考研数学一（高等数学）模拟试卷8（共322题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷8（共9套）（共322题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设f(x，y)=，则f(x，y)在(0，0)处()．A、对x可偏导，对y不可偏导B、对x不可偏导，对y可偏导C、对x可偏导，对y也可偏导D、对x不可偏导，对y也不可偏导标准答案：B知识点解析：2、设f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足，则f(x，y)在(0，0)处()．A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否取极值标准答案：A知识点解析：3、设u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：4、设fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)都存在，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：5、设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是()．A、f(x0，y)在y=y0处导数为零B、f(x0，y)在y=y0处导数大于零C、f(x0，y)在y=y0处导数小于零D、f(x0，y)在y=y0处导数不存在标准答案：A知识点解析：可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则有fx’(x0，y0)=0，fy’(x0，y0)=0，于是f(x0，y)在y=y0处导数为零，选(A)．6、在曲线x=t，y=一t2，z=t3的所有切线中，与平面z+2y+z一4=0平行的切线有()．A、只有一条B、只有两条C、至少有三条D、不存在标准答案：B知识点解析：T={1，一2t，3t2)，平面的法向量为n={1，2，1)，令1—4t+3t2=0，解得t=1，，故曲线x=t，y=一t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z一4=0平行的切线有两条，选(B)．7、A、iB、一iC、jD、一j标准答案：A知识点解析：二、填空题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)8、设z=f(x+y，y+z，z+x)，其中f连续可偏导，则=_________。标准答案：知识点解析：9、标准答案：知识点解析：10、标准答案：知识点解析：11、标准答案：知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：13、标准答案：y2+xy+1知识点解析：14、标准答案：知识点解析：15、标准答案：知识点解析：16、标准答案：知识点解析：17、设z=f(x2+y2+z2，xyz)且f一阶连续可偏导，则=_________．标准答案：知识点解析：18、设z=z(x，y)由z+ez=xy2确定，则dz=_________．标准答案：知识点解析：19、标准答案：知识点解析：20、标准答案：e-1知识点解析：21、由方程确定的隐函数z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的微分为dz=_________标准答案：知识点解析：22、设f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则fx’(0，1，一1)=_________．标准答案：1知识点解析：23、曲线L：绕y轴一周所得旋转曲面在点(0，-1，2)处指向外侧的单位法向量为__________．标准答案：知识点解析：24、曲面z=1一x2一y2上与平面x+y-z+3=0平行的切平面为__________．标准答案：2x+2y-2z+3=0知识点解析：25、标准答案：-7dx+3dy知识点解析：三、解答题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)26、标准答案：知识点解析：暂无解析27、标准答案：知识点解析：暂无解析28、举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续．标准答案：知识点解析：暂无解析29、标准答案：知识点解析：暂无解析30、标准答案：知识点解析：暂无解析31、标准答案：知识点解析：暂无解析32、标准答案：知识点解析：暂无解析33、标准答案：知识点解析：暂无解析34、标准答案：知识点解析：暂无解析35、标准答案：知识点解析：暂无解析36、设u=f(x+y，x2+y2)，其中f二阶连续可偏导，求标准答案：知识点解析：暂无解析37、设z=f[xg(y)，x—y]，其中f二阶连续可偏导，g二阶可导，求标准答案：知识点解析：暂无解析38、设z=z(x，y)由xyz=x+y+z确定，求标准答案：令F=xyz—x—y—z，知识点解析：暂无解析39、设z=f[x+φ(x—y)，y]，其中f二阶连续可偏导，φ二阶可导，求标准答案：知识点解析：暂无解析40、设u=f(z)，其中z是由z=y+xφ(z)确定的x，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数，证明：．标准答案：知识点解析：暂无解析41、标准答案：知识点解析：暂无解析42、设z=f(x，y)由方程z—y—x+xez-y-x=0确定，求dz．标准答案：知识点解析：暂无解析43、设u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程exy一y=0与ez一xz=0确定，求．标准答案：知识点解析：暂无解析44、标准答案：知识点解析：暂无解析45、设y=f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)=0确定的x，y的函数，且f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求．标准答案：知识点解析：暂无解析46、标准答案：知识点解析：暂无解析47、标准答案：知识点解析：暂无解析48、求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．标准答案：二元函数f(x，y)的定义域为D={(x，y)｜y>0}，知识点解析：暂无解析49、设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为x件和y件，利润函数为L(x，y)=6x—x2+16y一4y2一2(万元)．已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料2000kg，现有该原料12000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大?最大利润是多少?标准答案：根据题意，即求函数L(x，y)=6x一x2+16y一4y2一2在0＜x+y≤6下的最大值．L(x，y)的唯一驻点为(3，2)，令F(x，y，λ)=6x—x2+16y一4y2一2+λ(x+y一6)，知识点解析：暂无解析50、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)=则f{f[f(x)]}等于()A、0。B、1。C、D、标准答案：B知识点解析：因为｜f(x)｜≤1恒成立，所以f[f(x)]=1恒成立，从而f{f(x)]}=f(1)=1。故选B。2、函数f(x)=的间断点及类型是()A、x=1为第一类间断点，x=-1为第二类间断点。B、x=±1均为第一类间断点。C、x=1为第二类间断点，x=-1为第一类间断点。D、x=±1均为第二类间断点。标准答案：B知识点解析：分别就｜x｜=1，｜x｜＜1，｜x｜＞1时求极限，得出f(x)的分段表达式：在｜x｜=1处，因所以x=±1为f(x)的第一类间断点，故选B。3、设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的()A、充分必要条件。B、充分条件但非必要条件。C、必要条件但非充分条件。D、既非充分条件也非必要条件。