新教材苏教版必修第二册10三角恒等变换

第10章三角恒等变换

10.3几个三角恒等式

基础过关练

题组一积化和差公式的应用

1.（2021江苏海安高级中学高二期中）若cos?"cos?£总则sin（"£）sin（。+£）=

（）

2.化简:4sin(60°-9)•sin9•sin(600+

3.函数产sin卜一弓cosx的最小值是

4.求下列各式的值.

(l)sin37.5°cos7.5°；

(2)sin20°cos70°+sinl0°sin50°.

深度解析

题组二和差化积公式的应用

5.（2021江苏无锡第一中学高一月考）sin75°-sinl50的值为)

A.iB.—C.—D.-i

2222

6.下列关系式中正确的是)

9+sin39=2sin8>cos2。

9—cos5^=-2sin4Jsin。

.i

9—sin5cos4®cosS

2

1

D.,[cos(方力-cos(x+D]=sinxsiny

„、_（_看sin350-sin25°

7-计臬侬35。-二25"）

A.^苧C.V3V3

8.在△Z6C中,a/,c分别为N4N&NC的对边，若cos吩cosesinmsinC试判断△

力£。的形状.

易错

题组三半角公式的应用

9.已知cos2a=-：,且ae9T，则sin°的值为（）

.V103V10V103V10

A.--Dn.--------

10101010

10.（2020江苏南京金陵中学高一月考）若cosa=q,a是第三象限角，则

1+tan^

T~~~a~•

1-tan^---------------

11.已知sin^=^-|,cos0=^^-（-<6<n）则tan—.

m+5m+5\2/2---------------

题组四万能公式的应用

12.（2021山东胶州实验中学高一期中）已知a为第四象限角，且sinQ+COS4总贝lj

ta吗的值为（）

A.-iB.-C.--D.i

2233

13.已知。为第三象限角，且cos]>0,tana=3,则ta吗的值为（）

1Vio„i^Vio

3333

-1+,-A^-IO-1+,——VTU或T——1——VIo

333333

14.若tan9+-^；二典贝ljsin29-.

tang---------------

15.已知2sine+cose=5,求3cos2o+4sin2。的值.

smJ-3cosJ

能力提升练

题组一积化和差与和差化积公式的应用

1.（2021山东潍坊一中高一期中，北）已知£为锐角，且万=三贝IJsinasinf

6

的取值范围是（）

A.（。与Bjl，r

[-1,f]D.[-V3,V3]

C.

2.（2020江苏扬州大学附属中学期中,北）已知tan号以亨,tanatan£=^Mcos（a-

万）的值为.

3.（2020江苏天一中学阶段检测，的已知cosa-cos£=；,sina-sin£=-&则

sin（a+£）的值为.

4.（2021江苏辅仁高级中学高一月考,"）已知△力回的三个内角4月。满

足:力+小2£,上+义=-£,求cos竽的值.

COST!COSLcosB2

题组二半角公式的应用

5.（2020江苏高邮中学学情检测,痔）已知450°＜。＜540。，则+|+；cos2a化

22722

简的结果是（）

aaaa

2222

6.（多选）（*）设。的终边在第二象限，则容吗的值可能为（）

cos2-sin^

7.（2021广东深圳外国语学校高一期中，婚）若a是第三象限角，且

sin(a+£)cos£-sin£cos(。+£)=-卷，贝Utan£=

8.(*Q化简:⑴》21■当：+

Vl+cosa一Vbcosa

1-sina(.3n\

〃-jHi<a<—；

Vl+cosa+Vl-cosaV27

cosi(岑-a)-tan?(1+cosa)

(2)—(0<。〈:n).

Vl-cosa

题组三三角恒等变换的综合应用

9.（2021江苏高邮中学高一阶段测试,封）在AZ勿中，若sinZsin^cosZj,则△Z6C是

（）

A.等边三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.直角三角形

10.(2020天津一中高一上期末,箱)下列函数中，以5为最小正周期的偶函数是

()

A.产sin2A+cos2xB.尸sin2xcos2x

C.产cos(4%+D.尸sin睨x-cos^x

11.(*)已知函数f(x)=sinx+gcosx+a在(0,2n)内有两个不同的零点a,

⑴求实数a的取值范围；

⑵求tan(。+£)的直

答案全解全析

第10章三角恒等变换

10.3几个三角恒等式

基础过关练

1.Bsin("£)sin(a+£尸-*cos2。-cos27?)=~|(2cos2^-l-2cos27?+l)=cos2

cos2故选B.

2.答案sin30

解析原式二-2sin9•[cosl20°-cos(-29)]

二一2sinefcos2e)

=sin9+2sin9cos20

=sin9+sin3。-sin。=sin39.

3.答案

解析产sin(xW)cosx

斗in(2x.)+sin©)]

斗inQC

哮in(2"£H，

当sin(2x-5=T时,y取得最小值，为

4.解析(l)sin37.5°cos7.5°

=|[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]

=|(sin450+sin30°户竿.

(2)sin200cos700+sinlO°sin50°

=|[sin900+sin(-50°)]-|[cos600-cos(-40°)]

二|一|sin50°-洱cos40。弓.

解题模板

在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积,那么化得的结果应用sin(a+B)

与sin(的和或差;如果形式为同名函数积,那么化得的结果应用cos(£)与

cos(。-£)的和或差.

5.Bsin75°-sinl5°=2cos45°sin300=2X^X1=^.故选B.

