天津高考真题导数部分

1.设。＞0,/(%)=。/+儿；+。，曲线y=/0)在点「(/，/(3))处切处的倾斜角的取值

TT

范围为[0,上],则P到曲线y=/(x)对称轴距离的取值范围为()

4

A.[0,-]B.[0,-!-]C.D.[0,1^1]

a2a2a2a

计算题

1.(本小题满分14分)

设函数/(X)=xsinx(xG/?).

(I)证明f(%+2版■)―/(尤)=2iUsinx,其中k为整数;

4

(II)设/为/(X)的•个极值点，证明"(%)]2r；

1+%

(HI)设/(x)在(0,+8)内的全部极值点按从小到大的顺序排列q…%…，证明

2.(本小题满分12分)

设a＞0,求函数/(x)=«—In(x+a)(xe(0,+oo)的单调区间.

3.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=ax3+bx1-3%在工=±1处取得极值。

(1)讨论/⑴和/(-I)是函数/(x)的极大值还是极小值；

(2)过点A(0,16)作曲线y=/(x)的切线，求此切线方程。

4.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=41-3厂cos9+而cos。，其中xeR,。为参数，且04。＜2万。

(1)当cos。=0时，判断函数/(x)是否有极值；

(2)要使函数/(x)的极小值大于零，求参数6的取值范围；

(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数6,函数/(x)在区间(2a-1,a)内都是

增函数，求实数a的取值范围。

5.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=2"：,+l(xeR),其中aeR.

r+1

(D当”=1时，求曲线y=/(X)在点(2J(2))处的切线方程；

(H)当awO时.，求函数〃x)的单调区间与极值.

6.(本小题满分12分)

已知函数/(X)=X+@+0(XK0),其中

x

(I)若曲线y=/(x)在点尸(2，/(2))处的切线方程为y=3x+l，求函数/(x)的解析式;

(II)讨论函数/(x)的单调性；

(III)若对于任意的ae1,2,不等式/(x”10在上恒成立，求匕的取值范围.

7(本小题满分12分)

已知函数/(x)=(x2+ax-2a2+3a)e'(xwR),其中awR

(1)当a=0时，求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线的斜率；

2

(2)当a时，求函数/(x)的单调区间与极值。

8.(本小题满分14分)

已知函数/(x)=xc-'(xwR)

(I)求函数f(x)的单调区间和极值；

(II)已知函数y=g(x)的图象与函数y=/(x)的图象关于直线x=l对称，证明当

x>l时,/(x)>g(x)

(III)如果X]N,且/(xj=/(彳2),证明玉+苫2>2

答案：

IB

8.)本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算

能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分

(I)解：广(x)=(l—x)e-*

令f'(x)=0,解得x=l

当x变化时，*(x),f(x)的变化情况如下表

X(-00,1)1(1,+00)

f'(X)+0-

f(X)极大值

所以f(x)在(-8,1)内是增函数，在(1,+8)内是减函数。

函数f(X)在X=1处取得极大值f(l)且f(1)=1

e

(II)证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)

令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)-xe~x+(x—2)ex-2

于是尸(x)=(x—1)022—i)e-x

当x>l时，2x-2>0,从而e2x-2—l>0,又e-，>0,所以F'(x)>0,从而函数F(x)在[1,+

8)是增函数。

又F(l)=e-'—e」=0,所以x>l时，有F(x)>F⑴=0,即f(x)>g(x).

HI)证明：(1)

若(X[-1)。2-1)=0,由(I)及f(xj=f&2),则X]=%2=1.与七口彳2矛盾。

(2)若(七一1)(》2-1)〉0,由(I)及f(X)=f&2),得再=尤2与尤11尤2矛盾。

根据(1)(2)得(%—1)。2-1)<0,不妨设玉<1,々>1.

由(II)可知，f&2)>g(X2),则g(X2)=f(2-X2),所以f(X2)>f(2-X2),从而

f(xJ>f(2-X2).因为％2〉1，所以2-/<1，又由(I)可知函数f(x)在区间(-8,1)

内事增函数,所以石〉2-々，即为+马＞2.

7.本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础

知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。

(I)解:当1=曲f(x)=x2ex,/'(x)=(x2+2x)ex,故/⑴=3e.

所以曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线的斜率为3e.

(II)解：f\x)=\x2+(a+2)x-2a2+4a\;x.

