新高考数学一轮复习第8章 第05讲 椭圆 精讲（教师版）

第05讲椭圆(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：椭圆定义的应用角度1：利用椭圆定义求轨迹方程角度2：利用椭圆定义解决焦点三角形问题角度3：利用椭圆定义求最值题型二：椭圆的标准方程题型三：椭圆的简单几何性质角度1：椭圆的长轴、短轴、焦距角度2：求椭圆的离心率角度3：与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆知识点一：椭圆的定义平面内一个动点SKIPIF1<0到两个定点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的距离之和等于常数SKIPIF1<0，这个动点SKIPIF1<0的轨迹叫椭圆.这两个定点（SKIPIF1<0,SKIPIF1<0）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（SKIPIF1<0）叫作椭圆的焦距.说明：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的轨迹为线段SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的轨迹无图形定义的集合语言表述集合SKIPIF1<0.知识点二：椭圆的标准方程和几何性质1、椭圆的标准方程焦点位置焦点在SKIPIF1<0轴上焦点在SKIPIF1<0轴上标准方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）图象焦点坐标SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的关系SKIPIF1<0范围SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0轴长短轴长＝SKIPIF1<0，长轴长＝SKIPIF1<0焦点SKIPIF1<0SKIPIF1<0焦距SKIPIF1<0对称性对称轴：SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴对称中心：原点离心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知识点三：常用结论1、与椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0共焦点的椭圆方程可设为：SKIPIF1<0SKIPIF1<02、有相同离心率：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，焦点在SKIPIF1<0轴上）或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，焦点在SKIPIF1<0轴上）3、椭圆SKIPIF1<0的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（4）椭圆通经长=SKIPIF1<0第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试1．（2022·江苏·高二）P是椭圆SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是该椭圆的两个焦点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．3 C．5 D．9【答案】A解：对椭圆方程SKIPIF1<0变形得SKIPIF1<0，易知椭圆长半轴的长为4，由椭圆的定义可得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：A.2．（2022·湖南·周南中学高二期末）已知椭圆C：SKIPIF1<0的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C由题意椭圆的长轴为SKIPIF1<0，由椭圆定义知SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故选：C3．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：因为椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：C.4．（2022·上海静安·二模）已知椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0的一个焦点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0由焦点坐标SKIPIF1<0知焦点在SKIPIF1<0轴上，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.5．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且SKIPIF1<0垂直于x轴，则SKIPIF1<0周长的最大值为___________.【答案】12如图.设SKIPIF1<0与x轴相交于点C，椭圆SKIPIF1<0右焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0周长为SKIPIF1<0故SKIPIF1<0的周长的最大值为12，故答案为：12.第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析题型一：椭圆定义的应用角度1：利用椭圆定义求轨迹方程典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为动点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0点的轨迹方程为______．【答案】SKIPIF1<0.根据正弦定理，由SKIPIF1<0，所以点A点的轨迹是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点的椭圆，不包括两点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以A点的轨迹方程为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.例题2．（2022·全国·高二专题练习）方程SKIPIF1<0化简的结果是___________．【答案】SKIPIF1<0解：∵SKIPIF1<0，故令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴方程表示的曲线是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点，长轴长SKIPIF1<0的椭圆，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例题3．（2022·河北·深州长江中学高二期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上一动点，线段SKIPIF1<0的垂直平分线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹方程为______________．【答案】SKIPIF1<0如图所示，圆SKIPIF1<0的圆心坐标为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的垂直平分线上的点，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据椭圆的定义可知，点SKIPIF1<0的轨迹为以SKIPIF1<0为焦点的椭圆，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，故点P的轨迹方程为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．例题4．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期中（文））已知两圆SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0内部且和圆SKIPIF1<0相内切．和圆SKIPIF1<0相外切，则动圆圆心SKIPIF1<0的轨迹方程为_________．【答案】SKIPIF1<0圆SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0设圆心SKIPIF1<0，半径为r，动圆M在圆SKIPIF1<0内部，且动圆M与圆SKIPIF1<0相内切，与圆SKIPIF1<0相外切，所以SKIPIF1<0，①＋②可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则动点M满足椭圆定义，SKIPIF1<0，焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以椭圆方程为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0同类题型归类练1．（2022·广东·广州市第六十五中学高二期中）已知定圆SKIPIF1<0，动圆C满足与SKIPIF1<0外切且与SKIPIF1<0内切，则动圆圆心C的轨迹方程为__________.