人教A版（2019）必修第二册第七章《复数》同步练习（含答案）

人教A版(2019)必修第二册第七章复数同步练习

一、单选题

1.若Z"号，则z2+z4+z6+z8+z'°+z%-+z2o2o=()

A.0B.1-iC.-1-iD.-1+i

2.设〃则“=2"是‘复数z=(m+2i)(l+i)为纯虚数”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.设复数z满足(z+l)(l+i)=l-i,(i是虚数单位)，则复平面内z对应的点位于

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.若复数z=sin"|+(cosY)是纯虚数淇中6为实数/为虚数单位，则tan]”(

的值为

A.-7B.-17C.7D.-7或-17

5.设i是虚数单位，则复数z=N(-2+3。对应的点在复平面内位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

6.复数z=±二包(其中i为虚数单位)的虚部为()

2+1

A.-2B.-1C.1D.2

7.若z(l+i)=l-i,则Z=()

A.1—iB.1+iC.-iD.i

1-i

8.复数z=/可的虚部是()

A.—B.!C.--iD.-

2222

9.欧拉公式e*=cosx+isinx(i为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的，它将指数函

数定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有

非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥''.根据欧拉公式，若将「'表示的复数记为z,

则z-(l+2i)的值为()

A.-2+iB.—2—iC.2+iD.2-i

10.设复数z满足z".=-l+i,则口=()

A.1B.&C.6D.V10

11.若复数z满足(l+i)z=|l+i|,贝”的虚部为()

A.-V2iB.-y/2C.--iD.--

22

12.已知尸x+yi,x,yGR,，是虚数单位.若复数三+i是实数，则|z|的最小值为

1+Z

()

5L

A.0B.-C.5D.&

2

二、填空题

13.若复数吁3+(病-9)/0,则实数，"的值为.

14.已知复数z=l+i(i是虚数单位)，则|z|=.

15.已知方程彳2-2》+°=0,06/?的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为由,

贝!1P=.

16.设Z1=2(cosq+ising),z,=^(sin-+icos-Y则z「z?的三角形式为

三、解答题

17.已知i是虚数单位，复数z=,〃2(i+。一,*(2+3i)—4(2+i),当机分别取何实数

时，z满足如下条件？

(1)实数；

(2)虚数；

(3)纯虚数；

(4)零.

18.已知复数z=l-2i(i为虚数单位).

(1)若z-Zo=2z+z,),求复数z。的共辗复数:

(2)若z是关于x的方程》2_,n+5=()一个虚根，求实数机的值.

19.(1)已知复数2=(1+初)(2+好(力€/?)是纯虚数，求空卫的模；

(2)已知zwC,且|z|=2,求|z—3］的取值范围.

20.设复数z=3cos6+2isin。，求函数y=®-argz(0<0<、)的最大值以及对应的，

值.

21.设复数Z1、z?满足z「Z2+2iZ1-2iz?+l=0.

⑴若Z1、Z2满足Z2-4=2i,求Z|、z2；

⑵若㈤=石，则是否存在常数&,使得等式|z2-4i|=A恒成立？若存在，试求出％的

值；若不存在，请说明理由.

参考答案:

1.D

根据=i,将z2+z4+z6+z8+/°+…+Z2020,转化为

i+i2+i3+i4+i5+i6+-+i，0，°，结合复数的运算性质求解.

【详解】

•••,2Z,+4z,+6z,+8z,+,1z0,H--,FZ,2020，

;,:2.;3,-4,;5,;6,,;1010

=1+1+1+14-1+1H-------F1，

•••1010=4x252+2,

Ei3+i^+i^+i«=f+f+f+i'»=...=i'«n+,.008+i1009+il0I0=0f

z2+z4+z6+z8+zK,+-+z2O2O=i+i2=-l+i.

故选：D.

2.C

求出z=(加+2i)(l+i)为纯虚数时m的值，与机=2比较，判断出结果

【详解】

z=(m+2i)(l+i)=m—2+(优+2)i,复数z=(〃?+2i)(l+i)为纯虚数，则〃♦2=0,解得:

m=2,所以则“加=2”是“复数z=(/n+2i)(l+i)为纯虚数”的充要条件

故选：C

3.C

根据复数表达式，先表示出z.由复数的运算求解,再根据复数的几何意义求得点所在象限.