2

=0,解得x=-2a,或x=a-2.由aw§知,一2aKa-2.

以下分两种情况讨论。

2

(1)若a＞],则一2。Va-2.当x变化时，/'(x),/(x)的变化情况如下表：

X(-oo,-2a)-2。(-2a,ci-2)(2—2(ci—2,+8)

+0一0+

/极大值极小值/

所以/1(外在(-00,-2"),(。-2,+8)内是增函数，在(-2a,。-2)内是减函数.

函数/1(x)在x=-2a处取得极大值/X-2a),且/X-2a)=3ae-2a.

函数/'(x)在x=a-2处取得极小值/(a-2),l/(a-2)=(4-3a)e，

2

(2)若则一2。＞。—2,当x变化时，f\x),/(x)的变化情况如下表:

X(-00,Q-2)a—2(a-2,-2a)-2〃(-2a,+oo)

+0—0+

/极大值极小值/

所以/(x)在(-8,a-2),(-2a,+00)内是增函数，在(a-2,-2a)内是减函数。

函数/1(x)在x=a-2处取得极大值/(a-2),H/(a-2)=(4-3a)efl-2.

函却(x)在x=-2a处取得极小值/X-2a),且/(-2a)=3ae-2a.

6.本小题主要考查导数的儿何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考

查运算能力、综合分析和解决问题的能力.满分12分.

(I)解：/(幻=1—二，由导数的几何意义得尸(2)=3,于是。=—8.

X

由切点P(2J(2))在直线y=3x+l上可得—2+b=7,解得b=9.

Q

所以函数/(x)的解析式为f(x)=x——+9.

X

(H)解：/(x)=l-二.

X

当。<0时，显然/'(x)>0(xwO).这时/(尤)在(一8,0),(0,+8)上内是增函数.

当。>0时，令/'(x)=0,解得x=±G,

当x变化时，f(x),/(x)的变化情况如下表：

X(-00,-4a)-y[a(0,历品(收+8)

/(X)+0——0+

/(X)/极大值XX极小值/

所以/(外在(一8,-五)，(G,+8)内是增函数，在(一6,0),(0,+8)内是减函数.

(III)解：由(H)知，/")在己,1]上的最大值为/d)与/⑴的较大者，对于任意的

44

11/•(!)<job<--4a

,2],不等式/(x)410在[—,1]上恒成立，当且仅当｛八4，即《一4，

24[/(1)<10[b<9-a

对任意的ae[L,2]成立.

2

77

从而得b〈乙，所以满足条件的〃的取值范围是(-泡勺.

44

2r4

5•【分析】(I)解：当a=l时，f(x)=Y-J(2)=?.又

x+15

2(x2+1)-2x.2x2-2/

f\x)=尸⑵二唉

(7+1)2(x2+1)2

46

所以，曲线y=/(x)在点(2J(2))处的切线方程为y—g=-石*一2),即

6x+25y-32=0.

-2(x-a)(ax+1)

⑴啾…罡厂")，+l)2

由于aNO,以下分两种情况讨论.

(1)当。>0时，令/'(x)=0,得到*=—=。•当》变化时，/(x)J(x)的变化情况

a

如下表：

(a,+oo)

Xa

a卜川

f\x)—0+0—

/W极小值极大值

所以/(X)在区间18,-：)，m+w)内为减函数，在区间(-：，4内为增函数.

函数/*)在为=一：处取得极小值且/

函数/(x)在％=。处取得极大值f(a),且/(a)=l.

(2)当a<0时，令/'(x)=0,得到不=一’.当x变化时，/(x)J(x)的变化情况

a

如下表：

XS，a)aI*

f\x)—0+0—

极小极大

f(x)

值值

所以/(x)在区间(一8,。)J--,+00j内为减函数，在区间(a,-，］内为增函数.

函数f(x)在&=a处取得极大值f(a),且f(a)=1.