【答案】SKIPIF1<0由圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0可得圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，由圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0可得圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，设圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，因为动圆SKIPIF1<0同时与圆SKIPIF1<0外切和圆SKIPIF1<0内切，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点，SKIPIF1<0的椭圆，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以动圆的圆心SKIPIF1<0的轨迹方程为：SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.2．（2022·安徽·六安一中高二期中）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0同时与圆SKIPIF1<0外切和圆SKIPIF1<0内切，则动圆的圆心SKIPIF1<0的轨迹方程为________．【答案】SKIPIF1<0由圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0可得圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，由圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0可得圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，设圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，因为动圆SKIPIF1<0同时与圆SKIPIF1<0外切和圆SKIPIF1<0内切，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点，SKIPIF1<0的椭圆，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以动圆的圆心SKIPIF1<0的轨迹方程为：SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.3．（2022·浙江·金华市江南中学高二期中）已知点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上动点，SKIPIF1<0.若线段SKIPIF1<0的中垂线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹方程为____________.【答案】SKIPIF1<0如图所示，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，可得圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，因为线段SKIPIF1<0的中垂线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，根据椭圆的定义，可得N是以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为焦点的椭圆，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.4．（2022·全国·高二课时练习）已知三角形ABC的周长是8，顶点B，C的坐标分别为SKIPIF1<0，（1，0），则顶点A的轨迹方程为________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0是以顶点SKIPIF1<0为焦点的椭圆，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆方程SKIPIF1<0，因为三点SKIPIF1<0不能共线，所以SKIPIF1<0，则顶点A的轨迹方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0角度2：利用椭圆定义解决焦点三角形问题典型例题例题1．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）设SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，SKIPIF1<0是椭圆上一点，且SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0的面积为（

）A．6 B．SKIPIF1<0 C．8 D．SKIPIF1<0【答案】B解：由椭圆SKIPIF1<0的方程可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又因为，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0故选：B例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为椭圆上动点，则SKIPIF1<0的值是______；SKIPIF1<0的取值范围是______．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0对椭圆SKIPIF1<0，其SKIPIF1<0，焦点坐标分别为SKIPIF1<0，由椭圆定义可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0；设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围为：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.例题3．（2022·青海青海·高二期末（文））已知椭圆的方程为SKIPIF1<0，过椭圆中心的直线交椭圆于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0是椭圆的右焦点，则SKIPIF1<0的周长的最小值为______．【答案】10解：椭圆的方程为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则由椭圆的中心对称性可得SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0，当AB位于短轴的端点时，SKIPIF1<0取最小值，最小值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：10同类题型归类练1．（2022·江苏·高二）已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：由题意，椭圆方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以焦点SKIPIF1<0，又由椭圆的定义，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选:C．2．(多选）（2022·广东·仲元中学高二期中）双曲线SKIPIF1<0的左，右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P在C上.若SKIPIF1<0是直角三角形，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．2【答案】AC解：由双曲线SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.根据双曲线的对称性只需考虑SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，由双曲线的定义可知，SKIPIF1<0，由勾股定理可得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0综上所述，SKIPIF1<0的面积为4或SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0.3．（2022·重庆八中模拟预测）已知SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，直线SKIPIF1<0与椭圆交于P，Q两点，则SKIPIF1<0的周长为______．【答案】SKIPIF1<0解：椭圆SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过左焦点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<04（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左右焦点，倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0，且与椭圆交于SKIPIF1<0两点，则△SKIPIF1<0的周长为___．【答案】20由椭圆方程知：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又△ABF2的周长是SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：20．7．（2022·全国·高二专题练习）已知点SKIPIF1<0在焦点为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的椭圆SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为______．【答案】SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由椭圆的定义可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.