广东省湛江市2024-2025学年高二数学上学期期末调研考试试题

PAGEPAGE20广东省湛江市2024-2025学年高二数学上学期期末调研考试试题（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“∀x∈[0，+∞），x2+2x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x2+2x≥0 B．∀x∈（﹣∞，0），x2+2x＜0 C．∃x0∈[0，+∞），x02+2x0≥0 D．∃x0∈[0，+∞），x02+2x0＜02．双曲线＝1的焦距是（）A．10 B．20 C．2 D．43．在数列{an}中，a1＝0，an＝3an﹣1+2（n≥2），则a3＝（）A．2 B．6 C．8 D．144．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则b＝（）A． B． C． D．5．已知点P（﹣2，4）在抛物线y2＝2px（p＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（）A．（0，2） B．（0，4） C．（2，0） D．（4，0）6．已知双曲线＝1的焦点与椭圆＝1的焦点相同，则m＝（）A．1 B．3 C．4 D．57．“﹣1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝10，则|PF2|＝（）A．2或18 B．2 C．18 D．49．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin2B＝bcosAcosB，则△ABC的形态是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定10．直线l：y＝kx+2与椭圆C：＝1有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）11．已知等差数列{an}的前n项和Sn有最小值，且，则使得Sn＞0成立的n的最小值是（）A．11 B．12 C．21 D．2212．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过点F1且与l1垂直的直线l交l1于点P，交l2于点Q，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．3二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆4x2+6y2＝24的短轴长是．已知a＞b＞0，且a+b＝2，则的最小值是．从某建筑物的正南方向的A处测得该建筑物的顶部C的仰角是45°，从该建筑物的北偏东30°的B处测得该建筑物的顶部C的仰角是30°，A，B之间的距离是35米，则该建筑物的高为米．已知抛物线C：y2＝4x，点Q在x轴上，直线l：（m﹣2）x﹣y﹣2m+4＝0与抛物线C交于M，N两点，若直线QM与直线QN的斜率互为相反数，则点Q的坐标是．三．解答题（共6小题，17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知p：函数f（x）＝|ax﹣m|（a≠0）在区间[1，+∞）上单调递增，q：关于x的不等式x2+mx+m≤0的解集非空．（1）当a＝3时，若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a＞0时，若p为假命题是q为真命题的充分不必要条件，求a的取值范围．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a，．（1）求C；（2）若，求△ABC的面积．19．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线C交于M，N两点．（1）若直线l的方程为y＝x+3，求|MF|+|NF|的值；（2）若直线l的斜率为2，l与y轴的交点为P，且＝2，求|MN|．20．已知数列{an}的前n项和Sn＝2﹣an，数列{bn}满意b1＝1，b3+b7＝18．且bn+1+bn﹣1＝2bn（n≥2）．（I）数列{an}和{bn}的通项公式．（II）若bn＝an•cn，求数列{cn}的前n项和Tn．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，PA＝PB＝PD，PE＝2EC，O为BD的中点．（1）证明：OP⊥平面ABCD．（2）若AB＝2，BC＝2AD＝4，PA＝4，求二面角C﹣BD﹣E的余弦值．22．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，点A在椭圆E上，且|OA|的最小值是（O为坐标原点）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知动直线l与圆O：x2+y2＝t2（t＞0）相切，且与椭圆E交于P，Q两点．是否存在实数t，使得OP⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．广东2024-2025学年第一学期高二期末考试数学一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“∀x∈[0，+∞），x2+2x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x2+2x≥0 B．