－a)＋(χ－a)2(0＜θ＜1)，求．标准答案：又f″′(a)≠0，所以知识点解析：暂无解析15、设函数f(χ)连续，＝a(a为常数)，又F(χ)＝∫0χf(χy)dy，求F′(χ)并讨论F′(χ)的连续性．标准答案：当χ≠0时，F′(χ)＝当χ＝0时，易知χ＝0是F′(χ)的分段点，先讨论F′(χ)在χ＝0的连续性，由于所以F′(χ)在χ＝0处连续．当χ≠0时，因为f(χ)连续，所以变上限积分∫0χf(t)dt也是连续的，于是F′(χ)是连续的．综上：F′(χ)在(－∞，＋∞)上是连续的．知识点解析：暂无解析16、设函数f(χ)＝πlnχ－χsinnχdχ,其中n为正整数，试讨论方程f(χ)＝0根的个数．标准答案：设a＝sinnχdχ，由奇偶函数的定积分性质得当n为奇数时，a＝0，f(χ)＝πlnχ，方程f(χ)＝0即lnχ＝0，此时方程f(χ)＝0有唯一实根；当n为偶数时，a＝，此时f(χ)＝πlnχ－aχ．由于f′(χ)＝－a，所以且＝－∞，所以f(χ)在点χ＝处取最大值．fmax＝π[πln－1]，当n＝2，4时，fmax＝π[πln－1]＜0方程f(χ)＝0没有实根．当n＝6，8，…时，fmax＝π[πln－1]＞0方程f(χ)＝0有两个根．知识点解析：暂无解析17、设f(χ)是区间[0，＋∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)＝1，对任意的t∈[0，＋∞)，直线χ＝0，χ＝t，曲线y＝f(χ)以及χ轴围成的曲边梯形绕χ轴旋转一周形成一旋转体．若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的两倍，求函数f(χ)的表达式．标准答案：旋转体体积V(t)＝π∫0ty2dχ，旋转体的的侧面积S(t)＝∫0t2πf(χ)dχ．由题设得2π∫0tydχ＝2π∫0ty2dχ，两边求导得y＝y2，所以＝y，从而1＋(y′)2＝y2．由于f(χ)是区间[0，＋∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)＝1，所以y′＝因此方程的通解为y＋＝Ceχ，又f(0)＝1，可得C＝1，所以所求函数表达式为f(χ)＝知识点解析：暂无解析18、设二元函数u＝u(χ，y)有二阶连续偏导数，并满足方程＝0，且u(χ，2χ)＝χ，u′χ(χ，2χ)＝χ2，求u〞χχ(χ，2χ)，u〞χy(χ，2χ)，u〞yy(χ，2χ)．标准答案：u(χ，2χ)＝χ两边对χ求导，得u′χ(χ，2χ)＋u′y(χ，2χ)×2＝1，(1)又u′χ(χ，2χ)＝χ2，(2)代人(1)式得u′y(χ，2χ)＝(1－χ2)．(3)(2)式两端对χ求导，得u〞χχ(χ，2χ)＋u〞χy(χ，2χ)×2＝2χ，(4)(3)式两端对χ求导得u′yχ(χ，2χ)＋u′yy(χ，2χ)×2＝－χ(5)又＝0，(6)由(4)、(5)、(6)式可得u〞χχ(χ，2χ)＝u〞yy(χ，2χ)＝知识点解析：暂无解析19、求二元函数f(χ，y)＝e-χy在区域D＝{(χ，y)｜χ2＋4y2≤1}上的最大值和最小值．标准答案：首先由于f′χ(χ，y)＝－ye-χyy，f′y(χ，y)＝－χe-χy，所以在D的内部f(χ，y)有唯一的驻点(0，0)，且f(0，0)＝11．其次在D的边界χ2＋4y2＝1上，作Lagrange函数L(χ，y，λ)＝e-χy＋λ(χ2＋4y2－1)，比较函数值可得f(χ，y)在D上的最大值为最小值为知识点解析：暂无解析20、设A是n(n＞1)阶方阵，ξ1，ξ2，…，ξn是n维列向量，已知Aξ1＝ξ2，Aξ2＝ξ2…，Aξn-1＝ξn，Aξn＝0，且ξn≠0．(Ⅰ)证明ξ1，ξ2，…，n线性无关；(Ⅱ)求Aχ＝0的通解；(Ⅲ)求出A的全部特征值和特征向量，并证明A不可对角化．标准答案：(Ⅰ)设k1ξ1＋k2ξ2＋…＋knξn＝0，依次在等式两边左乘A，A2，…，An-2，An-1，分别得k1ξ2＋k2ξ3＋…＋kn-1ξn＝0，k1ξ3＋k2ξ4＋…＋kn-1ξn＝0，……k1ξn-1＋k2ξn＝0k1ξn＝0，因为ξn≠0，故k1＝0，并依次回代得k2＝…αkn-1＝kn＝0，所以ξ1，ξ2，…，ξn线性无关．(Ⅱ)由题意知又因为ξ1，ξ2，…，ξn线性无关，故r(A)＝n－1，所以Aχ＝0的基础解系中只有一个解向量，而Aξn＝0，ξn≠0，因此ξn为Aχ＝0的一个基础解系，所以Aχ＝0的通解为kξn，k为任意常数．