标准答案：A知识点解析：令φ(x)=f(x)｜sinx｜，显然φ(0)=0。由于而由φ(x)在x=0处可导的充分必要条件是φ’+(0)与φ’-(0)都存在且相等可知，若f(0)=0，则必有φ’+(0)=φ’-(0)；若φ’+(0)=φ’-(0)，即有f(0)=-f(0)，从而f(0)=0。因此f(0)=0是φ(x)在x=0处可导的充分必要条件，也是F(x)在x=0处可导的充分必要条件。故选A。4、设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得()A、f(x)在(0，δ)内单调增加。B、f(x)在(-δ，0)内单调减少。C、对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)。D、对任意的x∈(-δ，0)有f(x)＞f(0)。标准答案：C知识点解析：由导数定义，知f’(0)=。根据极限的保号性，存在δ＞0，使对任意x∈Uδ(0)，有于是当x∈(-δ，0)时，有f(x)＜f(0)；当x∈(0，δ)时，有f(x)＞f(0)。故选C。5、设f(x)=(ecost-e-cost)dt，则()A、f(x)=f(x+2π)。B、f(x)＞f(x+2π)。C、f(x)＜f(x+2π)。D、当x＞0时，f(x)＞f(x+2π)；当x＜0时，f(x)＜f(x+2π)。标准答案：A知识点解析：考查f(x+2π)-f(x)=(ecost-e-cost)dt，被积函数以2π为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得因此，f(x+2π)-f(x)=0，故选A。6、已知fx(x0，y0)存在，则=()A、fx(x0，y0)。B、0。C、2fx(x0，y0)。D、fx(x0，y0)。标准答案：C知识点解析：=fx(x0，y0)+fx(x0，y0)=2fx(x0，y0)，故选C。7、，则积分区域为()A、x2+y2≤a2。B、x2+y2≤a2(x≥0)。C、x2+y2≤ax。D、x2+y2≤ax(y≥0)。标准答案：C知识点解析：由r=cosθ知r2=arcosθ，即x2+y2=ax(a＞0)，而且，故选C。8、设(a2n-1+a2n)收敛，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：当an＞0时，级数(a2n-1+a2n)为正项级数，由于该级数收敛，则其部分和数列=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)有上界，从而可知正项级数的部分和数列Sn=a1+2+…+an有上界，则级数必收敛，故选D。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)9、已知，则y’’=__________。标准答案：知识点解析：10、曲线的过原点的切线是________。标准答案：x+25y=0与x+y=0知识点解析：显然原点(0，0)不在曲线上，首先需求出切点坐标。因此切线方程为把(0，0)代入上式，得x0=-3或x0=-15。则斜率分别为所以切线方程为x+25y=0与x+y=0。11、=______。标准答案：知识点解析：令x-1=sint，则12、若α，β，γ是单位向量且满足α+β+γ=0，则以α，β为边的平行四边形的面积S=________。标准答案：知识点解析：令＜α，β＞=θ，则以α，β为边的平行四边形的面积为S=｜α×β｜=｜α｜｜β｜sinθ由α+β+γ=0可得如下方程组解得α.β=。因此，所求平行四边形的面积13、设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则=______。标准答案：xf’’12+f’2+xyf’’22知识点解析：由题干可知14、设Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1}，则z2dxdydz=______。标准答案：知识点解析：15、设曲面∑为z=xydydz+xdzdx+x2dxdy=______。标准答案：4π知识点解析：利用高斯公式及轮换对称性进行求解。补平面∑1为x2+y2≤4，z=0的下侧，记∑和∑1所围的空间区域为Ω，则16、将展成x的幂级数为_______。标准答案：知识点解析：对从0到x求积分，有对上式两端求导，得17、微分方程xy’+2y=sinx满足条件y(π)=的通解为________。标准答案：y=(sinx-xcosx)知识点解析：由题干中方程可知根据通解公式得三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)18、求标准答案：知识点解析：暂无解析19、求方程karctanx-x=0不同实根的个数，其中k为参数。标准答案：令f(x)=karctanx-x，则f(0)=0，且当k＜1时，f’(x)＜0，f(x)在(-∞，+∞)单调递减，故此时f(x)的图象与x轴只有一个交点，也即方程karctanx-x=0只有一个实根。当k=1时，在(-∞，0)和(0，+∞)上都有f’(x)＜0，所以f(x)在(-∞，0)和(0，+∞)上是严格单调递减的，又f(0)=0，故f(x)的图象在(-∞，0)和(0，+∞)上与x轴均无交点。当k＞1时，上单调增加，由f(0)=0知，f(x)在上只有一个实根；又f(x)在上都有f’(x)＜0，因此f(x)在上都单调递减，且上与x轴均只有一个交点。综上所述，k≤1时，方程karctanx-x=0只有一个实根；k＞1时，方程karctanx-x=0有三个实根。知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[-π，π]上连续，且有求f(x)。标准答案：记f(x)sinxdx=A，则上式两端同乘以sinx，并在[-π，π]上积分可得令x=π-t，则知识点解析：暂无解析21、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出井口(如图1-3-5所示)。已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m／s，在提升过程中，污泥以20N／s的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明：①1N×1m=1J，m，N，s，J分别表示米，牛，秒，焦。②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。)标准答案：作x轴如图1-3-9所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为W，当抓斗运动到x处时，作用力f(x)包括抓斗的自重400N，缆绳的重力50(30-x)N，污泥的重力2000-.20(N)，即知识点解析：暂无解析22、设函数f(u)具有二阶连续导数，函数z=f(exsin)，)满足方程=(z+1)e2x，若f(0)=0，f’(0)=0，求函数f(u)的表达式。标准答案：代入=(z+1)e2x，得f’’(u)-f(u)=1。此方程对应的齐次方程f’’(u)-f(u)=0的通解为f(u)=C1eu+C22e-u方程的一个特解为f(u)=-1。所以方程f’’(u)-f(u)=1的通解为f(u)=C1eu+C2e-u-1，其中C1，C2为任意常数。由f(0)=0，f’(0)=0得C1=C2=，从而函数f(u)的表达式为f(u)=(eu+e-u)-1。知识点解析：暂无解析23、求I=[exsiny-b(x+y)]dx+(excosy-ax)dy，其中a，b为正常数，L为从点A(2a，0)沿曲线y=到点O(0，0)的弧。标准答案：添加从点O(0．0)沿y=0到点A(2a，0)的有向线段L1，则利用格林公式，前一积分其中D为L+L1所围成的半圆域。后一积分选择x为参数，得L1：y=0(x：0→2a)，直接积分得知识点解析：暂无解析24、设对于半空间x＞0内任意的光滑有向封闭曲面∑，都有xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-e2xzdxdy=0，其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续的一阶导数，且，求f(x)。