∀x∈（﹣∞，0），x2+2x＜0 C．∃x0∈[0，+∞），x02+2x0≥0 D．∃x0∈[0，+∞），x02+2x0＜0【解答】解：命题为全称命题，则命题“∀x∈[0，+∞），x2+2x≥0”的否定：∃x0∈[0，+∞），x02+2x0＜0，故选：D．2．双曲线＝1的焦距是（）A．10 B．20 C．2 D．4【解答】解：双曲线﹣＝1中a＝8，b＝6，∴c＝＝10，∴2c＝20．故选：B．3．在数列{an}中，a1＝0，an＝3an﹣1+2（n≥2），则a3＝（）A．2 B．6 C．8 D．14【解答】解：因为a1＝0，an＝3an﹣1+2，所以a2＝3a1+2＝2，则a3＝3a2+2＝8．故选：C．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则b＝（）A． B． C． D．【解答】解：利用正弦定理：因为，所以．故选：A．5．已知点P（﹣2，4）在抛物线y2＝2px（p＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（）A．（0，2） B．（0，4） C．（2，0） D．（4，0）【解答】解：因为点P（﹣2，4）在抛物线y2＝2px的准线上，所以，所以p＝4，则该抛物线的焦点坐标是（2，0）．故选：C．6．已知双曲线＝1的焦点与椭圆＝1的焦点相同，则m＝（）A．1 B．3 C．4 D．5【解答】解：因为椭圆＝1的焦点坐标（，0），双曲线＝1的焦点坐标（，0）所以＝，解得m＝1．故选：A．7．“﹣1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程表示椭圆，则，解得﹣1＜m＜3或3＜m＜7，故“﹣1＜m＜3”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件．故选：A．8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝10，则|PF2|＝（）A．2或18 B．2 C．18 D．4【解答】解：因为|PF1|＝10＜a+c＝12，所以点P在该双曲线左支上，则|PF2|＝2a+|PF1|＝2×4+10＝18．故选：C．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin2B＝bcosAcosB，则△ABC的形态是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【解答】解：因为asin2B＝bcosAcosB，所以sinAsin2B＝sinBcosAcosB，所以sinB（sinAsinB﹣cosAcosB）＝0，即﹣sinBcos（A+B）＝0．因为0＜A＜ð，0＜B＜ð，所以，故△ABC是直角三角形．故选：B．10．直线l：y＝kx+2与椭圆C：＝1有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【解答】解：∵直线l：y＝kx+2与椭圆C：＝1有公共点，∴联立方程，消去y得：（1+2k2）x2+8kx+6＝0，∴△＝64k2﹣24（1+2k2）≥0，解得：或，故选：B．11．已知等差数列{an}的前n项和Sn有最小值，且，则使得Sn＞0成立的n的最小值是（）A．11 B．12 C．21 D．22【解答】解：由题意可得等差数列{an}的公差d＞0．因为，所以a12＞0，a11＜0，所以a11+a12＞0，则，S21＝21a11＜0．故使得Sn＞0成立的n的最小值是22．故选：D．12．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过点F1且与l1垂直的直线l交l1于点P，交l2于点Q，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．3【解答】解：记O为坐标原点．由题意可得F1（﹣c，0），不妨设l1：，l2：，则直线l：．联立，解得，则，故|PF1|＝b，|OP|＝a．因为，所以|PQ|＝2|PF1|，所以|PQ|＝2b，，则．因为，所以，所以，整理得c4﹣4a2c2+3a4＝0，则e4﹣4e2+3＝0，解得．故选：B．二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆4x2+6y2＝24的短轴长是4．【解答】解：由题意椭圆4x2+6y2＝24，即：，可得b＝2，则短轴长是2b＝4．故答案为：4．14．已知a＞b＞0，且a+b＝2，则的最小值是．【解答】解：因为a+b＝2，所以，因为a＞b＞0，所以（当且仅当，时，等号成立），所以，故答案为：．15．从某建筑物的正南方向的A处测得该建筑物的顶部C的仰角是45°，从该建筑物的北偏东30°的B处测得该建筑物的顶部C的仰角是30°，A，B之间的距离是35米，则该建筑物的高为米．【解答】解：设该建筑物的高|OC|＝h（O为该建筑物的底部），由题意可得|OA|＝h，，|AB|＝35，∠AOB＝150°，则|AB|2＝|OA|2+|OB|2﹣2|OA||OB|cos∠AOB，即，解得．故答案为：．16．已知抛物线C：y2＝4x，点Q在x轴上，直线l：（m﹣2）x﹣y﹣2m+4＝0与抛物线C交于M，N两点，若直线QM与直线QN的斜率互为相反数，则点Q的坐标是（﹣2，0）．