新高考数学一轮复习第8章 第06讲 双曲线 精练（教师版）

第06讲双曲线(精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为动点，已知直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的斜率之积为定值SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的轨迹是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：设动点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的斜率之积为定值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简可得，SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0.故选：C.2．已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为F，则点F到双曲线的一条渐近线的距离为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C由题意得SKIPIF1<0，所以双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为右焦点SKIPIF1<0，所以点F到一条渐近线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.故选：C3．已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．2或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C由题设，渐近线与x轴夹角SKIPIF1<0可能为30°或60°，当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；所以双曲线的离心率为2或SKIPIF1<0.故选：C4．若双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C设双曲线SKIPIF1<0、椭圆SKIPIF1<0的焦距分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，离心率分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，椭圆SKIPIF1<0的焦点在SKIPIF1<0轴上，则SKIPIF1<0.故选：C.5．过双曲线SKIPIF1<0的左焦点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线，切点为SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交双曲线右支于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BSKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，设SKIPIF1<0是双曲线的右焦点，如图，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，由双曲线定义知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是圆切线，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：B．6．设SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0为正三角形，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的焦距为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0【答案】A由题可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以双曲线定义可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故A对B错；所以SKIPIF1<0，C错误；SKIPIF1<0，D错误.故选：A7．设点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左､右两焦点，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的右支上的任意一点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值可能是（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．5 D．SKIPIF1<0【答案】B设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，由题可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B.8．已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的右焦点，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为双曲线左支上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B∵点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的右焦点，∴点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，∴

SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为双曲线左支上的动点，由双曲线的性质可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值为-40，故选：B.二、多选题9．双曲SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的（

）A．顶点相同 B．焦点相同C．离心率相同 D．渐近线相同【答案】CD由SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，顶点不同，A错，对SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，渐近线为SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，渐近线为SKIPIF1<0，由此判断B错，CD正确.故选：CD10．已知双曲线C：SKIPIF1<0(a>0，b>0)与直线y=kx交于A，B两点，点P为C上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，C的左、右焦点分别为F1，F2．若kPASKIPIF1<0kPB=SKIPIF1<0，且C的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（

）A．a=2B．C的离心率为SKIPIF1<0C．若PF1⊥PF2，则SKIPIF1<0PF1F2的面积为1D．若SKIPIF1<0PF1F2的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0PF1F2为钝角三角形【答案】ACD设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故双曲线C的渐近线方程SKIPIF1<0，因为焦点(c，0)到渐近线SKIPIF1<0的距离为1，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，故A正确，B错误．对于C，不妨设P在右支上，记SKIPIF1<0则SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去），所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故C正确；对于D，设P(x0，y0)，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0带入C：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,由于对称性，不妨取P得坐标为(SKIPIF1<0，2)，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以∠PF2F1为钝角，所以SKIPIF1<0PF1F2为钝角三角形，故D正确.故选：ACD.三、填空题11．已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等轴双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于___________.【答案】SKIPIF1<0解：∵双曲线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，焦距SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，①又∵点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，平方得SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②，得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.12．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0的左右焦点，过SKIPIF1<0的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若SKIPIF1<0，则双曲线的渐近线方程为______．【答案】SKIPIF1<0如图，因为SKIPIF1<0，所以AB⊥SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由双曲线定义可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由勾股定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故渐近线方程为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0四、解答题13．如图，若SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的两个焦点.（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且SKIPIF1<0，试求SKIPIF1<0的面积.【答案】（1）10或22；（2）SKIPIF1<0.解：（1）SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的两个焦点，则SKIPIF1<0，点M到它的一个焦点的距离等于16，设点SKIPIF1<0到另一个焦点的距离为SKIPIF1<0，则由双曲线定义可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0到另一个焦点的距离为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）P是双曲线左支上的点，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为直角三角形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.14．解答下列两个小题：（1）双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0离心率为SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0的方程；（2）双曲线SKIPIF1<0实轴长为2，且双曲线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的焦点相同，求双曲线SKIPIF1<0的标准方程．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的方程即为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0坐标代入得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以，双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）椭圆SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，设双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以，双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．B能力提升1．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点SKIPIF1<0发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点SKIPIF1<0.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为其左、右焦点，若从右焦点SKIPIF1<0发出的光线经双曲线上的点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0反射后，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C易知SKIPIF1<0共线，SKIPIF1<0共线，如图，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C．2．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0的上顶点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,曲线SKIPIF1<0和椭圆SKIPIF1<0有相同焦点，且双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的一个公共点，若SKIPIF1<0，则（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B解：如图所示，设双曲线的标准方程为：SKIPIF1<0，半焦距为SKIPIF1<0.∵椭圆SKIPIF1<0的上顶点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.不妨设点SKIPIF1<0在第一象限，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.两边同除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故选：B3．已知双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，实轴长为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的左支上，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的一条渐近线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0时，该双曲线的渐近线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D因为双曲线SKIPIF1<0的实轴长为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由双曲线的定义可得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0三点共线时取等号，如图，SKIPIF1<0与渐近线SKIPIF1<0垂直时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以双曲线的渐近线方程为：SKIPIF1<0，故选：D.4．已知SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点，点SKIPIF1<0在双曲线的右支上，点SKIPIF1<0是平面内一定点.若对任意实数SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的渐近线平行，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A∵双曲线C：SKIPIF1<0，∴双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，∵对任意实数m，直线SKIPIF1<0与双曲线C的渐近线平行，∴直线SKIPIF1<0与双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0平行，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：A.C综合素养1．已知双曲线SKIPIF1<0的离心率等于SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在双曲线上.(1)求双曲线的方程；(2)若双曲线的左顶点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，P为双曲线右支上任意一点，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)-4(1)依题SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故双曲线的方程为SKIPIF1<0.(2)由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0