高一（上）期末数学试卷1

高一(上)期末数学试卷

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷入得分

一、选择题(共4题，共20分)

1、已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(-1)=3,且当x20时，f(x)=2x+x+c(c是常数)，则不等

式f(x-1)V6的解集是()

A.(-3,1)B.(-2,3儿.(-2,2)D(-1,3)

【考点】

【答案】D

【解析】

根据题意，由偶函数的性质可得f(1)=f(-1)=3,即f(1)=21+1+c=3,则c=0,即可得当x,0时,

f(x)=2x+x,据此分析可得f(2)=22+2=6,且f(x)在［0,+~)上为增函数；进而可得f(x-1)<6=>f

(|X-1|)<f(2)=|x-1|<2,解可得x的取值范围，即可得答案.

解：根据题意，f(x)是定义域为R的偶函数，且f(-1)=3,

则f(1)=f(-1)=3,即f(1)=21+1+c=3,则c=0,

故当x》0时，f(x)=2x+x,有f(2)=22+2=6,且f(x)在［0,+°°)上为增函数，

则f(x-1)<6=>f(|x-1|)<f(2)=>|x-1|<2,

解可得：-1<x<3,

即不等式的解集为(-1,3)；

故选：D.

2、下列关于幕函数的判断中正确的是()

A.不存在非奇非偶的累函数

B.两个鬲函数的图象至多有两个交点

C.至少存在两个鬲函数，它的反函数是其自身

D.如果基函数有增区间，那么这个幕函数的指数是正数

【考点】

【答案】C

【解析】

根据基函数的定义和性质，分别进行判断，即可得到答案.

1

解：在A中，y=X：非奇非偶的幕函数，故A错误；

1

在B中，y=x3和丫=弁',这两个幕函数的图象有三个交点，故B错误；

1

在C中，y=x和y这两个幕函数的反函数都是它本身，故C正确;

在D中，y=x-2有增区间(-oo,0),故D错误.

故选：C.

f(x)=logix

3、函数2的图象大致为()

【考点】

【答案】B

【解析】

根据对数函数的图象与性质，即可求解，得到答案.

fM=logix

解：函数2,底数小于1,单调递减；恒过(1,0)；

结合选项B正确，

故选：B.

4、若“x>0”是“x>1”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】

【答案】B

【解析】

根据充分条件、必要条件的定义来判断.

由题意，可得x>0推不出x>1,x>1=>x>0,

“x>0”是“x>1”的必要而不充分条件.

故选:B.

二、填空题(共11题，共55分)

(f(x0)<0

5、已知函数f(x)=x2+(a-1)x-a,g(x)=ax+4,若不存在x0,使得q(xn°)，<0,则实数a的取值范

围______.

【考点】

【答案】{0,-1}

【解析】

由题意可得对任意的XGR,f(x)20或g(x)成立，运用二次函数的判别式小于等于0和一次

函数的单调性，即可得到所求范围.

'/(々)<0

贝与)<0

解：若不存在X0,使得''U’,

即为对任意的xER,f(x)，。或g(x)成立，

由函数f(x)=x2+(a-1)x-a,

可得△W()，即为(a-1)2+4a=(a+1)2W0,

解得a=-1；

由g(x)=ax+4,

可得a=0时,g(x)=4>0恒成立，

综上可得a的取值范围是{0,-1}.

故答案为：{0,-1}.

6、把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是Q1，空气温度是QO,t分钟后温度Q可由公式Q=Q0+(Q1-Q0)

e-tln1.5求得，现在60。的物体放在15的空气中冷却，当物体温度为35°时，冷却时间t=分钟.

【考点】

【答案】2

【解析】

根据Q=QO+(Q1-Q0)e-tln1.5,可得对数方程，解之即可得答案.

解：由题意,00=15°,01=60°,0=35°,

'.,Q=QO+(Q1-Q0)e-tln1.5

.,.35=15+(60-15)e-tln1.5

Irin9=—tlnl.5,.'.t=c2

故答案为：2.

7、已知xN0,且x+y=1,则，+y2的取值范围是.

