人教版高中数学必修第二册-期末系统知识复习讲义-第1讲-加减与数乘 图形直观悟

第1讲加减与数乘图形直观悟四基概述1.基本概念名称定义符号表示注意点向量既有大小又有方向的量，(书写有)角度(任意角)有大小还有两个旋转方向，但它是数量不是向量，因为它可以用数轴上的点表示，而向量不能在数轴上表示有线线段具有方向的线段 有向线段有起点、方向、长度三个要素，是向量的几何表示向量的长度或模向量的大小，(书写有)向量不能比较大小，但向量的模长可以比较大小，如|a+b|≤|a|+|b|零向量长度为0的向量0(书写用)规定对于任意向量,都有0∥单位向量长度等于1个单位长度的向量表示与同向的单位向量若把所有表示单位向量的有向线段的起点放在同一点，那么它们的终点会构成一个单位圆平行向量，共线向量方向相同或相反的非零向量, 表示平行向量的有向线段有可能平行，也有可能共线，要结合其他条件进行判断相等向量长度相等且方向相同的向量 若已知平行四边形ABCD，那么有向线段和虽然起点不同但表示的是同一个向量相反向量长度相等且方向相反的向量表示向量的相反向量的相反向量可以是,且相反向量之和为零向量,即2.线性运算(1)向量的加减法运算(2)数乘运算(3)化简如,转化如,此类以首尾相连法为基础的化简和转化可以脱离具体几何图形,甚至可以脱离平面推广到空间,是向量运算的基本技能.(4)若且和不共线,则由可得和,这个推论很有用.典侧分析例1根据下列各小题的条件,试判断四边形的形状.(1);(2)(3)且.【思路点拨】利用向量线性运算的几何意义,构建与向量代数关系式对应的几何模型,这是用几何法解决向量问题的切入口.【自主解答】例2在任意四边形中,和分别是和的中点,(1)求证:.(2)若三点重合,你能得到什么结论?(3)若两点重合,你能得到什么结论?例2图【思路点拨】利用同一向量的不同回路中的相反向量关系,得到向量的中点公式.【自主解答】例3已知平行四边形,点是的中点,与相交于点,设,用表示.例3图【思路点拨】表示时,利用相等向量的不同回路中的共线向量关系,得到所需的等式,体现了向量运算就是几何关系的代数化,当然也可以先用相似三角形得到所需的几何关系,再用向量表示.【自主解答】例4已知凸六边形的6个顶点是和的各边的交点,且.求证:.例4图【思路点拨】本题主要考查数乘运算的几何意义和向量回路的应用,最好先假设,,这样处理可使解答更简洁.例已知分别是的边,的中点,求证:相交于一点且.【思路点拨】可以先假设与相交于点,若用几何法就要根据中位线性质,利用相似三角形,得到点是中线的三等分点,所以向量法的关键也是先要用回路法得到,然后根据题目条件利用共线向量构造不同的回路来表示相等向量,进而得证.【自主解答】例6已知的外接圆圆心为,垂心为,求证:.【思路点拨】取和的中点,利用中位线的向量等式,构造相等向量的不同回路,结合垂线与中垂线平行,找到不同回路中的平行向量,就可以得到关键等式来证明.【自主解答】巩固练习1.下列结论中正确的是().A.单位向量大于零向量B.若,则C.若,则D.若和不共线且,则2.如图,向量的起点与终点均在正方形网格的格点上,若,则第2题图A.B.3C.1D.3.已知非零向量,使得成立的充分非必要条件是().A.B.C.D.4.在中,为的中点.设,则下列向量中与同向的是().A.B.C.D.5.在中,和分别是边上的点,且,若,则.A.B.C.D.6.已知三点不共线,且点满足,则下列结论中正确的是().A.B.C.D.7.若为内一点,且,则的形状为().A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形8.如图,在正中,分别是的中点,则与向量相等的向量是。第8题图9.化简:；10.已知点在线段上,且,则；(为直线外一点).11.已知点为外接圆的圆心,且,则12.在平行四边形中,分别是的中点,若,则13.如图,已知向量,求作向量.第13题图14.如图,已知是平行四边形对角线的交点,过点的两条直线交四边于四点,用向量证明四边形