二次函数与一元二次方程不等式 高三数学一轮复习

第五节二次函数与一元二次方程、不等式课前自主预习案课堂互动探究案课前自主预习案必

备

知

识二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集________Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅{x|x<x1或x>x2}

夯

实

基

础1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(

)(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(

)(3)不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ＝b2－4ac≤0.(

)(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(

)√××√

答案：D

3．(教材改编)已知关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2，3)，则a＋b的值是________．答案：－1解析：若关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2，3)，则2，3是方程x2－ax－b＝0的根，故a＝5，b＝－6，故a＋b＝－1.

5．(易错)要使函数y＝mx2＋mx＋m－1的值恒为负值，则m的取值范围为________．答案：(－∞，0]

课堂互动探究案1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数．2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式．3．了解简单的分式不等式、绝对值不等式的解法．问题思考·夯实技能【问题1】一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系是什么？

【问题2】不等式ax2＋bx＋c>0(≥0)，ax2＋bx＋c<0(≤0)在R上恒成立的条件分别是什么？

关键能力·题型剖析题型一

一元二次不等式的解法角度一不含参数的一元二次不等式的解法例1解下列不等式：(1)－x2＋4x＋5<0；(2)2x2－5x＋2≤0.

题后师说解一元二次不等式的一般步骤

答案：A

角度二含参数的一元二次不等式的解法例2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).

【变式练习】把本例中的条件“a>0”改为“a∈R”，不等式的解集如何？

题后师说解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．巩固训练2解关于x的不等式12x2－ax>a2.

答案：C

答案：C

答案：BD

题后师说给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．

答案：C

答案：B

角度二在给定区间上恒成立问题例6已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为________．答案：[－7，2]

角度三在给定参数范围内的恒成立问题例7已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为__________．

题后师说恒成立问题求参数的范围的解题策略巩固训练5(1)若不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)的解集为R，则k的取值范围为________．

(2)若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则a的最小值为________．答案：－4

(3)函数f(x)＝x2＋ax＋3，若a∈[4，6]，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是__________．

答案：C

2．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则实数a的取值范围是(

)A．{a|a≤－4或a≥4}B．{a|－4≤a≤4}C．{a|a<－4或a>4}D．{a|－4<a<4}答案：B解析：因为不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，所以Δ＝a2－4×4≤0，即－4≤a≤4.

答案：B

答案：A

5．[2024·河北保定模拟]若∃x∈R，