2008年第6“走美杯”数学竞赛七年级决赛试卷

2008年第6届“走美杯”数学竞赛七年级决赛试卷一、填空题（共15小题，满分150分）1．（8分）．2．（8分）（共1000个，（共1000个，的整数部分为．3．（8分）在1、2、、2007、2008之间添上加减号，使和的绝对值最小．算式是：．4．（8分）将2个相同的黑球和11个相同的白球排在一个圆周上，共有种不同的排法．（旋转，翻转相同的方法算同一种）5．（10分）在一列数中，每连续四个数中，后三个数的积是前三个数的积的倒数．这列数中的第100个数是．6．（10分）的末两位数字为．7．（10分）如图，四边形为正方形，，为边上一点，，射线上一点，，的面积为．8．（10分）在的方格表上画一条对角线，这条对角线穿过个小方格．9．（10分）正整数是它的数字和的2008倍．的最小值是．10．（10分）在1、2、3、、2008中，取一个6的倍数，再取一个5的倍数，且这两个数的差为4．取法共有种．11．（10分）将2008拆成个自然数的和，这个自然数的个位数字都相同．如果将这个数的个位数字都擦掉，剩下的数组成一个公差是6的等差数列．最大是．12．（12分）梯形的上底、下底和高都是整数，下底比上底长，小于，梯形面积是，三元整数组，，为（写出所有可能）13．（12分）为正整数，且能被整除．的最小值为．14．（12分）中，已知，，则斜边的中线长是．15．（12分）在图和方格中，沿着已有的线画一个简单连续的闭合圈作篱笆，篱笆不能“自身相交”．小方格中的数表示这小方格上属于篱笆的边数（如，篱笆经过两个黑点，而且对于以“黑点”为中心的长方形，它边上的篱笆也以这个黑点为对称中心．．

2008年第6届“走美杯”数学竞赛七年级决赛试卷参考答案与试题解析一、填空题（共15小题，满分150分）1．（8分）2017036．【分析】直接运用因式分解，将前后两项按平方差公式分解后，再将剩余的项相加即可．【解答】解：原式，，，，．故答案为：2017036．【点评】本题考查了因式分解中平方差公式的运用．2．（8分）（共1000个，（共1000个，的整数部分为999．【分析】首先根据整数的性质把和用，，得到，从而得出答案．【解答】解：，，，，，，，所以得到：，，则，，那么，，所以的整数部分为999．故答案为：999．【点评】此题考查的知识点是整数问题的综合运用，此题的关键是根据整数的性质把转化为得出结果．3．（8分）在1、2、、2007、2008之间添上加减号，使和的绝对值最小．算式是：例如．【分析】由题意，1、2、3、4、5、6、7、8、、2005、2006、2007、2008，不难发现，，，，既而得到．【解答】解：由已知，可写出算式，，，．使和的绝对值最小，所以算式是：．故答案为：．【点评】此题考查了学生有理数加减的混合运算．解答此题的关键是对这组数观察分析，发现规律．4．（8分）将2个相同的黑球和11个相同的白球排在一个圆周上，共有6种不同的排法．（旋转，翻转相同的方法算同一种）【分析】按2个相同的黑球之间白球个数的不同，即可得出不同的排法的种数．注意如果两球间隔6球的话，那就只剩下5个白球，即和两球间隔5球方法相同，因为排法可翻转、旋转，以此类推【解答】解：①●●两球相邻；②●〇●两球间隔1球；③●〇〇●两球间隔2球；④●〇〇〇●两球间隔3球；⑤●〇〇〇〇●两球间隔4球；⑥●〇〇〇〇〇●两球间隔5球．共六种方法．故答案为：6．【点评】本题考查了排列与组合问题，解题的关键是以2个相同的黑球为基础，根据2个相同的黑球之间白球个数的不同，得出不同的排法的种数．5．（10分）在一列数中，每连续四个数中，后三个数的积是前三个数的积的倒数．这列数中的第100个数是1．【分析】根据题意，可以写出这列数的前几个数，从而可以发现这列数的变化特点，从而可以写出这列数中的第100个数．【解答】解：设第4个数为，在一列数中，每连续四个数中，后三个数的积是前三个数的积的倒数，，解得，即第四个数为1，同理可得，第五个数1，第六个数2，第七个数，第八个数4，，由上可得，这列数依次以、4、、1、1、2循环出现，，这列数中的第100个数是1，故答案为：1．【点评】本题考查数字的变化类、倒数，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字．6．（10分）的末两位数字为16．【分析】计算出，，，，的末两位数，总结出规律，即可求出的末两位数字．【解答】解：，，，，，，，的末两位数为：08，64，12，96，68，44，52，16，28，24，92，36，88，04，32，56，48，84，72，76，08，64，每20位数一个循环，余8，的末两位数字为16．故答案为16．【点评】此题考查了尾数的特征，解题的关键是根据尾数的变化得出规律，进而求出的末两位数字．7．（10分）如图，四边形为正方形，，为边上一点，，射线上一点，，的面积为36．【分析】过作，则，即可证明，所以，即可计算的长度，即可求得的高，根据，即可计算的面积．【解答】解：过作，则．，为的中点．，，，，，，，的面积，故答案为36．【点评】本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了等腰三角形三线合一的性质，考查了三角形面积的计算，本题中正确的计算的值是解题的关键．