考研数学一（线性方程组）模拟试卷1（共128题）

考研数学一（线性方程组）模拟试卷1（共5套）（共128题）考研数学一（线性方程组）模拟试卷第1套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、对于n元方程组，下列命题正确的是A、如果Ax=0只有零解，则Ax=b有唯一解．B、如果Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解．C、如果Ax=b有两个不同的解，则Ax=0有无穷多解．D、Ax=b有唯一解的充要条件是r(A)=n．标准答案：C知识点解析：当r(A)=n时，不一定有r=n．注意，n元方程组只表示A有n个列向量，并不反映列向量的维数(即方程的个数)，此时可以有r＞n，那么方程组可能无解，所以(A)，(B)，(D)均不对．对于(C)，从Ax=b有不同的解，知Ax=0有非零解，进而有无穷多解．2、已知η1，η2，η3，η4是Ax=0的基础解系，则此方程组的基础解系还可选用A、η1+η2，η2+η3，η3+η4，η4+η1．B、η1，η2，η3，η4的等价向量组α1，α2，α3，α4．C、η1，η2，η3，η4的等秩向量组α1，α2，α3，α4．D、η1+η2，η2+η3，η3－η4，η4－η1．标准答案：B知识点解析：本小题中(A)，(D)均线性相关．(η1+η2)一(η2+η3)+(η3+η4)一(η4+η1)=0，(η1+η2)一(η2+η3)+(η3一η4)+(η4—η1)=0，用简单的加减可排除(A)，(D)．关于(C)，因为等秩不能保证αi是方程组的解，也就不可能是基础解系．至于(B)，由等价知α1，α2，α3，α4是解，从r(α1，α2，α3，α4)=r(η1，η2，η3，η4)=4，得到α1，α2，α3，α4线性无关，故(B)正确．3、已知β1，β2是Ax=b的两个不同的解，α1，α2是相应齐次方程组Ax=0的基础解系，k1，k2是任意常数，则Ax=b的通解是A、k1α1+k2(α1+α2)+．B、k1α1+k2(α1－α2)+．C、k1α1+k2(β1－β2)+．D、k1α1+k2(β1－β2)+．标准答案：B知识点解析：不是Ax=b的解，从解的结构来看应排除(A)，(C)，虽β1—β2，α1都是Ax=0的解，但是否线性无关不能保证，能否成为基础解系不明确，(D)应排除．由α1，α2是基础解系，得α1，α1一α2线性无关是基础解系，而是Ax=b的解，故(B)正确．4、设A是秩为n一1的n阶矩阵，α1与α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，则Ax=0的通解必定是A、α1+α2．B、kα1．C、k(α1+α2)．D、k(α1一α2)．标准答案：D知识点解析：因为通解中必有任意常数，显见(A)不正确．由n—r(A)=1知Ax=0的基础解系由一个非零向量构成．α1，α1+α2与α1一α2中哪一个一定是非零向量呢?已知条件只是说α1，α2是两个不同的解，那么α1可以是零解，因而kα1可能不是通解．如果α1=－α2≠0，则α1，α2是两个不同的解，但α1+α2=0，即两个不同的解不能保证α1+α2≠0．因此要排除(B)、(C)．由于α1≠α2，必有α1一α2≠0．可见(D)正确．5、设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次方程组Ax=0的基础解系A、不存在．B、仅含一个非零解向量．C、含有两个线性无关的解向量．D、含有三个线性无关的解向量．标准答案：B知识点解析：本题考查齐次方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数．也就是要求出矩阵A的秩．由于因为A*≠0，必有r(A*)≥l，故r(A)=n或n一1．又因ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是Ax=b互不相同的解，知ξ1－ξ2是Ax=0的非零解，而必有r(A)＜n．从而r(A)=n一1．因此，n—r(A)=n一(n—1)=1，即Ax=0只有一个线性无关的解．故应选(B)．6、设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，则下列命题①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩r(A)≥r(B)②若秩r(A)≥r(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解③若Ax=0与Bx=0同解，则秩r(A)=r(B)④若秩r(A)=r(B)，则Ax=0与Bx=0同解中正确的是A、①，②．B、①，③．C、②，④．D、③，④．标准答案：B知识点解析：命题④显然错误，可排除(C)、(D)．对于(A)和(B)必有一个是正确的．因此命题①必正确．由①正确，可知③必正确．所以应选(B)．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)7、设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0．(Ⅰ)如A中每行元素之和均为0，且r(A)=n一1，则方程组的通解是___________；(Ⅱ)如每个n维向量都是方程组的解，则r(A)=___________；(Ⅲ)如r(A)=n一1，且代数余子式A11≠0，则Ax=0的通解是_________，A*x=0的通解是__________，(A*)*x=0的通解是___________．标准答案：(Ⅰ)k(1，1，…，1)T．(Ⅱ)0(Ⅲ)k(A11，A12，…，A1n)Tk1e1+k2e2+…+knenk知识点解析：(Ⅰ)从r(A)=n一1知Ax=0的基础解系由1个解向量组成，因此任一非零解都可成为基础解系．因为每行元素之和都为0，有ai1+ai2+…+ain=1.ai1+1.ai2+…+1.ain=0，所以，(1，1，…，1)T满足每一个方程，是Ax=0的解，故通解是k(1，1，…，1)T．(Ⅱ)每个n维向量都是解，因而有n个线性无关的解，那么解空间的维数是n，又因解空间维数是n—r(A)，故n=n—r(A)，即r(A)=0．(Ⅲ)对Ax=0，从r(A)=n一1知基础解系由1个解向量所构成．因为AA*=｜A｜E=0，A*的每一列都是Ax=0的解．现已知A11≠0，故(A11，A12，…，A1n)T是Ax=0非零解，即是基础解系，所以通解是k(A11，A12，…，A1n)T．对A*x=0，从r(A)=n一1知r(A*)=1，那么A*x=0的基础解系由n—r(A*)=n一1个向量所构成，从A*A=0知A的每一列都是A*x=0的解，由于代数余子式A11≠0，知，n一1维向量(a22，a32，…，an2)T，(a22，a33，…，an3)T，…，(a2n，a3n，…，ann)T线性无关，那么延伸为n维向量(a12，a22，…，an2)T，(a13，a23，…，an3)T，…，(a1n，a2n，…，ann)T仍线性无关，即是A*x=0的基础解系，．对(A*)*x=0，同上知r(A*)=1，已知当n≥3时，r((A*)*)=0，那么任意n个线性无关的向量都可构成基础解系．例如，取e1=(1，0，…，0)T，e2=(0，1，…，0)T，…，en=(0，0，…，1)T，得通解k1e1+k2e2+…+knen．如n=2，对于A==A．那么(A*)*x=0的通解是k(注：AA*=0，A11=a22≠0，r(A)=1)．8、已知α1，α2是方程组的两个不同的解向量，则a=_____________．标准答案：一2知识点解析：因为α1，α2是方程组两个不同的解，故方程组有无穷多解．因此秩r(A)=r＜3，对增广矩阵作初等行变换有易见仅当a=－2时，r(A)=r=2＜3．故知a=－2．9、设A是秩为3的5×4矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，若α1+α2+2α3=(2，0，0，0)T，3α1+α2=(2，4，6，8)T，则方程组Ax=b的通解是___________．标准答案：(，0，0，0)T+k(0，2，3，4)T．知识点解析：由于秩r(A)=3，所以齐次方程组Ax=0的基础解系由4一r(A)=1个向量所构成．又因为(α1+α2+2α3)一(3α1+α2)=2(α3一α1)=(0，一4，一6，一8)T是Ax=0的解，即其基础解系可以是(0，2，3，4)T．由A(α1+α2+2α3)=Aα1+Aα2+2Aα3=4b，知(α1+α2+2α3)是方程组Ax=b的一个解．那么根据方程组解的结构知其通解是(，0，0，0)T+k(0，2，3，4)T．三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)10、已知ξ1=(一9，1，2，11)T，ξ2=(1，一5，13，0)T，ξ3=(一7，一9，24，11)T是方程组的三个解，求此方程组的通解．