2024-2025学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专题突破专练一课一练含解析新人教A版必修第一册VIP

PAGEPAGE1其次章专题突破专练专题1不等式性质及应用问题1.(2024·重庆一中模拟)设a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是()。A.a>b2 B.1a>C.1a<1b D.a2答案：A解析：对于A,∵-1<b<1,∴0≤b2<1,又∵a>1,∴a>b2,故A正确;对于B,若a=2,b=12,此时满意a>1>b-1,但1a<1b,故B错误;对于C,若a=2,b=-12,此时满意a>1>b>-1,但1a>1b,故C错误;对于D,若a=98,b=34,此时满意a>1>b>-1,但2.(2024·广东江门期末)设a,b∈R,定义运算“”和“”:ab=a,a≤b,b,a>b,ab=b,a≤b,a,a>A.mn≥4且p+q≤4B.m+n≥4且pq≤4C.mn≤4且p+q≥4D.m+n≤4且pq≤4答案：A解析：结合定义及mn≥2可得m≥2,m≤n或n≥2,m>n,即n≥m≥2或m>n≥2,所以mn≥4;结合定义及pq≤2可得p≤2,p>q或q≤23.(2024·浙江温州模拟)已知下列四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推出1a<1b成立的有(A.1个 B.2个C.3个 D.4个答案：C解析：运用倒数性质,由a>b,ab>0可得1a<1b,②④正确。又正数大于负数,①正确,③错误,故选4.(2024·广东惠州模拟)已知实数a,b,c满意b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是()。A.c≥b>a B.a>c≥bC.c>b>a D.a>c>b答案：A解析：∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b。又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2,∴b=a2+1,∴b-a=a2-a+1=a-12∴b>a,∴c≥b>a。5.(2024·安徽六安模拟)若1a<1b<0,给出下列不等式:①1a+b<1ab;②|a|+b>0;③a-1a>bA.①② B.②③C.①③ D.①②③答案：C解析：解法一:因为1a<1b<0,故可取a=-1,b明显|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误。可解除A,B,D。解法二:由1a<1b<0,可知b<a<0。①中,因为a+b<0,ab>0,所以1a+b<0,1ab>0,故有1a②中,因为b<a<0,所以-b>-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误;③中,因为b<a<0,又1a<1b<0,则-1a>-1b>0,所以a-1a>b-6.(2024·咸阳期末)设x<a<0,则下列不等式肯定成立的是()。A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax答案：B解析：∵x<a<0,∴ax>a2,x2>ax,∴x2>ax>a2,故选B。7.(2024·江苏丹阳模拟)已知实数x,y满意-4≤x+y≤-1,-1≤4x+y≤5,则9x+3y的取值范围是。

答案：[-6,9]解析：设9x+3y=a(x+y)+b(4x+y)=(a+4b)x+(a+b)y,∴a+4b∴9x+3y=(x+y)+2(4x+y),∵-1≤4x+y≤5,∴-2≤2(4x+y)≤10,又-4≤x+y≤-1,∴-6≤9x+3y≤9。8.某公司有20名技术人员,安排开发A,B两类共50件电子器件,每类每件所需人员和预料产值如下:电子器件种类每件须要人员数每件产值/(万元/件)A类17.5B类16今制订安排欲使总产值最高,则A类电子器件应开发件,最高产值为万元。答案：20330解析：设应开发A类电子器件x件,则开发B类电子器件(50-x)件。依据题意,得x2+50-x3≤20,解得由题意,得总产值y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330,当且仅当x=20时,y取最大值330。所以欲使总产值最高,A类电子器件应开发20件,最高产值为330万元。9.已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0,ca-db>0(其中a,b,c,d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成正确命题的个数是答案：3解析：若ab>0,bc-ad>0成立,不等式bc-ad>0两边同除以ab可得ca-db>0,即ab>0,bc-ad>0⇒ca若ab>0,ca-db>0成立,不等式ca-db>0两边同乘ab,可得bc-ad>0,即ab>0,ca-db若ca-db>0,bc-ad>0成立,则ca-db=bc-adab>0,又bc-ad>0,则ab>0,即ca-db综上可知,以三个不等式中随意两个为条件都可推出第三个不等式成立,故可组成的正确命题有3个。