函数/(%)在々处取得极小值f=-a2

a

4.(1)解：当cos6=0时，/(x)=4x3,则在(一oo,+8)内是增函数，故无极值。

COWf/

(2)解：f'(x)=12x2-6xcos^,令/'(x)=0,得X|=0,X2='~'—

由(D,只需分下面两种情况讨论

①当cos。〉0时，随x的变化，/'(X)的符号及/(x)的变化情况如下表:

叫。)cos6,cos®、

XS,0)02,+00)

2

f'M+0一0+

fM/极大值极小值/

Ecos6*„,.n-COS^.„.COS^.13„3c

因此，函数/(%)在工=-----处取n得ZB+极T小值/r(/-----)且/r(-----)=——cos-e+—cos6

222416

要使〃£2£，)>0,必有—_Lcos3(cos2e—3)>0,可得0<cos6(包

2442

，十c/c/c..7T八7T“37t八117T

由于04642万，故一<。(一或一<0<——

6226

②当cos6<0时，随x的变化，/'(X)的符号及/(x)的变化情况如下表:

/cos。、cos。(嘤。)

X8，20(0,+oo)

2

/'(X)+0——0+

/(X)/极大值极小值/

3

因此，函数/3)在x=0处取得极小值/(0),且/(0)=—cos，

16

若/(0)>0,贝ijcos6>0,矛盾，所以当cos。<0时，的极小值不会大于零

综上，要使函数/(x)在(-8,+8)内的极小值大于零，参数6的取值范围为

,n兀、,3〃11万、

■5)5万，了)

cosf)

(3)解：由(2)知，函数/(x)在区间(—8,0)与(上黄,+8)内都是增函数

由题设，函数/(x)在(2a-l,a)内是增函数，则。须满足不等式组

2a-\<a

2a—1<a

或1

«<02a—12—cos0

2

由(2),参数Gw(2二)5%，止)时，0<cose<@,要使不等式

62262

2a—121cose关于参数夕恒成立，必有2。-12虫，即虫[84。

248

综上，解得或好正4。<1,所以。的取值范围是(-oo,0]u[=8,l)

88

3.本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法,

以及分析和解决问题的能力。满分12分。

(1)解：/(x)=3a/+2公—3,依题意，/⑴=/(-1)=0,即！

3a-2b-3=0.

解得。=1,b=0.

/(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3=3(x+l)(x-1)。

令/'(x)=0，得x=-l,x=1«

若X€(-8,-1)U(1,+00),则/'(X)〉O,故/(x)在(-00,-1)上是增函数，

/(X)在(1,+8)上是增函数。

若xe(—l,1),则/(x)<0,故/(x)在(―1,1)上是减函数。

所以，/(-1)=2是极大值；/⑴=一2是极小值。

(2)解：曲线方程为y=/—3x,点A(0,16)不在曲线上。

设切点为M(x(),y0),则点M的坐标满足y0=x；-3x0。

因广。0)=3(其一1),故切线的方程为y—y0=3(x；—l)(x—x0)

注意到点A(0,16)在切线上，有16-(焉—3x0)=3(x；—1)(0—/)化简得焉=一8,

解得/=-2。

所以，切点为M(-2,-2),切线方程为9x—y+16=0。

2.本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.满分12分.

解：/v)=-L-(x>o).

x+a

当a>0,x>0时f'(x)>0=x?+(2a-4)x+a2>0.

/,(x)<0«x2+(2a-4)x+«2<0

(i)当a>1时，对所有x>0,有左2+(2a-4)+a2>0.

即/'(x)>0,此时/(x)在(0,+8)内单调递增.

(ii)当a=1时，对xw1,有A：?+(2a—4)x+a?>o,

即尸(x)>0,此时/(x)在(0,1)内单调递增，又知函数/(x)在x=i处连续，因此，

函数/(x)在(0,+oo)内单调递增

(iii)当0<a<1时，令/'(x)>0,即—+(2a—4)工+。2>0.

解得x<2—tz—2Jl-a,skx>2—a+2jl-a.

因此，函数/(x)在区间(0,2-a-2j匚9)内单调递增，在区间(2-a+2jl—a,+oo)

内也单调递增.

令/(x)<0,即—+(2a—4)%+a2<0,

解得2—a—2J1-a<x<2-a+2J1-a.

因此，函数f(x)在区间(2—a-2Jl-a,2—ci+2Jl-a)内单调递减.

1.本小题考查函数和函数的极值的基本概念和方法，考查应用导数、同角三角函数、数形

结合等方法分析问题和综合解题能力，满分14分.

(I)证明：由函数f(x)的定义，对任意整数衣，有

/(x+2k兀)-/(%)=(x+2A%)sin(x+2%万)-xsinx

=（x+2%万）sinx-xsinx

=2人乃sinx.

(II)证明：函数/(X)在定义域R上

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