标准答案：A是3×4矩阵，r(A)≤3，由于A中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因η1=ξ1一ξ2=(一10，6，一11，11)T，η2=ξ2一ξ3=(8，4，一11，一11)T是Ax=0的两个线性无关的解，于是4一r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k1η1+k2η2是通解．知识点解析：求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系，ξ1一ξ2，ξ2一ξ3都是Ax=0的解，现在就要判断秩r(A)，以确定基础解系中解向量的个数．11、解齐次方程组标准答案：对系数矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵由n—r(A)=4—2=2，基础解系由2个向量组成，每个解中有2个自由变量．令x2=1，x4=0，解得x3=0，x1=2；令x2=0，x4=2，解得x3=15，x1=－22．于是得到η1=(2，1，0，0)T，η2=(一22，0，15，2)T，通解是k1η1+k2η2．知识点解析：暂无解析12、解方程组标准答案：对增广矩阵高斯消元化为阶梯形由r(A)=r(A)=3，方程组有解，n－r(A)=1有1个自由变量．先求相应齐次线性方程组的基础解系，令x3=2，解出x4=0，x2=－1，x1=－1，所以齐次方程组通解是k(－1，－1，2，0)T．再求非齐次线性方程组的特解，令x3=0，解出x4=，0，．所以，方程组的通解是：+k(一1，一1，2，0)T．知识点解析：暂无解析13、设A=(Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ2的所有向量ξ2，ξ3；(Ⅱ)对(Ⅰ)中任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．标准答案：(Ⅰ)对增广矩阵(Aξ1)作初等行变换，有得Ax=0的基础解系(1，一1，2)T和Ax=ξ1的特解(0，0，1)T．故ξ2=(0，0，1)T+k(1，一1，2)T或ξ2=(k，一k，2k+1)T，其中k为任意常数．因为A2=，对增广矩阵(A2ξ1)作初等行变换，有得A2x=0的基础解系(一1，1，0)T，(0，0，1)T．又A2x=ξ1有特解(，0，0)T，故其中t1，t2为任意常数．(Ⅱ)因为所以ξ1，ξ2，ξ3必线性无关．知识点解析：其实求ξ2和ξ3就是分别求方程组Ax=ξ1与方程组A2x=ξ1的通解．14、设A=已知方程组Ax=b有无穷多解，求a的值并求其通解．标准答案：线性方程组Ax=b有无穷多解r(A)=r＜n．对增广矩阵作初等行变换，有当a=3时，r(A)=r=2＜3，此时于是方程组的通解为：(3，一1，0)T+k(一7，3，1)T．知识点解析：暂无解析15、讨论a，b取何值时，下列方程组无解、有唯一解、有无穷多解，有解时求出其解．标准答案：将增广矩阵用初等行变换化为阶梯形，即讨论：(Ⅰ)当a=－1，b≠36时，r(A)=3，r=4方程组无解；(Ⅱ)当a≠－1，a≠6时，r(a)=r=4，方程组有唯一解，由下往上依次可解出(Ⅲ)当a=－1，b=36时，r(A)=r=3，方程组有无穷多解，此时方程组化为令x4=0，有x3=0，x2=－12，x1=6，即特解是ξ=(6，一12，0，0)T．令x4=1，解齐次方程组有x3=0，x2=5，x1=－2，即η=(一2，5，0，1)T是基础解系．所以通解为ξ+kη=(6，一12，0，0)T+k(一2，5，0，1)T．(Ⅳ)当a=6时，r(A)=r=3，方程组有无穷多解，此时方程组化为令x3=0，有特解α=令x3=1，有齐次方程组基础解系β=(一2，1，1，0)T．所以通解是α+kβ=(b—36))T+k(－2，1，1，0)T．知识点解析：暂无解析16、设A=已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解，(Ⅰ)求λ，a；(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解．标准答案：(Ⅰ)因为线性方程组Ax=b有2个不同的解，所以r(A)=r＜n．由知λ=1或λ=一1．当λ=1时，必有r(A)=1，r=2．此时线性方程组无解．而当λ=一1时，若a=一2，则r(A)==2，方程组Ax=b有无穷多解．故A=－1，a=－2．(Ⅱ)当λ=－1，a=－2时，所以方程组Ax=b的通解为+k(1，0，1)T，其中K是任意常数．知识点解析：暂无解析17、设齐次线性方程组其中A≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解?当有无穷多解时，求出其全部解，并用基础解系表示全部解．标准答案：对系数矩阵作初等行变换，把第1行的一1倍分别加至第2行到第n行，有(Ⅰ)如果a=b，方程组的同解方程组是x1+x2+…+xn=0．由于n一r(A)=n一1，取自由变量为x2，x3，…，xn，得到基础解系为：α1=(一1，1，0，…，0)T，α2=(一1，0，1，…，0)T，…，αn－1=(一1，0,0，…，1)T．方程组通解是：k1α1+k2α2+…+kn－1αn－1，其中k1，k2，…，kn－1为任意常数．(Ⅱ)如果a≠b，对系数矩阵作初等行变换，有若a≠(1一n)b，则秩r(A)=n，此时齐次方程组只有零解．若a=(1一n)b，则秩r(A)=n一1．取x1为自由变量，则基础解系为a=(1，1，…，1)T，于是方程组的通解是：kα，其中k为任意常数．知识点解析：暂无解析18、设方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)x1+2x2+x3=a一1有公共解，求a的值及所有公共解．标准答案：把方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)联立，得方程组(Ⅲ)则方程组(Ⅲ)的解就是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．对方程组(Ⅲ)的增广矩阵作初等行变换，有则方程组(Ⅲ)有解(a一1)(a一2)=0．当a=1时，，此时方程组(Ⅲ)的通解为k(一1，0，1)T(k为任意常数)，即为方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．当a=2时，，此时方程组(Ⅲ)有唯一解(0，1，一1)T，这亦是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的唯一公共解．知识点解析：暂无解析19、设4元齐次线性方程组(Ⅰ)为而已知另一4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为α1=(2，一1，a+2，1)T，α2=(一1，2，4，0+8)T．(1)求方程组(Ⅰ)的一个基础解系；(2)当a为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解?若有，求出其所有非零公共解．标准答案：(1)对方程组(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换，有由于，n—r(A)=4—2=2，基础解系由2个线性无关的解向量所构成，取x3，x4为自由变量，得β1=(5，一3，1，0)T，β2=(一3，2，0，1)T是方程组(Ⅰ)的基础解系．(2)设η是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的非零公共解，则η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2，其中k1，k2与l1，l2均是不全为0的常数。由k1β1+k2β2－l1α1－l2α2=0，得齐次方程组(Ⅲ)对方程组(Ⅲ)的系数矩阵作初等行变换，有如果a≠一1，则(Ⅲ)→，那么方程组(Ⅲ)只有零解，即k1=k2=l1=l2=0．于是η=0．不合题意．当a=－1时，方程组(Ⅲ)同解变形为，解出k1=l1+4l2，k2=l1+7l2．于是η=(l1+4l2)β1+(l1+7l2)β2=l1α1+l2α2．所以a=一1时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解，且公共解是l1(2，一1，1，1)T+l2(一1，2，4，7)T．知识点解析：要求n元线性方程组的基础解系必须知道该线性方程组系数矩阵的秩r为多少，才能确定基础解系中所含线性无关的解的个数n一r．任意选取n—r个线性无关的解便是基础解系，因此，首先应求出或判定出方程组(Ⅰ)的系数矩阵的秩．