10.(2024·湖北襄阳四中周练)已知:a>b>0,c<d<0,e>0。求证:e(a-答案：证明:∵a>b>0,c<d<0,则-c>-d>0,从而a-c>b-d>0,∴(a-c)2>(b-d)2>0。则1(a-又e<0⇒e(a-专题2基本不等式及其应用问题11.(2024·上海青浦一中高一上学期期中)三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图2-1所示,我们教材中利用该图证明()。图2-1A.假如a>b,b>c,那么a>cB.假如a>b>0,那么a2>b2C.对随意正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立D.假如a>b,c>0,那么ac>bc答案：C解析：可将直角三角形的两直角边长取作a,b,斜边为c(c2=a2+b2)。则外围的正方形的面积为c2,也就是a2+b2,四个阴影面积之和刚好为2ab。对随意正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立。12.若-4<x<1,则x2-2xA.有最小值1 B.有最大值1C.有最小值-1 D.有最大值-1答案：D解析：x2-2又∵-4<x<1,∴x-1<0。∴-(x-1)>0。∴-12-(x-1)+1-(x-13.若实数a,b满意1a+2b=ab,则ab的最小值为(A.2 B.2 C.22 D.4答案：C解析：由题意,得a>0,b>0。∵ab=1a+2b≥22ab=22ab,当且仅当1a=2b时等号成立14.设b>a>0,且P=21a2+1b2,Q=21a+1b,M=ab,NA.P<Q<M<N<R B.Q<P<M<N<RC.P<M<N<Q<R D.P<Q<M<R<N答案：A解析：Q为调和平均数,M为几何平均数,N为算术平均数,R为平方平均数,由基本不等式性质可知四种平均数满意调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数,∵b>a>0,∴Q<M<N<R。∵1P>1Q,∴P<Q。故选15.(2024·安徽六安第一中学高一下学期期末)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为()。A.8 B.6 C.4 D.2答案：B解析：利用基本不等式,x+3y=9-xy=9-13·x·3y≥9-13x+3y22,令t=x+3y,故-112t2-t+9≤0,又∵t>0,解得t≥6,∴16.若不等式a2+b2+2>λ(a+b)对随意正数a,b恒成立,则实数λ的取值范围是()。A.-∞,12C.(-∞,2) D.(-∞,3)答案：C解析：∵不等式a2+b2+2>λ(a+b)对随意正数a,b恒成立,∴λ<a2∵a2+b2+2a+b≥(当且仅当a=b=1时取等号,∴λ<2。17.(2024·四川成都高一下学期期中)若不等式m≤12x+21-x对随意x∈(0,1)恒成立,则实数mA.9 B.9C.5 D.5答案：B解析：设f(x)=12x+21-x=1而12x+21-x=5∵x∈(0,1),得x>0且1-x>0,∴12(1-x)当且仅当12(1-x)x=2x1-x=1,即x=∴f(x)=12x+21-x的最小值为而不等式m≤12x+21-x对随意x∈(0,1)恒成立,即m≤12x+218.(2024·陕西西安中学高一期末)给出下列结论:①若a,b为正实数,a≠b,则a3+b3>a2b+ab2;②若a,b,m为正实数,a<b,则a+mb③若ac2>bc2,则其中结论正确的有。(填序号)答案：①③解析：对于①,若a,b为正实数,a≠b,∵a3+b3-(a2b+ab2)=(a-b)2(a+b)>0,∴a3+b3>a2b+ab2,故①正确;对于②,若a,b,m为正实数,a<b,则a+mb+m则a+mb+m>a对于③,若ac2>bc2,则a>b故答案是①③。19.若关于x的不等式ax+b>0的解集为(1,+∞),则a-1b+1的最小值为答案：3解析：由题意可得a+b=0,a>0,所以a-1b+1=a+1a+1≥3,当且仅当a=1,b20.(2024·河南郑州外国语学校高二上学期开学测试)已知x<12,则函数y=2x+12x答案：-1 解析：∵x<12,2x-1<0,∴1-2x>0∵y=2x+12x-1=2x-1+∴-(y-1)=1-2x+11∵1-2x>0,∴1-2x+11-2x≥211-2x·(1-2x)=2(当且仅当21.(2024·湖北部分重点中学高一下学期期中)十九大指出中国的电动汽车革命早已绽开,通过以新能源汽车替代汽、柴油车,中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的安排。