分类加法计数原理与分步乘法计数原理（2月）（人教A版2019）（解析版）

专题07分类加法计数原理与分步乘法计数原理

一、单选题

1.某演讲比赛候选人中高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名，从每个年级中各选

1人参加市团委组织的演讲比赛，则不同的选法有

A.60种B.45种

C.30种D.12种

【试题来源】广东省云浮市2019-2020学年高二下学期期末

【答案】A

【分析】利用乘法原理可求不同的选法数.

【解析】由乘法计数原理可得共有5x4x3=60种不同的选法.故选A.

【名师点睛】本题考查乘法原理的应用，在应用计算原理计数时，注意分类还是分步，本题

属于基础题

2.若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定

义为“单重数”.例如：232,114等,则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单

重数”是

A.166B.171

C.181D.188

【试题来源】山东省博兴县第三中学2019-2020学年高二下学期5月月考

【答案】B

【分析】根据所给条件进行分析，分别求出所有“单重数”，再找到对应排序的“单重数”，即

可得解.

【解析】由题意可得不超过200的数，

两个数字一样同为0时，有100,200有2个，

两个数字一样同为1时，有110,101,112,121,113,131,一直到191,119,共18个,

两个数字一样同为2时，有122,有F个

同理，两个数字一样同为3,4,5,6,7,8,9时各1个，

综上，不超过200的“单重数”共有2+18+8=28,

其中最大的是200,较小的依次为199,191,188,181,177,171,

故第22个“单重数”为171,故选B.

【名师点睛】本题考查数字规律，考查了对新概念的理解，同时考查了逻辑推理能力，属于

基础题.

3.完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方

法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有

A.5种B.4种

C.9种D.45种

【试题来源】重庆市部分区2019-2020学年高二下学期期末联考

【答案】C

【分析】根据加法计算原理，分成两类方法相加可得选项.

【解析】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；

会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择;两者相加一共有9种选择，

故选C.

【名师点睛】本题考查分类加法计数原理，属于基础题.

4.为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大

荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光

盘行动”，则不同的选取方法有

A.48种B.36种

C.24种D.12种

【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

【答案】B

【分析】利用分步计数原理，分3步即可求出

【解析】由题意可知，分三步完成：

第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；

第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；

第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，

根据分步计数原理，共有2x3x6=36不同的选取方法，故选B

5.从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为

A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲

B.甲乙丙，乙丙甲

C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙

2

D.甲乙，甲丙，乙丙

【试题来源】人教B版（2019）选择性必修第二册过关斩将第三章排列、组合与二

项式定理

【答案】C

【解析】若选出的是甲、乙，则站法有甲乙、乙甲；

若选出的是甲、丙，则站法有甲丙、丙甲；

若选出的是乙、丙，则站法有乙丙、丙乙.故选C.

6.在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有

（）种

A.A：B.43

C.34D.C：

【试题来源】2021年高考数学【热点重点难点】专练（上海专用）

【答案】C

【分析】四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘

法原理可得冠军获奖者的情况.

【解析】由题意四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，

每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有3x3x3x3=34种.故选C

7.学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》、《马蹄声碎》四部话

剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一、周四上演；《茶馆》不能在周

一、周三上演；《天籁》不能在周三、周四上演；《马蹄声碎》不能在周一、周四上演，则所

有的可能情况有（）种.

A.0B.1

C.2D.3

【试题来源】湖北省武汉外国语学校2020届高三下学期高考冲刺押题联考（一）（理）

【答案】C

【分析】根据话剧《雷雨》不能在周一、周四上演；《茶馆》不能在周一、周三上演；《天籁》

不能在周三、周四上演；《马蹄声碎》不能在周一、周四上演，列表分析即可.

【解析】

3

周一周二周三周四

雷雨00

茶馆00

天籁00

马蹄声碎00

根据以上图表，可知周四只能是《茶馆》，周一只能是《天籁》，周二周三《雷雨》和《马蹄

声碎》可以交换.故选c

【名师点睛】本题主要考查逻辑推理和简单的计数问题，属于基础题.

8.从集合｛1,2,3,4,…,15｝中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的

等差数列有（）个

A.98B.56

C.84D.49

【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二下学期期中

【答案】A

【分析】分类讨论当公差为1，2,……，7时，对应的等差数列个数，再根据三个数成公

差数列有两种情况，递增或递减，即可得到答案.

