新高考数学一轮复习第9章 第04讲 拓展一 非线性经验回归方程 精讲（教师版）

第04讲拓展一：非线性经验回归方程(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析题型一：指数型题型二：对数型题型三：幂函数型第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆知识点一：非线性经验回归当经验回归方程并非形如SKIPIF1<0(SKIPIF1<0）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总结如下：曲线方程变换公式变换后的线性关系式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0建立非线性经验回归模型的基本步骤1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；2.由经验确定非线性经验回归方程的模型；3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）；4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；5.消去新元，得到非线性经验回归方程；6.得出结果后分析残差图是否有异常．知识点二：非线性经验回归类型非线性回归方程主要分为三大类，指数型，对数型，幂函数型，做题关键在于变量之间的转换1、指数型：①类型一，SKIPIF1<0，处理方式是对方程两边取对数（具体取什么对数观察参考数据，自然对数和常用对数用的较多），比如e为底数，取ln，则现在方程变为SKIPIF1<0，，将SKIPIF1<0进行换元，SKIPIF1<0，则非线性回归方程变成线性回归直线方程SKIPIF1<0；②类型二，SKIPIF1<0，此为类型一的变式，多了常数项部分，常见的变化形式为SKIPIF1<0（具体取什么对数观察参考数据，自然对数和常用对数用的较多），令SKIPIF1<0，则非线性回归方程变成线性回归直线方程SKIPIF1<02、对数型：①类型一，形如SKIPIF1<0，则令SKIPIF1<0，则非线性回归方程变成线性回归直线方程SKIPIF1<0②类型二，SKIPIF1<0，两边同时消掉对数，（取什么底数判断方法同上）取SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则非线性回归方程变成线性回归直线方程SKIPIF1<03、幂函数型：①类型一，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等等，处理方式是将方程中幂函数部分换成一个新变量，比如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后将非线性回归方程变成线性回归直线方程SKIPIF1<0②类型二，SKIPIF1<0，做法同指数型，变化方式为两边取对数（底数判断方式同上）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则非线性回归方程变成线性回归直线方程SKIPIF1<0第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析题型一：指数型典型例题例题1．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）用模型SKIPIF1<0拟合一组数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，得变换后的线性回归方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．12 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．7【答案】B【详解】由已知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由题意，SKIPIF1<0满足线性回归方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时线性回归方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可将此式子化为指数形式SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0，因为模型为模型SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B.例题2．（2022·广西桂林·模拟预测（文））一只红铃虫产卵数SKIPIF1<0和温度SKIPIF1<0有关，现测得一组数据SKIPIF1<0，可用模型SKIPIF1<0拟合，设SKIPIF1<0，其变换后的线性回归方程为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为自然常数，则SKIPIF1<0________.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0变换后，得到SKIPIF1<0，根据题意SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是回归方程为SKIPIF1<0一定经过SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例题3．（2022·河南商丘·高二期末（文））SKIPIF1<0网络是指第五代移动网络通讯技术，它的主要特点是传输速度快，峰值传输速度可达每秒钟数十SKIPIF1<0.作为新一代移动通讯技术，它将要支持的设备远不止智能手机，而是会扩展到未来的智能家居，智能穿戴等设备.某科技创新公司基于领先技术的支持，经济收入在短期内逐月攀升，该公司1月份至6月份的经济收入SKIPIF1<0（单位：万元）关于月份SKIPIF1<0的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.月份SKIPIF1<0123456收入SKIPIF1<0611233772124(1)根据散点图判断，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0（SKIPIF1<0均为常数）哪一个更适合作为经济收入SKIPIF1<0关于月份SKIPIF1<0的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？(2)根据（1）的结果及表中数据，求出SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程（结果保留两位小数）；(3)根据（2）所求得的回归方程，预测该公司7月份的经济收入（结果保留两位小数）.参考公式及参考数据：回归方程SKIPIF1<0中斜率和截距的最小二乘估计公式为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03.545.53.3417.5393.510.63239.85其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.【答案】(1)SKIPIF1<0更适合(2)SKIPIF1<0(3)239.85万元（1）由散点图可知，SKIPIF1<0更适合作为经济收入y关于月份x的回归方程类型.（2）SKIPIF1<0的两边取自然对数，得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以经济收入y关于月份x的回归方程为SKIPIF1<0.（3）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.预测该公司7月份的经济收入约为239.85万元.例题4．（2022·福建三明·高二期末）在国家大力发展新能源汽车产业的政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．