高三物理专题一：曲线运动

专题一：曲线运动

这一章是在前边几章的学习基础之上，研究一种更为复杂的运动方式：曲线运动。这也

是运动学中更为重要的一部分内容，本章的重难点就在于抛体运动、圆周运动。

【课标解读】

1.本节知识点及要求

曲线运动、抛体运动、圆周运动。.本节知识点及要求

2.重点与难点

（1）对所学知识要知道其含义，并能在有关的问题中识别并直接运用，相当于课程标准中

的“了解”和“认识，，。

（2）能够理解所学知识的确切含义以及和其他知识的联系，能够解释，在实际问题的分析、

综合、推理、和判断等过程中加以运用，相当于课程标准的“理解”，"应用

知识构建：

线速度

匀速Ml牌运动

曲找话功曲线正花的速度方向

T2心力.心和速席

运务的八成邈被包'

运正的分X、

（近*彳匀速网网运动

行浑旧痴凉的实例分析

国«,运动

南心现堂‘惬物体的与动?痛诵知律

离心运动面而止翱应用&我应m

【自主学习】

一、曲线运动

・曲线运动

1、定义：物体的运动轨迹不是直线的运动称为曲线运动。

2.物体做曲线运动的条件

(1)当物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，这个合力总能产生一个改变

速度方向的效果，物体就一定做曲线运动。

(2)当物体做曲线运动时，它的合力所产生的加速度的方向与速度方向也不在同一直线上。

(3)物体的运动状态是由其受力条件及初始运动状态共同确定的.

2、曲线运动的特点:质点在某一点的速度方向，就是通过该点的曲线的切线方向.质点的速度

方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。

物体运动的性质由加速度决定(加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做

匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动)。

3、曲线运动的速度方向

(1)在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线切线的方

向。

(2)曲线运动的速度方向时刻改变，无论速度的大小变或不变，运动的速度总是变化的，

故曲线运动是一种变速运动。4、曲线运动的轨迹:作曲线运动的物体，其轨迹向合外力所

指向的一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向，如平抛运

动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总是向圆心弯曲等。

•曲线运动常见的类型：

(1)a=0：匀速直线运动或静止。

(2)a恒定：性质为匀变速运动，分为：

①v、a同向，匀加速直线运动；

②v、a反向，匀减速直线运动；

③v、a成角度，匀变速曲线运动(轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a

的方向接近，但不可能达到。)

（3）a变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。

练习1：一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（）

A.速度一定在不断地改变,加速度也一定不断地改变B.速度一定在不断地改变,加速度可以

不变

C.速度可以不变,加速度一定不断地改变D,速度可以不变,加速度也可以不变

练习2下列说法正确的是

A、物体在恒力作用下不可能做曲线运动；B、物体在变力作用下有可能作曲线运动；

C、作曲线运动的物体，速度方向与加速度方向不在同一直线上：

D、物体在变力作用下不可能作直线运动；

练习3—物体在三个共点力作用下做匀速直线运动，若突然撤去其中一个力，其余两个力

不变，此物体可能做（）

A、匀加速直线运动B、匀减速直线运动C、类似于平抛运动D、匀速圆周

运动

练习4关于做曲线运动的物体，下列说法正确的是（）

A.它所受的合力一定不为零

B.有可能处于平衡状态

C.速度方向一定时刻改变

D.受的合外力方向有可能与速度方向在同一条直线上

练习5质点做曲线运动，它的轨迹如图所示，由A向C运动，关于它通过B点时的速度v

练习6某质点在恒力厂作用下，尸从A点沿下图中曲线运动到8点，到达8点

后，质点受到的力大小仍为F,但方向相反，则它从8点开始的运动轨

迹可能是图中的哪条曲线？（）<

A.曲线aB.直线AC.曲线cD.三条曲线均有可能7

二、质点在平面内的运动

•合运动和分运动

当物体实际发生的运动较复杂时，我们可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者一一实

际发生的运动称作合运动，后者则称作物体实际运动的分运动.

•运动的合成和分解

已知分运动求合运动，叫做运动的合成；已知合运动求分运动，叫做运动的分解，这种双向

的等效操作过程，是研究复杂运动的重要万法.1、合运动与分运动的关系:等时性；独立

性；等效性。2、运动的合成与分解的法则:平行四边形定则3、分解原则:根据运动的实际

效果分解，物体的实际运动为合运动。

其运动规律为:

(1)水平方向：ax=O,vx=vO,x=vOto

(2)竖直方向:ay=g,vy=gt,y=gt2/2o

⑶合运动：a=g,匕=寸匕+">0vt与vO方向夹角为0,tanO=gt/vO,

s与x方向夹角为a,tana=gt/2v0.