2024年某企业安排引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2500万元,每生产汽车x(百辆),需另投入成本C(x)(万元),且C(x)=10由市场调研知,每辆车售价5万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完。(1)求出2024年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;(利润=销售额-成本)答案：当0<x<40时,y=5×100x-10x2-100x-2500=-10x2+400x-2500;当x≥40时,y=5×100x-501x-10000x+4500-2500=2000-x∴L(x)=-(2)2024年产量为多少百辆时,企业所获利润最大,并求出最大利润。答案：当0<x<40时,L(x)=-10(x-20)2+1500,∴当x=20时,L(x)max=L(20)=1500;当x≥40时,L(x)=2000-x+10000x≤当且仅当x=10000x,即x=100时,L(x)max=L(100)=1800>1500∴当x=100,即2024年生产100百辆时,该企业获得利润最大,且最大利润为1800万元。22.(2024·黄冈中学单元测评)若a>0,b>0,且a2+b22=1,求a答案：解:∵a>0,b>0,a2+b2∴a1+b2=a2(1+b2)=2a当且仅当正数a,b满意a2=1+b22且a2+b22=1,即a=3∴a1+b2的最大值为专题3二次函数与一元二次方程、不等式的有关问题23.若不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3A.(1,3) B.(-∞,3)C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,+∞)答案：A解析：由4x2+6x+3=2x+322+34>0对一切x∈R恒成立,从而原不等式等价于2x2+2mx+m<4x2即2x2+(6-2m)x+(3-m)>0对一切实数x恒成立,所以Δ=(6-2m)2-8(3-m)=4(m-1)(m-3)<0,解得1<m<3。24.(2024·宁夏银川一中高二期中)关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)·(x-2)>0的解集是()。A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-1,2)C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)答案：D解析：∵关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),∴a>0,ba=1,则关于x的不等式(ax+b)(x-2)>0可化为(x+1)(x-2)>0,解得x>2或x<-1∴所求不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞)。故选D。25.若a>0,b>0,则不等式-b<1x<a等价于()A.-1b<x<0或0<x<B.-1a<x<C.x<-1a或x>D.x<-1b或x>答案：D解析：-b<1x<a⇔x>0,1x<a或x<0,1x26.(2024·北京昌平一中高一期中)某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160-2x,生产x件所需成本为C(元),其中C=(500+30x)元。若要求每天获利不少于1300元,则日销售量x的取值范围是()。A.[20,30] B.[20,45]C.[15,30] D.[15,45]答案：B解析：设该厂每天获得的利润为y元,则y=(160-2x)·x-(500+3x)=-2x2+130x-500,0<x<80。依据题意知,-2x2+130x-500≥1300,解得20≤x≤45,∴当20≤x≤45时,每天获得的利润不少于1300元。故选B。27.(2024·江苏南京一模)已知函数f(x)=-x2+ax+b(a,b∈R)的值域为(-∞,0],若关于x的不等式f(x)>c-1的解集为(m-4,m+1),则实数c的值为。

答案：-21解析：∵函数f(x)=-x2+ax+b(a,b∈R)的值域为(-∞,0],∴Δ=0,∴a2+4b=0,∴b=-a2∵关于x的不等式f(x)>c-1的解集为(m-4,m+1),∴方程f(x)=c-1的两根分别为m-4,m+1,即方程-x2+ax-a24=c-1的两根分别为m-4,m∵方程-x2+ax-a24=c-1的根为x=a2∴两根之差为21-c=(m+1)-(m-4),解得c=-28.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3对随意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是。