20、已知ξ1=(0，0，1，0)T，ξ2=(一1，1，0，1)T是齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系，η1=(0，1，1，0)T，η2=(一1，2，2，1)T是齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系，求齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．标准答案：设齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解是γ，则γ=c1ξ1+c2ξ2=d1η1+d2η2，从而c1ξ1+c2ξ2－d1η1－d2η2=0．解齐次线性方程组(Ⅲ)(ξ1，ξ2，－η1，－η2)x=0，由得(Ⅲ)的通解为t(1，1，一1，1)T，即c1=c2=t，d1=－t，d2=t．从而方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)有非零公共解t(ξ1+ξ2)=t(一1，1，1，1)T．知识点解析：暂无解析21、已知齐次线性方程组同解，求a，b，c的值．标准答案：因为方程组(Ⅱ)中“方程个数＜未知数个数”，所以方程组(Ⅱ)必有非零解．因此方程组(Ⅰ)必有非零解．从而(Ⅰ)的系数行列式必为0，即有对方程组(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换，有可求出方程组(Ⅰ)的通解是k(一1，一1，1)T．由于(一1，一1，1)T是方程组(Ⅱ)的解，故有当b=1，C=2时，方程组(Ⅱ)为其通解是k(一1，一1，1)T，所以方程组(Ⅰ)与Ⅱ同解．当b=0，c=1时，方程组(Ⅱ)为由于秩r(Ⅱ)=1，而r(Ⅰ)=2，所以方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)不同解．故b=0，C=1应舍去．从而当a=2，b=1，c：2时方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．知识点解析：暂无解析22、设A是m×n实矩阵，AT是A的转置矩阵，证明方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0是同解方程组．标准答案：如果α是(Ⅰ)的解，那么Aα=0，而ATAα=AT0=0，可见α是(Ⅱ)的解．如果α=(a1，a2，…，an)T是(Ⅱ)的解，即ATATAα=0，(Aα)T(Aα)=0．不妨设Aα=(b1，b2，…，bm)T，则(Aα)T(Aα)==0．从而b1=b2=…=bm=0，即Aα=0，所以(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．因此，(Ⅰ)与(Ⅱ)是同解方程组．知识点解析：所谓方程组同解即(Ⅰ)的解全是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也全是(Ⅰ)的解，显然本题的难点是如何证(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．23、已知n元齐次线性方程组A1x=0的解全是A2x=0的解，证明A2的行向量可以由A1的行向量线性表出．若线性方程组(Ⅰ)A1x=b1和(Ⅱ)A2x=b2都有解，且(Ⅰ)的解全是(H)的解，则(A2，b2)的行向量组可以由(A1，b1)的行向量组线性表出．标准答案：因为A1x=0的解全是A2x=0的解，所以A1x=0与同解．那么n—r(A1)=n一r所以A2的行向量可以由A1的行向量线性表出．因为A1x=b1的解全是A2x=b2的解，所以A1x=b1与同解．如果A1α=b1，A1η=0，则因A1x=b1的解全是A2x=b2的解，那么α和α+η都是A2x=b2的解，而有A2α=b2及A2(α+η)=b2，从而A2η=0．说明此时A1x=0的解全是A2x=0的解，那么r(A1，b1)=r(A1)=r所以(A2，b2)的行向量组可以由(A2，b2)的行向量组线性表出．知识点解析：暂无解析24、求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系是η1=(2，一1，1，1)T，η2=(一1，2，4，7)T．标准答案：由η1，η2是Ax=0的基础解系，知n—r(A)=2，即r(A)=2．对于齐次方程组x=0，有得基础解系(一2，一3，1，0)T，(一3，一5，0，1)T．所以为所求．知识点解析：由A(η1，η2)=0有(η1，η2)TAT=0，可见x=0的解就是AT的列向量(即A的行向量)．25、已知α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，证明α1+α2，α2+α3，α3+α1也是该方程组的一个基础解系．标准答案：由A(α1+α2)=Aα1+Aα2=0+0=0知，α1+α2是齐次方程组Ax=0的解．类似可知α2+α3，α3+α1也是Ax=0的解．若k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0，即(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0，因为α1，α2，α3是基础解系，它们是线性无关的，故由于此方程组系数行列式D==2≠0，故必有k1=k2=k3=0，所以α1+α2，α2+α3，α3+α1线性无关．根据题设，Ax=0的基础解系含有3个线性无关的向量，所以α1+α2，α2+α3，α3+α1是方程组Ax=0的基础解系．知识点解析：按基础解系的定义，要证三个方面：①α1+α2，α2+α3，α3+α1是解；②它们线性无关；③向量个数等于n一r(A)．26、设齐次线性方程组的系数矩阵记为A，Mj(j=1，2，…，n)是矩阵A中划去第j列所得到的行列式，证明：如果Mj不全为0，则(M1，一M2，…，(一1)n－1Mn)T．是该方程组的基础解系．标准答案：因为A是(n一1)×n矩阵，若Mj不全为0，即A中有n—1阶子式非零，故r(A)=n一1．那么齐次方程组Ax=0的基础解系由n—r(A)=1个非零向量所构成．按第一行展开，有Di=ai1M1一ai2M2+…+ain(一1)1+nMn．又因Di中第一行与第i+1行相同，知Di=0．因而ai1M1一ai2M2+…+ain(一1)n－1Mn=0．即(M1，一M2，…，(一1)n－1Mn)T满足第i个方程(i=1，2，…，n一1)，从而它是Ax=0的非零解，也就是Ax=0的基础解系．知识点解析：暂无解析27、已知A是m×n矩阵，其m个行向量是齐次线性方程组Cx=0的基础解系，B是m阶可逆矩阵，证明BA的行向量也是齐次方程组Cx=0的基础解系．标准答案：因为A的行向量是Cx=0的解，即CAT=0，那么C(BA)T=CATBT=0BT=0．可见BA的行向量是方程组Cx=0的解．由于A的行向量是基础解系，所以A的行向量线性无关，于是m=r(A)=n一r(C)．又因B是可逆矩阵，r(BA)=r(A)=m=n—r(C)，所以BA的行向量线性无关，其向量个数正好是n—r(C)，从而是方程组Cx=0的基础解系．知识点解析：暂无解析考研数学一（线性方程组）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设A是m×n矩阵，Aχ＝0是非齐次线性方程组Aχ＝b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是()A、若Aχ＝0仅有零解，则Aχ＝b有唯一解．B、若Aχ＝0有非零解，则Aχ＝b有无穷多个解．C、若Aχ＝b有无穷多个解，则Aχ＝0仅有零解．D、若Aχ＝b有无穷多个解，则Aχ＝0有非零解．标准答案：D知识点解析：因为不论齐次线性方程组Aχ＝0的解的情况如何，即r(A)＝n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)＝r(Ab)，所以选项A、B均不正确．而由Aχ＝b有无穷多个解可知，r(A)＝r(Ab)＜n．根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时Aχ＝0必有非零解．所以应选D．2、要使都是线性方程组Aχ＝0的解，只要系数矩阵A为()A、[－211]B、C、D、标准答案：A知识点解析：由题意，ξ1，ξ2与A的行向量是正交的，对于选项A，因(－2，1，1)ξ1＝0，(－2，1，1)ξ2＝0，而逐一验证可得，其他三个选项均不满足正交条件．所以应选A．3、设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)Aχ＝0和(Ⅱ)ATAχ＝0，必有()A、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解．B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．