标准答案：由题设和高斯公式得其中Ω为∑围成的有界闭区域，±号对应曲面取外侧或内侧，由∑的任意性，知xf’(x)+f(x)-xf(x)-e2x=0(x＞0)，即这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为f(x)=(ex+C)。即C+1=0，从而C=-1。因此知识点解析：暂无解析25、设f(x)=将f(x)展开成x的幂级数，并求级数的和。标准答案：直接将arctanx展开不容易，但(arctanx)’易展开，即积分得因为右端级数在x=±1处均收敛，又arctanx在x=±1处连续，所以展开式在收敛区间端点x=±1处成立。将(*)式两边同乘得上式右端当x=0时取值为1，于是令x=1，则知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e—x，则该微分方程为()．A、y"’一y"一y’+y=0B、y"’+y"一y’一y=0C、y"’+2y"一y’一2y=0D、y"’一2y"一y’+2y=0标准答案：A知识点解析：由y1=ex，y2=2xex，y3=3e—x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1=λ2=1，λ3=一1，其特征方程为(λ一1)2(λ+1)=0，即λ3一λ2一λ+1=0，所求的微分方程为y"’一y"一y’+y=0，选(A)．2、设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为()．A、C[φ1(x)+φ2(x)]B、C[φ1(x)一φ2(x)]C、C[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)D、[φ1(x)一φ2(x)]+Cφ2(x)标准答案：C知识点解析：因为φ1(x)，φ2(x)为方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1(x)一φ2(x)为方程y’+P(x)y=0的一个解，于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)，选(C)．3、设y=y(x)为微分方程2xydx+(x2一1)dy=0满足初始条件y(0)=1的解，则y(x)dx为()A、一ln3B、ln3C、一ln3D、ln3标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、微分方程y’+ytanx=cosx的通解为___________．标准答案：(x+C)cosx知识点解析：y=[∫cosxe∫tanxdxdx+C]e∫tanxdx=(x+C)cosx．5、设函数φ(u)可导且φ(0)=1，二元函数z=φ(x+y)exy满足=0，则φ(u)=___________。标准答案：知识点解析：6、设y=y(x)可导，y(0)=2，令△y=y(x+△x)一y(x)，且△y=△x+α，其中α是当△x→0时的无穷小量，则y(x)=___________．标准答案：知识点解析：7、的通解为___________．标准答案：知识点解析：8、连续函数f(x)满足f(x)=3∫0xf(x一t)dt+2，则f(x)=___________．标准答案：2e3x知识点解析：由∫0xf(x一t)dt∫x0f(u)(—du)=∫0xf(u)du得f(x)=3∫0xf(u)du+2，两边对x求导得f’(x)一3f(x)=0，解得f(x)=Ce—∫—3dx=Ce3x，取x=0得f(0)=2，则C=2，故f(x)=2e3x．9、微分方程(2x+3)y"=4y’的通解为___________．标准答案：y=C1x3+6C1x2+9C1x+C2知识点解析：令y’=p，则，两边积分得lnp=ln(2x+3)2+lnC1，或y’=C1(2x+3)2，于是y=C1x3+6C1x2+9C1x+C2．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)10、求微分方程xy’=yln的通解．标准答案：ln(lnu一1)=lnx+lnC，即lnu—1=Cx，或u=eCx+1，故原方程的通解为y=xeCx+1．知识点解析：暂无解析11、求微分方程xy"+2y’=ex的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析12、求微分方程xy’+(1一x)y=e2x(x＞0)的满足=1的特解．标准答案：知识点解析：暂无解析13、求微分方程(y+)dx—xdy=0的满足初始条件y(1)=0的解．标准答案：知识点解析：暂无解析14、求微分方程(y—x3)dx一2xdy=0的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析15、求微分方程y2dx+(2xy+y2)dy=0的通解．标准答案：所以原方程的通解为y2(y+3x)=C知识点解析：暂无解析16、求微分方程cosy一cosxsin2y=siny的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求微分方程xy=x2+y2满足初始条件y(e)=2e的特解．标准答案：所求的通解为y2=x2lnx2+2x2．知识点解析：暂无解析18、求微分方程x2y’+xy=y2满足初始条件y(1)=1的特解．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求微分方程(xy2+y一1)dx+(x2y+x+2)dy=0的通解．标准答案：令P(x，y)=xy2+y一1，Q(x，y)=x2y+x+2；因为=2xy+1，所以原方程为全微分方程，令u(x，y)=∫(0，0)(x，y)(xy2+y一1)dx+(x2y+x+2)dy=∫0x(一1)dx+∫0y(x2y+x+2)dy=一x++xy+2y，则原方程的通解为+xy+2y—x=C．知识点解析：暂无解析20、求微分方程的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析21、求微分方程的通解．标准答案：u一arctanu=x+C，所以原方程的通解为y—arctan(x+y)=C．知识点解析：暂无解析22、设y=ex为微分方程xy’+P(x)y=x的解，求此微分方程满足初始条件y(ln2)=0的特解．标准答案：把y=ex代入微分方程xy’+P(x)y=x，得P(x)=xe—x—x，原方程化为知识点解析：暂无解析23、设f(x)=ex—∫0x(x—t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．标准答案：由f(x)=ex—∫0x(x—t)f(t)dt，得f(x)=ex—x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt，两边对x求导，得f’(x)=ex—∫0xf(t)出，两边再对x求导得f"(x)+f(x)=ex，其通解为f(x)=Ccosx+Csinx+e．在f(x)=ex—∫0x(x一t)f(t)dt中，令x=0得f(0)=1，在f’(x)=ex—∫0xf(t)dt中，令x=0得f’(0)=1，于是有C1=．知识点解析：暂无解析24、用变量代换x=lnt将方程+e2xy=0化为y关于t的方程，并求原方程的通解．标准答案：故原方程的通解为y=C1cosex+C2sinex．知识点解析：暂无解析25、设f(x)二阶可导，且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x—t)dt=x+1，求f(x)．标准答案：∫0xtf(x—t)dtx∫0xf(u)du—∫0xuf(u)du=x∫0xf(t)dt—∫0xtf(t)dt，∫0xf(t)dt+∫0xtf(x—t)dt=x+1化为∫0xf(t)dt+x∫0xf(t)dt—∫0xtf(t)dt=x+1，两边求导得f(x)+∫0xf(t)dt=1，两边再求导得f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce—x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e—x．知识点解析：暂无解析26、求满足初始条件y"+2x(y’)2=0，y(0)=1，y’(0)=1的特解．标准答案：再由y(0)=1得C2=1，所以y=arctanx+1．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(x)为可导函数，F(x)为其原函数，则()．