【解析】当公差为1时,数列可以是1,2,3,2,3,4,3,4,5.....13,14,15,共13种情况.

当公差为2时，数列可以是1,3,5,2,4,6,3,5,7,……11,13,15,共”种情况.

当公差为3时,数列可以是L4,7,2,5,8,3,6,9,……9,12,15,共9种情况.

当公差为4时，数列可以是1,5,9,2,6,10,3,7,11,……7,11,15,共7种情况.

当公差为5时，数列可以是1,6,11,2,7,12,3,8,13,4,9,14,5,10,15,共5种情况.

当公差为6时，数列可以是1,7,13,2,8,14,3,9,15,共3种情况.

当公差为7时，数列可以是1,8,15,共1种情况.

总的情况是13+11+9+7+5+3+1=49.

因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，

4

所以这样的等差数列共有98个.故选A

【名师点睛】本题主要考查分类计数原理，同时考查了等差数列的定义，属于简单题.

9.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此

图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四

角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能

被5整除的概率为

【试题来源】安徽省六安中学2020-2021学年高三上学期开学考试（文）

【答案】C

【分析】由题意可知，阴数为2,4,6,8,阳数为1,3,5,7,9.各选一个数，求出所

有的选法，求出其和能被5整除的选法种数，根据古典概型的概率计算公式，即得答案.

【解析】由题意可知，阴数为2,4,6,8,阳数为1,3,5,7,9.

各选一个数，共有4x5=20种选法.

其和能被5整除的分别为2,3；4,1；6,9；8,7,共4种选法，

41

选取的两数之和能被5整除的概率P=方=g.故选C.

【名师点睛】本题考查古典概型和计数原理，属于基础题.

10.如图，用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜

色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种

5

A.280B.180

C.96D.60

【试题来源】广西南宁市银海三美学校2018-2019学年高二3月月考（理）

【答案】B

【分析】按区域分四步，由分步乘法计数原理，即可求得结论.

【解析】按区域分四步：第1步，A区域有5种颜色可选；

第2步，8区域有4种颜色可选；

第3步，C区域有3种颜色可选；

第4步，。区域也有3种颜色可选.

由分步乘法计数原理，共有5x4x3x3=180种不同的涂色方案.

选选：B.

【名师点睛】本题主要考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确分步是关

键，属于基础题.

11.某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有

A.32种B.9种

C.12种D.20种

【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

【答案】C

【分析】根据加法原理直接计算可得答案.

【解析】从8名男生4名女生选取一名当组长，

是男生的选法有8种，是女生选法的有4种，共有12利I故选C.

【名师点睛】本题考查了加法原理，属于基础题.

12.A、B、C、D、£五人排一个5天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或

不值，但相邻的两天不能由同一人值，那么值日表的排法种数为

A.120B.324

C.720D.1280

【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

【答案】D

【分析】根据分步计数原理，结合限制条件，逐次排列，即可求解.

【解析】根据分步计数原理，可得

6

第一天可以是5个人中的任意一个，共有5种情形；

第二天除了第一天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；

第三天除了第二天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；

第四天除了第三天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；

第五天除了第四天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；

所以所有的排法总数为5x4x4x4x4=1280种.故选D.

【名师点睛】本题主要考查了分步计数原理的应用，其中解答中注意对限制条件的排列与遵

循原则，属于基础题.

13.四个学生，随机分配到三个车间去劳动，不同的分配方法数是

A.12B.64

C.81D.24

【试题来源】2021年新高考数学一轮复习讲练测

【答案】C

【解析】先安排一位同学分配到三个车间去劳动，有3种安排方法，

同理，再安排一位同学分配到三个车间去劳动，也有3种安排方法，

依次类推，因此，根据分步乘法计数原理共有34=81种分配方法.故选C

【名师点睛】本题主要考查了利用分步乘法计数原理解决实际问题，属于容易题.

14.一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该程

序模块的执行路径.如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路径的条数是

A.6B.14

7

C.49D.84

【试题来源】北京市朝阳区2019-202（）学年度高二下学期期末质量检测

【答案】C

【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理即可求解.

