新高考数学一轮复习第7章 第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） 练（教师版）

第06讲向量法求空间角（含探索性问题）(精练）A夯实基础一、单选题1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）将正方形SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0折起，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0且交线为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故选:A2．（2022·全国·高二课时练习）若两个半平面的法向量所成的角为SKIPIF1<0，则这个二面角的平面角的大小为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．以上都不对【答案】C解：因为两个半平面的法向量所成的角为SKIPIF1<0，所以这个二面角的平面角的大小为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：C.3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（理））如图，在正方体SKIPIF1<0中，点E是上底面SKIPIF1<0的中心，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故选：B4．（2022·全国·模拟预测（理））如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E三点共线，已知三棱锥P－ADE四个面都为直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线PC与平面PAE所成角的正弦值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C如图建立空间直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设平面PAE的法向量SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即直线PC与平面PAE所成角的正弦值为SKIPIF1<0．故选：C．5．（2022·天津天津·高二期末）已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB1D1的距离为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A如图，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则根据三角形面积得SKIPIF1<0，代入解得SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的余弦值为SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．6．（2022·吉林白山·高一期末）在三棱锥SKIPIF1<0中，PA，PB，PC互相垂直，SKIPIF1<0，M是线段BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的体积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】DM是线段BC上一动点，连接PM．因为PA，PB，PC互相垂直，所以SKIPIF1<0是直线AM与平面PBC所成的角．当PM最短，即SKIPIF1<0时，直线AM与平面PBC所成角的正切值最大，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．将三棱锥SKIPIF1<0扩充为长方体，则长方体的体对角线长为SKIPIF1<0．故三棱锥SKIPIF1<0外接球的半径SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0外接球的体积为SKIPIF1<0．所以D正确；故选：D.7．（2022·全国·高一单元测试）正方体SKIPIF1<0棱长为2，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是四边形SKIPIF1<0内一点（包含边界），且SKIPIF1<0，当三棱锥SKIPIF1<0的体积最大时，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A如图，以A为坐标原点，AB，AD，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0为定值，要想三棱锥SKIPIF1<0的体积最大，则F到底面ADE的距离最大，其中SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0故选：A8．（2022·浙江·模拟预测）如图，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．现将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，当二面角SKIPIF1<0处于SKIPIF1<0过程中，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D设向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角大小为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点E，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为直线夹角范围为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值范围是SKIPIF1<0．故选：D．二、多选题9．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的法向量分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则二面角SKIPIF1<0的大小可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD由已知可得SKIPIF1<0，因此，二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：AD.10．（2022·湖北十堰·高二阶段练习）如图，在多面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是正方形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的一个动点（含端点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则下列说法正确的是（

）A．存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．存在点SKIPIF1<0，使得异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0C．三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值是SKIPIF1<0D．当点SKIPIF1<0自SKIPIF1<0向SKIPIF1<0处运动时，二面角SKIPIF1<0的平面角先变小后变大【答案】AD解：如图，建立空间直角坐标系，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0点的位置，故选项A正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0无实数解，故选项B错误；连结SKIPIF1<0,SKIPIF1<0当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点时，SKIPIF1<0面积最大，SKIPIF1<0最大，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选项C错误；过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线交于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，所以SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆上运动，所以SKIPIF1<0先变大后变小，故二面角SKIPIF1<0的平面角先变小后变大，故选项D正确.故选：AD.三、填空题11．（2022·全国·高二课时练习）在如图所示的正方体SKIPIF1<0中，E是SKIPIF1<0的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为___________.【答案】SKIPIF1<0解：以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，设正方体SKIPIF1<0中棱长为2，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．12．（2022·四川绵阳·高二期末（理））在正方体SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，点Р在侧面SKIPIF1<0(包括边界)上运动，满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0记直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是_____________【答案】SKIPIF1<0如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则SKIPIF1<0，由题可设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一个法向量可取SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题13．（2022·上海·复旦附中高二期末）如图所示，SKIPIF1<0是棱长为1的正方体.(1)设SKIPIF1<0的重心为O，求证：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)设E､F分别是棱SKIPIF1<0､SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，M为棱SKIPIF1<0的中点，若异面直线SKIPIF1<0与EF所成的角的余弦值为SKIPIF1<0，求a的值.【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0．(1)设SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，首先SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等边SKIPIF1<0的中心也是重心，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，(2)如图，以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（负值舍去）．14．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）如图，SKIPIF1<0垂直于梯形SKIPIF1<0所在平面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为矩形．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的大小；(3)在线段SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的大小为SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的长；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0(3)存在，SKIPIF1<0(1)证明：以SKIPIF1<0为原点，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，由题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)设平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由图可知二面角SKIPIF1<0为锐二面角，二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0；(3)设存在点SKIPIF1<0满足条件，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的大小为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0点和SKIPIF1<0点重合，故在线段SKIPIF1<0上存在一点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．B能力提升1．（多选）（2022·河北承德·高一期末）如图，在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为面对角线SKIPIF1<0上的一个动点，则（

