2024年湖北省武汉市中考数学复习课件小专题2与角平分线有关的辅助线作法

小专题2与角平分线有关的辅助线作法

过角平分线上的点向角两边作垂线方法1

1．如图，直线AB∥CD，且这两条直线距离为8，∠AEF与∠EFC两角的平分线交于点P，则点P到EF的距离为

(

)A．3 B．3.5C．4 D．4.5C过P点分别作AE，EF，CD的垂线2．如图，在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上有一动点P，在直线AE上取点Q，使得BQ＝BP.(1)如图1，当点P在线段AC上时，∠BQA＋∠BPA＝__________°；图1中，作BM⊥AE于点M.证Rt△BMQ≌Rt△BCP(HL)．180(2)如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ，AP，AC三条线段之间的数量关系，说明理由；

(3)在满足(1)的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ，AP，PC三条线段之间的数量关系为_________________________________．当点P在线段AC上时，AQ－AP＝2PC；当点P在线段AC的延长线上时，AP－AQ＝2PC.AQ－AP＝2PC或AP－AQ＝2PC若P是∠MON的平分线上的一点，A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA，连接PB，则△OPB≌△OPA.利用图形的对称性，在角的两边构造轴对称图形(全等三角形)，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行等量代换是一种常用的技巧．在角两边截取，构造轴对称图形方法23．如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，若AC＝5，BD＋BC＝18，求AB的长．解：在BC上截取CE＝AC，连接DE.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠ECD.又∵CD＝CD，∴△ACD≌△ECD(SAS)．∴AD＝ED，∠A＝∠CED.∵∠A＝2∠B，∴∠CED＝2∠B.∴∠EDB＝∠B.∴AD＝ED＝EB.∴BC＝CE＋EB＝AC＋AD.∵AC＝5，BD＋BC＝18，∴AB＝AD＋BD＝BD＋BC－AC＝18－5＝13.

若P是∠MON的平分线上的一点，AP⊥OP于点P，延长AP交ON于点B，则△AOB为等腰三角形．构造此模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系起来了，可以利用等腰三角形的“三线合一”性质，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等．“角平分线”＋“垂线”，利用等腰三角形“三线合一”方法34．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于点P，连接PC，若△ABC的面积为16cm2，则△PBC的面积为

(

)A．4cm2

B．8cm2C．12cm2

D．不能确定B延长AP交BC于点D，构造三角形全等AP=DP三角形ABP与三角形PBD面积相等,三角形APC与三角形PDC面积相等5．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点B的直线BE交直线AC于点D，CE⊥BE于点E，当BE平分∠ABC时，求证：BD＝2CE.延长BA，CE交于点F，构造三角形全等证明：延长CE，BA交于点F.∵CE⊥BE于点E，BE平分∠ABC，∴∠BEC＝∠BEF＝90°，∠CBE＝∠FBE.又∵BE＝BE，∴△CBE≌△FBE(ASA)．∴CE＝FE.∴CF＝2CE.∵∠BAC＝∠BEC＝90°，∠ADB＝∠CDE，∴∠ABD＝∠ACE.又∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝90°，∴△ABD≌△ACF(ASA)．∴BD＝CF.∴BD＝2CE.1．若点P是∠MON平分线OP上一点，且PQ∥ON，可以构造等腰△OPQ，利用等腰三角形的性质解题；2．有角平分线无平行就构造平行，同样可以得到等腰△OPQ.可简记为“角平分线＋平行线，等腰必呈现”．“角平分线”＋“平行线”，构造等腰三角形方法4

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数；解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝36°.∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴∠BAD＝90°－36°＝54°.(2)求证：FB＝FE.证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE.∴∠FBE＝∠FEB.∴FB＝FE.7.(1)如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F.直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系：_______________．EF＝EB＋FC∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB.∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB.∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO.∴EB＝EO，FC＝FO.∵EF＝EO＋FO，∴EF＝EB＋FC.(2)如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过点O作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F.则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由．解：