平抛运动中飞行时间仅由抛出点与落地点的竖直高度来决定，即g,与vO无关。水

平射程s=vOVg.

•运动的合成和分解的应用

(1)进行运动的合成与分解，就是对描述运动的各物理量如位移、速度、加速度等矢量用

平行四边形定则求和或求差.运动的合成与分解遵循如下原理：

①独立性原理：构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、互不相干的，物体的任意一个分

运动，都按其自身规律进行，不会因有其他分运动的存在而发生改变.

②等时性原理：合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动的结果，对同一物体同

时参与的几个运动进行合成才有意义.

③矢量性原理：描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，对运动进行合成与

分解时应按矢量法则，即平行四边形定则作上述物理量的运算.

(2)合运动的性质可由分运动的性质决定：两个匀速直线运动的合成仍是匀速直线运动；

匀速直线运动与匀变速直线运动的合运动为匀变速运动；两个匀变速直线运动的合运动是匀

变速运动.

(3)过河问题

若用vl表示水速，v2表示船速，则：

①过河时间仅由v2的垂直于岸的分量V，决定，即，与vl无关，所以当v2,岸时，过河所

用时间最短，最短时间为也与vl无关。

②过河路程由实际运动轨迹的方向决定。

(4)连带运动问题

指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长

和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳

（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。

练习1关于运动的合成与分解的说法中，正确的是（）

A、合运动的位移为分运动的位移的矢量和.B、合运动的速度一定比其中一个分速度

大.

C、合运动的时间为分运动时间之和.D、合运动的时间与各分运动时间相等.

练习2关于运动的合成，下列说法中正确的是（）

A.合运动的速度一定比分运动的速度大B.两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线

运动

C.两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动D.合运动的两个分运动时间不

一定相等

练习3一艘小船在200m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是2m/s船在静水中的速度

是4m/s,求：①当船头始终正对着对岸时，小船多长时间到达对岸，小船实际运行了多远？

②如果小船的路径要与河岸垂直，应如何行驶？消耗的时间是多少？

③如果小船要用最短时间过河，应如何？船行最短时间为多少？

练习4如图所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达p点时，绳子与水平方向的夹角为

0,此时物体M的速度大小为多少？

练习5人在岸上以速度v匀速拉河中的船靠岸，在船靠岸的过

LMJ

程中，下列说法正确的是

A、船匀速靠岸B、船加速靠岸C、船减速靠岸D、以上三种情况

都可能

三、平抛运动的规律

•特点

（1）具有水平方向的初速度

（2）只受重力作用，是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动。

・运动规律

平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。建立直角坐标系

(一般以抛出点为坐标原点0,以初速度V。方向为X轴正方向，竖直向下为y轴正方向)。

由两个分运动规律来处理。

(1)水平方向上：VX=Vo；X=Vot

y=1gt2

(2)竖直方向上：%=gt；.

2.2ta邸=7=gt/v

(3)任意时刻的速度：v=v£+4；、0

•有关公式

①速度公式

水平分速度:vx=vO；竖直分速度:vy=gt.

T时刻平抛物体的速度大小和方向：

Vt=Y*>,tana=匕=gt/vO

②位移公式(位置坐标):水平分位移：x=vOt；竖直分位移:y=gt2/2

___}

t时间内合位移的大小和方向:1=J,+y2;tanO=X=2叼

由于tana=2tan9,vt的反向延长线与x轴的交点为水平位移的中点。

③轨迹方程:平抛物体在任意时刻的位置坐标x和y所满足的方程，叫轨迹方程，由位移公式

消去t可得：

g2片

y=2vox2或x2=g

练习1做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是（）

A.大小相等，方向相同B.大小不等，方向不同C.大小相等，方向不同D.大小不等，方

向相同

练习2决定一个平抛运动的总时间的因素（）

A抛出时的初速度B抛出时的竖直高度C抛出时的竖直高度和初速度D物体的质量有

关

练习2一个物体以初速度V。水平抛出，经时间t,其竖直方向速度大小与Vo大小相等，那

么t为（）

AVo/gB2V0/gCVo/2gD41V（）/g

练习3物体以初速度Vo水平抛出，当抛出后竖直位移是水平位移的2倍时，则物体抛出的

时间是

A1：1B2：1C3：1D4：1

练习5如图，以9.8m/s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为0

=30°的斜面上，则物体的飞行时间为多少？

练习6在倾角为。的斜面顶端A处以速度叫水平抛出一小球，落在斜面上的某一点

B处，设空气阻力不计，求：（1）小球从A运动到B处所需的时间和位移。

（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？

练习7

从某一高度平抛一物体，当抛出2s后它的速度方向与水平方向成45°角，落地"产

时速度方向与水平方向成60°角，求：（g=10m/s2）

（1）抛出时的速度。（2）落地时的速度。（3）抛出点距地面的高度。（4）水平射程。

四、实验：研究平抛运动

（1）处理平抛运动问题，要把握手抛运动的特点，将其分解成两个直线运动，在水平方向利

用匀速直线运动的规律，在竖直方向则利用初速为零的匀加速直线运动的规律.例如:

①匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度V中.