(Ⅲ)记P＝(ξ1，ξ2，…，ξn)，则P可逆，且由此可得A的特征值λ1＝λ2…λn＝0，其特征向量为kξn(k≠0)，从而A的属于特征值0的线性无关的特征向量仅有一个，故A不可对角化．知识点解析：暂无解析21、设A为n阶方阵，证明：r(A＋E)＋r(A－E)＝n的充要条件是A2＝E．标准答案：本题主要考查矩阵秩的性质、特征向量的求法及矩阵的相似对角化，是一道有难度的综合题．先证充分性：由A2＝E，得(A＋E)(A－E)＝0，从而r(A＋E)＋r(A－E)≤n，又r(A＋E)＋r(A－E)＝r(A＋E)＋r(E－A)≥r(2E)＝n．所以r(A＋E)＋r(A－E)＝n．再证必要性：设r(A＋E)＝r，则齐次线性方程组(－E－A)χ＝0有n－r个线性无关的解，设为α1，…，αn-r，即α1，…，αn-r是矩阵A属于特征值－1的n－r个线性无关的特征向量．由r(A＋E)＋(A—E)＝n，知r(A－E)＝n－r，则齐次线性方程组(E－A)χ＝0有r个线性无关的解，设为αn-r+1，…，αn，即αn-r+1，αn，…，αn是矩阵A属于特征值1的r个线性无关的特征向量．设P＝(α1，αn-r，αn-r+1，…，an)，由不同特征值的特征向量线性无关，知P可逆，且知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、下列函数中在点x=0处可导的是A、①，②．B、②，③．C、③，④．D、①，③．标准答案：B知识点解析：按定义分析，即分析的存在性，并要逐一分析．因此选D．2、设f(x)在(—∞，+∞)内二阶可导且f"(x)＞0，则x＞0，h1＞0，h2＞0，有A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：这是比较三个数的大小问题．已知f"(x)＞0→f’(x)单调上升，于是设法转化为比较导数值．这是可以办到的，只要对上述两个改变量之比用拉格朗日中值定理：由f’(x)在(—∞，+∞)单调上升升→f’(ξ)＜f’(x)＜f’(η)．因此选B．3、设f(x)=，g(x)在z=0连续且满足g(x)=1+2x+o(x)(x→0)．又F(x)=f[g(x)]，则F’(0)=________A、4e．B、4．C、2．D、2e．标准答案：A知识点解析：由g(x)在x=0连续及g(x)=1+2x+D(x)(x→0)=故应选A．4、则F(x)=∫0xdt，则F(x)=在[0，2]上A、有界，不可积．B、可积，有间断点．C、连续，有不可导点．D、可导．标准答案：C知识点解析：先求出分段函数f(x)的变限积分：当0≤x≤1时，F(x)=∫0xf(t)dt=∫0xπcosπtdt=sinx；当1＜x≤2时，→F(x)在点x=1处不可导．故应选C．5、设函数F(x，y)在(x0，y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(x0，y0)=F’x(x0，y0)=0，F’y(0，y0)＞0，F"xx(x0，y0)＜0．由方程F(x，y)=0在x0的某邻域确定的隐A、y(x)以x=x0为极大值点．B、y(x)以x=x0为极小值点．C、y(x)在x=x0不取极值．D、(x0，y(x0))是曲线y=f(x)的拐点．标准答案：B知识点解析：按隐函数求导法，y’(x)满足令x=x0，相应地y=y0由F’x(x0，y0)=0，F’x(x0，y0)≠0得y’(x0)=0．将上式再对x求导并注意y=y(x)即得因此x=x0是y=y(x)的极小值点．故选B．6、设Ii=，i=l，2，3，其中D1={(x，y)｜x2+y2≤R2}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2}，D3={(x，y)｜｜x｜≤R，｜y｜≤R}，则下列关于I1，I2，I3大小关系正确的是A、I1＜I2＜I3．B、I2＜I3＜I1．C、I1＜I3＜I2．D、I3＜I2＜I1．标准答案：C知识点解析：D1，D2均是以原点为圆心，半径分别为R，的圆，D3是正方形，边长2R，如图所示，因为，又被积函数f(x，y)=连续，且恒正，则I1＜I3＜I2．故应选C．7、已知η1，η2，η3，η4是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也是Ax=0基础解系的是A、η1+η2，η2—η3，η3—η4，η4—η1．