A、若f(x)是周期函数，则F(x)也是周期函数B、若f(x)是单调函数，则F(x)也是单调函数C、若f(x)是偶函数，则F(x)是奇函数D、若f(x)是奇函数，则F(x)是偶函数标准答案：D知识点解析：令f(x)=cosx一2，F(x)=sinx一2x+C，显然f(x)为周期函数，但F(x)为非周期函数，(A)不对；令f(x)=2x，F(x)=x2+C，显然f(x)为单调增函数，但F(x)为非单调函数，(B)不对；令f(x)=x2，，显然f(x)为偶函数，但F(x)为非奇非偶函数，(C)不对；若f(x)为奇函数，，2、设等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：3、设则有().A、N＜P＜MB、M＜P＜NC、N＜M＜PD、P＜M＜N标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、标准答案：知识点解析：5、标准答案：知识点解析：6、标准答案：知识点解析：7、标准答案：知识点解析：8、标准答案：知识点解析：9、标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共27题，每题1.0分，共27分。)10、求标准答案：知识点解析：暂无解析11、求标准答案：知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、标准答案：知识点解析：暂无解析27、标准答案：知识点解析：暂无解析28、标准答案：知识点解析：暂无解析29、标准答案：知识点解析：暂无解析30、标准答案：知识点解析：暂无解析31、标准答案：知识点解析：暂无解析32、标准答案：知识点解析：暂无解析33、标准答案：知识点解析：暂无解析34、标准答案：知识点解析：暂无解析35、标准答案：知识点解析：暂无解析36、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设级数都发散，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：选(D)．2、下列命题正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：选(D)．3、设a为任意常数，则级数()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性与常数a有关标准答案：B知识点解析：4、下列说法正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：5、级数()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：6、设k＞0，且级数()。A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性与k的取值有关标准答案：C知识点解析：7、设幂级数(an+bn)x的收敛半径为R0，则有()．A、R0=R2B、R0=R1C、R0＜R2D、R0＞R2标准答案：B知识点解析：选(B)．8、设anx2n+1的收敛半径为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：9、设an(x—1)n在x=一1处收敛，则此级数在x=2处()．A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：因为的收敛半径R≥2，故当x=2时，|2—1|＜R，所以级数an(x—1)n在x=2处绝对收敛，选(B)．10、设f(x)=则以2π为周期的傅里叶级数在x=π处收敛于()．A、1+π2B、一1C、D、标准答案：D知识点解析：函数f(x)的傅里叶级数在x=π处收敛于，选(D)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、幂级数的收敛半径为___________．标准答案：知识点解析：12、幂级数的收敛域为___________．标准答案：(0，4)知识点解析：令x一2=t，对级数，所以收敛半径为R=2，当t=±2时，的收敛域为(一2，2)，于是原级数的收敛域为(0，4)．13、=___________．标准答案：2知识点解析：14、设函数f(x)=πx+x2(一π＜x＜π)的傅里叶级数为(ancosnx+bnsinnx)，则b3=___________。标准答案：知识点解析：15、f(x)为以2π为周期的函数，当一π≤x＜π时，f(x)=设其傅里叶级数的和函数为S(x)，则S(11π)=___________．标准答案：知识点解析：因为f(x)的间断点为x=(2k+1)π(k∈Z)，所以S(11π)=三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)16、求幂级数的收敛域．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求幂级数的收敛域．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求幂级数的收敛域．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求幂级数的收敛域．标准答案：知识点解析：暂无解析20、求幂级数的收敛域．标准答案：知识点解析：暂无解析21、求幂级数的收敛域．标准答案：知识点解析：暂无解析22、求幂级数的收敛域．标准答案：知识点解析：暂无解析23、求幂级数n(n+1)xn的和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析24、求幂级数的和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析25、求幂级数(n+1)n的和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析26、求幂级数(2n+1)xn的收敛域及和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析27、求幂级数的收敛域，并求其和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析28、求级数的收敛域与和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析29、求幂级数(|x|＜1)的和函数S(x)及其极值．标准答案：得唯一驻点x=0，当x＜0时，S’(x)＞0，当x＞0时，S’(x)＜0，则x=0为S(x)的极大值点，极大值为S(0)=1．知识点解析：暂无解析30、标准答案：知识点解析：暂无解析31、将f(z)=arctanx展开成x的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析32、将f(x)=展开成x一2的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析33、将f(x)=lnx展开成x一2的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析34、将f(x)=arctanx—x展开成x的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析35、设有幂级数2+．(1)求该幂级数的收敛域；(2)证明此幂级数满足微分方程y"一y=一1；(3)求此幂级数的和函数．标准答案：故该幂级数满足微分方程y"一y=一1．(3)由f"(x)一f(x)=一1得f(x)=C1e—x+C2ex+1，再由f(0)=2，f’(0)=0得C1=，所以f(x)=chx+1．知识点解析：暂无解析36、设函数f(x)以2π为周期，且其在[一π，π)上的表达式为f(x)=|x|，求f(x)的傅里叶级数，并求的和．标准答案：知识点解析：暂无解析37、将f(x)=展开成傅里叶级数．标准答案：函数f(x)在[一π，π]上满足狄里克莱充分条件，将f(x)进行周期延拓，知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、若f(x)在x=0的某邻域内二阶连续可导，且=1，则下列正确的是()．