【详解】

复数Z满足(z+l)(l+i)=l-i

答案第1页，共11页

即「仔

由复数的运算化简可得

Z=X1

1+1

=(-E__1

(i+0(1-0

=-1—Z

在复平面内Z对应的点坐标为(-1,-1),所以位于第三象限

故选:C

本题考查了复数的除法运算，复数的几何意义,属于基础题.

4.A

根据纯虚数的定义，求出sin。,cos。，进而求出tan。，将tan[O-iJ展开，即可求解.

【详解】

3

sin。——=0,

由已知条件可得，:

cos0——工0,

5

八34八4

/.sin。=M且cos—cos0=--,

八sin63

/.tan0=------=——,

cos，4

/、

(八7T\tan0-14r

/.tan0——=----------=4f=-7.

(4)1+tan6i3

i—

4

故选:A.

本题考查纯虚数的定义，以及同角间的三角函数关系,考查两角差的正切公式，属于基础

题.

5.C

答案第2页，共11页

利用复数的乘法法则化简复数Z,由此可得出结论.

【详解】

•.•z=2i(-2+3i)=-6-4"因此，复数z在复平面内的点位于第三象限.

故选：C.

6.A

根据复数除法的运算法则，求出复数z,然后由虚部的定义即可求解.

【详解】

陋h二后鲂4-3i(4-3i)(2-i)5-10i,..

解：因为复数Z=.-~\-22=1—21，

2+1(2+i)(2-i)2+1

所以复数z的虚部为-2,

故选：A.

7.D

先利用除法运算求得［,再利用共轨复数的概念得到z即可.

【详解】

因为w=lzi=(1一犷

,所以z=i.

1+Z(1+0(1-/)

故选：D

【点晴】

本题主要考查复数的除法运算，涉及到共辗复数的概念，是一道基础题.

8.A

先根据模的定义计算，并化简得到z=g-gi,再根据虚部的定义作出判定.

【详解】

答案第3页，共11页

_l-il-i」-i_11.

vZ=FH=^p=v=^1

•*-z的虚部为-;，

故选：A.

9.A

根据欧拉公式求出z,再由复数乘法运算即可求出.

【详解】

根据欧拉公式可得z=-cos—+zsin—=i

22f

则z・(l+2i)=i・(l+2i)=—2+i.

故选：A.

10.B

利用复数的四则运算以及复数模的运算即可求解.

【详解】

解析因为z=±

所以z=1-3卜卜枝.

故选：B

11.D

先利用复数的模长和除法运算化简得到z=正-变i,再根据虚部的定义，即得解

22

【详解】

由(l+i)z=|1+i|=>/2,

答案第4页，共11页

组近0(1—i)&72.

1+i(l+i)(l-i)22

，Z的虚部为-也.

2

故选：D

12.D

利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x=y+2,再利用复数模的计算公式和二

次函数的单调性即可得出.

【详解】

z(x+yz')(l-/)1.

解：；复数L+i(1+/)(1-DZ、+y+c；7+2),是实数

y-x+2=0

^x=y+2

|z|=y/x2+y2=J(y+2)2+y2=J2y2+4y+4=^2(y+l)2+2>0

当且仅当y=-Lx=1时取等号

|z|的最小值为e

故选：D

13.3

由题意知机-3+(,/-9)，为实数，实部大于或等于0,虚部等于0,即可求解.

【详解】

因为复数不能比较大小，所以加-3+(裙-9"为实数,

〃?-320

可得解得，"=3

nr-9=0

所以实数m的值为3,

故答案为：3

14.V2

答案第5页，共II页

利用复数模的概念求解即可.

【详解】

由z=1+i,

得|z|=Jf+产=夜;

故答案为：V2.

设方程的两根分别为％=。+万，x2=c+di,用。力表示出c,4,利用韦达定理求得匕=0或

a=\,分情况结合两个根在复平面上对应的两点之间的距离为G，求得。的值.