②任意两个连续相等时间间隔AT内位移差：sn-sI=sHI-sn=As=aAT2

③速为零的匀加速直线运动，前1，2,…n个等时间间隔内位移之比：

si：s2：s3：............：sn=l：4：...：n2

第1,2,...N个等时间间隔内位移之比：

sI：sII：.......sN=l：3：...：(2n—1)

(2)当平抛物体的落点在水平面上时，物体在空中运动的时间由自由落体分运动的下落高

度h决定，与初速度vO大小无关：t而物体的水平射程则由高度与初速度两者共同决定。

⑶一个有用的推论

平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都

等于水平位移的一半。

练习1“探究平抛运动的运动规律”实验中，可以描绘出小球平抛运动的轨迹，实验简要

步骤如下：

A.让小球多次从位置上滚下，在一张印有小方格的纸记下小球碰到铅笔笔尖

的一系列位置，如右下图中a、b、c、d所示。

B.按图安装好器材，注意，记下平抛初位置。点和过。点的竖直线。

C.取下白纸以。为原点，以竖直线为y轴建立坐标系，用平滑曲线画平抛运动物体的轨迹。

⑴完成上述步骤，将正确的答案填在横线上。

⑵上述实验步骤的合理顺序是。

⑶已知图中小方格的边长1.25cm,则小球

平抛的初速度为vo=(用L、g表示),

其值是(取g=9.8m/s2),小球在b点的速率。

练习2如图所示为一小球作平抛运动的闪光照片的一部分，图中背景方

格的边长均为5cm,g=10fflZs:,那么：

⑴闪光频率为Hz；

⑵小球运动的初速度的大小是m/s；

⑶小球经过B点时的速度大小为m/s。

五、圆周运动（下一章知识难点重点讲明）

K当堂达标X

1.关于运动的性质，以下说法中正确的是（）

A.曲线运动一定是变速运动

B.变速运动一定是曲线运动

C.曲线运动一定是变加速运动

D.物体加速度大小、速度大小都不变的运动一定是直线运动

2.关于运动的合成和分解，下列说法正确的是（）

A,合运动的时间等于两个分运动的时间之和

B.匀变速运动的轨迹可以是直线，也可以是曲线

C.曲线运动的加速度方向可能与速度在同一直线上

3.关于从同一高度以不同初速度水平抛出的物体，比较它们落到水平地面上的时间（不

计空气阻力），以下说法正确的是（）

A.速度大的时间长B.速度小的时间长

C.一样长D.质量大的时间长

4.做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是（）

A.大小相等，方向相同B.大小不等，方向不同

C.大小相等，方向不同D.大小不等，方向相同

5.甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1：2,转动半径之比为1：2,在

相等时间里甲转过60。，乙转过45。，则它们所受外力的合力之比为（）

A.I：4B.2：3C.4：9D.9：16

6.如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A

的受力情况是（）

A.绳的拉力大于A的重力

B.绳的拉力等于A的重力

（第10题）

C.绳的拉力小于A的重力

D.绳的拉力先大于A的重力，后变为小于重力

7.如图所示，有一质量为仞的大圆环，半径为R,被一轻杆固定后悬挂在。点，有两

个质量为〃?的小环（可视为质点），同时从大环两侧的对称位置由静止滑下。两小环

同时滑到大环底部时，速度都为v,则此时大环对轻杆的拉力大小为（）

A.（2nz+2M）g

B.Mg—2m/，R

C.2,〃（g+//R）+Mg

D.2;M（v2//?—g）+Mg

8.下列各种运动中，属于匀变速运动的有（）

A.匀速直线运动B.匀速圆周运动C.平抛运动D.竖直上抛运动

9.水滴自高处由静止开始下落，至落地前的过程中遇到水平方向吹来的风，则（）

A.风速越大，水滴下落的时间越长

B.风速越大，水滴落地时的瞬时速度越大

C.水滴着地时的瞬时速度与风速无关

D.水滴下落的时间与风速无关

10.在宽度为d的河中，水流速度为也，船在静水中速度为VI（且q>V2），方向可以

选择，现让该船开始渡河，则该船（）

A.可能的最短渡河时间为色

V2

B.可能的最短渡河位移为d

C.只有当船头垂直河岸渡河时，渡河时间才和水速无关

D.不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水速均无关

11.关于匀速圆周运动的向心力，下列说法正确的是（）

A.向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的

B.向心力可以是多个力的合力，也可以是其中一个力或一个力的分力

C.对稳定的圆周运动，向心力是一个恒力

D.向心力的效果是改变质点的线速度大小