A、x=0是f(x)的零点B、(0，f(0))是y=f(x)的拐点C、x=0是f(x)的极大点D、x=0是f(x)的极小点标准答案：D知识点解析：2、设f(x)在x=0的邻域内有定义，且f(0)=0，则f(x)在x=0处可导的充分必要条件是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：3、设f(x)在(一∞，+∞)上有定义，x0≠0为函数f(x)的极大值点，则()．A、x0为f(x)的驻点B、一x0为一f(一x)的极小值点C、一x0为一f(x)的极小值点D、对一切的x有f(x)≤f(x0)标准答案：B知识点解析：因为y=f(一x)的图像与y=f(x)的图像关于y轴对称，所以一x0为f(一x)的极大值点，从而一x0为一f(一x)的极小值点，选(B)．4、设f’(x0)=f"(x0)=0，f"’(x0)＞0，则下列结论正确的是()．A、f’(x0)是f’(x)的极大值B、f(x0)是f(x)的极大值C、f(x0)是f(x)的极小值D、(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点标准答案：D知识点解析：因为f"(x0)＞0，所以存在δ＞0，当0＜|x—x0|＜δ时，＞0，从而当x∈(x0一δ，x0)时，f"(x)＜0，当x∈(x0，x0+δ)时，f"(x)＞0，即(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点，选(D)．5、设f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极小值一2，则()．A、a=1，b=2B、a=一1，b=一2C、a=0，b=一3D、a=0，b=3标准答案：C知识点解析：f’(x)=3x2+2ax+b，因为f(x)在x=1处有极小值一2，所以解得a=0，b=一3，选(C)．6、设曲线y=x2+ax+b与曲线2y=xy3一1在点(1，一1)处切线相同，则()．A、a=1，b=1B、a=一1，b=一1C、a=2，b=1D、a=一2，b=一1标准答案：B知识点解析：由y=x2+ax+b得y’=2x+a，2y=xy3一1两边对x求导得2y’=y3+3xy2y’，解得y’=因为两曲线在点(1，一1)处切线相同，所以，应选(B)．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)7、设曲线y=lnx与y=相切，则公共切线为___________．标准答案：知识点解析：8、设L：，则t=0对应的曲线上点处的法线为___________．标准答案：y=一2x知识点解析：t=0对应的曲线上点为(0，0)，故法线方程为y一0=一2(x—0)，即y=一2x．9、∫01sin2xtdt=___________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)10、设PQ为抛物线y=的弦，它在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的最小值．标准答案：知识点解析：暂无解析11、求函数y=的单调区间与极值，并求该曲线的渐近线．标准答案：由y’==0得x=一1、x=0．当x＜一1时，y’＞0；当一1＜x＜0时，y’＜0；当x＞0时，y’＞0，y=的单调增区间为(一∞，一1]∪(0，+∞)，单调减区间为[一1，0]，．知识点解析：暂无解析12、证明：当0＜x＜1时，．标准答案：知识点解析：暂无解析13、证明：当0＜x＜1时，e—2x＞．标准答案：知识点解析：暂无解析14、当0＜x＜＜sinx＜x．标准答案：令f(x)=x—sinx，f(0)=0，知识点解析：暂无解析15、求f(x)=∫01｜x—t｜dt在[0，1]上的最大值与最小值．标准答案：f(x)=∫01|x一t|dt=∫0x(x—t)dt+∫x1(t一x)dt知识点解析：暂无解析16、证明方程lnx=在(0，+∞)内有且仅有两个根．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设k＞0，讨论常数k的取值，使f(x)=xlnx+k在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f(x)=，讨论f(x)的单调性、凹凸性、拐点、水平渐近线．标准答案：因为f’(x)＞0，所以f(x)在(一∞，+∞)上单调增加．因为f"(x)=一，当x＜0时，f"(x)＞0；当x＞0时，f"(x)＜0，则y=f(x)在(一∞，0)的图形是凹的，y=f(x)在(0，+∞)内是凸的，(0，0)为y=f(x)的拐点．因为f(—x)=一f(x)，所以f(x)为奇函数．由为曲线y=f(x)的两条水平渐近线．知识点解析：暂无解析19、证明：当x＞0时，．标准答案：令φ(t)=ln(x+t)，由拉格朗日中值定理得知识点解析：暂无解析20、设0＜a＜1，证明：方程arctanx=ax在(0，+∞)内有且仅有一个实根．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=一f(ξ)cotξ．标准答案：令φ(x)=f(x)sinx，φ(0)=φ(π)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，π)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f’(x)sinx+f(x)cosx，于是f’(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0，故f’(ξ)=—f(ξ)cosξ．知识点解析：暂无解析22、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．标准答案：令φ(x)=f(x)eg(x)，由f(a)=f(b)=0得φ(a)=φ(b)=0，则存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，因为φ’(x)=eg(x)[f’(x)+f(x)g’(x)]且eg(x)≠0，所以f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3)．证明：(1)ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0．(2)存在ξ∈(0，3)，使得f"(ξ)一2f’(ξ)=0．标准答案：(1)令F(x)=∫0xf(t)dt，F’(x)=f(x)，∫02(t)dt=F(2)一F(0)=F’(c)(2一0)=2f(c)，其中0＜c＜2．因为f(x)在[2，3]上连续，所以f(x)在[2，3]上取到最小值m和最大值M，m≤≤M，由介值定理，存在x0∈[2，3]，使得f(x0)=，即f(2)+f(3)=2f(x0)，于是f(0)=f(c)=f(x0)，由罗尔定理，存在ξ1∈(0，c)(0，3)，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0．(2)令φ(x)=e——2xf’(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(0，3)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e—2x[f"(x)一2f’(x)]且e—2x≠0，故f"(ξ)—2f’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在，证明：(1)存在ξ∈(1，2)，使得。(2)存在η∈(1，2)，使得∫12f(t)dt=ξ(ξ一1)f’(η)ln2．标准答案：(1)令h(x)=lnx，F(x)=∫1xf(t)dt，且F’(x)=f(x)≠0，由拉格朗日中值定理得f(ξ)=f(ξ)—f(1)=f’(η)(ξ一1)，其中1＜η＜ξ，故∫12f(t)dt=ξ(ξ一1)f’(η)ln2．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[a，b]上二阶可导且f"(x)＞0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数．