D、(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解．标准答案：A知识点解析：如果α是(Ⅰ)的解，有Aα＝0，可得ATAα＝AT(Aα)＝AT0＝0，即α是(Ⅱ)的解．故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解．反之，若α是(Ⅱ)，的解，有ATAα＝0，用αT左乘可得αT(ATAα)＝(αTAT)(Aα)＝(Aα)T(Aα)＝αT0＝0，若设Aα＝(b1，b2，…，bn)，那么(Aα)T(Aα)＝b12＋b＋22…＋bn2＝0bi＝0(i＝1，2，…，n)即Aα＝0．亦即α是(Ⅰ)的解．因此(Ⅱ)的解也必是(Ⅰ)的解．所以应选A．4、设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anχ＝0和(Ⅱ)An+1χ＝0，现有四个命题(1)(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；(2)(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；(3)(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解；(4)(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．以上命题中正确的是()A、(1)(2)B、(1)(4)C、(3)(4)D、(2)(3)标准答案：A知识点解析：若Anα＝0，则An+1α＝A(Anα)＝A0＝0，即若α是(Ⅰ)的解，则α必是(Ⅱ)的解，可见命题(1)正确．如果An+1α＝0，而Anα≠0，那么对于向量组α，A1α，A2α，…，Anα，一方面有：若kα＋k1A1α＋k2A2α＋…＋knAnα＝0，用An左乘上式的两边，并把An+1α＝0，An+2α＝0…代入，得kAnα＝0．由Anα≠0而知必有k＝0．类似地用An-1左乘可得k1＝0．因此，α，A1α，A2α，…，Anα线性无关．但另一方面，这是n＋1个n维向量，它们必然线性相关，两者矛盾．故An+1α＝0时，必有Anα＝0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．因此命题(2)正确．所以应选A。5、设矩阵Am×n的秩为r(A)＝m＜n，Im为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是()A、A的任意m个列向量必线性无关．B、A的任意一个m阶子式不等于零．C、A通过初等行变换，必可以化为(ImO)的形式．D、非齐次线性方程组Aχ＝b一定有无穷多解．标准答案：D知识点解析：选项A、B显然不正确，将其中的“任意”都改为“存在”，结论才正确．对于矩阵A，只通过初等行变换是不能保证将其化为等价标准型(ImO)的，故C也不正确，故选D．事实上，由于A有m行且r(A)＝m＜n，因此r(Ab)≥r(A)＝m．又r(Ab)≤min{m，n＋1}＝m，故r(Ab)＝r(A)＝m＜n，从而该非齐次线性方程组一定有无穷多解．所以选项D正确．6、非齐次线性方程组Aχ＝b中未知量的个数为n，方程个数为m，系数矩阵的秩为r，则()A、r＝m时，方程组Aχ＝b有解．B、r＝n时，方程组Aχ＝b有唯一解．C、m＝n时，方程组Aχ＝b有唯一解．D、r＜n时，方程组有无穷多个解．标准答案：A知识点解析：对于选项A，r(A)＝r＝m．由于r(Ab)≥m＝r，且r(Ab)≤min{m，n＋1}＝min{r，n＋1}＝r，因此必有(Ab)＝r，从而r(A)＝r(Ab)，所以，此时方程组有解，所以应选A．由B、C、D选项的条件均不能推得“两秩”相等．7、设α1，α2，α3是4元非齐次线性方程组Aχ＝b的3个解向量，且r(A)＝3，α1＝(1，2，3，4)T，α2＋α3(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Aχ＝b的通勰χ＝()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：根据线性方程组解的结构性质，易知2α1－(α2＋α3)＝(2，3，4，5)T是Aχ＝0的一个非零解，所以应选C．8、设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)χ＝0()A、当n＞m时，仅有零解．B、当n＞m时，必有非零解．C、当m＞n时，仅有零解．D、当m＞n时，必有非零解．标准答案：D知识点解析：因为AB是m阶矩阵，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}(矩阵越乘秩越小)，所以当m＞n时，必有r(AB)＜m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，选项D正确．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)9、已知α1，α2是方程组的两个不同的解向量，则a＝_______．标准答案：－2知识点解析：因为α1，α2是方程组的两个不同的解，因此该方程组有无穷多解，即系数矩阵和增广矩阵的秩相等，且均小于3，对增广矩阵做初等行变换有因此a＝－2时，系数矩阵和增广矩阵的秩相等且均为2．故a＝－2．10、四元方程组Aχ＝b的三个解是α1，α2，α3，其中α1＝(1，1，1，1)T，α2＋α3(2，3，4，5)T，如果r(a)＝3，则方程组Aχ＝b的通解是_______．标准答案：(1，1，1，1)T＋k(0，1，2，3)T知识点解析：根据(α2＋α3)－2α1＝(α2－α1)＋(α3－α1)＝(2，3，4，5)T－2(1，1，1，1)T＝(0，1，2，3)T，因此可知(0，1，2，3)T是Aχ＝0的解．又因为r(A)＝3，n－r(A)＝1，所以Aχ＝b的通解为(1，1，1，1)T＋k(0，1，2，3)T．11、设α＝(6，－1，1)T与α＝(－7，4，2)T是线性方程组的两个解，那么此方程组的通解是________．标准答案：(6，－1，1)T＋k(13，－5，－1)T(k为任意常数)知识点解析：一方面因为α1，α2是非齐次线性方程组Aχ＝b的两个不同的解，因此一定有r(A)＝r(A)＜3．另一方面由于在系数矩阵A中存在二阶子式＝－1≠0因此一定有r(A)≥2，因此必有r(A)＝r()＝2．则n－r(A)＝3－2＝1，因此，导出组Aχ＝0的基础解系由一个解向量所构成，根据解的性质可知α1－α2＝(6，－1，1)T－(－7，4，2)T＝(13，－5，－1)T，是导出组Aχ＝0的非零解，即基础解系，那么由非齐次线性方程组解的结构可知(6，－1，1)T＋k(13，－5，－1)T(k为任意常数)是方程组的通解．12、齐次线性方程组，的一个基础解系为_______．标准答案：知识点解析：A＝，得同解方程组13、设A＝，A*是A的伴随矩阵，则A*χ＝0的通解是_______．标准答案：k1(1，4，7)T＋k2(2，5，8)T知识点解析：因为矩阵A的秩是2，所以｜A｜＝0，因此A*A＝｜A｜E＝O，所以A的列向量为A*χ＝0的解，又由已知条件得r(A*)＝1，因此A*χ＝0的通解是k1(1，4，7)T＋k2(2，5，8)T．14、齐次方程组有非零解，则λ＝_______．标准答案：－3或－1知识点解析：系数矩阵的行列式｜A｜＝＝－(λ2＋4λ＋3)＝－(λ＋3)(λ＋1)，所以当λ＝－3或λ＝－1时，方程组有非零解．15、设n阶矩阵A的秩为n－2，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Aχ＝b的三个线性无关的解，则Aχ＝b的通解为_______．标准答案：α1＋k1(α2－α1)＋k2(α3－α1)，k1，k2为任意常数知识点解析：α1，α2，α3是非齐次线性方程组Aχ＝b的三个线性无关的解，则α2－α1，α3－α1是Aχ＝0的两个解，且它们线性无关，又n－r(A)＝2，故α2－α1，α3－α1是Aχ＝0的基础解系，所以Aχ＝b的通解为α1＋k1(α2－α1)＋k2(α3－α1)，k1，k2为任意常数．三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)16、已知方程组有解，证明：方程组无解．标准答案：用A1，和A2，分别表示方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的系数矩阵和增广矩阵，则A2＝(或＝A2T)．已知方程组(Ⅰ)有解，故r(A1)＝r()．又由于(b1，b2，…，bm，1)不能由(a11a21，…，am1，0)，(a12，a22，…，am2，0)，…，(a1n，a2n，…，amn，0)线性表示，则即r(A1T)≠r()，由已知可得r(A1T)＝r(A1)＝r()＝r(A2T)＝r(A2)，则r(A2)≠r()，即方程组(Ⅱ)无解．