角度3：利用椭圆定义求最值典型例题例题1．（2022·四川遂宁·高二期末（理））已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左焦点，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上任意一点，点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．3 B．5 C．SKIPIF1<0 D．13【答案】B因为椭圆SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆的右焦点为SKIPIF1<0，由椭圆的定义得：SKIPIF1<0，当点P在点SKIPIF1<0处，取等号，所以SKIPIF1<0的最大值为5，故选：B.例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左焦点，SKIPIF1<0是椭圆上任意一点，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】DSKIPIF1<0，设椭圆的右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的正上方时，等号成立.故选：D例题3．（2022·全国·高二专题练习）设SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆的两个焦点，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A在椭圆SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由椭圆定义可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，因此，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：A.同类题型归类练1．（2022·全国·高二课时练习）已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左焦点，P是此椭圆上的动点，SKIPIF1<0是一定点，则SKIPIF1<0的最大值为______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0根据题意椭圆方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，如图，根据椭圆定义可得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0点运动到SKIPIF1<0的延长线和椭圆交点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<02．（2022·全国·高二专题练习）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0内的两个点，M是椭圆上的动点，则SKIPIF1<0的最大值为______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0依题意，椭圆方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是椭圆的右焦点，设左焦点为SKIPIF1<0，根据椭圆的定义可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型二：椭圆的标准方程典型例题例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知定点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和动点SKIPIF1<0．(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点SKIPIF1<0的轨迹及其方程．条件①：SKIPIF1<0条件②：SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，求：动点SKIPIF1<0的轨迹及其方程．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.(1)选择条件①：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点的椭圆，设其方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故其方程为：SKIPIF1<0.即选择条件①，点SKIPIF1<0的轨迹是椭圆，其方程为SKIPIF1<0；选择条件②：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0的轨迹是线段SKIPIF1<0，其方程为SKIPIF1<0.(2)因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，此时动点SKIPIF1<0不存在，没有轨迹和方程；当SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0，由（1）可知，此时动点SKIPIF1<0的轨迹是线段SKIPIF1<0，其方程为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0，此时点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点的椭圆，其方程为SKIPIF1<0.综上所述：当SKIPIF1<0时，动点SKIPIF1<0没有轨迹和方程；当SKIPIF1<0时，动点SKIPIF1<0的轨迹是线段SKIPIF1<0，其方程为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，动点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点的椭圆，其方程为SKIPIF1<0.例题2．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））（1）求焦点在SKIPIF1<0轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；（2）求离心率SKIPIF1<0，焦点在SKIPIF1<0轴，且经过点SKIPIF1<0的双曲线标准方程.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.（1）设椭圆的标准方程为SKIPIF1<0.由题意知：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.所以椭圆的标准方程为SKIPIF1<0.（2）设双曲线的标准方程为SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0所以双曲线的标准方程为SKIPIF1<0.例题3．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（理））（1）求焦点在SKIPIF1<0轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；（2）求离心率SKIPIF1<0，经过点SKIPIF1<0的双曲线标准方程．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0（1）由题意得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，椭圆标准方程为SKIPIF1<0（2）①若双曲线焦点在x轴上，设其方程为SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故双曲线标准方程为SKIPIF1<0②若双曲线焦点在SKIPIF1<0轴上，设其方程为SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，此时将SKIPIF1<0代入后方程无解综上，双曲线标准方程为SKIPIF1<0同类题型归类练1．（2022·江苏·高二）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)经过点SKIPIF1<0，且与椭圆SKIPIF1<0有共同的焦点；(3)经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．【答案】(1)答案见解析(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(1)解：当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若焦点在SKIPIF1<0轴上，则标准方程为SKIPIF1<0；若焦点在SKIPIF1<0轴上，则标准方程为SKIPIF1<0．(2)解：椭圆SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故它的焦点为SKIPIF1<0．设所求椭圆的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，把点SKIPIF1<0代入，SKIPIF1<0,求得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0（舍去），故要求的椭圆的方程为SKIPIF1<0．(3)解：SKIPIF1<0椭圆经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，设所求椭圆的方程为SKIPIF1<0，把点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所求椭圆的方程为SKIPIF1<0．