标准答案：对任意的x1，x2∈(a，b)旦x1≠x2，取x0=，由泰勒公式，得f(x)=f(x0)+f’(x0)(x一x0)+(x—x0)2，其中ξ介于x0与x之间．因为f"(x)>0，所以f(x)≥f(x0)+f(x0)(x—x0)，“=”成立当且仅当“x=x0”，由凹函数的定义，f(x)在(a，b)内为凹函数．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设当x→0时，有ax3＋bx2＋cx～，则()．A、a＝，b＝1，c＝0B、a＝，b＝1，c＝0C、a＝，b＝－1，c＝0D、a＝0，b＝2，c＝0标准答案：D知识点解析：因为x→0时，ax3＋bx2＋cx～，所以，显然c＝0，再由得a＝0，b＝2，选(D)．2、设f(x)＝，g(x)＝x3＋x4，当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、等价无穷小B、同阶但非等价无穷小C、高阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：B知识点解析：因为，所以正确答案为(B)．3、设，则当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：A知识点解析：4、设{an}与{bn}为两个数列，下列说法正确的是()．A、若{an}与{bn}都发散，则{anbn}一定发散B、若{an}与{bn}都无界，则{anbn}一定无界C、若{an}无界且＝0，则＝0D、若an为无穷大，且＝0，则bn一定是无穷小标准答案：D知识点解析：(A)不对，如an＝2＋(一1)n，bn＝2一(一1)n，显然{an}与{bn}都发散，但anbn＝3，显然{anbn}收敛；(B)、(C)都不对，如an＝n[1＋(一1)n]，bn＝n[1一(－1)n]，显然{an}与{bn}都无界，但anbn＝0，显然{anbn}有界且≠0；正确答案为(D)．5、设f(x)＝在(一∞，＋∞)内连续，且＝0，则()．A、a＞0，b＞0B、a＜0，b＜0C、a≥0，b＜0D、a≤0，b＞0标准答案：C知识点解析：因为f(x)＝在(一∞，＋∞)内连续，所以a≥0，又因为＝0，所以b＜0，选(C)．6、设α～β(x→a)，则等于()．A、eB、e2C、1D、标准答案：D知识点解析：因为α～β，所以，于是，选(D)．7、设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0使得()．A、对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)B、对任意的x∈(0，δ)有f(x)＜f(0)C、当x∈(0，δ)时，f(x)为单调增函数D、当x∈(0，δ)时，f(x)是单调减函数标准答案：A知识点解析：因为f’(0)＞0，所以，根据极限的保号性，存在δ＞0，当x∈(0，δ)时，有，即f(x)＞f(0)，选(A)．8、设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y"＋py’＋qy＝sin2x＋2ex的满足初始条件f(0)＝f’(0)＝0的特解，则当x→0时，()．A、不存在B、等于0C、等于1D、其他标准答案：C知识点解析：因为f(0)＝f’(0)＝0，所以f"(0)＝2，于是，选(C)．9、下列命题正确的是()．A、若｜f(x)｜在x＝a处连续，则f(x)在x＝a处连续B、若f(x)在x＝a处连续，则｜f(x)｜在x＝a处连续C、若f(x)在x＝a处连续，则f(x)在x＝a的一个邻域内连续D、若[f(a＋h)一f(a一h)]＝0，则f(x)在x＝a处连续标准答案：B知识点解析：令显然｜f(x)｜≡1处处连续，然而f(x)处处间断，(A)不对；令显然f(x)在x＝0处连续，但在任意z＝a≠0处函数f(x)都是间断的，故(C)不对；令显然，但f(x)在x＝0处不连续，(D)不对；若f(x)在x＝a处连续，则＝f(a)，又0≤｜｜f(x)｜—｜f(a)｜｜≤｜f(x)一f(a)｜，根据夹逼定理，＝｜f(a)｜，选(B)．二、填空题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)10、标准答案：1知识点解析：11、标准答案：知识点解析：12、标准答案：知识点解析：13、标准答案：知识点解析：14、当x→0时，x—sinxcos2x～cxk，则c＝__________，k＝__________．标准答案：知识点解析：15、标准答案：知识点解析：16、标准答案：2知识点解析：17、标准答案：知识点解析：18、设f’(x)连续，f(0)＝0，f’(0)＝1，则＝___________.标准答案：0知识点解析：19、设f(x)一阶连续可导，且f(0)＝0，f’(0)≠0，则＝___________.标准答案：1知识点解析：20、设f(x)连续，且＝__________.标准答案：1知识点解析：21、标准答案：2知识点解析：当x→0时，有，则，原式＝＝2.22、设f(x)在x＝0处连续，且，则曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程为_________．标准答案：知识点解析：23、设在x＝0处连续，则a＝___________，b＝___________.标准答案：a＝－1，b＝1知识点解析：因为f(x)在x＝0处连续，所以a＋4b＝3＝2b＋1，解得a＝－1，b＝1．三、解答题(本题共26题，每题1.0分，共26分。)24、求标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、设f(x)连续可导，标准答案：知识点解析：暂无解析27、设f"(0)＝6，且标准答案：由得f(0)＝0，f’(0)＝0，知识点解析：暂无解析28、设，求n，c的值．标准答案：知识点解析：暂无解析29、已知，求a，b的值．标准答案：知识点解析：暂无解析30、确定a，b，使得x一(a＋bcosx)sinx当x→0时为阶数尽可能高的无穷小．标准答案：令y＝x一(a＋bcosx)sinx，y’＝1＋bsin2x一(a＋bcosx)cosx，y"＝bsin2x＋sin2x＋(a＋bcosx)sinx＝asinx＋2bsin2x，y’’’＝acosx＋4bcos2x，显然y(0)＝0，y"(0)＝0，所以令y’(0)＝y’’’(0)＝0得故当时，x一(a＋bcosx)sinx为阶数尽可能高的无穷小．知识点解析：暂无解析31、设，求a，b的值．标准答案：ln(1＋x)－(ax＋bx2)＝x一＋o(x2)一(ax＋bx2)＝(1－a)x一(b＋)x2＋o(x2)，由得x→0时，，于是，故a＝1，b＝一2．知识点解析：暂无解析32、确定常数a，b，c，使得＝c.标准答案：由得b＝一1；由得a＝；于是c＝.知识点解析：暂无解析33、设，其中f(x)连续，求标准答案：知识点解析：暂无解析34、标准答案：知识点解析：暂无解析35、标准答案：知识点解析：暂无解析36、标准答案：知识点解析：暂无解析37、标准答案：知识点解析：暂无解析38、设f’(x)连续，f(0)＝0，f’(0)≠0，F(x)＝，且当x→0时，F(x)～xn，求n及f’(0)．标准答案：知识点解析：暂无解析39、设f(x)在[1，＋∞)内可导，f’(x)＜0且＝a＞0，令an＝－.证明：{an}收敛且0≤≤f(1)．标准答案：因为f’(x)＜0，所以f(x)单调减少．又因为an＋1一an＝f(n＋1)一＝f(n＋1)一f(ξ)≤0(ξ∈[n，n＋1)，所以{an}单调减少．因为an＝[f(k)－f(x)]dx＋f(n)，而[f(k)－f(x)]dx≥0(k＝1，2，…，n－1)且＝a＞0，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0．由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1，＋∞))，故an≥f(n)＞0，所以存在．由an＝f(1)＋，而f(k)一≤0(k＝2，3，…，n)，所以an≤f(1)，从而0≤≤f(1)．知识点解析：暂无解析40、设a＞0，x1＞0，且定义xn＋1＝(n＝1，2，…)，证明：存在并求其值．标准答案：因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有知识点解析：暂无解析41、设a1＝1，当n≥1时，an＋1＝，证明：数列{an}收敛并求其极限．