【考点】

【答案】

【解析】

/+)产=x2+(1-x)2=2X2-2X+1式e[0,1],所以当x=。或1时，取最大值1；当"=7

_22

时，取最小值2.因此x+y的取值范围为.

8、函数y=x2-2x+1在区间［0,m］上的最小值为0,最大值为1,则实数m的取值范围是

【考点】

【答案】［1,2］

【解析】

m>1

।2

根据二次函数的性质得出=血―2?n+1s1,求解即可.

由题意，f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,.•.对称轴x=1,(1)=0,f(2)=1,f(0)=1,

Vf(x)=x2-2x+2在区间［0,m］上的最大值为1,最小值为0,

「.IWmWZ,

故答案为：1WmW2.

x-3

----->1

9、已知aGR,不等式x+a-的解集为P,且-2GP,则a的取值范围是.

【考点】

【答案】［-3,2)

【解析】

根据题意，由不等式的解集可得一2+。一”，变形可得：(a+3)(a-2)W0且a-2丰0,解可得a的

取值范围，即可得答案.

解：根据题意，等式的解集为P,且-2GP,

5

则有，即TNW-1,变形可得：(a+3)(a-2)W0且a-2大0,

解可得：-3Wa<2,

即a的取值范围为［-3,2)；

故答案为:［-3,2).

10、如果函数f(x)=x2-2ax+1是区间［1,4］上的增函数，则实数a的取值范围为.

【考点】

【答案】"8,1］

【解析】

根据题意，分析二次函数的对称轴，由二次函数的单调性分析可得a的取值范围，即可得答案.

-2a

根据题意，函数f(x)=x2-2ax+1是开口向上为二次函数，其对称轴为'=~~=a,

若f(x)在区间［1,4］上的增函数，

则有aW1,

故实数a的取值范围为(-°o,1］,

故答案为：(-°°,U.

11、若函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2,则f(-1)=.

【考点】

【答案】-1

【解析】

根据题意，由函数的解析式可得f(1)=1,又由函数为奇函数，可得f(T)=-f(1),即可得答案.

解：根据题意，函数f(x)满足当x>0时，f(x)=x2,则f(1)=1,

又由函数f(x)为奇函数，则f(7)=-f(1)=-1；

故答案为：-1

12、函数f(x)=log2x-1的零点为.

【考点】

【答案】2

【解析】

根据题意，由函数零点的定义，若f(x)=log2x-1=0,解可得x=2；即可得答案.

根据题意，f(x)=log2x-1,

若f(x)=log2x-1=0,解可得x=2；

则函数f(x)=log2x-1的零点为2；

故答案为：2

13、函数y=3x的反函数丫=.

【考点】

【答案】Iog3x,x>0

【解析】

根据y=3x,y>0,得出x=log3y,即函数y=3x的反函数y=log3x,x>0,得到答案.

由题意，函数y=3x,y>0,.,.x=log3y,

；・函数y=3x的反函数y=log3x,x>0.

故答案为:y=log3x,x>0.

14、函数/'(x)=4-2的定义域为.

【考点】

【答案】［2,+8)

【解析】

由题意，直接由根式内部的代数式大于等于0,即可求解函数的定义域，得到答案.

解：由x-220,得x22.

函数/'(X)=也一2的定义域为［2,+8).

故答案为：［2,+oo).

15、若集合A={x|x>1},B={0,1,2,3},则ACB=.

【考点】

【答案】{2,3}

【解析】

根据集合的交集的概念，即可求解，得到答案.

解：...集合A={x|x>1},B={0,1,2,3),

.".AnB={2,3}.

故答案为：(2,3).

三、解答题(共5题，共25分)

2

16、已知函数(其中a为常数).

(1)当a=1时，求f(x)在52］上的值域；

f(2x)<2x+^+4

(2)若当xG［0,1］时，不等式八)2、恒成立，求实数a的取值范围；

1-X1

(3)设°(')=中，是否存在正数a,使得对于区间10'月上的任意三个实数m,n,p,都存在以

f(g(m)),f(g(n)),f(g(p))为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围；若不存

在，请说明理由.

