新高考数学一轮复习第6章 第01讲 数列的概念与简单表示法 精练（教师版）

第01讲数列的概念与简单表示法(精练）A夯实基础一、单选题1．（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）已知数列1，SKIPIF1<0，5，SKIPIF1<0，9，…，则该数列的第10项为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．19 D．21【答案】B解：依题意可得该数列的通项公式可以为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B2．（2022·广西·高二学业考试）数列SKIPIF1<0的前4项为：SKIPIF1<0，则它的一个通项公式是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C将SKIPIF1<0可以写成SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0；故选:C3．（2022·广西·高二学业考试）一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（

）A．1 B．6 C．10 D．20【答案】C根据规律可知，第四个点阵表示的三角形数为：SKIPIF1<0.故选：C4．（2022·陕西·绥德中学高一阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，各式作和得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：C.5．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即SKIPIF1<0，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．2696 B．2697 C．2698 D．2700【答案】A解：由题意得：数列SKIPIF1<0为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…所以该数列的周期为6，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：A6．（2022·黑龙江实验中学高二阶段练习）若数列SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．15 D．16【答案】A数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：A7．（2022·山西太原·三模（理））已知数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0则数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ASKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0符合上式，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是以1为首项，2为公比的等比数列，故SKIPIF1<0.故选：A.8．（2022·广东·佛山一中高二阶段练习）已知对任意SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解：因为对任意SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，得SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0适合上式，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A二、多选题9．（2022·吉林·长春市第二中学高二阶段练习）已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－SKIPIF1<0，能使an＝3的n可以为（

）A．22 B．24C．26 D．28【答案】AD解：由a1＝3，an＋1＝－SKIPIF1<0，得a2＝－SKIPIF1<0，a3＝－SKIPIF1<0，a4＝3．所以数列{an}是周期为3的数列，故a22＝a28＝3．故选：AD10．（2022·全国·高二课时练习）已知数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以A错误，B正确，SKIPIF1<0，故C正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D错误；故选：BC三、填空题11．（2022·广西·南宁三中二模（文））写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列SKIPIF1<0的通项公式：SKIPIF1<0__________．（1）数列SKIPIF1<0是无穷等比数列；（2）数列SKIPIF1<0不单调；（3）数列SKIPIF1<0单调递减．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）由题意可得，SKIPIF1<0满足（1）数列SKIPIF1<0是无穷等比数列；（2）数列SKIPIF1<0不单调；（3）数列SKIPIF1<0单调递减，故答案为：SKIPIF1<012．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）已知数列SKIPIF1<0是严格递减数列，n为正整数，则实数k的取值范围是____________．【答案】SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0是严格递减数列，所以SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题13．（2022·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0为递增数列，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】SKIPIF1<0依题意对于SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.14．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；【答案】(1)SKIPIF1<0(1)由题意：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两式相减得到SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.B能力提升一、单选题1．（2022·河南·高三阶段练习（理））设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为3，公比为2的等比数列，则SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：C2．（2022·北京四中三模）已知数列{SKIPIF1<0}的通项为SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A由题意，数列SKIPIF1<0的通项为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0恒成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”的充分不必要条件.故选：A.二、填空题3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前2022项的和为___________.【答案】SKIPIF1<0由题意可知，满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以上各式累加得，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也满足上式，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.∴数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.4．（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（理））如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到．依次类推，则该数表中，第n行第1个数是____________．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0观察数表，得出每一行都成等差数列，且第n行公差为SKIPIF1<0，因此设第n行第1个数是SKIPIF1<0，则第n行第2个数是SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等差数列，公差为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．三、解答题5．（2022·湖南师大附中三模）已知数列SKIPIF1<0的前三项与数列SKIPIF1<0的前三项对应相同，且SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0都成立，数列SKIPIF1<0是等差数列.(1)求数列SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：不存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)证明见解析(1)因为SKIPIF1<0①，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②，①—②，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在①中令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由题设，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以不存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.6．（2022·山东·安丘市普通教育教学研究室高二期中）已知正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0①；当SKIPIF1<0时，代入①得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②；①-②得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为等差数列，公差为1，所以SKIPIF1<0.7．（2022·全国·高三专题练习）问题：已知SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，是否存在数列SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，__________﹖若存在．求通项公式SKIPIF1<0﹔若不存在，说明理由．在①SKIPIF1<0﹔②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】选①：SKIPIF1<0；选②：SKIPIF1<0；选③：SKIPIF1<0选①：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是以2为公差，1为首项的等差数列SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0显然，SKIPIF1<0时，上式不成立，所以SKIPIF1<0.选②：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0从第二项起，是以2为公比，4为首项的等比数列SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0显然，SKIPIF1<0时，上式成立，所以SKIPIF1<0选③：SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0是以2为公比和首项的等比数列SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0C综合素养1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测.推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸，地支分别为子､丑､寅､卯､辰､已､午､未､申､酉､戌､亥.该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2023年是“癸卯”年，正值哈尔滨市第三中学建校100周年，那么据此推算，哈三中建校的年份是（

）A．癸卯年 B．癸亥年 C．辛丑年 D．辛卯年【答案】B依题意可知，天干的周期为SKIPIF1<0，地支的周期为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以哈三中建校的年份的天干也是癸；因为SKIPIF1<0，所以哈三中建校的年份的地支为亥，哈三中建校的年份是“癸亥年”.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（

）A．200 B．210 C．220 D．242【答案】C根据题意，数列的前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，其中奇数项为0、4、12、24、40，有SKIPIF1<0故其奇数项上的通项公式为SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，故选：C3．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前SKIPIF1<0项为：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，通项公式为SKIPIF1<0，若把这个数列SKIPIF1<0排成下侧形状，并记SKIPIF1<0表示第SKIPIF1<0行中从左向右第SKIPIF1<0个数，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由题可知，设数阵第SKIPIF1<0行的项数为SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，公差为SKIPIF1<0的等差数列，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0项，因此，SKIPIF1<0.故选：D.4．(多选）（2022·江苏泰州·模拟预测）若正整数m．n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，SKIPIF1<0（k）是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数SKIPIF1<0（k）以其首名