第三章　函数的概念与性质单元测试卷 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章函数的概念与性质（综合测试卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是()eq\o(\s\up7(),\s\do5(A)) eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C)) eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))2.设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x＞0，,1，x＝0，,－1，x＜0，))则f(f(0))＝()A.1B.0C.2D.－13.下列函数在区间(0，＋∞)上不单调递增的是 ()A.y＝2x＋1B.y＝x2＋1C.y＝3－xD.y＝x2＋2x＋14.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝()A.4B.3C.2D.15.函数f(x)＝eq\f(x＋1,x－1)在区间[2，6]上的最大值为()A.3B.eq\f(7,5)C.2D.eq\f(5,3)6.已知幂函数f(x)的图象过点(64，4)，则f(8)的值为()A.2B.3C.4D.57.某单位计划建造如图所示的三个相同的矩形饲养场，现有总长为1的围墙材料，要使围出的饲养场的总面积最大，则每个矩形的长宽之比为()A.eq\f(3,2)B.eq\f(4,3)C.eq\f(9,4)D.eq\f(16,9)8.已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A.c＜b＜aB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.a＜b＜c二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.下列各组函数是同一函数的有()A.f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1B.f(x)＝eq\r(－x3)与g(x)＝xeq\r(－x)C.f(x)＝eq\f(x,x)与g(x)＝eq\f(1,x0)D.f(x)＝x与g(x)＝eq\r(x2)10.已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论正确的是()A.f(3)＝9B.f(－3)＝4C.f(x)＝x2D.f(x)＝(x＋1)211.如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是()A.eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0B.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)D.f(x1)>f(x2)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上．12.已知幂函数f(x)＝(a2－3a＋3)xa+1为偶函数，则实数a的值为________13.函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,ffx＋5，x<10，))则f(7)＝________14.已知函数f(x)为定义在区间[－1，1]上的增函数，则满足f(x)＜f的实数x的取值范围是_______四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）在①f(2x－3)＝4x2－6x，②f(x)＋2f(－x)＝3x2－3x，③对任意实数x，y，均有f(x＋y)＝2f(y)＋x2＋2xy－y2＋3x－3y这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．已知函数f(x)满足________，求f(x)的解析式．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．16.（14分）大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12km为止温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12km以上温度一定，保持在－55℃．(1)当地球表面大气的温度是a℃时，在xkm的上空为y℃，求a、x、y间的函数关系式；(2)问当地表的温度是29℃时，3km上空的温度是多少？17.（16分）设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有eq\f(f(a)＋f(b),a＋b)＞0．(1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．18.（16分）已知函数f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)＋1，x∈R．(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)求f(x)＋f的值；(3)计算f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f＋f＋f．19.（18分）已知函数f(x)＝－x2＋mx－m．(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值．(2)若函数f(x)在[－1，0]上单调递减，求实数m的取值范围．(3)是否存在实数m，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．参考答案及解析：一、单选题1.D解析：选项A，当0＜x≤4时，每个x对应2个y，错误；选项B，不满足定义域为A＝{x|0≤x≤4}，错误；选项C，不满足值域为B＝{x|0≤x≤2}，错误；选项D，每个x都满足从集合A到集合B的函数关系，正确．故选D．2.C解析：f(0)＝1,f(f(0))＝f(1)＝1＋1＝2．3.C解析：函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上单调递减．4.B解析：由题意可得－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，两式相加，得2g(1)＝6，所以g(1)＝3．5.A解析：因为f(x)＝eq\f(x＋1,x－1)＝eq\f((x－1)＋2,x－1)＝1＋eq\f(2,x－1)，所以f(x)＝eq\f(x＋1,x－1)在区间[2，6]上单调递减，所以f(x)在[2，6]上的最大值为f(2)＝3．