【解析】由分类加法计数原理，子模块1或子模块2或子模块3的子路径共有2+2+3=7

条；子模块4或子模块5中的子路径共有4+3=7条，

由分步乘法计数原理，整个模块的不同执行路径共有7x7=49条，故选C

【名师点睛】本题主要考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题.

15.3位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方

法共有

A.5种B.6种

C.8种D.9种

【试题来源】江苏省无锡市太湖高级中学2019-2020学年高二下学期期中

【答案】C

【分析】根据题意，可得每位同学都有2种报名方法，结合分步计数原理，即可求解.

【解析】由题意，3位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，

则每位同学都有2种报名方法，则这3为同学共有2x2x2=8种不同的报名方法，故选C.

【名师点睛】利用分步计数原理解决问题的策略：（1）利用分步计数原理解决问题时要注意

事件发生的过程来合理分步，即分步是有先有后的顺序，并且分步必须满足：完成一件事的

各个步骤时相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事；（2）分步必须满足两个

条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.

16.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联.连线标注的数字表

示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点5向结点A传递信息，信息可以

分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为

8

A.26B.24

C.20D.19

【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练

【答案】D

【分析】要想求得单位时间内从结点B向结点A传递的最大信息量，关键是分析出每段网

线在单位时间内传递的最大信息量.

【解析】依题意，首先找出A到5的路线，

①单位时间内从结点A经过上面一个中间节点向结点8传递的最大信息量，从结点A向中

间的结点传出12个信息量，在该结点处分流为6个和5个，此时信息量为11；再传到结点

B最大传递分别是4个和3个，此时信息量为3+4=7个.

②单位时间内从结点A经过下面一个中间结点向结点3传递的最大信息量是12个信息量,

在中间结点分流为6个和8个，但此时总信息量为12（因为总共只有12个信息量）；再往

下到结点8最大传递7个但此时前一结点最多只有6个，另一条路线到最大只能传输6个

结点B，所以此时信息量为6+6=12个.

③综合以上结果，单位时间内从结点5向结点A传递的最大信息量是3+4+6+6=19

个.故选。.

【名师点睛】本题考查分类计数的加法原理，对于此类问题，首先应分清是用分步计数还是

分类计数.

17.大学生小王和小张即将参加实习，他们分别从荆州市荆州中学，荆门市龙泉中学、钟祥

一中，襄阳市第四中学、第五中学，宜昌市第一中学、夷陵中学这七所省重点中学中随机选

择一所参加实习，两人可选同一所或者两所不同的学校，假设他们选择哪所学校是等可能的，

则他们在同一个市参加实习的概率为

【试题来源】人教B版（2019）选择性必修第二册过关斩将第三章排列、组合与二

项式定理

【答案】C

【分析】小王和小张他们选择哪所学校是等可能的，两人随机选择一所参加实习，共有49

种选法，乂他们到同个市参加实习共13种选法，利用古典概型求解即可.

9

【解析】由题意知，两人从七所学校中随机选择一所参加实习，共有7x7=49种选法,

他们在同一个市参加实习共有1*1+2><2+2*2+2*2=13种选法，

所以他们在同一个市参加实习的概率为F,故选C

49

18.某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有

A.51°种B.d种

C.50种D.3024种

【试题来源】2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（人教B版2019选择性必修第二册）

【答案】A

【分析】乘客下车这个事件可以考虑每个乘客的下车方式，应用分步乘法原理求解.

【解析】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有5",种可能的下

车方式，故选A.

19.从6种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色,

且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法有

A.360种B.510种

C.630种D.750种

【试题来源】重庆市凤鸣山中学校2021届高三上学期10月月考

【答案】D

【分析】根据从6种颜色中选，给最左边的个格子涂色有6种选择，再根据相邻的两个格

子颜色不同，依次涂色，最后利用分步计数原理求解.

【解析】首先给最左边的一个格子涂色有6种选择，左边第二个格子有5种选择，左边第三

个格子有5种选择，左边第四个格子有5种选择，

不同的涂色方法有6x5x5x5=750,故选D

20.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、

兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同

学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学每个吉祥物都

喜欢，如果三位同学对选取的礼物都满意，则选法有

A.50种B.60种

10

C.90种D.180种

【试题来源】2021年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用

【答案】A

【分析】分情况讨论：若甲同学选择牛或甲同学选择马，利用分步乘法计数原理即可求解.