【解答】解：如图所示，直线QM、QN交Y轴分别于A、B点，不妨设m＝3，则直线方程为y+2＝x，联立抛物线y2＝4x，得：y2﹣4y﹣8＝0，∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣8，设Q（n，0），M（x1，y1），N（x2，y2）∵直线QM与直线QN的斜率互为相反数，∴，∴y1（x2﹣n）+y2（x1﹣n）＝0，∵x＝y+2∴y1（y2+2）+y2（y1+2）﹣n（y1+y2）＝02y1y2+2（y1+y2）﹣n（y1+y2）＝0﹣16+8﹣4n＝0∴n＝﹣2．故答案为：（﹣2，0）．三．解答题（共6小题，17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知p：函数f（x）＝|ax﹣m|（a≠0）在区间[1，+∞）上单调递增，q：关于x的不等式x2+mx+m≤0的解集非空．（1）当a＝3时，若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a＞0时，若p为假命题是q为真命题的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝3时，f（x）＝|3x﹣m|．因为p为真命题，所以，即m≤3，故m的取值范围是（﹣∞，3]．（2）因为p为假命题，所以，因为a＞0，所以m＞a．记满意p为假命题的m的取值集合为A＝（a，+∞）．因为q为真命题，所以m2﹣4m≥0，解得m≤0或m≥4．记满意q为真命题的m的取值集合为B＝（﹣∞，0]∪[4，+∞）．因为p为假命题是q为真命题的充分不必要条件，所以集合A是集合B的真子集，则a≥4．故a的取值范围是[4，+∞）．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a，．（1）求C；（2）若，求△ABC的面积．【解答】解：（1）因为b＝2a，所以c2＝a2+b2﹣2abcosC＝5a2﹣4a2cosC．所以，可得sinC+cosC＝1，整理得．又因为C∈（0，ð），所以．（2）由（1）可知，c2＝5a2﹣4a2cosC＝7a2，又因为，所以a＝2，b＝2a＝4．所以．19．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线C交于M，N两点．（1）若直线l的方程为y＝x+3，求|MF|+|NF|的值；（2）若直线l的斜率为2，l与y轴的交点为P，且＝2，求|MN|．【解答】解：（1）设直线l与抛物线C交点M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去x，整理得y2﹣14y+9＝0，所以y1+y2＝14，所以|MF|+|NF|＝y1+2+y2+2＝18，所以|MF|+|NF|的值18；（2）设直线P（0，t），直线l的方程为y＝2x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去y，整理得x2﹣16x﹣8t＝0，由△＝162+4×8t＞0，则t＞﹣8，所以x1+x2＝16，x1x2＝﹣8t，①因为＝2，（0﹣x1，t﹣y1）＝2（0﹣x2，t﹣y2），所以x1＝2x2，②由①②解得t＝﹣，满意t＞﹣8，所以|MN|＝•＝．20．已知数列{an}的前n项和Sn＝2﹣an，数列{bn}满意b1＝1，b3+b7＝18．且bn+1+bn﹣1＝2bn（n≥2）．（I）数列{an}和{bn}的通项公式．（II）若bn＝an•cn，求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解由题意可得Sn＝2﹣an，①当n≥2时，Sn﹣1＝2﹣an﹣1，②①﹣②得，an＝Sn﹣Sn﹣1＝an﹣1﹣an，即又a1＝S1＝2﹣a1，可得a1＝1，易知an﹣1≠0，故数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，所以由bn+1+bn﹣1＝2bn可知数列{bn}为等差数列，设其公差为d，则，所以d＝＝2，故bn＝b1+（n﹣1）d＝2n﹣1（II）由（I）结合题意可得，＝（2n﹣1）•2n﹣1．则+…+（2n﹣1）×2n﹣1③两边同乘以2得，+…+（2n﹣1）×2n④③﹣④得，﹣Tn＝1+2（21+22+23+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n整理得，﹣Tn＝1+＝﹣（2n﹣3）•2n﹣3故21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，PA＝PB＝PD，PE＝2EC，O为BD的中点．（1）证明：OP⊥平面ABCD．（2）若AB＝2，BC＝2AD＝4，PA＝4，求二面角C﹣BD﹣E的余弦值．【解答】解：（1）证明：取AD的中点F，连接PF，OF．因为PA＝PD，F为AD的中点，所以AD⊥PF．因为O为BD的中点，F为AD的中点，所以OF∥AB．因为AB⊥AD，所以OF⊥AD，因为OF∩PF＝F，OF⊂平面POF，PF⊂平面POF，所以AD⊥平面POF．又OP⊂平面POF，所以AD⊥OP．因为PB＝PD，O为BD的中点，所以PO⊥BD．因为AD∩BD＝D，AD⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD．（2）解：以O为坐标原点，平行AD的直线为x轴，FO所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．则O（0，0，0），