新高考数学一轮复习第7章 第10讲 立体几何与空间向量（综合测试）（教师版）

第10讲第七章立体几何与空间向量（综合测试）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，则球的表面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D正方体的对角线是球的直径，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以球的表面积SKIPIF1<0故选：D.2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）若水平放置的四边形SKIPIF1<0按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则原四边形中SKIPIF1<0的长度为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B解：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,垂足为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，所以原四边形中SKIPIF1<0的长度为2SKIPIF1<0.故选：B3．（2022·江西·高三阶段练习（理））1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V，E和F分别表示简单凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：SKIPIF1<0．已知一个正多面体每个面都是全等的等边三角形，每个顶点均连接5条棱，则SKIPIF1<0（

）A．50 B．52 C．60 D．62【答案】D由已知条件得出SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：D．4．（2022·重庆长寿·高二期末）如图，在斜棱柱SKIPIF1<0中，AC与BD的交点为点M，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ASKIPIF1<0-SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：A．5．（2022·山东济南·高一期末）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B设该正面体的棱长为SKIPIF1<0，因为M为BC中点，N为AD中点，所以SKIPIF1<0，因为M为BC中点，N为AD中点，所以有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为SKIPIF1<0，故选：B6．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】DSKIPIF1<0则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0故选：D7．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）如图（1），在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一点（不是端点），沿线段SKIPIF1<0将SKIPIF1<0折成SKIPIF1<0（如图（2）），使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即二面角SKIPIF1<0的平面角，所以SKIPIF1<0．在图（1）中，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，可知直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，与直线SKIPIF1<0的方程联立解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．在图（2）中，以SKIPIF1<0为坐标原点，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0．故选：D8．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）如图，正方体SKIPIF1<0的棱长为a，E是棱SKIPIF1<0的动点，则下列说法正确的（

）个．①若E为SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0②三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值SKIPIF1<0③E为SKIPIF1<0的中点时，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角正切值为SKIPIF1<0④过点SKIPIF1<0，C，E的截面的面积的范围是SKIPIF1<0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B如图,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(a,0,0)，C(a,a,0)，D(0,a,0)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.对于①：当E为SKIPIF1<0的中点时，SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，不妨令x=1,则SKIPIF1<0，所以平面A1BD的一个法向量为SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不垂直，所以直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0不成立.故①错误；对于②：三棱锥SKIPIF1<0的体积等于三棱锥SKIPIF1<0的体积.又SKIPIF1<0，高为a,所以SKIPIF1<0.故②错误；对于③：当E为SKIPIF1<0的中点时，SKIPIF1<0.平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0.设直线B1E与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角正切值为SKIPIF1<0.故③正确；对于④：设SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上得到投影为SKIPIF1<0.所以点E到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.当z=0，即D、E重合时，截面为矩形，其面积为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，截面为等腰梯形.设截面交SKIPIF1<0于F.所以SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0，所以其面积为SKIPIF1<0.记SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0当z=a，即D1、E重合时，截面为边长为SKIPIF1<0的正三角形，其面积为SKIPIF1<0.综上所述：SKIPIF1<0.故④正确.故选：B二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2022·湖南·长沙一中高一期末）下面四个结论正确的是（

）A．空间向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若空间四个点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三点共线C．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为钝角D．任意向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0【答案】AB对于A：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A正确；对于B：因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有公共点，所以SKIPIF1<0三点共线，故B正确；对于C：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为钝角：则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线得SKIPIF1<0，于是得当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为钝角，故C错误；对于D：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的共线向量，而SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的共线向量，故D错误，故选：AB10．（2022·辽宁·高一期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】BC选项A：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0相交或SKIPIF1<0互为异面直线.判断错误；选项B：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.判断正确；选项C：设平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.判断正确；选项D：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的位置关系为相交，当且仅当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0.判断错误.故选：BC11．（2022·重庆南开中学高一期末）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角SKIPIF1<0沿BC向上翻折，得三棱锥SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点.下列说法正确的是（

）A．存在某个位置，使SKIPIF1<0B．存在某个位置，使SKIPIF1<0C．当三棱锥SKIPIF1<0体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正切值为SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【答案】ABCD解：当平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0垂直时，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故AB正确；当三棱锥SKIPIF1<0体积取得最大值时，顶点A到底面距离最大，即平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0垂直时，由上面可知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故AD与平面ABC成角为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C正确；当SKIPIF1<0时,因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，如图将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0旋转，使其与SKIPIF1<0在同一平面内，则当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0最小，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故D正确.故选：ABCD.12．（2022·广东广州·高二期末）正方形SKIPIF1<0，的棱长为1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，下列说法正确的有（