【解析】①若甲同学选择牛，则乙同学有2种选择，丙同学有10种选择，选法种数为

2x10=20,

②若甲同学选择马，则乙同学有3种选择，内同学有10种选择，选法种数为3x10=30,

综上，总共有20+30=50种选法，故选A.

21.现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2

张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是

A.1024种B.1023种

C.1536种D.1535种

【试题来源】2021年高考数学【热点。重点。难点】专练（上海专用）

【答案】D

【分析】先看一张人民币的取法，再看2张10（）元人民币的取法，利用分步计数原理计算即

可.

【解析】除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，

2张100元人民币的取法有不取、取一张和取二张3种情况，

再减去这些人民币全不取的1种情况，

所以共有29x3-1=1535种.故选D.

【名师点睛】误解：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不

取的1种情况，共有2">-1=1023种.

22.将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球

与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有

A.16种B.12种

C.9种D.6种

【试题来源】甘肃省会宁县第二中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

【答案】B

【分析】分六种情况讨论，求解每一种类型的放球方法数，然后利用分类计数加法原理求解

11

即可.

【解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况

时，放球方法有:

当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法;

当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法;

当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法;

当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法;

当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法;

当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法;

因此，不同的放球方法有12种，故选B.

【名师点睛】本题主要考查分类计数加法原理的应用，解答这类问题理解题意很关键，一定

多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步“，在应用分类计数加

法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.

23.如图，用四种不同的颜色给图中的A,B,C,D,E,F,G七个点涂色，要求每个点涂

一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有

A.192种

C.600种D.624种

【试题来源】人教B版（2019）选择性必修第二册过关斩将第三章排列、组合与二

项式定理

【答案】C

【分析】由题意，点E,F,G分别有4,3,2种涂法，再分当A与尸相同、A与G相同和

A既不同于F又不同于G,三种情况讨论，进而求解.

【解析】由题意，点E,F,G分别有4,3,2种涂法，

（1）当A与F相同时，A有1种涂色方法，此时8有2种涂色方法，

12

①若(7与/相同，则C有1种涂色方法，此时。有3种涂色方法；

②若C与尸不同，则。有2种涂色方法.

故此时共有4x3x2xlx2x(lx3+lx2)=240种涂色方法.

(2)当A与G相同时，A有1种涂色方法，

①若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时2有2种涂色方法，。有2种涂色方法；

②若C与尸不同，则C有2种涂色方法，此时B有2种涂色方法，。有F种涂色方法.

故此时共有4x3x2x1x(lx2x2+2x2x1)=192种涂色方法.

(3)当A既不同于下又不同于G时，A有1种涂色方法.

①若8与F相同，则C与A相同时，。有2种涂色方法，C与A不同时，C和。均只有1

种涂色方法；

②若8与尸不同，则8有1种涂色方法，

(1)若C与尸相同，则C有1种涂色方法，此时。有2种涂色方法；

(2)若C与F不同，则必与A相同，C有1种涂色方法，此时。有2种涂色方法.

故此时共有4x3x2xlxlx[(lx2+lxl)+lx(lx2+lx2)]=168种涂色方法.

综上，共有240+192+168=600种涂色方法.故选C.

【名师点睛】利用两个计数原理解题的策略：

(1)利用分类计数原理解题分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，

并且分步属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复，分类时除了不能交叉重复外,

还不能有遗漏：

(2)利用分步计数原理解题时要注意按事件发生的过程合理分步，即分步时有先有后顺序

的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才

算完成这件事，分步必须满足两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰：二是步与步之间

确保连续，逐步完成.

24.已知集合尸={1,2,3,4,5},若A,8是尸的两个非空子集，则所有满足A中的最大数

小于B中的最小数的集合对(A,8)的个数为

A.49B.48

C.47D.46

【试题来源】江苏省扬州中学2020-2021学年高一上学期10月月考

13

【答案】A

【分析】利用分类计数法，当A中的最大数分别为1、2、3、4时确定A的集合数量，并得

到对应3的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.