已知某地区2014年底到2021年底新能源汽车保有量的数据统计表如下：年份（年）20142015201620172018201920202021年份代码SKIPIF1<012345678保有量SKIPIF1<0/千辆1.952.924.386.589.8715.0022.5033.70(1)根据统计表中的数据判断，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0哪一个更适合作为SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的经验回归方程（给出判断即可，不必说明理由），并根据你的判断结果建立SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的经验回归方程；(2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同．若2021年底该地区传统能源汽车保有量为500千辆，预计到2026年底传统能源汽车保有量将下降10%．试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．参考公式：对于一组数据（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），…，（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），其经验回归直线SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为SKIPIF1<0；【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车(1)根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．(2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r，依题意得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，设从2021年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y千辆，则有SKIPIF1<0，设从2021年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故从2021年底起经过7年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车．同类题型归类练1．（2022·全国·高二期末）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量SKIPIF1<0SKIPIF1<0数据作了初步处理，得到下面的散点图：由此散点图可得，下面四个回归方程类型中最适宜作为年销售量y与年宣传费x的回归方程类型是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】从散点图看出，样本点分布在开口向右的抛物线（上支）附近,上升的趋势比较平缓，因此对于A，图象是直线，不适合；对于B，SKIPIF1<0时对应曲线是开口向上的抛物线，右侧部分上升趋势较快，不适合；对于C，SKIPIF1<0时对应曲线是开口向右的抛物线，上支部分上升趋势较平缓，适合题意；对于D,对应曲线是指数型曲线，SKIPIF1<0时上升趋势是越来越快，不适合，故选：C．2．（2022·全国·高二课时练习）一组数据如下表所示：SKIPIF1<01234SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知变量SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则预测SKIPIF1<0的值可能为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】将式子两边取对数，得到SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，根据已知表格数据，得到SKIPIF1<0的取值对照表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由上述表格可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用回归直线过样本中心点，即可得SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入，解得SKIPIF1<0.故选：C.3．（2022·黑龙江·尚志市尚志中学高二阶段练习）近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用SKIPIF1<0表示活动推出的天数，SKIPIF1<0表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：SKIPIF1<01234567SKIPIF1<0611213466101196根据以上数据，绘制了如图1所示的散点图.参考数据：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<062.141.54253550.123.47其中SKIPIF1<0参考公式：对于一组数据SKIPIF1<0，其回归直线SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估计分别为SKIPIF1<0.(1)根据散点图判断，在推广期内，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0(SKIPIF1<0均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次SKIPIF1<0关于活动推出天数SKIPIF1<0的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果及表1中的数据，求SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；【答案】(1)SKIPIF1<0适宜(2)SKIPIF1<0，3470(3)1.66元(1)根据散点图判断，SKIPIF1<0适宜作为扫码支付的人数SKIPIF1<0关于活动推出天数SKIPIF1<0的回归方程类型;(2)∵SKIPIF1<0，两边同时取常用对数得:SKIPIF1<0;设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，把样本中心点SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程式:SKIPIF1<0;把SKIPIF1<0代入上式:SKIPIF1<0;活动推出第8天使用扫码支付的人次为SKIPIF1<0;4．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（理））为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：天数x/天123456繁殖个数y/个612254995190(1)用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，SKIPIF1<0与y=SKIPIF1<0哪一个作为繁殖的个数y关于时间x变化的回归方程类型为最佳？（给出判断即可，不必说明理由）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03.562．833.5317.5596.50512.04其中SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(2)根据（1）的判断最佳结果及表中的数据，建立y关于x的回归方程．