【考点】

5蜃蜃

【答案】⑴［2,2］(2)-/VaV(3)-记)U(,)

【解析】

11

(1)当a=1时，f(x)=x+"结合对勾函数的图象和性质，可得f(x)在区，2］上的值域；

1

(2)若不等式f(2x)V2x+2*+4在［0,式上恒成立,即aV-2(2x)2+1+2x在［0,1］上恒成立，令

t=2x,则2］,y=-2t2+t+1,结合二次函数的图象和性质，求出函数的最小值，可得实数a的取值范

围；

(3)换元，原问题等价于求实数a的范围，使得函数在给定的区间上，恒有2ymin>ymax

2

的小b/X')=X+—

解：(1)函数八'x,

2_(xl)(x+l)

当a=1时，f(x)=x+,导数为f'(x)=1-丫2=X2,

f(x)在［,1］上为减函数，在［1,2］上为增函数，

.••当x=,或x=2时，函数最最大值，当x=1时，函数取最小值2,

故f(x)在［,2］上的值域为［2,］；

(2)若不等式f(2x)<2x++4在［0,1］上恒成立，

即2x+2'<2x++4在［0,1］上恒成立，即a2<1+4・2x在［0,1］上恒成立，

1+4・2x在［0,1］递增,可得最小值为1+4=5,即a2V5,解得Ya<；

1-x21a2

(3)设t=g(X)=7转=-1+=在)(6［0,］递减，可得1］,则丫十+干，

原问题转化为求实数a的取值范围，使得y在区间［,1］上，恒有2ymin>ymax.

1

讨论：①当0Va2W9时,y=t+在［,1］上递增，「.ymin=3a2+,ymax=a2+1,

1

由2ymin>ymax得a2>15,/.VaW；或-WaV-；

②当Va2W时,y=t+在［,|a］］上单调递减,在［|a|,1］上单调递增,

.*.ymin=2|a|,ymax=max{3a2+,a2+1}=a2+1,

I

由2ymin>ymax得2-护<|a|<2+,V|a|W3；

③当V|a|V1时，y=t+在［,|a］］上单调递减，在［|a|,1］上单调递增，

.*.ymin=2|a|,ymax=max{3a2+,a2+1}=3a2+,

2-F2+F

由2ymin>ymax得3v|a|V3,|a|<1；

④当|a|21时，y=t+在［,1］上单调递减，「.ymin=a2+1,ymax=3a2+,

5

由2ymin>ymax得a2V3,1^a2<；

综上，a的取值范围是(-，-)U(,).

17、已知函数f(x)=|x+a|(a>-2)的图象过点(2,1).

(1)求实数a的值；

(一-a)+a

(2)设9。)=f(x)一,在如图所示的平面直角坐标系中作出函数y=g(x)的简图，并写出(不

需要证明)函数g(x)的定义域、奇偶性、单调区间、值域.

【考点】

【答案】(1)-1(2)详见解析

【解析】

(1)直接利用待定系数法求出a的值.

(2)利用(1)的结论求出函数g(x)的图象，进一步画出函数图象的简图，利用函数的图象确定函数

的定义域，值域和单调区间.

(1)函数f(x)=|x+a|(a>-2)的图象过点(2,1).

则：1=|2+a|,解得：a=T；

f(x-a)+a

⑵设9(、)=

f(x),

|x|-l

由于a=-1,贝I]g(x),

定义域(-°°,1)U(1,+8),

由于g(-x)*g(x)*-g(x),所以函数为：非奇非偶函数.

(%>1)

-1(0<x<l)

2

+门(x<0)

g(x)==

函数的图象如下:

所以函数的值域：[-1,1];

函数单调递减区间为"8,0).

18、某小区欲建一面积为600平方米的矩形绿地，在绿地的四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道

宽2米，短边外人行道宽3,如图所示，设矩形绿地的长为x米，绿地与人行道一共占地S平方米.

(1)试写出S关于x的函数关系式；

(2)求当S取得最小值时x的值.

【考点】

3600

【答案】①S=k+4x+624⑵30

【解析】

(1)求出绿地和人行道构成的矩形的长，宽，写出S关于x的函数关系式即可;

(2)根据基本不等式的性质求出满足条件的x的值即可.

600

(1)由题意绿地和人行道构成的矩形的长是(x+6)m,宽是(丫+4)m,

,、，600