标准答案：知识点解析：暂无解析42、设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)＝0，f(1)＝1．证明：(1)存在c∈(0，1)，使得f(c)＝1—2c；(2)存在拿∈[0，2]，使得2f(0)＋f(1)＋3f(2)＝6f(ξ)．标准答案：(1)令φ(x)＝f(x)一1＋2x，φ(0)＝一1，φ(1)＝2，因为φ(0)φ(1)＜0，所以存在c∈(0，1)，使得φ(c)＝0，于是f(c)＝1—2c．(2)因为f(x)∈C[0，2]，所以f(x)在[0，2]上取到最小值m和最大值M，由6m≤2f(0)＋f(1)＋3f(2)≤6M得由介值定理，存在ξ∈[0，2]，使得于是2f(0)＋f(1)＋3f(2)＝6f(ξ)．知识点解析：暂无解析43、设＝A，证明：数列{an}有界．标准答案：取ε0＝1，因为＝A，根据极限定义，存在N＞0，当n＞N时，有｜an一A｜＜1，所以｜an｜≤｜A｜＋1．取M＝max{｜a1｜，｜a2｜，…，｜aN｜，｜A｜＋1)，则对一切的n，有｜an｜≤M.知识点解析：暂无解析44、设f(x)在[0，1]上有定义，且exf(x)与e－f(x)在[0，1]上单调增加．证明：f(x)在[0，1]上连续．标准答案：对任意的x0∈[0，1]，因为exf(x)与e－f(x)在[0，1]上单调增加，所以当x＜x0时，有故f(x0)≤f(x)≤，令x→，由夹逼定理得f(x0一0)＝f(x0)；当x＞x0时，有故令x→，由夹逼定理得f(x0＋0)＝f(x0)，故f(x0一0)＝f(x0＋0)＝f(x0)，即f(x)在x＝x0处连续，由x0的任意性得f(x)在[0，1]上连续．知识点解析：暂无解析45、设f(x)在[a，＋∞)上连续，f(a)＜0，而存在且大于零．证明：f(x)在(a，＋∞)内至少有一个零点．标准答案：令＝k＞0，取ε0＝＞0，因为＝k＞0，所以存在X0＞0，当x≥X0时，有｜f(x)一k｜≤，从而f(x)≥＞0，特别地，f(X0)＞0，因为f(x)在[a，X0]上连续，且f(a)f(X0)＜0，所以存在ξ∈(a，X0)，使得f(ξ)＝0．知识点解析：暂无解析46、f(x)＝，求f(x)的间断点并分类．标准答案：x＝k(k＝0，一1，一2，…)及x＝1为f(x)的间断点．f(0—0)＝因为f(0—0)≠f(0＋0)，所以x＝0为跳跃间断点；由得x＝－2为可去间断点；当x＝k(k＝一1，一3，一4，…)时，由＝∞得x＝k(k＝一1，一3，一4，…)为第二类间断点；由＝∞得x＝1为第二类间断点．知识点解析：暂无解析47、求f(x)＝的间断点并判断其类型．标准答案：f(x)的间断点为x＝0，一1，一2，…及x＝1．当x＝0时，f(0—0)＝，f(0＋0)＝，则x＝0为函数f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点．当x＝一1时，，则x＝一1为f(x)的第一类间断点中的可去间断点．当x＝k(k＝一2，一3，…)时，，则x＝k(k＝一2，一3，…)为函数f(x)的第二类间断点．当x＝1时，因为limf(x)不存在，所以x＝1为f(x)的第二类间断点．知识点解析：暂无解析48、设f(x)＝，求f(x)的间断点并指出其类型．标准答案：首先其次f(x)的间断点为x＝kπ(k＝0，±1，…)，因为＝e，所以x＝0为函数f(x)的第一类间断点中的可去间断点，x＝kπ(k＝±1，…)为函数f(x)的第二类间断点。知识点解析：暂无解析49、求函数的反函数．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第8套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、设，则f(x)在点x=0处A、极限不存在．B、极限存在但不连续．C、连续但不可导．D、可导．标准答案：C知识点解析：暂无解析2、设，则在点x=1处函数f(x)A、不连续．B、连续但不可导．C、可导，但导数不连续．D、可导且导数连续．标准答案：B知识点解析：暂无解析3、设f(x)在x=a的某邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充要条件是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析4、若f(x+1)=af(x)总成立，且f’(0)=b(a，b为非零常数)，则f(x)在x=1处A、不可导．B、可导且f’(1)=a．C、可导且f’(1)=b．D、可导且f’(1)=ab．标准答案：D知识点解析：暂无解析5、设函数f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分条件是A、f(a)=0且f’(a)=0B、f(a)=0且f’(a)≠0C、f(a)＞0且f’(a)＞0D、f(a)＜0且f’(a)＜0标准答案：B知识点解析：暂无解析6、设f(x)在(一∞，+∞)上可导，且对任意的x1和x2，当x1＞x2时都有f(x1)＞f(x2)，则A、对任意x，f’(x)＞0．B、对任意x，f’(-x)≤0．C、函数f(一x)单调增加．D、函数一f(一x)单调增加．标准答案：D知识点解析：暂无解析7、设f(x)的导数在x=a处连续，又，则A、x=a是f(x)的极小值点．B、x=a是f(x)的极大值点．C、(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点．D、x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点．标准答案：B知识点解析：暂无解析8、设y=f(x)满足y"+y’一esinx=0，且f’(x0)=0，则f(x)在A、x0某邻域内单调增加．B、x0某邻域内单调减少．C、x0处取得极小值．D、x0处取极大值．标准答案：C知识点解析：暂无解析9、设函数f(x)满足关系式f"(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则A、f(0)是f(x)的极大值．B、f(0)是f(x)的极小值．C、点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．D、f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点．标准答案：C知识点解析：暂无解析10、曲线的渐近线有A、1条．B、2条．C、3条．D、4条．标准答案：B知识点解析：暂无解析11、若，则为A、0B、6C、36D、∞标准答案：C知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)12、已知f’(x0)=一1，则=_________.标准答案：1知识点解析：暂无解析13、设f(1+x)一3f(1一x)=8x(1+｜sinx｜)，其中f(x)连续，则f’(1)=_________．标准答案：2知识点解析：暂无解析14、设f’(1)=2，极限存在，则=__________．标准答案：-2知识点解析：暂无解析15、已知=___________．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设函数y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定，则=_________标准答案：1知识点解析：暂无解析17、设，其中f(x)可导且f’(0)≠0，则=__________.标准答案：3知识点解析：暂无解析18、=__________标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)=x(x一1)(x一2)…(x一n)，则f’(0)=________，f(n+1)(x)=__________．标准答案：(一1)nn!，(n+1)!知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共29题，每题1.0分，共29分。)20、已知函数f(x)在(0，+∞)上可导，f(x)＞0，，求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设y=y(x)由y=tan(x+y)所确定，试求y’，y"．