2．（2022·江苏·高二）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上；(2)经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(3)一个焦点为SKIPIF1<0，一个顶点为SKIPIF1<0；(4)一个焦点为SKIPIF1<0，长轴长为4；(5)一个焦点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0；(6)一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为6，2.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0；(5)SKIPIF1<0；(6)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.(1)由题设，SKIPIF1<0，又焦点在y轴上，故椭圆标准方程为SKIPIF1<0；(2)设椭圆方程为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在椭圆上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故椭圆标准方程为SKIPIF1<0.(3)由题设，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又焦点为SKIPIF1<0所以椭圆标准方程为SKIPIF1<0.(4)由题设，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又焦点为SKIPIF1<0所以椭圆标准方程为SKIPIF1<0.(5)由题设，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又焦点为SKIPIF1<0所以椭圆标准方程为SKIPIF1<0.(6)由题设，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以椭圆标准方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.题型三：椭圆的简单几何性质角度1：椭圆的长轴、短轴、焦距典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）椭圆SKIPIF1<0的长轴长为______．【答案】SKIPIF1<0依题意SKIPIF1<0是椭圆方程，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，长轴的长为SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0.例题2．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0焦点相同，则实数SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且焦点在SKIPIF1<0轴上由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共焦点，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例题3．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二开学考试（文））已知椭圆SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆上一动点，则SKIPIF1<0的最大值为____.【答案】SKIPIF1<0设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴长为SKIPIF1<0，短轴长为SKIPIF1<0，则椭圆上任意一点SKIPIF1<0到椭圆中心SKIPIF1<0的距离的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A不妨设椭圆的焦点在SKIPIF1<0轴上，则该椭圆的标准方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知曲线SKIPIF1<0的焦距为8，则SKIPIF1<0___________.【答案】25或SKIPIF1<0解：由题意知半焦距SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则曲线C为椭圆，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，曲线C为双曲线，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故a的值为25或SKIPIF1<0.故答案为：25或SKIPIF1<03．（2022·江苏·高二课时练习）求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0．【答案】(1)长轴长为SKIPIF1<0，短轴长为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，顶点坐标为SKIPIF1<0，焦点坐标为SKIPIF1<0；(2)长轴长为SKIPIF1<0，短轴长为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，顶点坐标为SKIPIF1<0，焦点坐标为SKIPIF1<0；(3)长轴长为10，短轴长为8，离心率为SKIPIF1<0，顶点坐标为SKIPIF1<0，焦点坐标为SKIPIF1<0；(4)长轴长为8，短轴长为4，离心率为SKIPIF1<0，顶点坐标为SKIPIF1<0，焦点坐标为SKIPIF1<0.(1)由椭圆方程知，SKIPIF1<0，所以椭圆的长轴长为SKIPIF1<0，短轴长为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，顶点坐标为SKIPIF1<0，焦点坐标为SKIPIF1<0；(2)由椭圆方程知，SKIPIF1<0，所以椭圆的长轴长为SKIPIF1<0，短轴长为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，顶点坐标为SKIPIF1<0，焦点坐标为SKIPIF1<0；(3)椭圆方程可变形为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆的长轴长为10，短轴长为8，离心率为SKIPIF1<0，顶点坐标为SKIPIF1<0，焦点坐标为SKIPIF1<0；(4)椭圆方程可变形为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，离心率为SKIPIF1<0，顶点坐标为SKIPIF1<0，焦点坐标为SKIPIF1<0.角度2：求椭圆的离心率典型例题例题1．（2022·贵州黔西·高二期末（理））已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：因为椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0.故选：C.例题2．（2022·江西上饶·高二期末（理））已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C在椭圆SKIPIF1<0中，由椭圆的定义可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0.故选：C例题3．（2022·全国·高二专题练习）椭圆SKIPIF1<0的两焦点为SKIPIF1<0，若椭圆SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0使SKIPIF1<0为等腰直角三角形，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，则点SKIPIF1<0位于椭圆的上下顶点，则满足：SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，则满足SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故选：C例题4．（2022·重庆一中高一期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的左，右焦点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0为等腰三角形，且顶角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D解：依题意设椭圆方程为SKIPIF1<0，①若SKIPIF1<0为等腰三角形SKIPIF1<0的顶角，则SKIPIF1<0在椭圆的上（下）顶点，如下图所示：则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）为等腰三角形SKIPIF1<0的顶角，不妨取SKIPIF1<0为顶角，如下图所示：即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）综上可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：D．例题5．（2022·广东汕尾·高二期末）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0_________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为锐角，所以SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0同