【详解】

解：方程Y-2犬+〃=0的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为6，

设方程的两根分别为玉=”+此x2=c+di,

贝ijX]+%=a+c+(b+d)i=2,得a+c=2,b+d=0,贝iJc=2-4，d=-b

22

x,x2=(a+bi)(c+di)=(a+/?i)(2-a-bi)=b-a+2a+(ab-2ab)i=p

严M+2a=p

[2/7-2^=0

则Z?=0或a=1

当Z?=0时，Xj=a,x2=2-a,

p=b2+2a=-。2+2a=-1).4-1,

设玉在复平面上对应的点为A,则A(a,O),设巧在复平面上对应的点为8,则

8(2-60),

则\AB\=^(2-67-67)2+(0-0)2=2|<2-1|=A/3,得,_1]=#，

答案第6页，共11页

、31

则p=—(a—t)+1=——+1=—,

44

当a=l时，％=1+4，x2=\-bi,

p=Z?2—l+2=/?2+l,

此时4(1,6),8(1,-6),即|AB|=-1J+9_(_3了=20=6，即网=^，

先将Z”Z?化简，然后计算Z「Z2,再转化为三角形式即可

【详解】

71..K

因为Z1=2cos——l-isin—

所以4•z?

V6.瓜.3应

故答案为

17.(1)m=—1或〃?=4；(2)1且》7#4；(3)，〃=—2；(4)m=4.

答案第7页，共11页

(1)由虚部等于0求得〃7的值；

(2)由虚部不为0求得〃?值；

(3)由实部为0且虚部不为0求得加值；

(4)由实部为。且虚部为。求得〃?值.

【详解】

z=序(1+i)-m(2+3i)—4(2+/)化为z=(6？_26一8)+-3"-4)i

(1)由一3"[-4=0,得机=4,或加=一1,

，当〃?=4,或加=-1时，z是实数；

(2)由m2-3根一4H0,得加。4且〃2W—1,

当mW4且〃2W-1时,Z为虚数；

(3)由加2—2〃7—8=0,且裙一3/〃一4工0,解得机=-2,

・•・当加=-2时，z为纯虚数；

m2-2/n-8=0

(4)由，解得m=4,

m2-3〃z—4=0

，当〃？=4时，z为零.

18.(1)2-z；(2)2.

【详解】

分析：(1)因为z-z0=2z+z(),所以z0=工一，求出z0,即可得到z。的共规复数；

Z-1

(2)将z=l-2，・代入方程/-,加+5=0,根据复数相等可求求实数m的值.

详解：(1)因为z-z0=2z+z。，所以芍二二二？0-2,)=2+/

z-1-21

所以复数Z。的共枕复数为2-，.

(2)因为z是关于x的方程丁-g+5=0的一个虚根，

所以(1-2。2-机(1-2。+5=0,Bp(2-m)+(2m-4)i=0.

又因为加是实数，所以机=2.

点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等的充要条件、共轲复数的定义，考查了计算

能力，属于基础题.

19.(1)V5；(2)[1,5].

答案第8页，共11页

（1）根据Z是纯虚数，求出分，求出代数式的值即可;

(2)设z=a+6i,贝1」/+/=4,-2釉2,得到|z-3|=|(a-3)+明|=\13-6。,求出z的取值

范围即可.

【详解】

解：(1)z=(l+W)(2+i)=2+(2fe+l)z-Z>=(2-/j)+(2/7+l)/,

若z是纯虚数，则2-》=0,解得：b=2,

^2h+3i4+3i4-8i+3i+6、.

故———=----=--------——=2-1,

1+bi1+2/1+4

故I鬻卜尚

(2)由题意设z=a+6i,贝1」/+从=4，-2^2,

故Iz-31=|(a-3)+历|=”“-3)2+6=yJa2+b2_6(l+9="Ya,

。=2时，|z-3|取最小值，最小值是1,

”=-2时，|z-3|取最大值,最大值是5,

故Iz-3]的取值范围是1,5].

20.当。=arctan逅时，y取得最大值arctan逅

212

根据辐角的主值定义，结合两角差的正切公式、基本不等式进行求解即可.

【详解】

2sin02

由z=3cos^+2isin0,可得tan(argz)=———-=一tan。,

3cos夕3

2

tan6——tan0

/万、tan^-tan(argz)tan。

tany=tan("—argz)=------------------——3---------，因为

l+tan0tan(argz)i22n3+2tan20

-------F2tan0

3tan。

0<^<—,所以tan6>0,于是一--+2tan0>2/——•2tan=2\/6,

2tan。VAtan0

当且仅当二｝=2tan。时取等号，则当tan，=逅时取等号，即当。=arctan逅时取等号,

tan<922

答案第9页，共11页

因此有tany<一!尸=一^,因此函数y=e-argz(0<的最大值为arctan逅，此时

，2761212

"arctan近

2

21.⑴有