参考公式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】(1)选y=SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)由散点图看出样本点分布在曲线周围，不是直线周围，于是选择y=SKIPIF1<0(2)由（1）可知y=SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0则有SKIPIF1<0题型二：对数型典型例题例题1．（2022·河南郑州·高二期末（文））目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制．为了应对最新型的奥密克戎病毒，各大药物企业积极投身到新疫苗的研发中．某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标SKIPIF1<0的数量SKIPIF1<0与连续用药天数SKIPIF1<0具有相关关系．刚开始用药时，指标SKIPIF1<0的数量SKIPIF1<0变化明显，随着天数增加，SKIPIF1<0的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示连续用药SKIPIF1<0天，SKIPIF1<0表示相应的临床疗效评价指标SKIPIF1<0的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的两个回归模型：模型①：由最小二乘公式可求得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的线性回归方程：SKIPIF1<0；模型②：由样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：SKIPIF1<0的附近，令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)根据所给的统计量，求模型②中SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程；(2)根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠；(3)根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，临床疗效评价指标SKIPIF1<0相对于用药半个月的变化情况（一个月以30天计，结果保留两位小数）．回归模型模型①模型②残差平方和SKIPIF1<0102.2836.19参考数据：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析(3)用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月提高17.33(1)解：由题意，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，模型②中y关于x的回归方程SKIPIF1<0；(2)由表格中的数据，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以模型①的SKIPIF1<0小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好；(3)根据模型②，当连续用药30天后，SKIPIF1<0，连续用药15天后，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月提高17.33．例题2．（2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测（理））受北京冬奥会的影响，更多人开始关注滑雪运动，但由于室外滑雪场需要特殊的气候环境，为了满足日益增长的消费需求，国内出现了越来越多的室内滑雪场.某投资商抓住商机，在某大学城附近开了一家室内滑雪场.经过6个季度的经营，统计该室内滑雪场的季利润数据如下：第SKIPIF1<0个季度123456季利润SKIPIF1<0（万元）2.23.64.34.95.35.5根据上面的数据得到的一些统计量如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<04.30.5101.414.11.8表中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若用方程SKIPIF1<0拟合该室内滑雪场的季利润SKIPIF1<0与季度SKIPIF1<0的关系，试根据所给数据求出该方程；(2)利用（1）中得到的方程预测该室内滑雪场从第几个季度开始季利润超过6.5万元；附：线性回归方程SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.参考数据：SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)第12个；(3)分布列见解析，期望为2.（1）由SKIPIF1<0，先求y关于u的线性回归方程SKIPIF1<0.由已知数据得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以y关于u的回归方程为SKIPIF1<0，故y关于x的回归方程为SKIPIF1<0；（2）令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故预测从第12个季度开始季利润超过6.5万元；同类题型归类练1．（2022·福建省尤溪第一中学高二期末）目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制．其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中．汕头某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系．刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，3，4，5，…，10，SKIPIF1<0表示连续用药i天，SKIPIF1<0表示相应的临床疗效评价指标A的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了y关于x的两个回归模型：模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：SKIPIF1<0；模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：SKIPIF1<0的附近，令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；(2)根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠．(3)根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月的变化情况（一个月以30天计，结果保留两位小数）．回归模型模型①模型②残差平方和SKIPIF1<0102.2836.19附：样本SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，…，n）的最小二乘估计公式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；相关指数SKIPIF1<0，参考数据：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)回归模型②刻画的拟合效果更好(3)17.33(1)由题意，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，模型②中y关于x的回归方程SKIPIF1<0；(2)由表格中的数据，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以模型①的SKIPIF1<0小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好；(3)根据模型②，当连续用药30天后，SKIPIF1<0，连续用药15天后，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月提高17.33．