知识点解析：暂无解析17、已知线性方程组有无穷多解，而A是3阶矩阵，且分别是A关于特征值1，－1，0的三个特征向量，求矩阵A．标准答案：对增广矩阵作初等变换，有由于方程组有无穷多解，故a＝－1或a＝0．当a＝－1时，三个特征向量线性相关，不合题意舍去；当a＝0时．三个特征向量线性无关，是A的特征向量，故a＝0．令P＝，有P-1AP＝A＝，那么A＝PAP-1＝知识点解析：暂无解析18、设方程组(1)与方程(2)χ1＋2χ2＋χ3＝a－1有公共解，求a的值及所有公共解．标准答案：把方程组(1)与(2)联立，得方程组(3)则方程组(3)的解就是方程组(1)与(2)的公共解．对方程组(3)的增广矩阵作初等行变换，有则方程组(3)有解，即(a－1)(a－2)＝0．当a＝1时，此时方程组(3)的通解为k(一1，0，1)T(k为任意常数)，即为方程组(1)与(2)的公共解．当a＝2时，此时方程组(3)有唯一解(0，1，－1)T，这也是方程组(1)与(2)的公共解．知识点解析：暂无解析19、设4元齐次线性方程组(1)为而已知另一4元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为α1＝(2，－1，a＋2，1)T，α2＝(－1，2，4，a＋8)T．(1)求方程组(1)的一个基础解系；(2)当a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?若有，求出所有非零公共解．标准答案：(1)对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有由于n－r(A)＝4－2＝2，基础解系由2个线性无关的解向量所构成，取χ3，χ4为自由变量，得β1＝(5，－3，1，0)T，β2＝(－3，2，0，1)T是方程组(1)的基础解系．(2)设η是方程组(1)与(2)的非零公共解，则η＝k1β1＋k2β2＝l1α1＋l2α2，其中k1，k2与l1，l2均是不全为0的常数．由k1β1＋k2β2－l1α1－l2α2＝0，得齐次方程组(3)对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有当a≠－1时，则(3)那么方程组(3)只有零解，即k1＝k2＝l1＝l2＝0，于是η＝0，不合题意．当a＝－1时，方程组(3)同解变形为解得k1＝l1＋4l2，k2＝l1＋7l2．于是η＝(l1＋4l2)β1＋(l1＋7l2)β2＝l1α1＋l2α2．所以当a＝－1时，方程组(1)与(2)有非零公共解，且公共解是l1(2，－1，1，1)T＋l2(－1，2，4，7)T，l1，l2为任意常数．知识点解析：暂无解析20、已知α1，α2，α3是齐次线性方程组Aχ＝0的一个基础解系，证明α1＋α2，α2＋α3，α1＋α3也是该方程组的一个基础解系．标准答案：根据A(α1＋α2)＝Aα1＋Aα2＝0＋0＝0可知，α1＋α2是方程组Aχ＝0的解．同理可知α2＋α3，α1＋α3也是Aχ＝0的解．假设k1(α1＋α2)＋k2(α2＋α3)＋k3(α1＋α3)＝0，则(k1＋k3)α1＋(k1＋k2)α2＋(k2＋k3)α3＝0，因为α1，α2，α3是基础解系，它们是线性无关的，因此由于此方程组系数行列式D＝＝2≠0，则有后。k1＝k2＝k3＝0，所以α1＋α2，α2＋α3，α1＋α3线性无关．根据题设，Aχ＝0的基础解系含有3个线性无关的向量，所以α1＋α2，α2＋α3，α1＋α3也是方程组Aχ＝0的基础解系．知识点解析：暂无解析21、求线性方程组的通解，并求满足条件χ12＝χ22的所有解．标准答案：对增广矩阵作初等行变换，有方程组的解：令χ3＝0，χ4＝0得χ2＝1，χ1＝2，即α＝(2，1，0，0)T．导出组的解：令χ3＝1，χ4＝0得χ2＝3，χ1＝1，即η1＝(1，3，1，0)T；令χ3＝0，χ4＝1得χ2＝0，χ1＝－1，即η2＝(－1，3，1，0)T．因此方程组的通解是：(2，1，0，0)T＋k1(1，3，1，0)T＋k2(－1，0，0，1)T如果要求通解满足χ12＝χ22，则有(2＋k1－k2)2＝(1＋3k1)2，那么2＋k1－k2＝1＋3k1或2＋k1－k2＝－(1＋3k1)，即k2＝1－2k1或k2＝3＋41．所以(1，1，0，1)T＋k(3，3，1，－2)T或(－1，1，0，3)T＋k(－3，3，1，4)T(k为任意常数)是满足χ12＝χ22的所有解．知识点解析：暂无解析22、当a，b取何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解?当方程组有解时，求其解．标准答案：对增广矩阵作初等行变换，有(1)当a≠0且b≠3时，方程组有唯一解(2)当a＝0时，对任意的b，方程组均无解．(3)当a≠0，b＝3时，方程组有无穷多解(，1，0)T＋k(0，－3，2)T(k为任意常数)．知识点解析：暂无解析23、设线性方程组已知(1，－1，1，－1)T是该方程组的一个解，求方程组所有的解．标准答案：将(1，－1，1，－1)T代入方程组可得λ＝μ．对增广矩阵作初等行变换，可知(1)当A＝时，因为r(A)＝r()＝2＜4，所以方程组有无穷多解．其通解为(，1，0，0)T＋k1(1，－3，1，0)T＋k2(－1，－2，0，2)T(其中k1k2为任意常数)．(2)当λ≠时，因r(A)＝r()＝3＜4，所以方程组有无穷多解，其通解为(－1，0，0，1)T＋k(2，－1，1，－2)T，其中k为任意常数．知识点解析：暂无解析24、设有齐次线性方程组试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．标准答案：对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有当a＝0时，r(A)＝1＜n，故方程组有非零解，其同解方程组为χ1＋χ2＋…＋χn＝0，由此得基础解系为η1＝(－1，1，0，…，0)T，η2＝(－1，0，1，…，0)T，…，ηn-1＝(－1，0，0，…，1)T，于是方程组的通解为χ＝k1η1＋…＋kn-1ηn-1，其中k1，…，kn-1为任意常数．当a≠0时，对矩阵B作初等行变换，有可知a＝－时，r(A)＝n－1＜n，故方程组也有非零解，其同解方程组为由此得基础解系为η＝(1，2，…，n)T，于是方程组的通解为χ＝kη，其中k为任意常数．知识点解析：暂无解析25、已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B＝(k为常数)，且AB＝O，求线性方程组Aχ＝0的通解．标准答案：由AB＝O知，B的每一列均是Aχ＝0的解，且r(A)＋r(B)≤3．(1)若k≠9，则r(B)＝2，于是r(a)≤1，显然r(a)≥1，故r(a)＝1．可见此时Aχ＝0的基础解系所含解向量的个数为3－r(a)＝2，矩阵B的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Aχ＝0的通解为χ＝(k1，k2为任意常数)．(2)若k＝9，则r(B)＝1，从而1≤r(a)≤2．①若r(A)＝2，则Aχ＝0的通解为：χ＝k1(k1为任意常数)．②若r(A)＝1，则Aχ＝0的同解方程组为：aχ1＋bχ2＋cχ3＝0，不妨设a≠0，则其通解为χ＝(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析考研数学一（线性方程组）模拟试卷第3套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为，则自(1)χ4，χ5；(2)χ3，χ5；(3)χ1，χ5；(4)χ2，χ3．那么正确的共有()A、1个B、2个C、3个D、4个标准答案：B知识点解析：因为系数矩阵的秩r(A)＝3，有n－r(A)＝5－3＝2，故应当有2个自由变量．由于去掉χ4，χ5两列之后，所剩三阶矩阵为，因为其秩与r(A)不相等，故χ4，χ5不是自由变量．同理，χ3，χ5不能是自由变量．而χ1，χ5与χ2，χ3均可以是自由变量，因为行列式都不为0．所以应选B．2、已知α1，α2，α3，是非齐次线性方程组Aχ＝b的三个不同的解，那么下列向量α1－α2，α1＋α2－2α3，(α2－α1)，α1－3α2＋2α3中能导出方程组Aχ＝0的解向量共有()A、4个B、3个C、2个D、1个标准答案：A知识点解析：由Aαi＝b(i＝1，2，3)有A(α1－α2)＝Aα1－Aα2＝b－b＝0，A(α1＋α2－2α3)＝Aα1＋Aα2－2Aα3＝b＋b－2b＝0，A＝0，A(α1－3α2＋2α3)＝Aα1－3Aα2＋2Aα3＝b－3b＋2b＝0，那么，α1－α2，α1＋α2－2α3，(α2－α1)，α1－3α2＋2α3均是齐次方程组Aχ＝0的解．所以应选A．3、已知α1＝(1，1，－1)T，α2＝(1，2，0)T是齐次方程组Aχ＝0的基础解系，那么下列向量中Aχ＝0的解向量是()A、(1，－1，3)TB、(2，1，－3)TC、(2，2，－5)TD、(2，－2，6)T标准答案：B知识点解析：如果A选项是Aχ＝0的解，则D选项必是Aχ＝0的解．