用样本估计总体 高三数学一轮复习

第二节用样本估计总体课前自主预习案课堂互动探究案课前自主预习案必

备

知

识1.百分位数一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有________的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据____________这个值．p%大于或等于

中间平均数最多3．方差和标准差(1)方差：s2＝______________或

.(2)标准差：s＝________________________．

夯

实

基

础1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(

)(2)方差与标准差具有相同的单位．(

)(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(

)(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(

)××√√2．为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量．若通过抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kW·h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数(

)A．一定为5.5kW·h

B．高于5.5kW·hC．低于5.5kW·h

D．约为5.5kW·h答案：D解析：由样本的数字特征与总体的数字特征的关系，可知全市居民用户日用电量的平均数约为5.5kW·h.3．(教材改编)10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是9，10，13，14，15，15，16，17，17，18，那么数据的80%分位数是______．答案：17解析：将10名工人某天生产同一零件个数从小到大排列为9，10，13，14，15，15，16，17，17，18.因为80%×10＝8，所以样本数据的80%分位数为第8个和第9个数据的平均数，即17.4．(易错)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示，则这次测试数学成绩的众数为______，这次测试数学成绩的中位数为________(精确到0.1)，这次测试数学成绩的平均数为______．答案：75

73.3

72

课堂互动探究案1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数．2．能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．问题思考·夯实技能【问题1】一组数据的百分位数一定是这组数据中的数吗？提示：不一定．可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数．例如数据1，2，3的第50百分位数是2，是这组数据中的数；数据1，2，3，4的第50百分位数是2.5，不是这组数据中的数．【问题2】如何利用频率分布直方图估计平均数、中位数和众数？提示：在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积的总和．中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值．众数的估计值为最高矩形的中点的横坐标．关键能力·题型剖析题型一

百分位数的估计例1(1)[2024·安徽马鞍山模拟]现有一组数据：663，664，665，668，671，664，656，674，651，653，652，656，则这组数据的第85百分位数是(

)A．652B．668C．671D．674答案：C解析：由题意这组数共12个，则12×85%＝10.2，将这组数据从小到大排列为651，652，653，656，656，663，664，664，665，668，671，674，故这组数据的第85百分位数为第11个数，即671.故选C.(2)[2024·河北邢台模拟]《中国居民膳食指南(2022)》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%.为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重(单位：千克)，根据测量数据，按[40，45)，[45，50)，[50，55)，[55，60)，[60，65)，[65，70]分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是(

)A．55

B．57.25C．58.75

D．60答案：C解析：因为(0.01＋0.03＋0.08)×5＝0.6<0.75，0.6＋0.04×5＝0.8>0.75，所以该地中学生体重的第75百分位数在[55，60)内，设第75百分位数为m，则(m－55)×0.04＋0.6＝0.75，解得m＝58.75.故选C.题后师说频率分布直方图中第p百分位数的计算步骤巩固训练1(1)[2024·广东江门模拟]某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据(单位：cm)从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若样本数据的第60百分位数是170，则x＝(

)A．169B．170C．171D．172答案：C

(2)高一某班10名学生的英语口语测试成绩(单位：分)如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.这组数据的上四分位数是______．答案：86

题型二

总体集中趋势的估计角度一样本的数字特征例2[2024·江苏连云港模拟]某高校为传承中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛．在比赛中，由A，B两个评委小组(各9人)给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是(

)A．A组打分的众数为50B．B组打分的中位数为75C．A组的意见相对一致D．B组打分的均值小于A组打分的均值答案：C

题后师说中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”；平均数反映了数据的平均水平，它们均描述了数据的集中趋势．

角度二频率分布直方图中的数字特征例3[2024·安徽淮北模拟]某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？

题后师说频率分布直方图中的数字特征的求解方法(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和相等．(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．巩固训练2(1)[2024·黑龙江哈尔滨模拟]PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地6月1日至10日的PM2.5日均值(单位：μg/m3)的折线图，则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法错误的是(

)A．众数为30B．中位数为31.5C．平均数小于中位数D．极差为109答案：C

(2)(多选)[2024·山东聊城模拟]某校举办了迎新年知识竞赛，随机选取了100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如图，则根据频率分布直方图，下列说法正确的是(

)A.中位数70

B．众数75C．平均数68.5D．平均数70答案：ABC

题型三

总体离散程度的估计例4[2023·全国乙卷]某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)．试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536

题后师说标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．

质量指标值[0，40)[40，80)[80，100]作物等级二级一级特级利润(元/千克)102050

1．[2024·九省联考]样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为(

)A．14B．16C．18D．20答案：B解析：将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.故选B.2．(多选)[2021·新高考Ⅰ卷]有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则(

)A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同答案：CD解析：A：E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c且c≠0，故平均数不相同，错误；B：若第一组中位数为xi，则第二组的中位数为yi＝xi＋c，显然不相同，错误；C：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正确．D：由极差的定义知：若第一组的极差为xmax－xmin，则第二组的极差为ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故极差相同，正确．故选CD.3．(多选)[2021·新高考Ⅱ卷]下列统计量中，能度量样本x1，x2，