B、η1+η2，η2—η3，η3—η4，η4+η1．C、η1+η2，η2+η3，η3—η4，η4—η1．D、η1，η2，η3，η4的等价向量组．标准答案：A知识点解析：等价向量组不能保证向量个数相同，因而不能保证线性无关，例如向量组η1，η2，η3，η4，η1+η2与向量组η1，η2，η3，η4等价，但前者线性相关，因而不能是基础解系．故(D)不正确，(B)、(C)均线性相关，因此不能是基础解系．故(B)与(C)也不正确．注意到：(η1+η2)一(η2—η3)一(η3—η4)一(η4+η1)=0，(η1+η2)一(η2+η3)+(η3—η4)+(η4—η1)=0，唯有(A)，η1+η2，η2—η3，η3—η4，η4—η1是Ax=0的解，又由(η1+η2，η2—η3，η3—η4，η4—η1)=(η1，η2，η3，η4)，且=2≠0，知η1+η2，η2—η3，η3—η4，η4—η1线性无关，且向量个数与η1，η2，η3，η4相同．所以(A)也是Ax=0的基础解系．故选A．8、设n维向量α1，α2，…，αs的秩为r，则下列命题正确的是A、α1，α2，…，αs中任何r一1个向量必线性无关．B、α1，α2，…，αs中任何r个向量必线性无关．C、如果s＞n，则αs必可由α1，α2，…，αs—1线性表示．D、如果r=n，则任何n维向量必可由α1，α2，…，αs线性表示．标准答案：D知识点解析：r(α1，α2，…，αs)=rα1，α2，…，αs中一定存在r个向量线性无关，而任意r+1个向量必线性相关．当向量组的秩为r时，向量组中既可以有r一1个向量线性相关，也可以有r个向量线性相关，故(A)、(B)均错误．例如向量α1，α2，α3，α4分别为(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(3，0，0，0)，其秩为3，其中α1，α4线性相关，α1，α2，α4也线性相关．该例说明，4维向量可以有2个向量线性相关，也可以有3个向量线性相关．但肯定有3个向量线性无关．当s＞n时，表明α1，α2，…，αs必线性相关，此时有αi可以由α1，αi—1，…，αi+1线性表示，但αs不一定能由α1，…，αs—1线性表示．故(C)不正确．若r(α1，α2，…，αs)=n，则对任何凡维向量β必有r(α1，α2，…，αs，β)=n．故(D)正确．因此应选D．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、已知f(x)=在点x=0处连续，则a=________．标准答案：一3．知识点解析：a，f(x)在点x=0处左连续，要使f(x)在点x=0处连续故a=一3．10、反常积分=________．标准答案：知识点解析：令x=tanθ作换元，则x：0→+∞对应θ：，利用1+x2=1+tan2θ=，就有11、函数f(x)=(x∈[0，1])的值域区间是________．标准答案：知识点解析：f(x)在[0，1]连续且可导，又→f(x)在[0，1]单调上升，且最小值为f(0)=0，最大值为12、设I(a)==________．标准答案：知识点解析：I(a)是二重积分的一个累次积分，可写为13、已知A是3阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，如果矩阵A的特征值是1，2，3，那么矩阵(A*)*的最大特征值是________．标准答案：18知识点解析：因为(A*)*=｜A｜n—22A，又｜A｜=∏λi=6，所以(A*)*=6A，从而(A*)*的特征值为6，12，18，显然其最大特征值为18．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、设x＞0时，F(x)=，其中函数f(x)在区间(0，+∞)上连续且单调增加，试证：F(x)在(0，+∞)也单调增加．标准答案：自然的想法是求F’(x)．由于F(x)中的第一项变限积分中被积函数除依赖于积分变量t外，还依赖于x，所以要通过变量替换把积分化为只有积分限含有x的变限积分，然后再求导．于是，令u=，则代入即得F’(x)＞0(x＞0，x≠1)，此外还有F’(1)=0．因此，F(x)在(0，+∞)单调增加．知识点解析：暂无解析15、(Ⅰ)求不定积分J=，(Ⅱ)设心脏线的极坐标方程为r=a(1+cosθ)(a＞0)，求它绕极轴旋转一周所产生的旋转体的侧面积A．