答案：[1,19) 解析：①当m2+4m-5=0时,m=-5或m=1。若m=-5,则函数化为y=2x+3。对随意实数x不行能恒大于0。若m=1,则y=3>0恒成立。②当m2+4m-5≠0时,依据题意应有m∴m<-5或综上可知,1≤m<19。29.(2024·江苏南通如东中学高一上学期期中)若x2-2ax+a+2≥0对随意x∈[0,2]恒成立,则实数a的取值范围为。

答案：[-2,2] 解析：若对随意x∈[0,2],x2-2ax+a+2≥0恒成立,则函数f(x)=x2-2ax+a+2在[0,2]上的最小值恒大于等于0。二次函数f(x)=x2-2ax+a+2的对称轴为直线x=a。当a≥2时,函数f(x)在[0,2]上单调递减,f(x)min=f(2)=6-3a≥0,则a=2;当a≤0时,函数f(x)在[0,2]上单调递增,f(x)min=f(0)=2+a≥0,则-2≤a≤0;当0<a<2时,函数f(x)在[0,a]上单调递减,在[a,2]上单调递增,f(x)min=f(a)=-a2+a+2≥0,则0<a<2。综上,实数a的取值范围为[-2,2]。30.(2024·江苏苏州张家港高一下学期期中)已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}。(1)求a,b的值;答案：∵不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b},∴a>0,且方程ax2-3x+2=0的两个根是1和b。由根与系数的关系,得1+b=(2)解关于x的不等式:ax2-(ac+b)x+bx<0。答案：∵a=1,b=2,∴ax2-(ac+b)x+bx<0,即x2-(c+2)x+2x<0,即x(x-c)<0。∴当c>0时,解得0<x<c;当c=0时,不等式无解;当c<0时,解得c<x<0。综上,当c>0时,不等式的解集是(0,c);当c=0时,不等式的解集是⌀;当c<0时,不等式的解集是(c,0)。31.(2024·南京一中单元检测)已知函数y=ax2+2ax+1的定义域为R,解关于x的不等式x2-x-a答案：解:∵函数y=ax2+2ax+1的定义域为R,∴ax2+2当a=0时,1≥0,不等式恒成立;当a≠0时,则a>0,Δ=4a综上,0≤a≤1。由x2-x-a2+a<0得(x-a)[x-(1-a)]<0。∵0≤a≤1,∴①当1-a>a,即0≤a<12时,a<x<1-a②当1-a=a,即a=12时,x-1③当1-a<a,即12<a≤1时,1-a<x<a综上,当0≤a<12时,原不等式的解集为{x|a<x<1-a};当a=12时,原不等式的解集为⌀;当12<a≤1时,原不等式的解集为{x|1-a<x<专题4一元二次函数、方程和不等式中的易错问题易错点1方法选择不当而致错32.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中的值最大的是()。A.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1 D.1答案：A解析：本题可用特值法:令a1=0.1,a2=0.9;b1=0.2,b2=0.8,则a1b1+a2b2=0.74;a1a2+b1b2=0.25;a1b2+a2b1=0.26。故选A。【易错警示】不能小题大做。本题若用作差法比较大小,则比较麻烦。(a1b1+a2b2)-(a1a2+b1b2)=a1(b1-a2)+b2(a2-b1)=(b1-a2)(a1-b2)。由条件知0<a1<12<a2,0<b1<12<b∴b1-a2<0,a1-b2<0,∴(b1-a2)(a1-b2)>0,∴a1b1+a2b2>a1a2+b1b2。(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=a1(b1-b2)+a2(b2-b1)=(a1-a2)(b1-b2)>0。∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1。设a1=12-α,a2=12+α,b1=12-β,b2=12+β,由题意知0<α<12∴a1b1+a2b2-12=14-12(α+β)+αβ+14+12(α+β)+αβ-12=2αβ>0,∴a1b1+a因此,有关不等式大小的选择题,解题时要依据题目特点敏捷选取方法,以简化解题过程。易错点2误用不等式的性质而致错33.已知1≤a-b≤2且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围。答案：解:令a+b=μ,a-b=v,则2≤μ≤4,1≤v≤2。由a+b∴4a-2b=4·μ+v2-2·μ-v2=2μ+2v-μ+∵2≤μ≤4,3≤3v≤6,∴5≤μ+3v≤10,即5≤4a-2b≤10。∴4a-2b的取值范围为[5,10]。【易错警示】同向不等式的两边可以相加减,但是这种转化不是等价变形,假如在解题过程中多次运用这种转化,就有可能扩大了所求代数式的取值范围。所以选用不等式性质求解代数式的取值范围时务必当心谨慎。易错点3忽视等号成立的条件而致错34.已知正数x,y满意x+2y=2,则x+8yxy答案