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设函数y=y(x)由方程y—xey=1所确定，试求标准答案：2e2知识点解析：暂无解析23、设，求标准答案：知识点解析：暂无解析24、设y=y(x)由所确定，求标准答案：知识点解析：暂无解析25、设，求f(n)(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析26、设y=sin4x+cos4x，求y(n)．标准答案：知识点解析：暂无解析27、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析28、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析29、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析30、做半径为R的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h取何值，其体积最小，最小值是多少?标准答案：h=4R，Vmin=知识点解析：暂无解析31、设a＞1，n≥1，试证标准答案：利用拉格朗日中值定理．知识点解析：暂无解析32、试证当0＜x＜1时，标准答案：考虑函数f(x)=e2x(1一x)一(1+x)．利用f(x)的单调性来证明．知识点解析：暂无解析33、若0≤x≤1，P＞1，试证标准答案：利用最大最小值来证明．知识点解析：暂无解析34、设p，q是大于1的常数，且，证明对于任意的x＞0，有标准答案：令f(x)=，考虑f(x)在x＞0处的最小值．知识点解析：暂无解析35、试证(x＞一1)．标准答案：利用拉格朗日中值定理或利用单调性．知识点解析：暂无解析36、设a1，a2，…，an为任意实数，求证方程a1cosx+a2cos2x+…+ancosnx=0在(0，π)内必有实根．标准答案：构造辅助函数F(x)=a1sinx++…+，对F(x)在[0，π]上用罗尔定理．知识点解析：暂无解析37、试证方程2x一x2=1有且仅有三个实根．标准答案：用连续函数介值定理说明至少有三个实根，用罗尔定理的推论说明最多三个实根．知识点解析：暂无解析38、试确定xe-x=a(a＞0)的实根个数．标准答案：令f(x)=xe-x一a，考虑f(x)的极大值．最后结论是当a＞时，无实根；当a=时，唯一实根：当a＜时，两个实根．知识点解析：暂无解析39、设当x＞0时，方程有且仅有一个解，试求k的取值范围．标准答案：令，最后结论是：(1)k≤0时有且仅有一个解；(2)k＞0时，当有唯一解．知识点解析：暂无解析设f(x)在[a，b]上可导，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f'(a).f'(b)＞0，试证40、ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0．标准答案：利用连续函数介值定理；知识点解析：暂无解析41、η∈(a，b)，使f"(η)=f(η)．标准答案：先对辅助函数φ(x)=exf(x)用罗尔定理，再对辅助函数F(x)=e-x[f’(x)+f(x)]用罗尔定理．知识点解析：暂无解析42、设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=0，f’(a).f’(b)＞0，试证存在ξ∈(a，b)，η∈(a，b)，使f(ξ)=0，f"(η)=0．标准答案：不妨设f’(a)＞0，f’(b)＞0，则在a点右半邻域存在点x1，使f(x1)＞f(a)=0在b点的左半邻域存在点x2．使f(x2)＜f(b)=0．由连续函数介值定理知存在ξ∈(a，b)使f(ξ)=0，利用f(a)=f(ξ)=f(b)=0，连续用两次罗尔定理便可证明本题．知识点解析：暂无解析43、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，试证存在ξ∈(a，b)，η∈(a，b)，使标准答案：由拉格朗日中值定理知存在ξ∈(a，b)．使．由柯希中值定理知，存在η∈(a，b)，使知识点解析：暂无解析44、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，试证存在ξ∈(a，b)，η∈(a，b)，使eη-ξ[f’(η)+f(η)]=1标准答案：对F(x)=exf(x)和φ(x)=ex分别在[a，b]上用拉格朗日中值定理．知识点解析：暂无解析45、设f(x)在[0，1]上具有三阶连续导数，且f(0)=1，f(1)=2，，证明在(0，1)上至少存在一点ξ，使｜f’’’(ξ)｜≥24标准答案：先写出f(x)在点处的三阶泰勒公式，然后分别令x=0和x=1．知识点解析：暂无解析46、设f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，且f(0)=f(1)=0，，证明标准答案：由=一1，f(0)=f(1)=0知，存在c∈(0，1)使f(c)=一1．且f’(c)=0，然后写出f(x)在x=c处的二阶泰勒公式，分别令x=0和x=1．知识点解析：暂无解析47、试确定常数a与n的一组值，使得当x→0时，一ln[e(1+x2)]与axn为等价无穷小．标准答案：a=1，n=4(利用泰勒公式)知识点解析：暂无解析48、设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+2f(1)+3f(2)=6，f(3)=1，试证：必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．标准答案：先利用连续函数介值定理证明存在c∈[0，2]，使f(c)=1，然后在区间[c，3]上对f(x)用罗尔定理．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第9套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)上有定义f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则()A、φ[f(x)]必有间断点。B、[φ(x)]2必有间断点。C、f[φ(x)]必有间断点。D、必有间断点。标准答案：D知识点解析：取f(x)=1，x∈(-∞，+∞)，φ(x)=则f(x)，φ(x)满足题设条件。由于φ[f(x)]=|1，[φ(x)]2=1，f[φ(x)]=1都是连续函数，故可排除A、B、C，应选D。2、设f(x)在闭区间[a，b]上可导f(a)=，则()A、f’+(a)=0。B、f+(a)≥0。C、f’+(a)＜0。D、f’+(a)≤0。标准答案：D知识点解析：f’+(a)=≤0，故选D。3、设常数k＞0，函数f(x)=lnx-在(0，+∞)内零点个数为()A、3。B、2。C、1。D、0。标准答案：B知识点解析：因f’(x)=，令f’(x)=0得唯一驻点x=e，且在f(x)的定义域内无f’(x)不存在的点，故f(x)在区间(0，e)与(e，+∞)内都具有单调性。又f(e)=k＞0，而所以f(x)在(0，e)与(e，+∞)内分别有唯一零点，故选B。4、设I1=，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：当x＞0时，有tanx＞x，于是有。从而，可见有I1＞I2，又由I2＜知排除A，应选B。5、累次积分可以写成()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由累次积分可知，积分区域D为D={(r，θ)｜0≤r≤cosθ,0≤θ≤}。由r=cosθ为圆心在x轴上，直径为1的圆，可作出D的图形如图1-6-1所示。该圆的直角坐标方程为。故用直角坐标表示区域D为可见A、B、C均不正确，故选D。6、设a是常数，则级数()A、绝对收敛。B、条件收敛。C、发散。D、敛散性与a有关。标准答案：C知识点解析：由于发散，则发散。故选C。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)7、设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)，则f’(0)=________。标准答案：n!知识点解析：由于f’(x)=(x+1)…(x+n)+x[(x+2)…(x+n)+…+(x+1)…(x+n-1)]，所以f’(0)=n!。8、曲线