答案ABCACACCDBDBDAB

知识精解难点之一圆周运动的实例分析

一、难点形成的原因

1、对向心力和向心加速度的定义把握不牢固，解题时不能灵活的应用。

2、圆周运动线速度与角速度的关系及速度的合成与分解的综合知识应用不熟练，只是了

解大概，在解题过程中不能灵活应用；

3、圆周运动有一些要求思维长度较长的题目，受力分析不按照一定的步骤，漏掉重力或

其它力，因为一点小失误，导致全盘皆错。

4、圆周运动的周期性把握不准。

5、缺少生活经验，缺少仔细观察事物的经历，很多实例知道大概却不能理解本质，更不

能把物理知识与生活实例很好的联系起来。

二、难点突破

(1)匀速圆周运动与非匀速圆周运动

a.圆周运动是变速运动，因为物体的运动方向(即速度方向)在不断变化。圆周运动也

不可能是匀变速运动，因为即使是匀速圆周运动，其加速度方向也是时刻变化的。

b.最常见的圆周运动有：①天体(包括人造天体)在万有引力作用下的运动；②核外电

子在库仑力作用下绕原子核的运动;③带电粒子在垂直匀强磁场的平面里在磁场力作用下的

运动；④物体在各种外力(重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等)作用下的圆周运动。

c.匀速圆周运动只是速度方向改变，而速度大小不变。做匀速圆周运动的物体，它所受

的所有力的合力提供向心力，其方向一定指向圆心。非匀速圆周运动的物体所受的合外力沿

着半径指向圆心的分力，提供向心力，产生向心加速度；合外力沿切线方向的分力，产生切

向加速度，其效果是改变速度的大小。

例1：如图3-1所示，两根轻绳同系一个质量m=0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定在轴

上的A、B两处，上面绳AC长L=2m,当两绳都拉直时，与轴的夹角分别为30°和45°,求

当小球随轴一起在水平面内做匀速圆周运动角速度为s=4rad/s时，上下两轻绳拉力各为多

少？

【审题】两绳张紧时，小球受的力由0逐渐增大时，3可能出现两个临界值。

【解析】如图3T所示，当BC刚好被拉直，但其拉力”恰为零，设此时角速度为3“

AC绳上拉力设为T”对小球有：4

(cos30°=mg①\r,

Isin3O。=m(o；LABsin3(m\

要使BC绳有拉力，应有3>31,当AC绳恰被拉直，但其拉力「恰

为零，设此时角速度为32,BC绳拉力为则有

(cos45°=，咫③

T2sin450L«：sin30°④

代入数据得：32=3.16rad/s。要使AC绳有拉力，必须3〈32,依题意s=4rad/s>32

故AC绳已无拉力，AC绳是松驰状态，BC绳与杆的夹角。>45°,对小球有:

T-,cosff=mg

T2cos0=m<o2Lncsin0⑤

而Lcsin30°=Lecsin45o

LBC=V2m⑥

由⑤、⑥可解得

T2=2.3N,7；=0

【总结】当物体做匀速圆周运动时，所受合外力一定指向圆心，在圆周的切线方向上和

垂直圆周平面的方向上的合外力必然为零。

(2)同轴装置与皮带传动装置

在考查皮带转动现象的问题中，要注意以下两点：

a、同一转动轴上的各点角速度相等；

b、和同一皮带接触的各点线速度大小相等，这两点往往是我们解决皮带传动的基本方

法。

例2：如图3-2所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r,a是它

边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮半径为4r,小轮半径为2r,

b点在小轮上，到小轮中心距离为r,c点和d点分别位于小轮和---------

大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则

A.a点与b点线速度大小相等---------

B.a点与c点角速度大小相等

C.a点与d点向心加速度大小相等图31

D.a、b、c、d四点，加速度最小的是b点

【审题】分析本题的关键有两点：其一是同一轮轴上的各点角速度相同；其二是皮带

不打滑时，与皮带接触的各点线速度大小相同。这两点抓住了，然后再根据描述圆周运动的

各物理量之间的关系就不难得出正确的结论。

【解析】由图3-2可知，a点和c点是与皮带接触的两个点，所以在传动过程中二者的

线速度大小相等，ERva=vc,又V=G)R,所以war=•2r,即3a=230.而b、c、d

三点在同一轮轴上，它们的角速度相等，则3b=3c=3d=L3a,所以选项B错.又Vb=

2

222

Wb•r=—<0^=-?->所以选项A也错.向心加速度：aa=war；ab=Wb,r=(-r~)r

222

lol22/I、

=­coar=—aa；M=3C•2r=(—•2r=—war=—aH；ad=,4r=(­coa)