标准答案：(Ⅰ)先分解并凑微，即知识点解析：暂无解析16、(Ⅰ)设f(x)=4x3+3x2—6x求f(x)的极值点；(Ⅱ)设有x=，它的反函数是y=y(x)，求y=y(x)的拐点．标准答案：(Ⅰ)先求f’(x)=12x2+6x一6=6(2x一1)(x+1)．由在定义域中考察y=y(x)：知识点解析：暂无解析17、设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，要做多少功?(假设在球从水中取出的过程中水面的高度不变．)标准答案：把球的质量集中到球心．球从水中取出做功问题可以看成质量为的质点向上移动距离为1时变力所做的功．问题归结为求出变力，即求球在提起过程中受到的重力与浮力的合力．因球的比重为1，所以球受的重力=球的体积，球受的浮力=沉在水中部分的体积，它们的合力=球露出水面部分的体积．当球心向上移动距离h时(0＜h＜1)，球露出水面部分的体积为知识点解析：暂无解析18、设u=u(x，t)有二阶连续导数，并满足其中a＞0为常数．(Ⅰ)作自变量替换ξ=x一at，η=x+at，导出u作为ξ，η的函数的二阶偏导数所满足的方程．(Ⅱ)求u(x，t)．标准答案：即=h(ξ)，h(ξ)是连续可微的任意函数.再对ξ积分一次，并注意到积分常数可依赖η，于是得u=f(ξ)+g(η)其中f(ξ)和g(η)是二次连续可微的V函数．回到变量x，t得u(x，t)=f(x一at)+g(x+at)．知识点解析：暂无解析19、计算二重积分，其中积分区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}．标准答案：被积函数分块表示：记知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二次可导，且f(x)在[0，1]上的最大值M=2，最小值m=0，求证：若f(x)的最大值点或最小值点至少有一个是区间(0，1)内的点，则在(0，1)内必存在两点ξ与η，使得｜f’(ξ)｜＞2，｜f"(η)｜＞4成立．标准答案：由题设知，存在x1，x2∈[0，1]，使得f(x1)=M=2，f(x2)=m=0．由拉格朗日中值定理知，在x1与x2之间存在一点ξ，使得因f(x1)一f(x2)=2—0=2，又｜x2一x1｜＜1，故为了确定起见，我们可设f(x)在[0，1]上的最大值M在(0，1)内的点x1处取得，而f(x)在[0，1]上的最小值m在[0，1]上的某点x2≠x1取得.因x1∈(0，1)，又f(x1)==2，故f’(x1)=0．将f(x2)在x=x1展开成一阶泰勒公式，得f(x2)=f(x1)+f’(x1)(x2一x1)+f"(η)(x2一x1)2，其中η在x1与x2之间，故η∈(0，1)．将函数值f(x2)=0，f(x1)=2，f’(x1)=0代入上式若m=f(x2)且x2∈(0，1)，可类似证明．知识点解析：暂无解析21、设A是n阶反对称矩阵，(Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵；(Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子；(Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么—λ也必是A的特征值．标准答案：(Ⅰ)按反对称矩阵定义：AT=一A，那么｜A｜=｜AT｜=｜—A｜=(—1)n｜A｜，即[1—(—1)n]｜A｜=0．若n=2k+1，必有｜A｜=0．所以A可逆的必要条件是n为偶数．因AT=一A，由(A*)T=(AT)*有(A*)T=(AT)*=(一A)*．又因(kA)*=kn—1A*，故当n=2k+1时，有(A*)T=(—1)2kA*=A*，即A*是对称矩阵．(Ⅱ)例如，A=是4阶反对称矩阵，且不可逆．(Ⅲ)若λ是A的特征值，有fλE—AJ=0，那么｜—λE—A｜=｜(一λE—A)T｜=｜—λE—AT｜=｜—λE+A｜=｜一(λE—A)｜=(一1)n｜λE—A｜=0，所以一λ是A的特征值．知识点解析：暂无解析22、已知A=．求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．标准答案：由矩阵A的特征多项式得到A的特征值是λ1=1一a，λ2=0，λ3=a+1．