8．（10分）在的方格表上画一条对角线，这条对角线穿过4014个小方格．【分析】假设直线右上方至左下方穿过一个的正方形，每一列经过两个正方形，如果直线右上方至左下方穿过一个的正方形，最左列和最右列各经过1个正方形，中间5列每一列经过两个正方形，即（个，进而可得结论．【解答】解：直线穿越正方形时最多经过的正方形个数为：或；直线穿越正方形时最多经过的正方形个数为：或；，所以直线穿越正方形时最多经过个正方形．直线穿越正方形时最多经过正方形的个数为：（个．故答案为4014．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．9．（10分）正整数是它的数字和的2008倍．的最小值是10040．【分析】首先从最小的4位数分析得出没有符合要求的数，再从最小的5位数分析，进而得出答案．【解答】解：①若为4位数，设各个数字位上的数为，，，，则，移项后，无解．②若为5位数，设各个数字位上的数为，，，，，则，移项后，，由于所求的是最小值故，不妨，无解，，任取，无解，，，任取，无解，，，任取，无解，同上方法得当，，，故的最小值为10040．故答案为：10040．【点评】此题主要考查了整数问题的综合应用，先从最小的4位数分析，利用特殊值法一一分析得出是解决问题的关键，计算量较大．10．（10分）在1、2、3、、2008中，取一个6的倍数，再取一个5的倍数，且这两个数的差为4．取法共有134种．【分析】由已知及题目要求，此题应先由取一个6的倍数，再取一个5的倍数，且这两个数的差为4．来确定所取的数有两种情况：（1）6的倍数的个位数为4，5的倍数的个位数为0，这样6的倍数与5的倍数的差为4．（2）5的倍数的个位数为0，6的倍数的个位数为6，这样5的倍数与6的倍数的差为4．【解答】解：设6的倍数为，5的倍数为，由已知可得：，，5的倍数的个位数应为0或5，如果的个位数是5时，由，那么的个位数应为9，个位数是9的数不是6的倍数，所以应取个位数是0的数．那么，应取个位数是4的数．在1，2，3，，2008中，6的倍数的个位数是4的数是：24，54，84，114，174，204，，2004．观察得到，24，54，84，114，174，204，，2004是首项为24，公差为30的等差数列．设有项，得：，得．由已知且这两个数的差为4，所以．得到，6的倍数应取个位数是6的6的倍数．同理这样的数有67个．因此取法共有（种．故答案为：134．【点评】此题考查了学生观察分析问题的能力．解题的关键是由已知确定6的倍数和5的倍数的个位数．11．（10分）将2008拆成个自然数的和，这个自然数的个位数字都相同．如果将这个数的个位数字都擦掉，剩下的数组成一个公差是6的等差数列．最大是8．【分析】先把8分解成几个数积的形式，再根据末尾数是8个个位数字是1的数时的值最大，代入公差是6的等差数列公式即可求出的值，进而可求出答案．【解答】解：因为2008个位是8，，，，所以可能性是8个个位数字为1的2个个位数字为4的数，4个个位数字为2的数，6个个位数字为8的数，8个个位数字为6的数，因为求最大值，所以从8个个位数字是1的数考虑若是8个个位数字是1的数：如果将这个数的个位数字都擦掉那这些数的和即为，代入等差数列求和公式：，，，则这种情况满足即最大为8；故答案为：8．【点评】本题考查的是尾数的特征，能根据题意得出当8个数的个位数字是1时的值最大是解答此题的关键．12．（12分）梯形的上底、下底和高都是整数，下底比上底长，小于，梯形面积是，三元整数组，，为（写出所有可能），556，，，192，，，56，，，38，【分析】根据梯形的面积公式得到，即，把561分解成所有的情况，进行讨论所有的情况，即可得出、、的值．【解答】解：根据题意得：，由梯形的面积公式得：，代入得：，小于，、、都是正整数，，当时，，，；当时，，，；当时，，，；当时，，，；但当是1、3、17、11时求得的和都不符合已知条件，故答案为：，566，，，，56，，，38，．【点评】本题主要考查了面积及等积变换，梯形的面积公式等知识点，解此题的关键是把561分解讨论出所有的情况．13．（12分）为正整数，且能被整除．的最小值为2008．【分析】根据题意及数的整除性先设未知数得方程，通过分解因式由题目要求进行提算确定所求值．【解答】解：由已知设为正整数）为正整数，所以要想此方程有解，那么必须能因式分解，即写成如方程的形式则有：2008也可以先分解，或或或将以上四个简化得到：或或或为正整数，所以以上四个等式只有最后一个有解，，代入原等式，，为正整数，所以故答案为2008【点评】此题考查学生综合论证问题的能力，关键是由题意整除通过设等式及分解因式推理论证得出答案．14．（12分）中，已知，，则斜边的中线长是5．【分析】在直角三角形中，已知两直角边根据勾股定理可以求得斜边的长度，根据斜边的中线长等于斜边长的一半即可解题．【解答】解：在中，，，则斜边，则斜边的中线的长为．故答案为5．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了斜边中线长是斜边长的一半的性质，本题中正确的计算的长是