）A．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值B．线段SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．线段SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0【答案】ABD易得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为定值，又SKIPIF1<0为定值，所以三棱锥SKIPIF1<0即三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值，故A正确．对于B,如图所示,以SKIPIF1<0为坐标原点,SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴,SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴,SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴,建立空间直角坐标系,则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解之得SKIPIF1<0当SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的四等分点时，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.故B正确对于C，设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0得SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0取SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不合题意SKIPIF1<0线段SKIPIF1<0上不存在点SKIPIF1<0,使平面SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0，故C错误．对于D，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．故D正确．故选：ABD2．（2022·广东汕头·二模）如图，在正方体SKIPIF1<0中，点P在线段SKIPIF1<0上运动，则（

）A．直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值C．异面直线AP与SKIPIF1<0所成角的取值范围是SKIPIF1<0D．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值为SKIPIF1<0【答案】AB建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.A：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此本选项结论正确；B：侧面SKIPIF1<0的对角线交点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为定值，因此本选项结论正确；C：SKIPIF1<0，设异面直线AP与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上所述：SKIPIF1<0，所以本选项结论不正确；D：设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为：SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最小值，最小值为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值为SKIPIF1<0，因此本选项结论不正确，故选：AB3．（2022·全国·高三专题练习）如图，已如平面四边形ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．沿直线AC将SKIPIF1<0翻折成SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________；当平面SKIPIF1<0平面ABC时，则异面直线AC与SKIPIF1<0所成角余弦值是___________．【答案】

2

SKIPIF1<0解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴三角形ABC为等腰三角形取AC的中点O，则OB⊥AC，以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当平面SKIPIF1<0平面ABC时，SKIPIF1<0在yoz平面上，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设异面直线AC与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，异面直线AC与SKIPIF1<0所成角余弦值是SKIPIF1<0.故答案为：2；SKIPIF1<0．4．（2022·江苏·高三专题练习）如图，在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，现将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为____________；当SKIPIF1<0时，则二面角SKIPIF1<0的余弦值为__________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0．解：在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又由在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以取SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，因为二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.C综合素养1．（2022·江苏南通·高二期末）如图，在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上．(1)当SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0中点时，求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离；(2)若二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.(2)解：设点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，易知平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，故SKIPIF1<0.2．（2022·广东·执信中学高一阶段练习）已知等边△SKIPIF1<0边长为SKIPIF1<0，△BCD中，BD=CD=1，BC=SKIPIF1<0(如图1所示)，现将B与SKIPIF1<0，C与SKIPIF1<0重合，将△SKIPIF1<0向上折起，使得AD=SKIPIF1<0(如图2所示).(1)若BC的中点O，求证：平面BCD⊥平面AOD；(2)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成SKIPIF1<0角，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由；(3)求三棱锥A—BCD的外接球的表面积.【答案】(1)证明见解析；(2)在线段AC上是存在一点E，使ED与面BCD成SKIPIF1<0角，且SKIPIF1<0.(3)SKIPIF1<0.(1)因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面BCD⊥平面AOD.(2)在线段AC上是存在一点E，使ED与面BCD成SKIPIF1<0角，且SKIPIF1<0.作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，因为平面BCD⊥面AOD，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面AOD，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且三角形SKIPIF1<0为等腰直角三角形，且直角三角形SKIPIF1<0为等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0就是SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0为锐角，故SKIPIF1<0.(3)将三棱锥A—BCD补形为棱长为SKIPIF1<0的正方体，如图：则三棱锥A—BCD的外接球的半径为SKIPIF1<0，所以三棱锥A—BCD的外接球的表面积为SKIPIF1<0.3．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，SKIPIF1<0底面ABCD，M为线段PC的中点，SKIPIF1<0，N为线段BC上的动点．(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0(2)当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)点N在线段BC的中点(1)证明：因为SKIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0底面ABCD，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，M为线段PC的中点，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，(2)当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，理由如下：因为SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0两两垂直，所以以SKIPIF1<0为原点，以SKIPIF1<0所在的直线分别为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，如图所示，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°4．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在边上为4的菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．沿SKIPIF1<0将SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0的位置，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到如图2所示的五棱锥SKIPIF1<0．(1)在翻折过程中是否总有平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？证明你的结论；(2)当四棱锥SKIPIF1<0体积最大时，求直线SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；(3)在（2）的