高中三年级上学期数学《数学探究　杨辉三角的应用》教学课件

数学探究杨辉三角的应用《详解九章算法》中记载的表杨辉杨辉三角贾宪中国北宋11世纪《释锁算术》杨辉中国南宋1261《详解九章算法》记载之功朱世杰中国元代1299《四元玉鉴》级数求和公式阿尔·卡西阿拉伯1427《算术的钥匙》阿皮亚纳斯德国1527米歇尔．斯蒂费尔德国1544《综合算术》二项式展开式系数薛贝尔法国1545B·帕斯卡法国1654《论算术三角形》其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。数学之美：杨辉三角(帕斯卡三角)的奇特性质杨辉三角(也称帕斯卡三角)相信很多人都不陌生，它是一个无限对称的数字金字塔，从顶部的单个1开始，下面一行中的每个数字都是上面两个数字的和。杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡(1623—1662)在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。

开方作法本源杨辉《详解九章算法》追溯历史，引入“三角”1华罗庚华罗庚贾宪杨辉手算高次方根高阶等差级数差分方根无穷极数朱世杰牛顿微积分追溯历史，引入“三角”1“杨辉三角”探究用计算器计算展开式的二项式系数并填入下表

展开式的二项式系数123456通过计算填表，你发现了什么规律？11121133114641151010511

6

15

20

15

6

1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)611121133114641151010511615201561

从上表可以发现，每一行中的数具有对称性，除此之外，还有什么规律呢？为了方便观察研究，可将上表写成下面的形式。探究你能借助上面的杨辉三角发现一些新的规律吗？第5行

1551第0行

1杨辉三角第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

141第6行

161561第n-1行

11第n行11………………………………

1515=5+102020=10+101010=6+41066=3+34=1+34

在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和。二项式系数的性质性质1：对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

这一性质可直接由公式得到．

展开式的二项式系数依次是：

因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数

取得最大值；

当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。二项式系数的性质性质2：增减性与最大值

由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。

二项式系数的性质性质2：增减性与最大值由于：所以相对于的增减情况由决定．

由：

可知，当时，

二项式系数是逐渐增大的，

也就是说,(a+b)n的展开式中的各个二项式系数的和为2n？2n赋值法（nnnrrnnnnnxCxCxCxCCx12210++++++=+LL）令x=1，二项式系数的性质性质3：各项二项式系数的和

一般地，展开式的二项式系数有如下性质：

（1）

（2）

（3）当时，

（4）

当时，

利用杨辉三角可得二项式系数的对称性、增减性和最大值;以及各项二项式系数的和。

第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

1461第5行

151第6行

161561第n-1行

11

第n行

11……………

……………………

第7行

172121711035++++=3551520104“斜线和”=

125第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行

11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641……138132134如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行

18285670562881

从第三个数起，任一数都等于前两个数的和，

这就是著名的斐波那契数列，也称为兔子数列。斐波那契数列斐波那契（1170

1250）

意大利商人兼数学家,他的著作《算盘书》中,首先引入阿拉伯数字，将“十进制”介绍给欧洲人认识，对欧洲的数学发展有深远的影响。中世纪意大利数学家斐波那契的《算术之法》中提出：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？

1，1，2，3，5，8，13，21，34．．．

斐波那契数列与“兔子繁殖问题”斐波那契数学文化，拓展视野3斐波那契螺旋线数学文化，拓展视野3第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

1461第5行

151第6行

161561第n-1行

11

第n行

11……………

……………………

第7行

172121711035++++=3551520104“斜线和”=

就是这个看上去平平无奇的数字三角形，却有一些非常奇妙甚至是神秘的特性，本文将一一为您揭晓。1．最外层的数字始终是12．第二层是自然数列3．第三层是三角数列什么是三角数列，看一下图就明白了，这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形。4．三角数列相邻数字相加可得方数数列什么又是方数数列呢？雷同与三角数列，就是它的数字始终可以组成一个完美的正方形。5．每一层的数字之和是一个2倍增长的数列6.斐波那契数列没错，如果按照一定角度将直线上的数字相加，我们也可以从杨辉三角中找到斐波那契数列。斐波那契数列是指从0，1两个数开始，每一位数始终是前两位的和。这个数列有个神秘的特性，即越往后，相邻两数的比值越来越逼近黄金分割数0.618(或1.618，两数互为倒数)。斐波那契数列和黄金分割数不但在大自然中处处可见，在人类的艺术设计中也是应用非常广泛。7．素数素数是指只能被1和它本身整除的数字．然而在杨辉三角里，除了第二层自然数列包含了素数以外，其他部分的数字都完美避开了素数。8．可以被特定数整除的数字形成了奇妙的分形结构如果我们把杨辉三角再放大，就会发现这些可以被特定数字整数的数的分布非常有规律，它们会形成类似分形的图案。弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻挡物，再向两侧跌落第三层阻挡物，如此一直下跌最终小球落入底层。根据具体地区获的相应的奖品（AJ区奖品最好，BI区奖品次之，CH区奖品第三，EF区奖品最差）。在弹球游戏中的应用

ABCDEFGHIJ

1

11

121

1331

1464115101051

16152015611721353521711828567056288193684126126843691

杨辉三角的实际应用“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题．图1是某城市的部分街道图，纵横各有三条路，如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？

我们把图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数。B处的杨辉三角数与A到B的走法有什么关系?

A图1问：纵横各有五条路呢？B结论：有趣的是，B处所对应的数6，正好是答案(6)。

一般地,每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法数。由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系AB111112336ABDCAB1《竹》张南史