）A．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0垂直B．平面SKIPIF1<0截正方体所得的截面周长为SKIPIF1<0C．在线段SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角是30°D．在棱SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离相等【答案】BD对A，由正方体的性质，体对角线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0垂直，又平面SKIPIF1<0不平行于平面SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不垂直，A错；对B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0截正方体所得的截面为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0截正方体所得的截面周长为SKIPIF1<0，B对；对C，SKIPIF1<0，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在等腰直角SKIPIF1<0上，易得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，命题不成立，C错；对D，若点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离相等，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，MN是SKIPIF1<0的中位线，故SKIPIF1<0上的点与C到MN的距离相等，SKIPIF1<0，故G在SKIPIF1<0点时，SKIPIF1<0，命题成立，D对，故选：BD三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2022·湖南衡阳·高二期末）已知某圆锥的底面周长为4π，侧面积为2SKIPIF1<0π，则该圆锥的体积为_______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0设圆锥的底面半径为r，母线为l，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则该圆锥的高SKIPIF1<0，故该圆锥的体积为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<014．（2022·辽宁抚顺·高一期末）已知SKIPIF1<0的顶点都在半径为SKIPIF1<0的球SKIPIF1<0的球面上，球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的表面积为___________.【答案】SKIPIF1<0解：在底面SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，所在SKIPIF1<0外接圆的半径SKIPIF1<0，如图，即SKIPIF1<0球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的表面积是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.15．（2022·广西桂林·高一期末）十月一日是国庆节，也是小明爸爸的生日，小明到商店买了一个生日蛋糕和家人一起庆祝．卖蛋糕的售货员说，商店有图①和图②两种捆扎方式供你选择，但捆扎用的彩带要根据带子的长度另外付费．你选择哪种捆扎方式？小明经过计算，很快作出了自己的选择．售货员听后直夸小明聪明．说，你选择的捆扎方式比另一种所用的彩带短，所需的费用少，那么，小明选择的捆扎方式是________(注：填图①或图②)．【答案】图①由给定的几何体及生活实际知，蛋糕盒是正四棱柱，设其底面正方形边长为a，高为b，图②所用彩带总长为SKIPIF1<0，对于图①，令彩带与包装盒的棱的部分公共点如图，过E作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于F，由图①的几何体及对称性知，SKIPIF1<0，则彩带总长为SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，所以图①所用彩带总长比图②所用彩带总长短，所需的费用少.故答案为：图①16．（2022·河北保定·高一期末）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成角的正切值为2.已知蚂蚁从点SKIPIF1<0出发，沿着侧面SKIPIF1<0走到SKIPIF1<0上的一点，再沿着侧面SKIPIF1<0继续走到棱SKIPIF1<0上，则这只蚂蚁从点SKIPIF1<0出发到达棱SKIPIF1<0的最短路程为_______米，这只蚂蚁的最短路线与SKIPIF1<0的交点到底面SKIPIF1<0的距离为______米.【答案】

2SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##1.5因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD，又AB=4米，BC=3米，所以AC=5米.因为AD与底面BCD所成的角为∠ADB，所以tan∠ADB=SKIPIF1<0=2，所以BD=2米.将侧面ABD翻折至与平面ABC共面，如图所示.AC=CD=5米，AD=2SKIPIF1<0米，取AD的中点E，连接CE，交AB于F，则CE⊥AD，蚂蚁的最短路线为C→F→E，最短路程为CE=2SKIPIF1<0米，最短路线与AB的交点为F.取BD的中点G，连接EG，则EG=SKIPIF1<0AB=2米，BG=SKIPIF1<0BD=1米，根据△CBF∽△CGE，得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，则FB=SKIPIF1<0EG=SKIPIF1<0，故这只蚂蚁的最短路线与AB的交点到底面BCD的距离为SKIPIF1<0米.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2022·内蒙古包头·高一期末）如图，三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求三棱柱SKIPIF1<0的体积．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0(1)证明：取BC中点O，连接OA，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形．所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(2)在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．同理，SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面ABC．所以SKIPIF1<018．（2022·四川·遂宁中学高一期末）如图，正方体SKIPIF1<0，其外接球与内切球的表面积之和为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0与正方体的面相交，交线围成一个正三角形.(1)在图中画出这个正三角形（不必说明画法和理由）；(2)平面SKIPIF1<0将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积.【答案】(1)答案见解析(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)解：连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为所求三角形（作法不唯一），如图所示(2)解：设正方体的棱长为SKIPIF1<0，正方体的体对角线即为外接球的直径，正方体的棱长即为内切球的直径，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0将正方体截成三棱锥SKIPIF1<0和多面体SKIPIF1<0两部分，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此体积较大的几何体是多面体SKIPIF1<0，其体积为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故多面体SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0.19．（2022·湖南衡阳·高二期末）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．(1)证明：EF∥平面PCD(2)若PD⊥平面ABCD，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0(1)证明：取PD的中点G，连接CG，EG，因为E，F分别为PA，BC的中点，所以SKIPIF1<0，又底面ABCD为菱形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以四边形EGCF为平行四边形，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面PCD．SKIPIF1<0平面PCD，所以EF//平面PCD．(2)解：连接SKIPIF1<0，因为PD⊥平面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，所以SKIPIF1<0，因为四边形ABCD为菱形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形，因为F为BC的中点，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．因为SKIPIF1<0，所以D（0，0，0），F(SKIPIF1<0，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），则SKIPIF1<0．设平面DEF的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．设直线AF与平面DEF所成的角为θ，则SKIPIF1<0，所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为SKIPIF1<020．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）如图1，四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为侧棱SKIPIF1<0上靠近点SKIPIF1<0的四等分点．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0(1)证明：取SKIPIF1<0上取一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由题知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)解：因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴建立如下图所示的空间直角坐标系，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易知平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，由图可知，二面角SKIPIF1<0的平面角为锐角，故二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0.21．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）图1是直角梯形SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是边长为2的菱形，并且SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为折痕将SKIPIF1<0折起，使点SKIPIF1<0到达SKIPIF1<0的位置，且SKIPIF1<0，如图2.(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0？若存在，求出直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)详见解析；(2)存在点SKIPIF1<0且为SKIPIF1<0的中点；SKIPIF1<0.(1)证明：如图所示：在图1中连接AC，交BE于O，因为四边形SKIPIF1<0是边长为2的菱形，并且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在图2中，相交直线SKIPIF1<0均与BE垂直，所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)由（1）分别以SKIPIF1<0为x，y，z建立如图所示空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0