因此选项A、D均不是Aχ＝0的解．由于α1，α2是Aχ＝0的基础解系，那么α1，α2可表示Aχ＝0的任何一个解η，亦即方程组χ1α1＋χ2α2＝η必有解，因为可见第二个方程组无解，即(2，2，－5)T不能由α1，α2线性表示．所以应选B．4、设n元齐次线性方程组Aχ＝0的系数矩阵A的秩为r，则Aχ＝0有非零解的充分必要条件是()A、r＝nB、r≥nC、r＜nD、r＞n标准答案：C知识点解析：将矩阵A按列分块，A＝(α1，α2，…，αn)，则Aχ＝0的向量形式为χ1α1＋χ2α2＋…＋χnαn＝0，而Aχ＝0有非零解α1，α2，…，αn线性相关r(α1，α2，…，αn)＜nr(A)＜n．所以应选C．5、已知4阶方阵A＝(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1＋2α2－α3＝β，α1＋α2＋α3＋α4＝β，2α1＋3α2＋α3＋2α4＝β，k1，k2为任意常数，那么Aχ＝β通解为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由α1＋2α2－α3＝β知即γ1＝(1，2，－1，0)T是Aχ＝β的解．同理γ2＝(1，1，1，1)T，γ3(2，3，1，2)T也均是Aχ＝B的解，那么η1＝γ1－γ2＝(0，1，－2，－1)T，η2＝γ3－γ2＝(1，2，0，1)T是导出组Aχ＝0的解，并且它们线性无关．于是Aχ＝0至少有两个线性无关的解向量，有n－r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1，α2线性无关，有r(A)＝r(α1，α2，α3，α4)≥2．所以必有r(A)＝2，从而n－r(A)＝2，因此η1，η2就是Aχ＝0的基础解系，根据解的结构，所以应选B．6、已知β1，β2是非齐次线性方程组Aχ＝b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程Aχ＝0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Aχ＝b的通解是()A、k1α1＋k2(α1＋α2)＋B、k1α1＋k2(α1－α2)＋C、k1α1＋k2(β1＋β2)＋D、k1α1＋k2(β1－β2)＋标准答案：B知识点解析：对于A、C选项，因为所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组Aχ＝b的特解，故均不正确．对于选项D，虽然(β1－β2)是齐次线性方程组Aχ＝0的解，但它与α1不一定线性无关，故D也不正确，所以应选B．事实上，对于选项B，由于α1(α1－α2)与α1，α2等价(显然它们能够互相线性表示)，故α1，(α1－α2)也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由可是齐次线性方程组Aχ＝b的_个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B选项正确．7、三元一次方程组所代表的三个平面的位置关系为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：设方程组的系数矩阵为A，对增广矩阵作初等行变换，有因为r(A)＝2，而r()＝3，方程组无解，即三个平面没有公共交点．又因平面的法向量，n1＝(1，2，1)，n2＝(2，3，1)，n3(1，－1，－2)互不平行．所以三个平面两两相交，围成一个三棱柱．所以应选C．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)8、设A为3×3矩阵，且方程组Aχ＝0的基础解系含有两个解向量，则r(a)_______．标准答案：1知识点解析：由线性方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵的秩的和等于未知数的个数，且本题系数矩阵为3×3阶，因此r(A)＝n－r＝3－2＝1．9、设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η1，η2是齐次线性方程组Aχ＝0的两个线性无关的解，则r(A)*＝_______．标准答案：0知识点解析：η1，η2是齐次线性方程组Aχ＝0的两个线性无关的解．因此由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，因此有n－r(A)≥2，即r(A)≤3．又因为A是五阶矩阵，而r(A)≤3，因此｜A｜的4阶子式一定全部为0，因此代数余子式Aij，恒为零，即A*＝O，所以r(A*)＝0．10、设A＝，若Aχ＝0的解空间是二维空间，那么a＝_______．标准答案：1或5知识点解析：解空间是二维的，即Aχ＝0的基础解系由两个向量组成，因此n－r(A)＝2，即r(A)＝2，对矩阵A作初等变换有由此可见a＝5或者a＝1时，r(A)＝2．11、方程组有非零解，则k＝_______．标准答案：－1知识点解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即＝12(k＋1)＝0，因此得k＝－1．12、设A＝，A*是A的伴随矩阵，则A*χ＝0的通解是_______．标准答案：k1(1，2，－1)T＋k2(1，0，1)T知识点解析：A是一个3阶矩阵，由已知得｜A｜＝0，且r(A)＝2，因此r(A*)＝1，那么可知n－r(A*)＝3－1＝2，因此A*χ＝0有两个基础解系，其通解形式为k1η1＋k2η2．又因为A*A＝｜A｜E＝0，因此矩阵A的列向量是A*χ＝0的解，故通解是k1(1，2，－1)T＋k2(1，0，1)T．13、已知方程组，总有解，则λ应满足的条件是_______．标准答案：λ≠1且λ≠－知识点解析：对于任意的b1，b2，b3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩为3，即｜A｜≠0，由｜A｜＝＝(5λ＋4)(λ－1)≠0，可知λ≠1且λ≠－．14、已知方程组，有无穷多解，那么a＝________．标准答案：3知识点解析：线性方程组Aχ＝b有解的充分必要条件是r(A)＝r()，而有无穷多解的充分必要条件是r(A)＝r()＜n，对增广矩阵作初等行变换，有由于r(A)＝2，则可以推出6－2a＝0，因此方程组有无穷多解的充分必要条件是a＝3．三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)15、设A＝E－ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：(1)A2＝A的充分条件是ξTξ＝1；(2)当ξTξ＝1时，A是不可逆矩阵．标准答案：(1)A2＝(E－ξξT)(E－ξξT)＝E－2ξξT＋ξ(ξTξ)ξT＝(2－ξTξ)ξξT，因此A2＝AE－(2－ξTξ)ξξT＝E－ξξT(ξTξ－1)ξξT＝0．因为ξ≠0，所以ξξT≠0，因此A2＝A的充要条件为ξTξ＝1．(2)当ξTξ＝1时，由A＝E－ξξT可得Aξ＝ξ－ξξTξ＝ξ－ξ＝0，因为ξ≠0，因此Aχ＝0有非零解，即｜A｜＝0，所以A不可逆．知识点解析：暂无解析16、已知方程组的一个基础解系为(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T．试写出线性方程组的通解，并说明理由．标准答案：由题意可知，线性方程组(Ⅱ)的通解为y＝c1(a11，a12，…，a1，2n)T＋c2(a21，a22，…，a2，2n)T＋…＋cn(an1，an2，…，an，2n)T，其中c1，c2，…，cn是任意的常数．这是因为：方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的系数矩阵分别为A，B，则根据题意可知ABT＝0，因此BAT＝(ABT)T＝0。可见A的n个行向量的转置为(Ⅱ)的n个解向量．由于B的秩为n，因此(Ⅱ)的解空间的维数为2n－r(B)＝2n－n＝n，又因为A的秩是2n与(Ⅰ)的解空间的维数的差，即n，因此A的n个行向量是线性无关的，从而它们的转置向量构成(Ⅱ)的一个基础解系，因此得到(Ⅱ)的上述的一个通解．知识点解析：暂无解析17、设α1，α2，…，αs为线性方程组Aχ＝0的一个基础解系，β1＝t1α1＋t2α2，β2＝t1α2＋t2α3，…，βs＝t1αs＋t2α1．其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Aχ＝0的一个基础解系．标准答案：因为βi(i＝1，2，…，s)是α1，α2，…，αs的线性组合，且α1，α2，…，αs是Aχ＝0的解据齐次线性方程组解的性质知βi(i＝1，2，…，s)均为Aχ＝0的解．从α1，α2，…，αs是Aχ＝0的基础解系知s＝n－r(A)．