【解析】集合尸={1,2,3,4,5}知

1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：A的集合为{1},

而8有2"-1=15种集合，集合对（4，8）的个数为15；

2、若A中的最大数为2时，8中只要不含1、2即可：

A的集合为{2},{1,2},而8有23-1=7种,

集合对（A,B）的个数为2x7=14；

3、若A中的最大数为3时，8中只要不含1、2、3即可：

A的集合为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},而8有2?—1=3种，

集合对（A,8）的个数为4x3=12；

4、若A中的最大数为4时，8中只要不含1、2、3、4即可：

A的集合为⑷,{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},

而B有2—1=1种，集合对（A,8）的个数为8x1=8；

所以•共有15+14+12+8=49个，故选A

【名师点睛】本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用

加法原理加总，属于难题.

25.设/={1,2,3,4,},A与8是/的子集，若AnB={l,3},则称（AB）为一个“理想配

集那么符合此条件的“理想配集”（规定（AB）与（3,A）是两个不同的“理想配集”的个数

是

A.16B.9

C.8D.4

【试题来源】2021年新高考数学一轮复习讲练测

【答案】B

【分析】根据题意，子集A和8不可以互换，从子集A分类讨论，结合计数原理，即可求

解.

14

【解析】由题意，对子集A分类讨论：

当集合4={1,3},集合B可以是{123,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3},共4中结果；

当集合A={1,2,3},集合8可以是{L3,4},{1,3},共2种结果：

当集合A={L3,4},集合B可以是{1,2,3},{1,3},共2种结果;

当集合A={1,2,3,4},集合3可以是{1,3},共1种结果，

根据计数原理，可得共有4+2+2+1=9种结果.故选B.

【名师点睛】本题主要考查了集合新定义及其应用，其中解答正确理解题意，结合集合子集

的概念和计数原理进行解答值解答额关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.

二、多选题

1.某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在8层,

该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节

上自习，则下列说法正确的是

第1节第2节第3节第4节

地理1班化学A层3班地理2班化学A层4班

生物4层1班化学8层2班生物B层2班历史B层1班

物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班

物理B层2班生物8层1班物理B层1班物理A层4班

政治1班物理A层3班政治2班政治3班

A.此人有4种选课方式B.此人有5种选课方式

C.自习不可能安排在第2节D.自习可安排在4节课中的任一节

【试题来源】人教B版（2019）选择性必修第二册过关斩将第三章排列、组合与二

项式定理

【答案】BD

【分析】根据表格分类讨论即可得到结果.

【解析】由于生物在8层，只有第2,3节有，故分两类：

若生物选第2节，

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则地理可选第1节或第3节，有2种选法，

其他两节政治、自习任意选，

故有2x2=4种（此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节）；

若生物选第3节，

则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种.

根据分类加法计数原理可得选课方式有4+1=5种.

综上，自习可安排在4节课中的任一节.故选BD.

2.几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知（1）甲在下落的过程中依

次撞击到树枝A,B,C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝。，E,F；（3）丙在

下落的过程中依次撞击到树枝G,A,C;（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝8,D,

“；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝/,C，E,下列结论正确的是

A.最高处的树枝为G、/当中的一个

B.最低处的树枝一定是尸

C.这九棵树枝从高到低不同的顺序共有33种

D.这九棵树枝从高到低不同的顺序共有32种

【试题来源】辽宁省本溪市重点高中2020-2021学年高二12月月考

【答案】AC

【分析】由题判断出部分树枝由高到低的顺序为G4BCEF,还剩下£>,H,I,且树枝/

比。高，树枝。在树枝5，E之间，树枝”比。低，根据/的位置不同分类讨论，求得

这九根树枝从高到低不同的顺序共33种.

【解析】由题判断出部分树枝由高到低的顺序为GABCEF,还剩下£>,H,I,且树枝/

比。高，树枝。在树枝B,E之间，树枝”比。低，故A选项正确；

先看树枝/，有4种可能，若/在B,C之间，

则。有3种可能：①。在8，/之间，”有5种可能；

②。在/,C之间，H有4种可能；

③。在C，E之间，，有3种可能，

此时树枝的高低顺序有5+4+3=12（种）.