2．（2022·全国·高二课时练习）发展扶贫产业，找准路子是关键，重庆市石柱土家族自治县中益乡华溪村不仅找准了路，还将当地打造成了种植中药材黄精的产业示范基地．通过种植黄精，华溪村村民的收入逐年递增．以下是2014年至2020年华溪村村民每户平均可支配收入的统计数据：年份2014201520162017201820192020年份代码SKIPIF1<01234567每户平均可支配收入SKIPIF1<0（千元）4152226293132根据以上数据，绘制如图所示的散点图：(1)根据散点图判断，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0哪一个更适宜作为每户平均可支配收入SKIPIF1<0（千元）关于年份代码SKIPIF1<0的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并建立SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程（结果保留1位小数）；(2)根据（1）建立的回归方程，试预测要到哪一年华溪村的每户平均可支配收入才能超过35（千元）；参考数据：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<022.71.2759235.113.28.2其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．参考公式：线性回归方程SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0更适宜作为每户平均可支配收入SKIPIF1<0（千元）关于年份代码SKIPIF1<0的回归方程模型，SKIPIF1<0；(2)到2022年每户平均可支配收入才能超过35（千元）；(3)SKIPIF1<0.(1)解：根据题中散点图，得SKIPIF1<0更适宜作为每户平均可支配收入SKIPIF1<0（千元）关于年份代码SKIPIF1<0的回归方程模型．由已知数据，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程为SKIPIF1<0(2)解：由题知，令SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故当SKIPIF1<0时，即到2022年每户平均可支配收入才能超过35（千元）．题型三：幂函数型典型例题例题1．（2022·全国·高二期末）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费SKIPIF1<0(单位：千元)对年销售量SKIPIF1<0(单位：t)的影响，对近8年的年宣传费SKIPIF1<0和年销售量SKIPIF1<0SKIPIF1<0数据作了初步处理，得到下面的散点图：由此散点图可得，下面四个回归方程类型中最适宜作为年销售量SKIPIF1<0与年宣传费SKIPIF1<0的回归方程类型是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】从散点图看出，样本点分布在开口向右的抛物线（上支）附近,上升的趋势比较平缓，因此对于A，图象是直线，不适合；对于B，SKIPIF1<0时对应曲线是开口向上的抛物线，右侧部分上升趋势较快，不适合；对于C，SKIPIF1<0时对应曲线是开口向右的抛物线，上支部分上升趋势较平缓，适合题意；对于D,对应曲线是指数型曲线，SKIPIF1<0时上升趋势是越来越快，不适合，故选：C．例题2．（2022·河南信阳·高二期末（文））设关于某产品的明星代言费SKIPIF1<0（百万元）和其销售额SKIPIF1<0（千万元），有如下表的统计表格：SKIPIF1<012345合计SKIPIF1<0（百万元）1.261.441.591.711.827.82SKIPIF1<0（百万元）2.002.994.025.006.0320.04SKIPIF1<0（百万元）3.204.806.507.508.0030.00SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表中SKIPIF1<0．(1)在坐标系中，作出销售额y关于广告费x的回归方程的散点图；(2)根据散点图指出：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0哪一个适合作销售额SKIPIF1<0关于明星代言费SKIPIF1<0的回归方程（不需要说明理由），并求出此回归方程．附：对于一组数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，其回归线SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估计分别为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)答案见解析(2)SKIPIF1<0适合，SKIPIF1<0（1）解：散点图如下：（2）根据散点图可知，SKIPIF1<0适合作销售额y关于明星代言费x的回归类方程；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是y关于w的线性回归方程，由已知条件得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故回归方程为：SKIPIF1<0例题3．（2022·四川雅安·高二期末（理））某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示：第x度y/cm0479111213作出这组数的散点图如下(1)请根据散点图判断，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第196天这株幼苗的高度（结果保留整数）．附：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

参考数据：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01402856283【答案】(1)SKIPIF1<0更适宜(2)SKIPIF1<0；预测第196天幼苗的高度大约为29cm(1)根据散点图，SKIPIF1<0更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型；(2)令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0构造新的成对数据，如下表所示：KIPIF1<01234567y0479111213容易计算，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．通过上表计算可得：因此SKIPIF1<0∵回归直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故y关于SKIPIF1<0的回归直线方程为SKIPIF1<0从而可得：y关于x的回归方程为SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以预测第196天幼苗的高度大约为29cm．例题4．（2022·辽宁·高二阶段练习）某企业积极响应“碳达峰”号召，研发出一款性能优越的新能源汽车，备受消费者青睐.该企业为了研究新能源汽车在某地区每月销售量SKIPIF1<0（单位：千辆）与月份SKIPIF1<0的关系，统计了今年前5个月该地区的销售量，得到下面的散点图及一些统计量的值.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0表中SKIPIF1<0.