'•4r=3：r=a..所以选项C、D均正确。

【总结】该题除了同轴角速度相等和同皮带线速度大小相等的关系外，在皮带传动装置

中，从动轮的转动是静摩擦力作用的结果.从动轮受到的摩擦力带动轮子转动，故轮子受到

的摩擦力方向沿从动轮的切线与轮的转动方向相同；主动轮靠摩擦力带动皮带，故主动轮所

受摩擦力方向沿轮的切线与轮的转动方向相反。是不是

所有

的题目都要是例1这种类型的呢？当然

图3-3

不是，当轮与轮之间不是依靠皮带相连转动，而是依靠摩擦力的作用或者是齿轮的啮合，如

图3-3所示，同样符合例1的条件。

（3）向心力的来源

a.向心力是根据力的效果命名的.在分析做圆周运动的质点受力情况时，切记在物体的作

用力（重力、弹力、摩擦力等）以外不要再添加一个向心力。

b.对于匀速圆周运动的问题，一般可按如下步骤进行分析：

①确定做匀速圆周运动的物体作为研究对象。

②明确运动情况，包括搞清运动速率v,轨迹半径R及轨迹圆心0的位置等。只有明确了上

述几点后，才能知道运动物体在运动过程中所需的向心力大小（mv2/R）和向心力方向（指

向圆心）。

③分析受力情况，对物体实际受力情况做出正确的分析，画出受力图，确定指向圆心的合外

力F（即提供向心力）。

④选用公式F=mt'=mR3；!=mR（'^）解得结果。

c.圆周运动中向心力的特点：

①匀速圆周运动：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故只存在向心加速

度，物体受到外力的合力就是向心力。可见，合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且

指向圆心，是物体做匀速圆周运动的条件。

②变速圆周运动：速度大小发生变化，向心加速度和向心力都会相应变化。求物体在某一点

受到的向心力时，应使用该点的瞬时速度，在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变,

其方向也不沿半径指向圆心。合外力沿半径方向的分力（或所有外力沿半径方向的分力的矢

量和）提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向；合外力沿轨道切线方向的分

力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。

③当物体所受的合外力F小于所需要提供的向心力mv2/R时，物体做离心运动。

例3：如图3-4所示，半径为R的半球形碗内，有一个具有一定质量的物体A,,

A与碗壁间的动摩擦因数为u,当碗绕竖直轴00匀速转动时，物体A刚好能!