若/不在8,C之间，则/有3种可能，。有2中可能，

若。在B,C之间，则〃有3种可能，

若。在C，E之间，则”有三种可能，

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此时树枝的高低顺序有3X（4+3）=21（利可能，

故这九根树枝从高到低不同的顺序共有12+21=33种，故C选项正确.故选AC.

【名师点睛】（I）解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素（或位置）的性质进行分类：

二是按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即

先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）.

（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀

分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法.

三、填空题

1.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在

同一个食堂用餐的概率为.

【试题来源】江苏省扬州市江都区大桥高级中学2020届高三下学期学情调研（二）

【答案】T

【解析】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2x2x2=8（种）,

其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为

2__[

8"4'

【名师点睛】此题主要考查有关计数原理、古典概型概率的计算等有关方面的知识和运算技

能，属于中低档题型，也是高频考点.在计算占典概型中任意一随机事件发生的概率时，关

键是要找出该试验的基本事件总数和导致事件发生的基本事件数，在不同情况下基本事件数

的计算可能涉及排列、组合数的计算和使用分类计数、分步计数原理.

2.某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选一

本阅读，则不同的选法共有种.

【试题来源】陕西省西安市蓝田县2019-2020学年高二下学期期末（理）

【答案】9

【分析】根据题意，由分类加法原理完成选书这件事.即可得.

【解析】根据题意，选取的杂志可分三类：科普，文摘，娱乐新闻.

共4+3+2=9：种不同选法.

故答案为9.

【名师点睛】本题考查计数原理，解题关键是确定完成事件的方法，本题可用分类加法原理.

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3.已知某体育场有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为.

【试题来源】广东省佛山市禅城区2019-2020学年高二下学期期末

【答案】12

【分析】根据题意，分别分析进门和出门的走法，由分步乘法计数原理计算可得答案.

【解析】根据题意，某体育场有4个门，从一个门进，有4种走法，

另一个门出，有3种走法，

则有4x3=12种不同的走法.

故答案为12.

【名师点睛】本题考查分步乘法计数原理，属于基础题.

4.在一次球队淘汰锦标赛（一次失利，该队就淘汰）中，有25支队伍参赛，要产生唯一的锦

标赛冠军，必须进行场比赛.

【试题来源】云南省昆明市第一中学2020-2021学年高一上学期新课标数学入学测试试题

【答案】24

【分析】根据淘汰规则可知，先进行12场比赛淘汰12支队伍，然后再进行6次比赛淘汰6

支队伍，如此类推可得答案.

【解析】由题意可得，25进13要赛12场，13进7要赛6场，7进4要赛3场，4进2要赛

2场，决赛要赛1场，所以一共耍赛12+6+3+2+1=24场，

故答案为24.

【名师点睛】本题主要考查分类计数原理，分清类型是求解的关键，注意与分步计数原理的

区别，属于容易题.

5.一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则

不同的取法有种.（以数字作答）

【试题来源】人教B版（2019）选择性必修第二册过关斩将第三章排列、组合与二

项式定理

【答案】37

【分析】根据分类加法计数原理，由题中条件，即可得出结果.

【解析】一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一

本，由分类加法计数原理可知，不同的取法有12+14+11=37种，

故答案为37.

6.如图，在由电键组A与8组成的串联电路（规定每组电键只能合上其中的一个电键）中，

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接通电源使灯泡发光的方法有种.

【试题来源】人教B版(2019)选择性必修第二册过关斩将第三章排列、组合与二

项式定理

【答案】6

【分析】根据分步乘法计数原理，由题中条件，即可求出结果.

【解析】要完成的"一件事''是"使灯泡发光”，只有先合上A组中2个电键中的任意一个，再

合上B组中3个电键中的任意一个时，接通电源，灯泡才能发光.

因此要完成这件事，需要分步，只有各个步骤都完成才能使灯泡发光，

所以接通电源使灯泡发光的方法有2x3=6种.

故答案为6.

7.某储蓄卡密码共有6位数字，每位数字都可从0-9中任选一个，则可设置的银行卡密码

共有种.

【试题来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期期末

【答案】1()6

【分析】利用乘法原理即可.

【解析】每位上的数字有10个数字可选，由乘法原理总共有1()6种.

故答案为IO，

8.现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一

种颜色，共有种不同着色方法

【试题来源】江苏省常州市新桥高级中学2019-2020学年高二下学期期中

【答案】260

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【分析】先排i,然后排ii,iv,最后排ni,由此求得不同着色方法数.