(1)根据散点图判断两变量SKIPIF1<0的关系用SKIPIF1<0与SKIPIF1<0哪一个比较合适？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程（SKIPIF1<0的值精确到SKIPIF1<0），并预测从今年几月份起该地区的月销售量不低于SKIPIF1<0万辆？附：对于一组数据SKIPIF1<0，其回归直线方程SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘法估计分别为SKIPIF1<0.【答案】(1)见解析(2)见解析(1)SKIPIF1<0比较合适(散点图中点的分布不是一条直线,相邻两点的纵坐标的差值是增大趋势,所以SKIPIF1<0比较合适)(2)设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0先建立y关于t的回归方程SKIPIF1<0则SKIPIF1<0所以y关于t的回归方程为SKIPIF1<0，因此y关于x的回归方程为SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故估计从今年8月份起该地区的月销售量不低于SKIPIF1<0万辆.同类题型归类练1．（2022·山东聊城·高二期末）网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，APP买菜等进入我们的生活，改变了我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻.自“国家反诈中心APP”推出后，某地区采取多措并举的推广方式，努力为人民群众构筑一道防诈反诈的“防火墙”.经统计，该地区网络诈骗月报案数与推广时间有关，并记录了经推广x个月后月报案件数y的数据.x（个）1234567y（件）891888351220200138112(1)根据以上数据，判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0SKIPIF1<0哪一个适宜作为回归方程模型？根据判断结果，求出y关于x的回归方程；(2)分析该地区一直推广下去，两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下.参考数据（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.参考公式：对于一组数据SKIPIF1<0，其回归直线SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下(1)由表中数据可得SKIPIF1<0更适宜.SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，设y关于t的线性回归方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，故y关于x的回归方程为SKIPIF1<0(2)由回归方程SKIPIF1<0可知，随x的增大，y逐渐减少，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下.2．（2022·湖北·高二期末）快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈．某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本SKIPIF1<0（单位：元）与当天揽收的快递件数即揽件量SKIPIF1<0（单位：千件）之间的关系，对该网点近SKIPIF1<0天的每日揽件量SKIPIF1<0（单位：千件）与当日收发一件快递的平均成本SKIPIF1<0（单位：元）（SKIPIF1<0）的数据进行了初步处理，得到散点图及一些统计量的值．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0表中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)根据散点图判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0哪一个更适宜作为SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的经验回归方程类型？并根据判断结果及表中数据求出SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的经验回归方程；(2)已知该网点每天的揽件量SKIPIF1<0（单位：千件）与单件快递的平均价格SKIPIF1<0（单位：元）之间的关系是SKIPIF1<0，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的经验回归方程解决以下问题：①预测该网点某天揽件量为SKIPIF1<0千件时可获得的总利润；②单件快递的平均价格SKIPIF1<0为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？附：对于一组具有线性相关关系的数据SKIPIF1<0，其经验回归直线SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估计分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0更适宜作为SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的经验回归方程类型，SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0元；②单件快递的平均价格SKIPIF1<0元时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大.(1)由散点图可知：SKIPIF1<0更适宜作为SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的经验回归方程类型；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的经验回归方程为：SKIPIF1<0.(2)设收发SKIPIF1<0千件快递获利SKIPIF1<0千元，则SKIPIF1<0；①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即该网点某天揽收SKIPIF1<0件快递可获得的总利润约为SKIPIF1<0元．②SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；SKIPIF1<0单件快递的平均价格SKIPIF1<0元时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大.3．（2022·河北承德·高二阶段练习）某制造企业从生产的产品中随机抽查了1000件，经检验，其中一等品有800件，二等品有150件，次品有50件.若销售1件该产品，一等品的利润为200元，二等品的利润为100元，次品直接销毁，亏损200元.(1)用样本估计总体，估计该制造企业随机销售1件产品的利润的期望值.(2)根据统计，该制造企业在2021年12月至2022年5月的产量SKIPIF1<0（万件）与月份编号（记2021年12月，2022年1月，SKIPIF1<0编号分别为SKIPIF1<0近似满足关系式SKIPIF1<0，相关统计量的值如下：SKIPIF1<0.根据所给的统计量，求SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程，并估计该制造企业2022年8月份的利润为多少万元.（结果精确到SKIPIF1<0）附：对于一组数据SKIPIF1<0，其回归直线SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估计分别为SKIPIF1<0【答案】(1)165元(2)SKIPIF1<0