由[(1一a)E—A]x=0，得到属于λ1=1一a的特征向量是α1=k1(1，0，1)T，k1≠0．由[(aE一A)x=0，得到属于λ2=a的特征向量是α2=k2(1，1—2a，1)T，k2≠0．由[(a+1)E一A]x=0，得到属于λ3=a+1的特征向量α3=k3(2一a，一4a，a+2)T，k3≠0．如果λ1，λ2，λ3互不相同，即1一a≠a，1一a≠a+1，a≠a+1，即a≠且a≠0，则矩阵A有3个不同的特征值，A可以相似对角化．若，此时A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化．若a=0，即λ1=λ3=1，此时A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第7套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)=若f(x)在x=0处可导且导数不为零，则k为()．A、3B、4C、5D、6标准答案：C知识点解析：因为f(x)在x=0处可导，所以k－2=3，即k=5，选(C)．2、y=的渐近线的条数为()．A、2B、3C、4D、5标准答案：C知识点解析：由为两条水平渐近线；由得x=－1与x=0为铅直渐近线；由得曲线没有斜渐近线，故曲线共有4条渐近线，选(C)．3、设函数f(x)是连续且单调增加的奇函数，φ(x)=∫0x(2u－x)f(x－u)du，则φ(x)是()．A、单调增加的奇函数B、单调减少的奇函数C、单调增加的偶函数D、单调减少的偶函数标准答案：B知识点解析：因为所以φ(x)为奇函数；又φˊ(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)，当x＞0时，φˊ(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)=x［f(ξ)－f(x)］≤0(0≤ξ≤x)，当x≤0时，φˊ(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)=x［f(ξ)－f(x)］≤0(x≤ξ≤0)，所以φ(x)为单调减少的奇函数，选(B)．4、设函数f(x)具有一阶导数，下述结论中正确的是()．A、若f(x)只有一个零点，则fˊ(x)必至少有两个零点B、若fˊ(x)至少有一个零点，则f(x)必至少有两个零点C、若f(x)没有零点，则fˊ(x)至少有一个零点D、若fˊ(x)没有零点，则f(x)至多有一个零点标准答案：D知识点解析：若f(x)至少有两个零点，根据罗尔定理，fˊ(x)至少有一个零点，故若fˊ(x)没有零点，则f(x)至多一个零点，选(D)．5、设f(x，y)在(0，0)处连续，且=4，则()．A、f(x，y)在(0，0)处不可偏导B、f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微C、fˊx(0，0)=fˊy(0，0)=4且f(x，y)在(0，0)处可微分D、fˊx(0，0)=fˊy(0，0)=0且f(x，y)在(0，0)处可微分标准答案：D知识点解析：由=4得f(0，0）=0，因为－1～x2+y2，所以=4，从而=4+α，其中α为当(x，y)→(0，0)时的无穷小，于是△f=f(x，y)－f(0，0)=0×x+0×y+o()，故f(x，y)在(0，0)处可微，且fˊx(0，0)=fˊy(0，0)=0，选(D)．6、设函数y=f(x)的增量函数△y=f(x+△x)－f(x)=+v(△x)，且f(0)=π，则f(－1)为()．A、B、πeπC、D、πe－π标准答案：C知识点解析：由△y=+o(△x)得y=f(x)为可导函数，且yˊ=或者yˊ－y=0，则y=f(x)=，因为f(0)=π，所以C=π，于是f(x)=πearctanx，故f(－1)=，选(C)．7、设A为m×n矩阵，且r(A)=mA、A的任意m阶子式都不等于零B、A的任意m个列向量线性无关C、方程组AX=b一定有无数个解D、矩阵A经过初等行变换化为(EmO)标准答案：C知识点解析：因为A与都是m行，所以r(A)=r()=m8、设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT．则A的线性无关的特征向量个数为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：