【解析】先排I，有5种方法；

然后排ILIV,最后排ni：

①当II,IV相同时，方法有4x4和，，故方法数有5x4x4=80种.

②当n,IV不同时,方法有4x3x3种，故方法数有5x4x3x3=180种.

综上所述，不同的着色方法数有80+180=260种.

故答案为260

【名师点睛】本题主要考查分类加法、分步乘法计数原理，属于基础题.

9.学校食堂在某天中午备有6种素菜，4种荤菜，2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐,

则可以配制出不同的套餐种.

【试题来源】贵州省毕节市威宁县2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

【答案】48

【分析】根据备有6种素菜，4种荤菜，2种汤，则荤菜有4种选法，素菜有6种选法，汤

菜有2种选法，然后再利用分步计数原理求解.

【解析】因为备有6种素菜，4种荤菜，2种汤，

所以荤菜有4种选法，素菜有6种选法，汤菜有2种选法，

所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有4x6x2=48种

故答案为48

【名师点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题.

10.汽车上有5名乘客，沿途有3个车站，每人在3个车站中随机任选一个下车，直到乘客

全部下车，不同的下站方法有种.（用数字作答）

【试题来源】2021年新高考数学•轮复习学与练

【答案】243

【分析】由每位乘客可以在任意的车站下车，得到每位乘客下车的情况有3种，然后利用分

步计数原理求解.

【解析】因为每位乘客可以在任意的车站下车，

所以每位乘客下车的情况有3种，

所以5名乘客下客站的方法有3x3x3x3x3=243种.

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故答案为243

【名师点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题.

11.某玩具厂参加2020年邯郸园博园产品展出，带了四款不同类型不同价格的玩具牛，它

们的价格费你别是20,30,50,100,某礼品进货商想趁牛年之际搞一个玩具特卖会，准备

买若干款不同类型的玩具样品（每款只购一只，且必须至少买一款），因信用卡出现故障，

身上现金只剩170元，请问该礼品进货商购买玩具样品的方案有种（用数字表示）.

【试题来源】河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高二上学期（普通班）10月月

考

【答案】13

【分析】依题意，每款只购一只，且必须至少买一款，且消费金额不能超过17（）元，分三种

情况讨论，分别列出所有可能情况，即可得解；

【解析】依题意，每款只购一只，且必须至少买一款，且消费金额不能超过170元，

故可分为以下几种情况：

①只购买一款玩具样品，共四种方案

②购买两款玩具样品，

买20和30的各一只；买20和50的各一只；买20和100的各一只；买30和50的各一只；

买30和100的各一只；买50和100的各一只：共六种方案；

③购买三款玩具样品

买20,30和50的各一只；买20,30和100的各一只；买20、50和100的各一只；

共3种方案：

所以购买玩具的方案共有13种；

故答案为13

【名师点睛】本题考查分类计数原理的应用，属于基础题.

12.如图，一环形花坛分成A,B,C,D四个区域，现有5种不同的花供选种，要求在每

个区域种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为.

【试题来源】人教B版（2019）选择性必修第二册过关斩将第三章排列、组合与二

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项式定理

【答案】260

【分析】根据题意，四个区域至少选用2种不同的花来种，可分三类：第一类，种2种不同

的花，第二类，种3种不同的花，第三类，种4种不同的花，分别求解即可.

【解析】根据题意，四个区域至少选用2种不同的花来种，可分三类：

第一类，种2种不同的花，有5x4=20种种法；

第二类，种3种不同的花，有2x（5x4x3）=120种种法；

第三类，种4种不同的花，有5x4x3x2=120种种法.

综上，共有20+120+120=260种种法.

故答案为260.

13.三名参加过抗击新冠疫情的医务人员在疫情结束之后商定再次前往湖北的武汉、宜昌、

黄冈3个城市，如果三人均等可能的前往上述3个城市之一，那么他们恰好选择同一个城市

的概率是.

【试题来源】四川省峨眉第二中学校2020-2021学年高三上学期11月月考（理）

【答案】|

【分析】三人前往3个城市的所有基本事件个数，再求出三人能去同一个城市的基本事件,