江西省2020年高二数学上学期期中考试卷（五）

江西省2020年高二数学上学期期中考试卷（五）

（文科）

（考试时间120分钟满分150分）

一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

_V3

1.已知直线1的斜率为—，则该直线1的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.150°D.120°

2.在四面体P-ABC的四个面中，是直角三角形的面至多有（）个.

A.0个B.1个C.3个D.4个

3.若MA垂直菱形ABCD所在的平面，那么MC与BD的位置关系是（）

A.异面B.平行C.垂直相交D.相交但不垂直

4.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）

A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能

5.已知三个球的体积之比为1：8：27,则它们的表面积之比为（）

A.1：2：3B.1：4：9C.2：3：4D.1：8：27

6.圆x2+y2-2x+2y+l=0的圆心到直线x+y+l=0的距离是（）

A.1B.c.返D.W

2222

7.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）

OFQ

亍

俯O视图正日潮图侧应舰图

A.9nB.10nC.llnD.12n

8.过点（-1,3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）

A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0

9.设1为直线，a,0是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若l〃a,1〃d则a〃BB.若l，a,1，仇贝I」a〃0

C.若l_La,1〃B，贝i」a〃BD.若aJ_。，l〃a,贝！

10.已知A（1,2）,B（-1,4）,C（5,2）,贝iJ4ABC的边AB上的中线的直线方程

为（）

A.x=3B.x-y+l=0C.y=3D.x+5y-15=0

11.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是（）

29

A.a<-2B.--<a<（）C.-2<a<0D.-2<a<—

33

12.已知直线1的倾斜角为Vn,直线h经过点A(3,2)、B(a,-1),且h与1垂直,

直线b：2x+by+l=0与直线1]平行，则a+b等于()

A.-4B.-2C.0D.2

二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.

13.若1,m,n为空间的三条直线，lj_m,m，n,则1与n的位置关系为.

14.在空间直角坐标系中，点A(1,-2,1)与点B(0,1,-1)的距离为.

'y>x

15.已知z=x+2y,其中实数x,y满足卜+'<2,则z的最大值是z的最小值的一倍.

16.对于四面体ABCD,给出下列四个命题

①若AB=AC,BD=CD,贝UBC_LAD；

②若AB=CD,AC=BD,则BCLAD；

③若ABLAC,BD±CD,则BC_LAD；

④若ABLCD,BD±AC,贝BCLAD.

其中真命题的序号是一.(写出所有真命题的序号)

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演

算步骤.

17.如图，在正方体ABCD-A[BiC]D]中，E是AA】的中点，求证：AQ〃平面BDE.

18.如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC,AD=BD,E是AB的中点.

求证：(1)ABL平面CDE；

(2)平面CDEJ_平面ABC.

anMBOB

19.如图，在三棱柱ABC-AiBQi中，侧棱CC]垂直于底面ABC,AC=3,AB=5,

CB=4,AA]=4,点D是AB的中点.

(1)求证：AC±BC1；

(2)求三棱锥A「B)CD的体积.

20.分别求满足下列条件的直线1的方程：

(1)过点A(0,2),且直线1的倾斜角的正弦值是0.5；

(2)过点A(2,1),且直线1的倾斜角是直线li：3x+4y+5=0的倾斜角的一半.

21.已知圆C：x2+y2-2y-4=0,直线1：mx-y+1-m=0.

(1)判断直线1与圆C的位置关系；

(2)若直线1与圆C交于不同的两点A、B,且|AB|=3j],求直线1的方程.

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2-6x+l与坐标轴的交点都在圆C上.

(I)求圆C的方程；

(II)若圆C与直线x-y+a=0交与A,B两点，且OALOB,求a的值.

参考答案

一、单项选择题：

1.C.2.D.3.A.4.D.5.B6.C.7.D.8.A.9.BIO.D.

11.D.12.B.

二、填空题：

13.答案为；平行或相交或异面.

14.答案为：V14.

15.答案为：

16.答案为：①④.

三、解答题：

17.证明：在正方体ABCD-AiB]C[D]中，连接AC交BD于

点0,连接E0,则有0为AC的中点，

又E是的AAi的中点，；.E0为aAiAC的中位线，

，E0〃A]C,：EOu平面BED,A]C6平面BED,

.*.A]C〃平面BED.

18.证明：(1)•；BC=AC,AD=BD,E是AB的中点，由等腰三角形的性质可得CE

_LAB,DE±AB.

这样，AB垂直于平面CDE中的两条相交直线CE和DE,.•.AB_L平面CDE.

(2)由(1)AB_L平面CDE,而ABu平面ABC,平面CDEJ_平面ABC.

19.(1)证明:在AABC中，VAC=3,AB=5,BC=4,

.,.△ABC为直角三角形，AACIBC.

又,•七”平面ABC,ACCilAC,CC,nBC=C,

；.AC，平面BCCi，.\AC±BCi.

(2)解：在aABC中，过C作CFLAB,F为垂足，

•.•平面ABBiAJ平面ABC,且平面ABB[A]n平面ABC=AB,.,.CFl.平面ABB[A],

由ACXBC=ABXh,得

55

二三棱锥A]-BiCD的体积V=VC-A：DBI寺△A.DB.h=£x£x5X4X后-8.

20.解：、(1)设直线1的倾斜角为a,

由题意知：sina=y>得a=3()。，

故得k=tan30°

O

所求的直线方程为尸坐x+2，

即：6x-3y+6=0

(2)设直线1和h的倾斜角分别为a,p,

由题意知：CL=g€[0»

3-2tana

又tanB="-7=tan2a=------z-

41-tan2a

解得：tana=3或tana=-[■(舍去)

由点斜式得：y-1=3(x-2),

故所求的直线方程为3x-y-5=0.

21.解：(1)直线I：mx-y+1-m=0,即m(x-1)-y+l=0,恒过(1,1),

代入x2+y2-2y-4=l+l-2-4<0,所以(1,1)在圆的内部，

所以直线1与圆C相交；

(2)圆C：x2+y2-2y-4=0,即x2+(y-1)2=5,圆心(0,1),半径为遥，

因为|AB|=3我，

所以圆心到直线的距离为,5-(茅产平,

所以而I-m|手布

所以m=±1,

所以直线1的方程为x-y=0或x+y+2=0.

22.解：(1)法一：曲线y=x2-6x+l与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2加,

0),(3-2加，0).可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为(3,t),则有32+

(t-1)2=(2&)2+t2,解得t=l,故圆C的半径为W+G-1)2=3,所以圆C的方

程为(x-3)2+(y-1)2=9.

法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0

x=0,y=l有1+E+F=O

y=0,x2-6x+l=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=-6,F=l,E=-2,

即圆方程为x2+y2-6x-2y+l=0

(II)设A(X],y])，B(X2，y2)，其坐标满足方程组

x_y+a=Occ

■c,、°,消去y,得到方程2x?+(2a-8)x+a2-2a+l=0,由已知

(x-3)2+(y-1)2=9

可得判别式4=56-16a-4a2>0.

2

在此条件下利用根与系数的关系得到XI+X2=4-a,X]X2=a-%+1