紧贴在碗口附近随碗一起匀速转动而不发生相对滑动，求碗转动的角速度.J

【审题】物体A随碗一起转动而不发生相对滑动，则物体做匀速圆周运\

动的角速度3就等于碗转动的角速度3。物体A做匀速圆周运动所需的向心\

力方向指向球心0,故此向心力不是由重力而是由碗壁对物体的弹力提供，此

时物体所受的摩擦力与重力平衡。

【解析】物体A做匀速圆周运动，向心力：Fn-mco'R图3_

而摩擦力与重力平衡，则有："Fn=mg

即：工=整

由以上两式可得：mG）-R=^~

即碗匀速转动的角速度为：0=

【总结】分析受力时一定要明确向心力的来源，即搞清楚什么力充当向心力.本题还考

查了摩擦力的有关知识：水平方向的弹力为提供摩擦力的正压力，若在刚好紧贴碗口的基础

上，角速度再大，此后摩擦力为静摩擦力，摩擦力大小不变，正压力变大。

例4：如图3-5所示，在电机距轴0为r处固定一质量为m的铁块.电机启动后，/〒

铁块以角速度3绕轴0匀速转动.则电机对地面的最大压力和最小压力之差为/mH

【审题】铁块在竖直面内做匀速圆周运动，其向心力是重力mg与轮对它的弋冷

力F的合力.由圆周运动的规律可知：当m转到最低点时F最大，当m转到最/

高点时F最小。

【解析】设铁块在最高点和最低点时，电机对其作用力分别为R和%,且

都指向轴心，根据牛顿第二定律有：图34

在最高点：mg+Fi=i1132r①

2

在最低点：F2—mg=mwr②

电机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块m位于最低点和最高点时，且压力差的大

小为：

AFN=F2+FI③

由①②③式可解得：AFs=2m3、

【总结】

(1)若m在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动？

(2)当角速度3为何值时，铁块在最高点与电机恰无作用力？

(3)本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图。若电机的质量为M,则3多大时，电机

可以“跳”起来?此情况下，对地面的最大压力是多少？

解：(1)做初速度沿圆周切线方向，只受重力的平抛运动。

(2)电机对铁块无作用力时;重力提供铁块的向心力，则

mg=m3,2r

(3)铁块在最高点时，铁块与电动机的相互做用力大小为R,则

2

Fi+mg=mw2r

Fi—Mg

即当a?当、(加土r遮时,电动机可以跳起来，当3k、(M+心时,铁块在最低点时

电机对地面压力最大，则

F2-mg=n1322r

FN=F2+Mg

解得电机对地面的最大压力为F、=2(M+m)g

(4)圆周运动的周期性

利用圆周运动的周期性把另一种运动(例如匀速直线运动、平抛运动)联系起来。圆周

运动是一个独立的运动，而另一个运动通常也是独立的，分别明确两个运动过程，注意用时

间相等来联系。

在这类问题中，要注意寻找两种运动之间的联系，往往是通过时间相等来建

立联系的。同时，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。।乎

例5：如图3-6所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正

图3-6

上方h处沿OB方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B,则小球的初速

度丫=,圆盘转动的角速度3=。

【审题】小球做的是平抛运动，在小球做平抛运动的这段时间内，圆盘做了一定角度的

圆周运动。

【解析】①小球做平抛运动，在竖直方向上：

h=-gt2

2

则运动时间

又因为水平位移为R

所以球的速度

②在时间t内，盘转过的角度©=n•2n,又因为。=3t

则转盘角速度：

【总结】上题中涉及圆周运动和平抛运动这两种不同的运动，这两种不同运动规律在解

决同一问题时，常常用“时间”这一物理量把两种运动联系起来。

例6：如图3-7所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，P]]

有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落.要使两球在圆周最高点相碰，则QI।

।h

球的角速度3应满足什么条件？

【审题】下落的小球P做的是自由落体运动，小球Q做的是圆周运动，若要想碰，

必须满足时间相等这个条件。(olX

【解析】设P球自由落体到圆周最高点的时间为t,由自由落体可得

igt2=h图3-7

Q球由图示位置转至最高点的时间也是t,但做匀速圆周运动，周期为T,有

t=(4n+l)—(n=0,1,2,3...)

4

两式联立再由T=@得(4n+l)@=，伊

0)CD\g

所以3二巴(4n+l)(n=0,1,2,3)