以下分析β1，β2，…，βs线性无关的条件：设k1β1＋k2β2＋…＋ksβs＝0，即(t1k1＋t2ks)α1＋(t2k1＋t1k2)α2＋(t2k2＋t1k3)α3＋…＋(t2ks-1＋t1ks)αs＝0，由于α1，α2，…，αs线性无关，因此有又因系数行列式当t1s＋(－1)s+1t2s≠0时，方程组(*)只有零解k1＝k2＝…＝ks＝0．因此当s为偶数，t1≠±t2，或当s为奇数，t1≠－t2时，β1，β2，…，βs线性无关．知识点解析：暂无解析18、已知平面上三条不同直线的方程分别为l1＝aχ＋2by＋3c＝0，l2＝bχ＋2cy＋3a＝0，l3＝cχ＋2ay＋3b＝0，试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．标准答案：必要性：设三条直线l1，l2，l3交于一点，则其线性方程组有唯一解，故系数矩阵A＝与增广矩阵的秩均为2，于是＝0。因为＝6(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)3(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]，但根据题设可知(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0，故a＋b＋c＝0．充分性：由a＋b＋c＝0，则从必要性的证明中可知，＝0，故r()＜3．由于故r(A)＝2．于是，r(A)＝r()＝2．因此方程组(*)有唯一解，即三直线l1，l2，l3交于一点．知识点解析：暂无解析19、求下列齐次线性方程组的基础解系：(3)nχ1＋(n－1)χ2＋…＋2χn-1＋χn＝0标准答案：(1)r(A)＝2．因此基础解系的个数为4－2＝2，又原方程组等价于取χ3＝1，χ4＝5，得χ1＝－4，χ2＝2；取χ3＝0，χ4＝4，得χ1＝0，χ2＝1．因此基础解系为(2)r(A)＝2，基础解系的个数为4－2＝2，又原方程组等价于取χ3＝1，χ4＝2得χ1＝0，χ2＝0；取χ3＝0，χ4＝19，得χ1＝1，χ2＝7．因此基础解系为(3)记A＝(n，n－1，…，1)，可见r(A)＝1，从而有n－1个线性无关的解构成此方程的基础解系，原方程组为χn＝－nχ1－(n－1)χ2－…－2χn-1，取χ1＝1，χ2＝χ3＝…＝χn-1＝0，得χn＝－n；取χ2＝1，χ1＝χ3＝χ4＝…＝χn-1＝0，得χn＝－(n－1)＝－n＋1；取χn-1＝1，χ1＝χ2＝…＝χn-2＝0，得χn＝－2．所以基础解系为(ξ1，ξ2，ξn-1)＝知识点解析：暂无解析20、求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为ξ1＝(0，1，2，3)T，ξ2＝(3，2，1，0)T．标准答案：设所求齐次方程为Aχ＝0，ξ1，ξ2是4维列向量，基础解系含有2个向量，因此r(A)＝4－2＝2，即方程的个数大于等于2．记B＝(ξ1，ξ2)，且A的基础解系为ξ1，ξ2，因此有AB＝0，且r(A)＝2即BTAT＝0且r(AT)＝2，所以AT的列向量就是BTχ＝0的一个基础解系．BT＝(ξ1，ξ2)T＝得基础解系A＝对应其次线性方程组为知识点解析：暂无解析21、设四元齐次线性方程组求：(1)方程组Ⅰ与Ⅱ的基础解系；(2)Ⅰ与Ⅱ的公共解．标准答案：(1)求方程组Ⅰ的基础解系：系数矩阵为分别取，其基础解系可取为求方程Ⅱ的基础解系：系数矩阵为分别取，其基础解系可取为(2)设χ(χ1，χ2，χ3，χ4)T为Ⅰ与Ⅱ的公共解，用两种方法求χ的一般表达式：χ是Ⅰ与Ⅱ的公共解，因此χ是方程组Ⅲ的解，方程组Ⅲ为Ⅰ与Ⅱ合并的方程组，即其系数矩阵取其基础解系为(－1，1，2，1)T，于是Ⅰ与Ⅱ的公共解为知识点解析：暂无解析22、设A＝(1)求满足Aξ2＝ξ1，A2ξ3＝ξ1的所有向量ξ2，ξ3；(2)对(1)中任意向量ξ2和ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．标准答案：(1)对增广矩阵(Aξ1)作初等行变换，则得Aχ＝0的基础解系(1，－1，2)T或者Aχ＝ξ1的特解(0，0，1)T．故ξ2＝(0，0，1)T＋k(1，－1，2)T或ξ2＝(k，－k，2k＋1)T，其中k为任意常数．由于A2＝，对增广矩阵(A2ξ1)作初等行变换，有得A2χ＝0的基础解系(－1，1，0)T，(0，0，1)T．又A2χ＝ξ1有特解(，0，0)T．故ξ3＝(，0，0)T＋t1(－1，1，0)T＋t2(0，0，1)T或ξ3＝(－t，t，t)T，其中t1，t2为任意常数．(2)因为所以，ξ1，ξ2，ξ3线性无关．知识点解析：暂无解析23、设已知线性方程组Aχ＝b，存在两个不同的解．(1)求λ，a；(2)求方程组Aχ＝b的通解．标准答案：(1)由已知可得，线性方程组Aχ＝b有两个不同的解，则r(A)＝r()＜n．则有｜A｜＝＝(λ＋1)(λ－1)2＝0．可得λ＝1或λ＝－1．当λ＝1时，有r(A)＝1，r()＝2，此时线性方程组无解．当λ＝－1时，若a＝－2，则r(A)＝r(*)＝2，方程组Aχ＝b有无穷多解．故λ＝－1，a＝－2．(2)当λ＝－1，a＝－2时，所以方程组Aχ＝b的通解为＋k(1，0，1)T，其中k是任意常数．知识点解析：暂无解析24、已知齐次线性方程组同解，求a，b，c的值．标准答案：由于方程组(Ⅱ)中“方程个数＜未知数个数”，所以方程组(Ⅱ)必有非零解．那么方程组(Ⅰ)必有非零解．(Ⅰ)的系数行列式为0，即对方程组(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换，有则方程组(Ⅰ)的通解是k(－1，－1，1)T．因为(－1，－1，1)T是方程组(Ⅱ)的解，则有当b＝1，c＝2时，方程组(Ⅱ)为其通解是k(－1，－1，1)T，所以方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．当b＝0，c＝1时，方程组(Ⅱ)为由于r(Ⅱ)＝1，而r(Ⅰ)＝2，故方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)不同解，则b＝0，c＝1应舍去．因此当a＝2，b＝1，c＝2时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．知识点解析：暂无解析25、已知A是m×n矩阵，其m个行向量是齐次线性方程组Cχ＝0的基础解系，B是m阶可逆矩阵，证明：BA的行向量也是齐次方程组Cχ＝0的基础解系．标准答案：由已知可得A的行向量是Cχ＝0的解，即CAT＝0．则C(BA)T=CATBT＝0BT＝0．可见BA的行向量是方程组Cχ＝0的解．由于A的行向量是基础解系，所以A的行向量线性无关，于是m＝r(a)＝n－r(C)．又因为B是可逆矩阵，r(BA)＝r(a)＝m＝n－r(C)，所以BA的行向量线性无关，其向量个数正好是n－r(C)，从而是方程组Cχ＝0的基础解系．知识点解析：暂无解析考研数学一（线性方程组）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设有齐次线性方程组Aχ＝0和Bχ＝0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：①若Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解，则r(a)≥r(B)；②若r(A)≥r(B)，则Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解；③若Aχ＝0与Bχ＝0同解，则r(A)＝r(B)；④若r(A)＝r(B)，则Aχ＝0与Bχ＝0同解．以上命题中正确的有()A、①②B、①③C、②④D、③④标准答案：B知识点解析：由于线性方程组Aχ＝0和Bχ＝0之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以②，④显然不正确，利用排除法，可得正确选项为B．下面证明①，③正确：对于①，由Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解可知，方程组Bχ＝0含于Aχ＝0之中，从而Aχ＝0的有效方程的个数(即为r(A))必不少于Bχ＝0的有效方程的个数(为r(B))，故r(A)≥r(B)．对于③，由于A，B为同型矩阵，若Aχ＝0与Bχ＝0同解，则其解空间的维数(即基础解系包含解向量的个数)相同，即n－r(A)＝n－r(B)，从而r(A)＝r(B)．所以应选B．2、设β1，β2为非齐次方程组的的解向量，α1，α2为对应齐次方程组的解，则()A、β1＋β2＋2α1为该非齐次方程组的解．B、β1＋α1＋α2为该非齐次方程组的解．C、β1＋β2为该非齐次方程组的解．D、β1－β2＋α1为该非齐次方程组的解．标准答案：B知识点解析：本题考查线性方程组的解的性质，将四个选项分别代入非齐次方程组，因此选B．