故选A．6.A解析：设幂函数f(x)＝xα，∵幂函数f(x)的图象过点(64，4)，∴64α＝4，∴α＝eq\f(1,3)．∴f(8)＝＝2．故选A．7.A解析：如图所示，设一个矩形饲养场的长为AB＝x，宽为AD＝y，则4x＋6y＝1，所以y＝eq\f(1,6)(1－4x)，则饲养场的总面积为S＝3xy＝eq\f(1,2)x(1－4x)＝－2＋eq\f(1,32)．故当x＝eq\f(1,8)，y＝eq\f(1,12)，即长宽之比为eq\f(1,8)∶eq\f(1,12)＝3∶2时，饲养场的总面积最大．8.B解析：因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝＝．又因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(2)＜＜f(3)，即b＜a＜c．二、多选题9.AC解析：对于A，f(x)＝x2－2x－1的定义域为R，g(s)＝s2－2s－1的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于B，f(x)＝eq\r(－x3)＝－xeq\r(－x)的定义域为{x|x≤0}，g(x)＝xeq\r(－x)的定义域为{x|x≤0}，对应关系不同，不是同一函数；对于C，f(x)＝eq\f(x,x)＝1的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝eq\f(1,x0)＝1的定义域为{x|x≠0}，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝eq\r(x2)＝|x|的定义域为R，对应关系不同，不是同一函数．故选AC．10.BD解析：令t＝2x－1，则x＝eq\f(t＋1,2)，∴f(t)＝4＝(t＋1)2．∴f(3)＝16，f(－3)＝4，f(x)＝(x＋1)2．故选BD．11.AB解析:由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上单调递增，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于选项C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断，所以无法判断f(x)的单调性，故C，D错误．故选AB．三、填空题12.答案：1解析：∵函数f(x)是幂函数，∴a2－3a＋3＝1，解得a＝1或a＝2．当a＝1时，f(x)＝x2是偶函数；当a＝2时，f(x)＝x3，不是偶函数．故a＝1．13.答案：8解析：∵函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,ffx＋5，x<10，))∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8．14.答案：解析：由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,x＜\f(1,2)，))解得－1≤x＜eq\f(1,2)．四、解答题15.解：选①，令t＝2x－3，则x＝eq\f(t＋3,2)．因为f(2x－3)＝4x2－6x，所以f(t)＝4×－6×eq\f(t＋3,2)＝t2＋6t＋9－3t－9＝t2＋3t，即f(x)＝x2＋3x．选②，因为f(x)＋2f(－x)＝3x2－3x， (1)所以f(－x)＋2f(x)＝3(－x)2－3(－x)＝3x2＋3x． (2)(2)×2－(1)得3f(x)＝3x2＋9x，即f(x)＝x2＋3x．选③，令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，即f(0)＝0．令y＝0，则f(x)＝2f(0)＋x2＋3x＝x2＋3x．16.解：(1)由题设知，可设y－a＝kx(0≤x≤12，k＜0)，即y＝a＋kx．依题意，当x＝12时，y＝－55，∴－55＝a＋12k，解得k＝－eq\f(55＋a,12)．∴当0≤x≤12时，y＝a－eq\f(x,12)(55＋a)．又当x＞12时，y＝－55．∴所求的函数关系式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－\f(x,12)55＋a，0≤x≤12，,－55，x＞12.))(2)当a＝29，x＝3时，y＝29－eq\f(3,12)(55＋29)＝8，即3km上空的温度为8℃．17.解：(1)因为a＞b，所以a－b＞0．由题意得eq\f(f(a)＋f(－b),a－b)＞0，所以f(a)＋f(－b)＞0．又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－b)＝－f(b)，所以f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b)．(2)由(1)知f(x)为R上的增函数．因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)．所以1＋m≥2m－3，解得m≤4．所以实数m的取值范围为(－∞，4]．18.解：(1)f(x)是偶函数，理由如下．f(x)的定义域为R，关于y轴对称．因为f(－x)＝eq\f((－x)2,1＋(－x)2)＋1＝eq\f(x2,1＋x2)＋1＝f(x)，所以f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)＋1是偶函数．(2)因为f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)＋1，所以f＝＋1＝eq\f(1,x2＋1)＋1，所以f(x)＋f＝3．(3)由(2)可知f(x)＋f＝3，又因为f(1)＝eq\f(3,2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋ff＋f＋f＝f(1)＋＝eq\f(3,2)＋3×3＝eq\f(21,2)19.解：(1)f(x)＝－－m＋eq\f(m2,4)，则最大值为－m＋eq\f(m2,4)＝0，解得m＝0或m＝4．(2)函数f(x)图象的对称轴是直线x＝eq\f(m,2)，要使f(x)在[－1，0]上单调递减，应满足eq\f(m,2)≤－1，解得m≤－2．故实数m的取值范围为(－∞，－2]．(3)①当eq\f(m,2)≤2，即m≤4时，f(x)在[2，3]上单调递减，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(2)＝3，,f(3)＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4＋2m－m＝3，,－9＋3m－m＝2，))此时无解；②当eq\f(m,2)≥3，即m≥6时，f(x)