2

【总结】由于圆周运动每个周期会重复经过同一个位置，故具有重复性。在做这类题目

时，应该考虑圆周运动的周期性。

（5）竖直平面内圆周运动的临界问题

圆周运动的临界问题：

（1）如上图3-8所示，没有物体支撑的小球，在绳和轨道的约束下，在竖直平面做圆周运

动过最高点的情况：

2

①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的做用：mg=mL=>v临界=J而。

②能过最高点的条件：V》历，当v>疯时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。

③不能过最高点的条件：vVv临弊（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）

（2）如图3-9球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况：

①当v=0时，FN=mg（F、为支持力）。

②当0<v<J而时，R随v增大而减小，且mg>F、>0,3为支持力。

③当v=J^时，R=0。

图3-9

④当v>J而时，R为拉力，F、随v的增大而增大

如图所示3-10的小球在轨道的最高点时，如果V》而此时将脱离

,777777V77777

轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力。图3-10

例7：半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图3T1所示。顶部有

一小物体甲，今给它一个水平初速度%=质，则物体甲将（）

A.沿球面下滑至M点

B.先沿球面下滑至某点N,然后便离开球面作斜下抛运动

C.按半径大于R的新的圆弧轨道作圆周运动

D.立即离开半圆球作平抛运动

【审题】物体在初始位置受竖直向下的重力，因为所以，球面支持力为零,

又因为物体在竖直方向向下运动，所以运动速率将逐渐增大，若假设物体能够沿球面或某一

大于R的新的圆弧做圆周运动，则所需的向心力应不断增大。而重力沿半径方向的分力逐渐

减少，对以上两种情况又不能提供其他相应的指向圆心的力的作用，故不能提供不断增大的

向心力，所以不能维持圆周运动。

【解析】物体应该立即离开半圆球做平抛运动，故选D。

【总结】当物体到达最高点，速度等于历时，半圆对物体的支持力等于零，所以接

下来物体的运动不会沿着半圆面，而是做平抛运动。

（6）圆周运动的应用

a.定量分析火车转弯的最佳情况。

①受力分析：如图所示3-12火车受到的支持力和重力的合力水平指向圆

心，成为使火车拐弯的向心力。

②动力学方程：根据牛顿第二定律得

mgtan0=m—

图3-12

其中r是转弯处轨道的半径，％是使内外轨均不受侧向力的最佳速度。

③分析结论：解上述方程可知

=rgtan0

可见，最佳情况是由打、r、©共同决定的。

当火车实际速度为v时，可有三种可能，

当v=%时，内外轨均不受侧向挤压的力；

当v>%时，外轨受到侧向挤压的力（这时向心力增大，外轨提供一部分力）；

当v<%时，内轨受到侧向挤压的力（这时向心力减少，内轨抵消一部分力）。

还有一些实例和这一模型相同，如自行车转弯，高速公路上汽车转弯等等

我们讨论的火车转弯问题，实质是物体在水平面的匀速圆周运动，从力的角度看其特点

是：合外力的方向一定在水平方向上，由于重力方向在竖直方向，因此物体除了重力外，至

少再受到一个力，才有可能使物体产生在水平面做匀速圆周运动的向心力.

实际在修筑铁路时,要根据转弯处的半径r和规定的行驶速度v。,适当选择内外轨的高度差,

使转弯时所需的向心力完全由重力G和支持力R的合力来提供，如上图3-12所示.必须注

意，虽然内外轨有一定的高度差，但火车仍在水平面内做圆周运动，因此向心力是沿水平方

向的，而不是沿"斜面"向上，F=Gtg0=mgtg0,故mgtgQ=m型。

r

b.汽车过拱桥

汽车静止在桥顶与通过桥顶是否同种状态？不是的，汽车静止在桥顶、或通过桥顶，虽

然都受到重力和支持力。但前者这两个力的合力为零，后者合力不为零。

汽车过拱桥桥顶的向心力如何产生？方向如何？汽车在桥顶受到重力和支持力，如图

A3-13所示，向心力由二者的合力提供，方向竖直向下。

图3-13

运动有什么特点？①动力学方程:

由牛顿第二定律

G—F1=m—

92

VV

解得F,=G—m—=irg-m—

rr

②汽车处于失重状态

汽车具有竖直向下的加速度，G<mg,对桥的压力小于重力.这也是为什么桥一般做

成拱形的原因.

③汽车在桥顶运动的最大速度为

根据动力学方程可知，当汽车行驶速度越大，汽车和桥面的压力越小，当汽车的速度为

加时，压力为零，这是汽车保持在桥顶运动的最大速度，超过这个速度，汽车将飞出桥

顶，做平抛运动。

另：

c.人骑自行车转弯

由于速度较大，人、车要向圆心处倾斜，与竖直方向成。角，如图3-14

所示，人、车的重力mg与地面的作用力F的合力作为向心力.地面的作用

力是地面对人、车的支持力F、与地面的摩擦力的合力，实际上仍是地面的

摩擦力作为向心力。

由图知，Fin^mgtan4>=m--

图3-14

2.圆锥摆

摆线张力与摆球重力的合力提供摆球做匀速圆周运动的向心力.如图3-15所

示,质量为m的小球用长为L的细线连接着，使小球在水平面内做匀速圆周运动.细

线与竖直方向夹角为a,试分析其角速度3的大小。

对小球而言，只受两个力：重力mg和线的拉力T.这两个力的合力mgtana

提供向心力，半径r=Lsina,所以由F=mr32得，mgtana=mLsina•w2

mg

整理得

可见，角速度越大，角a也越大。图3-15

3.杂技节目“水流星”

表演时.，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯子在竖直面内

做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下，如图所示，这是为什么？

图3-16

分析：以杯中之水为研究对象进行受力分析，根据牛顿第二定律可知：F,=—,此时重

l；mr

力G与FN的合力充当了向心力即F向=6+&

v2

故：G+R=m—

r

由上式可知V减小，F减小，当时=0时，V有最小值为病

讨论：

①当mg=m上,即时,水恰能过最高点不洒出，这就是水能过最高点的临界条件;