3、n元线性方程组Aχ＝B有两个解a，c，则下列方程的解是a－c的是()A、2Aχ＝BB、Aχ＝0C、Aχ＝AD、Aχ＝C标准答案：B知识点解析：A(a－c)＝Aa－Ac＝0，所以a－c是Aχ＝0的解．4、非齐次线性方程组Aχ＝B中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4，A是4×6矩阵，则()A、无法确定方程组是否有解B、方程组有无穷多解C、方程组有唯一解D、方程组无解标准答案：B知识点解析：由于方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是6，而系数矩阵的秩为4，因此方程组有无穷多解，故选B．5、对于齐次线性方程组，而言，它的解的情况是()A、有两组解B、无解C、只有零解D、无穷多解标准答案：C知识点解析：这是一个齐次线性方程组，只需求出系数矩阵的秩就可以判断解的情况．对系数矩阵A＝作初等列交换，得，因此r(A)＝3，系数矩阵的秩等于未知数个数，因此方程组只有零解，故选C．6、齐次线性方程组的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠O，使得AB＝O，则()A、λ＝－2且｜B｜＝0．B、λ＝－2且｜B｜≠0．C、λ＝1且｜B｜＝0．D、λ＝1且｜B｜≠0．标准答案：C知识点解析：将矩阵B按列分块，则由题设条件有AB＝A[β1，β2，β3]＝[Aβ1，Aβ2，Aβ3]＝O即ABi＝0(i＝1，2，3)，这说明矩阵B的列向量都是齐次线性方程组Aχ＝0的解．又由B≠O，知齐次线性方程组Aχ＝0存在非零解，从而r(A)＜3，且A为3阶方阵，故有即λ＝1，排除选项A、B．若｜B｜≠0，则矩阵B可逆．以B-1右乘AB＝O，得ABB-1＝OB-1，即A＝O．这与A为非零矩阵矛盾，选项D不正确．故选C．7、设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若＝r(A)，则线性方程组()A、Aχ＝α必有无穷多解B、Aχ＝α必有唯一解C、仅有零解D、必有非零解标准答案：D知识点解析：由于选项C、D为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中必有一个正确也仅有一个正确，因而排除A、B．又齐次线性方程组有n＋1个变量，而由题设条件知，秩＝r(A)≤n＜n＋1．所以该方程组必有非零解，故选D．8、设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Aχ＝b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Aχ＝0的基础解系()A、不存在B、仅含一个非零解向量C、含有两个线性无关的解向量D、含有三个线性无关的解向量标准答案：B知识点解析：因为齐次线性方程组的基础解系所含线性无关的解向量的个数为n－r(A)．而由A*≠D可知，A*中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵A中至少有一个(n－1)阶子式不为零，再由矩阵秩的定义有r(A)≥n－1．又由Aχ＝b有互不相等的解知，其解存在且不唯一，故有r(A)＜n，从而r(A)＝n－1．因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量，故选B．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设A是秩为3的5×4矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Aχ＝b的三个不同的解，如果α1＋α2＋2α3＝(2，0，0，0)T，3α1＋α2＝(2，4，6，8)T，则方程组Aχ＝b的通解是_______．标准答案：(1，0，0，0)T＋k(0，2，3，4)T知识点解析：由于r(A)＝3，所以齐次方程组Aχ＝0的基础解系共有4－r(A)＝4－3＝1个向量，又因为(α1＋α2＋2α3)－(3α1＋α2)＝2(α3－α1)＝(0，－4，－6，－8)T是Aχ＝0的解，因此其基础解系可以为(0，2，3，4)T，由A(α1＋α2＋2α3)＝Aα1＋Aα2＋2Aα3＝4b，可知(α1＋α2＋2α3)是方程组Aχ＝b的一个解，因此根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是(，0，0，0)T＋k(0，2，3，4)T．10、线性方程组，有解，则未知量a＝_______．标准答案：－3知识点解析：非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，对该方程组的增广矩阵作初等变换可知a＝－3时，r(A)＝r(A，b)，此时方程组有解．11、设A＝(aij)是3阶正交矩阵，其中a33＝－1，b＝(0，0，5)T，则线性方程组Aχ＝b必有一个解是_______．标准答案：(0，0，－5)T知识点解析：由正交矩阵定义，首先AAT＝ATA＝E，由此可知A的列向量和行向量都是单位向量，因此可设A＝，于是，则线性方程组Aχ＝b必有一个解是(0，0，－5)T．12、非齐次方程组的通解是_______．标准答案：(k1，k2为任意常数)知识点解析：对该非齐次线性方程组的增广矩阵作初等变换13、已知齐次线性方程组有通解k1(2，－1，0，1)T＋k2(3，2，1，0)T，则方程组的通解是_______．标准答案：k(13，－3，1，5)T(k为任意常数)知识点解析：方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，令(1)的通解为满足(2)的第三个方程，得(2k1＋3k2)－2(－k1＋2k2)＋0k2＋k1＝0，得到5k1＝k2，将其代入(1)的通解中，得5k2[1，2，－1，0，1]T＋k2[3，2，1，0]T＝k2[13，－3，1，5]T，是方程组(2)的通解．14、已知方程组(Ⅰ)(Ⅱ)χ＋5χ＝0，那么(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解是_______．标准答案：k(－5，3，1)T(k为任意常数)知识点解析：将方程组(Ⅰ)和方程(Ⅱ)联立，得到方程组(Ⅲ)(Ⅲ)的解就是两者的公共解．对(Ⅲ)的系数矩阵做初等行变换可得由于A的秩为2，因此自由变量有1个，令自由变量χ3＝1，代入可得χ2＝3，χ1＝－5，所以(Ⅲ)的基础解系为η＝(－5，3，1)T．因此(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解为k(－5，3，1)T(k为任意常数)．三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)15、设n元线性方程组Aχ＝b，其中(1)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求χ1；(2)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．标准答案：(1)当a≠0时，方程组系数行列式Dn≠0，故方程组有唯一解．根据克拉默法则，将Dn的第一列换成b，得行列式为所以，χ1＝(2)当a＝0时，方程组为χ＝(0，1，…，0)T＋k(1，0，…，0)T，其中k为任意常数．知识点解析：暂无解析16、设矩阵A＝(a1，a2，a3，a4)，其中a2，a3，a4线性无关，a1＝2a2－a3，向量b＝a1＋a2＋a3＋a4，求方程Aχ＝b的通解．标准答案：已知a2，a3，a4线性无关，则r(A)≥3．又显然a1，a2，a3线性相关，因此由a1，a2，a3，a4线性相关可知r(A)≤3．终上所述，有r(A)＝3，从而原方程的基础解系所含向量个数为4－3＝1，a1＝2a2－a3a1－2a2＋a3＝0(a1，a2，a3，a4)＝0，即χ＝(1，－2，1，0)T满足方程Aχ＝0，所以χ＝(1，－2，1，0)T是该方程组的基础解系．又b＝a1＋a2＋a3＋a4χ＝(1，1，1，1)T是方程Aχ＝b的一个特解．于是由非齐次线性方程组解的结构可知，原方程的通解为知识点解析：暂无解析17、设η1，…，ηs是非齐次线性方程组Aχ＝b的s个解，k1，…，ks为实数，满足k1＋k2＋…＋ks＝1．证明χ＝k1η1＋k2η2＋…＋ksηs也是方程组的解．标准答案：由于η1，…，ηs是非齐次线性方程组Aχ＝b的s个解，故有Aηi＝b(i＝1，…，s)，当χ＝k1η1＋k2η2＋…＋ksηs，有Aχ＝A(k1η1＋k2η2＋…＋ksηs)＝k1Aη1＋k2Aη2＋…＋ksAηs＝b(k1＋…＋ks)＝b，即Aχ＝b(χ＝k1η1＋k2η2＋…＋ksηs)，由此可χ也是方程的解．知识点解析：暂无解析18、设A＝(1)计算行列式｜A｜(2)当实数a为何值时，方程组Aχ＝