11.2数系的扩充与复数的引入学案文含解析

第二节数系的扩充与复数的引入【知识重温】一、必记7个知识点1．复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的①________和②________.若③________，则a＋bi为实数，若④________，则a＋bi为虚数，若⑤______________，则a＋bi为纯虚数．2．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔⑥____________(a，b，c，d∈R)．3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔⑦________(a，b，c，d∈R)．4．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．⑧________叫做实轴，⑨________________叫做虚轴．实轴上的点都表示eq\o(○,\s\up1(10))________；虚轴上的点都表示⑪________；各象限内的点都表示⑫________________.复数集C和复平面内的⑬________组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以⑭________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．5．复数的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝⑮____________.6．复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝⑯____________.(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝⑰____________.(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝⑱____________.(4)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝⑲__________________(c＋di≠0)．7．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．二、必明2个易误点1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．()(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i等．()(4)原点是实轴与虚轴的交点．()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()(6)复数z＝－1＋2i的共轭复数对应点在第四象限．()二、教材改编2．复数eq\f(5,i－2)的共轭复数是()A．i＋2B．i－2C．－2－iD．2－i3．当eq\f(2,3)<m<1时，复数m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限三、易错易混4．z＝(3＋2i)(2－5i)，则复数z的虚部为()A．16B．－11C．－11iD．－165．[2021·宝鸡质检]若复数eq\f(a＋3i,1－2i)是纯虚数，则实数a＝()A．－2B．4C．－6D．6四、走进高考6．[2020·天津卷]i是虚数单位，复数eq\f(8－i,2＋i)＝________.eq\x(考点一)复数的有关概念[自主练透型]1．[2020·全国卷Ⅲ]复数eq\f(1,1－3i)的虚部是()A．－eq\f(3,10)B．－eq\f(1,10)C.eq\f(1,10)D.eq\f(3,10)2．[2020·浙江卷]已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝()A．1B．－1C．2D．－23．[2021·郑州市第一次质量预测]若复数eq\f(1＋2ai,2－i)(a∈R)的实部和虚部相等，则实数a的值为()A．1B．－1C.eq\f(1,6)D．－eq\f(1,6)4．[2021·安徽省考试试题]eq\o(z,\s\up6(－))是z＝eq\f(1＋2i,1－i)的共轭复数，则eq\o(z,\s\up6(－))的虚部为()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(3,2)D.eq\f(3,2)悟·技法求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解.考点二复数的代数运算[自主练透型]5．[2020·全国卷Ⅰ]若z＝1＋i，则|z2－2z|＝()A．0B．1C.eq\r(2)D．26．[2020·山东卷]eq\f(2－i,1＋2i)＝()A．1B．－1C．iD．－i7.[2021·河南省豫北名校质量考评]复数eq\f(\r(3)－\r(2)i,\r(2)＋\r(3)i)＝()A.eq\f(2\r(6),5)－iB.eq\f(2\r(6),5)－eq\f(1,5)iC．－1D．－i8.[2021·太原市高三年级模拟试题]设复数z满足z·(2＋i)＝5，则|z－i|＝()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C．2D．4悟·技法复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.考点三复数的几何意义[互动讲练型][例1](1)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z＝()A．1＋2iB．－2＋iC．1－2iD．－2－i(2)[2020·全国卷Ⅱ]设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq\r(3)＋i，则|z1－z2|＝________.悟·技法复数几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)．