6.DA中,sin50+sin30=2sin40cos0,A错；

B中,cos3。-cos50=-2sin4Osin(-0)=2sin4Osin0,B错；

C中,sin3。-sin50=2cos4Osin(-。)=-2cos4Osin0,C错;

D,|[COS(A-j^-cos(A+y)]=lX[-2sin^sin(-y)]=sinxsiny,D正确.

7.D原式言篇弋：=』=一』『.

8.解析易知cos等的值不为0,

由cos班cos作sin吩sinC得

2cos零cos%=2sin比cos二，

两边同除以2cos竽得sin与Jcos等，即tan等=1,

...写书即£+华,...号,I.△Z6C为直角三角形.

易错警示

应用和差化积公式时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接

运用公式化成积的形式，若是一正弦与一余弦的和或差，则先利用诱导公式化成同

名函数后,再运用公式化成积的形式.

9.B9a可”],，sina>0.

Vcos2<7=-i,.•.由半角公式可得sina=Ji-c；s2屋

10.答案

解析：a是第三象限角,cosa=W，

_3

.'.sin。=一|5,贝Uta呜2=1^+c^os=a'i_=5-3.故原式=1-^（-3^）=42

11.答案5

解析由sin20+cos?9=1彳导（用）+（崇）=1,解得炉0或炉8.

当m=0时,sin。<0,不符合题意,舍去；

当a=8时,sin。吟,cos。=卷，

tane=i^=H_il)=5.

2sin0A13

12.C由万能公式sina-2tan|a,cosa-产l得三当+詈琮'，解得ta呜=2或tan^=-

l+tanZ2l+tanZ2l+tan"?l+tanq522

1

3

由a为第四象限角，知与为第二或第四象限角,

/.tan-<0,/.tan-=-i.

13.A)•tan-^4=3,

'l-tan25，

即3tan22+2tan|-3=0,

，tan尸冷或tan/W*

Vcos|>0,a为第三象限角,

.•《为第四象限角,

，tan於0,，tan>W-孚

14.答案2m

解析因为tan。+与="，即吟1=",

tan。tan。

所以sin2<9=l+-tafnz^0=-m

••2sin0+cos0_

15.解析sin。-3cos6-5,

2tan0+i_。=2.

；atanJ-3=5jAtan

又cos2^=±^=_|sin2^=^^=4

l+tan205'l+tan205'

.\3cos20+4sin2。=-鸿].

能力提升练

1.A"£=：6

/.sinasin£=-g[cos（。+£）-cos（"£）]

=4[cos（a+^）-^]

=4[cos（2^+=）-f].

•••a,£为锐角，且a-j3=\o

.•.0。6+2£0,即0<3£0,

66

.•.管COS（2S+£）号,

・"-张。s(2夕+升利号,

sinQsin£的取值范围为(o,豺

2.答案|

解析tanatanB=sma叫二cos（m-cos（：+?二竺

cosacospcos3-切+cos（a+夕）7

/.cos（"£）=*cos（。+£）.

「tan*串

TT2

「^ttaan?n绊-^!--1：

cos（a+.—_——1

,n呼i+传）2:5

故cos（"£）=W><（f=!.

3.答案g

解析因为cos"cos£=；,

所以-2sin竽si呜钙.①

因为sina-sin£=-g,

所以2cos^sin^=-1.②

因为sin掾=0,

所以由段导-tan竽=-|,

即tan竽或

c.a+Ba+B

2sin—^-cos—

所以sin（。+f尸?a+0.2a+6

cosz—y^+sin^—y1

_2tan^^_2x1_i2

-1+taE吸记一百

4.解析•.3+年2£,Z+吩e180°,

...后60°,2+e120°.

・^^=一2/,.♦.£+焉=-2传

COST4+COS/?=-2V2COSJCOS61

由和差化积与积化和差公式彳导

2cos竽C0S竽=-阕(30S(力+0+c0S(4-0],

COS尹-鱼(-|+2cos2*1),

化简彳导4V2COS2^+2COS^-3V2=0,

(2cos-V2)(2V2C0S+3)=0.

•.•2/cos券+3W0,

/.2COS^-V2=0,

..cos---.

5.BV4500<<540°,

Acostz<0,2250<f<270°.

原式:E+|J1(1+cos2a)

11

cos2a二5一/osa

isa)=叫

二卜局

又sinK。,.••原式二一si呜.

6.AB6。的终边在第二象限兴尔

2422

3好

Vl-sin0--

-e.ee.e-e.e,

cos^-sin^cos^-sin^cos^-sin^

故当2An+%汽24五+*AGZ时,

si.。吟。，登一；

当2"+苧《〈2"+与,AGZ时,

sin?7-?cos1女u0,等.u吗=1.

乙乙cosp-sin^

故选AB.

7.答案-5

解析Vsin(a+£)cos£-sin£cos(。+£)

=sin[(0+J3)-J3]-sina~~^

又丁a是第三象限角,・\cos。=-

/.tan-寸l=-5.

2sina__2.

13

8.解析⑴•.•JI<a驾,.♦.别0,

岸式-但畤+cos?2

好队-V2cos^-V2sinf

(.aa\2

+-cos力

-V2cos^+V2sin^

T(s呜+*)+gsi呜-COS?

=-V2COS^.

(2)：ta呜二sina

1+cosa

/.(1+cos〃)ta呜=sina.

又:cos偿-a)=-sina,且1-cosa=2sin与

•^^_-sina-sina_-2sina__2V2sin^cos^

丽一^r，

V0<a<JT,...O〈巴<E,...sin士>0.

'22'2

，原式=-2/书.

9.B根据题意彳导sinZsiaS=Xl+cos，