②当即v<J7时，水不能过最高点而不洒出；

r

③当即v>病时，水能过最高点不洒出，这时水的重力和杯对水的压力提供

r

向心力。

例8：绳系着装有水的水桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg,绳长L=60cm,

求：

①最高点水不流出的最小速率。

②水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力。

【审题】当v产南时，水恰好不流出，要求水对桶底的压力和判断是否能通过最高

点，也要和这个速度v比较，v>Vo时，有压力；V=V0时，恰好无压力；VWVQ时，不能到达

最高点。

【解析】①水在最高点不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力即mg

mv

<L,

则最小速度v0=J/=2.42m/s。

②当水在最高点的速率大于V。时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下

的压力，设为F,由牛顿第二定律

V2

F+mg=m工■得：F=2.6N。

由牛顿第三定律知，水对水桶的作用力F'=-F=-2.6N,即方向竖直向上。

【总结】当速度大于临界速率时，重力已不足以提供向心力，所缺部分由桶底提供，因

此桶底对水产生向下的压力。

例2：汽车质量m为1.5X10'kg,以不变的速率先后驶过凹

图3-17

形路面和凸形路面，路面圆弧半径均为15m,如图3T7所示.如果路面承受的最大压力不

得超过2X105N,汽车允许的最大速率是多少？汽车以此速率驶过路面的最小压力是多少？

【审题】首先要确定汽车在何位置时对路面的压力最大，汽车经过凹形路面时，向心加

速度方向向上，汽车处于超重状态；经过凸形路面时，向心加速度向下，汽车处于失重状态,

所以汽车经过凹形路面最低点时，汽车对路面的压力最大。

【解析】当汽车经过凹形路面最低点时，设路面支持力为鼠，受力情况如图3-18所示,

由牛顿第二定律，

V2

有FM—mg=m—

R

要求FMW2X105N

解得允许的最大速率VM=7.07m/s

由上面分析知，汽车经过凸形路面顶点时对路面压力最小，设为F、z,如图3T9所示，由牛

顿第二定律有

、_mVm

mg—FM=———

R

解得FN2=1X10'5NO

【总结】汽车过拱桥时，一定要按照实际情况受力分析，沿加速度方向列式。

(7)离心运动

离心现象条件分析

①做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，

使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如图3-20中B所示。

②当产生向心力的合外力消失，F=0,物体便沿所在位置的切线方向飞出去，如图3-20中

A所示。

③当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力，，即合外力不足以提

供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动，如图3-20所示。

.viF=0A

…奔A"~~c

V2//AF-mr(^2

C

图3-20

在实际中，有一些利用离心运动的机械，这些机械叫做离心机械。离心机械的种类很多，

应用也很广。例如，离心干燥（脱水）器，离心分离器，离心水泵。

例9：一把雨伞边缘的半径为r,且高出水平地面h.当雨伞以角速度3旋转时，雨滴自边

缘甩出落在地面上成一个大圆周.这个大圆的半径为______。

【审题】想象着实际情况，当以一定速度旋转雨伞时，雨滴甩/,

形成一个大圆。—尸厂\

【解析】雨滴离开雨伞的速度为v0=3rI）

雨滴做平抛运动的时间为t=—'―'

*8图3-21

雨滴的水平位移为s=vot=3rj[—2h

雨滴落在地上形成的大圆的半径为

【总结】通过题目的分析，雨滴从伞边缘沿切线方向，以一定的初速度飞出，竖直方向

上是自由落体运动，雨滴做的是平抛运动，把示意图画出来，通过示意图就可以求出大圆半

径。

（8）难点突破⑧一一圆周运动的功和能

应用圆周运动的规律解决实际生活中的问题，由于较多知识交织在一起，所以分析问题

时利用能量守恒定律和机械能守恒定律的特点作为解题的切入点，可能大大降低难度。

例9：使一小球沿半径为R的圆形轨道从最低点上升，那么需给它最小速度为多大时，才能

使它达到轨道的最高点？

【审题】小球到达最高点A时的速度V"不能为零，否则小球早在到达A点之前就离开

了圆形轨道。要使小球到达A点（自然不脱离圆形轨道），则小球在A点的速度必须满足

Mg+N产m?,式中，N.为圆形轨道对小球的弹力。上式表示小球在A点作圆周运动所需要

R

的向心力由轨道对它的弹力和它本身的重力共同提供。当NA=O时，VA最小，上底.这就

是说，要使小球到达A点,则应该使小球在A点具有的速度VA2J或。

【解析】以小球为研究对象。小球在轨道最高点时，受重力和轨道给的弹力。

小球在圆形轨道最高点A时满足方程

吸

mg+NA=m—（1）

根据机械能守恒，小球在圆形轨道最低点B时的速度满足方程

1,1,

-mv；+mg2R=-mVe（2）

解（1）,（2）方程组得

[R

VB=5gR+盍小

当NA