(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝eq\r(x2＋y2)，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·石家庄市高三年级阶段性训练题]已知i是虚数单位，且z＝eq\f(1－i,i)，则z的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．[2021·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]若复数z满足2z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝3－i，其中i为虚数单位，则|z|＝()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D．3第二节数系的扩充与复数的引入【知识重温】①实部②虚部③b＝0④b≠0⑤a＝0且b≠0⑥a＝c且b＝d⑦eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝c，,b＝－d))⑧x轴⑨y轴除去原点⑩实数⑪纯虚数⑫实部不为0的虚数⑬点⑭原点⑮eq\r(a2＋b2)⑯(a＋c)＋(b＋d)i⑰(a－c)＋(b－d)i⑱(ac－bd)＋(ad＋bc)i⑲eq\f(ac＋bd＋bc－adi,c2＋d2)【小题热身】1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×2．解析：eq\f(5,i－2)＝eq\f(－52＋i,2－i2＋i)＝eq\f(－10－5i,5)＝－2－i，其共轭复数为－2＋i，故选B.答案：B3．解析：m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，∵eq\f(2,3)<m<1，∴3m－2>0，m－1<0，∴其对应的点在第四象限．答案：D4．解析：依题意，z＝(3＋2i)(2－5i)＝6－15i＋4i＋10＝16－11i，故复数z的虚部为－11.故选B.答案：B5．解析：∵eq\f(a＋3i,1－2i)＝eq\f(a＋3i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(a－6,5)＋eq\f(2a＋3,5)i是纯虚数，∴eq\f(a－6,5)＝0且eq\f(2a＋3,5)≠0，∴a＝6，故选D.答案：D6．解析：解法一依题意得eq\f(8－i,2＋i)＝eq\f(8－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(15－10i,5)＝3－2i.解法二设eq\f(8－i,2＋i)＝x＋yi，其中x，y∈R，则(2＋i)(x＋yi)＝8－i，即(2x－y)＋(2y＋x)i＝8－i，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝8，,2y＋x＝－1，))解得x＝3，y＝－2，即eq\f(8－i,2＋i)＝3－2i.答案：3－2i课堂考点突破考点一1．解析：利用复数除法法则得eq\f(1,1－3i)＝eq\f(1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq\f(1＋3i,10)，所以虚部为eq\f(3,10)，选D.答案：D2．解析：因为a－1＋(a－2)i是实数，所以a－2＝0，所以a＝2.故选C.答案：C3．解析：因为eq\f(1＋2ai,2－i)＝eq\f(1＋2ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2－2a,5)＋eq\f(1＋4a,5)i，所以由题意，得eq\f(2－2a,5)＝eq\f(1＋4a,5)，解得a＝eq\f(1,6)，故选C.答案：C4．解析：z＝eq\f(1＋2i,1－i)＝eq\f(1＋2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(－1＋3i,2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，则eq\o(z,\s\up6(－))＝－eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i，所以eq\o(z,\s\up6(－))的虚部为－eq\f(3,2)，故选C.答案：C考点二5．解析：∵z＝1＋i，∴z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋2i＋i2－2－2i＝－2，∴|z2－2z|＝|－2|＝2.故选D.答案：D6．解析：解法一eq\f(2－i,1＋2i)＝eq\f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(2－2－5i,5)＝－i，选D.解法二利用i2＝－1进行替换，则eq\f(2－i,1＋2i)＝eq\f(－2×－1－i,1＋2i)＝eq\f(－2i2－i,1＋2i)＝eq\f(－i1＋2i,1＋2i)＝－i，选D.答案：D7．解析：由题意可知，eq\f(\r(3)－\r(2)i,\r(2)＋\r(3)i)＝eq\f(\r(3)－\r(2)i\r(2)－\r(3)i,\r(2)＋\r(3)i\r(2)－\r(3)i)＝eq\f(－5i,5)＝－i，故选D.答案：D8．解析：z＝eq\f(5,2＋i)＝eq\f(52－i,2＋i2－i)＝eq\f(52－i,5)＝2－i，所以z－i＝2－2i，则|z－i|＝eq\r(22＋－22)＝2eq\r(2)，故选A.答案：A考点三例1解析：(1)由题意知，z＝1＋2i，所以i·z＝i·(1＋2i)＝－2＋i，故选B.(2)设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，又z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝eq\r(3)＋i，∴a＋c＝eq\r(3)，b＋d＝1，则(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝4，∴8＋2ac＋2bd＝4，即2ac＋2bd＝－4，∴|z1－z2|＝eq\r(a－c2＋b－d2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋d2－2ac＋2bd)＝eq\r(8－－4)＝2eq\r(3).答案：(