特殊三角函数学案华东师大版九年级数学上册

.2特殊三角函数精品学案学习目标：1.体会特殊角的三角函数值并熟记特殊角的三角函数值.2.能灵活运用特殊角的三角函数值进行计算和化简.3.感受数形结合思想、函数思想、一般到特殊的思想在研究特殊三角函数中的作用.一、情境导入，自主构建陪伴你八年半的三角尺，你对它们很熟悉吗？它们各自的特征是什么？你会求30°、45°、60°的三个三角函数值吗？你是怎么做的？二、独立思考，积累经验探究：30°、45°、60°三个特殊角的三角函数如图，每个三角形较短的边长均为1，请利用勾股定理和锐角三角函数的定义完成下列填空：（1）sin30°＝12，cos30°＝32，tan30°＝3（2）sin60°＝32，cos60°＝12；tan60°＝3（3）sin45°＝22，cos45°＝22，tan45°＝解：（1）sin30°=12，cos30°=32，故答案为：12；32；（2）sin60°=32，cos60°=12，故答案为：32；12；（3）sin45°=22，cos45°=2故答案为：22；2思维提升：归纳：特殊角三角函数锐角a三角函数30°45°60°sin

acos

atan

a图形速记：30°60°直角三角形三边比1：3：2，45°直角三角形三边比1:1：2.口诀速记：正弦正切走上坡，余弦特殊走下坡；弦2切3是分母，分子根下正倒1，2，3；互余正弦余弦等，正切互倒积为1.操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30°，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆的高度了.你知道小明是怎样算出来的吗？典例分析：例1.已知6cosα＝33，且α是锐角，则α＝（）A．75° B．60° C．45° D．30°解：∵6cosα＝33，∴cosα=3∴锐角α＝30°．故选：D．解题密码：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．例2.式子2cos30°﹣tan45°−(1−tan60°A．0 B．23 C．2 D．﹣2解：原式＝2×32−=3−1＝0．故选：A．解题密码：熟记特殊三角函数值和二次根式的性质是解题的关键．例3.已知锐角△ABC中，∠A.∠B.∠C的对边分别为，边角总满足关系式：asinA（1）如图1，若a=6，∠B=45°，∠C=75°，求b的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，，AC=14米，AB=10米，sin∠ACB=5314，求景观桥解：∵∠B=45°，∠C=75°，∴∠A=60°，asinA=6sin60°∴b=2（2）ABsinACB=∴10∴sinB=32∴tanB=CD∴BD=3∵AC∴196=CD∴CD=83，CD=－33（舍去）∴CD的长度为83米．解题密码：掌握勾股定理和特殊三角函数值是解题的关键．交流讨论：1.x为锐角，sinx=23，则cosA．79 B．73 C．7 解：∵sin2x+cos2x＝1，sinx=2∴cosx=1−si故选：B．解题密码：熟记同角三角函数的关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦与正切之间的关系（商的关系）：tanA=sinAcosA2.若（3tanA−3）2+|2sinB−3|＝0，则以∠A.∠B为内角的△ABC的形状是解：∵（3tanA−3）2+|2sinB−∴3tanA−3=0，2sinB则tanA=33，sinB∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴以∠A.∠B为内角的△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．解题密码：熟记特殊角的三角函数值、非负数的性质是解题的关键．3.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝3，AB＝2，则△ABC的面积是332解：如图，过点C作CD⊥AB于D．∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°．在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∴sin∠DAC=CD∴CD＝ACsin∠DAC＝3×sin60°=3×3∴S△ABC故答案为：33解题密码：熟记三角函数的定义和特殊的三角函数值是解题的关键．三、课堂总结，发展潜能谈一谈本节课自己的收获和感受？锐角a三角函数30°45°60°sin

acos

atan

a图形速记：30°60°直角三角形三边比1：3：2，45°直角三角形三边比1:1：2.口诀速记：正弦正切走上坡，余弦特殊走下坡；弦2切3是分母，分子根下正倒1，2，3；互余正弦余弦等，正切互倒积为1.解题方法总结：1.知特殊角求值.2.知值求特殊角.3.特殊角出现或是其余角补角出现记得构造直角三角形.四、巩固深化，能力提升A组1．王明同学遇到了这样一道题，3tan(α+10°)=1，则锐角αA．40° B．30° C．20° D．10°解：∵tan30°=3∴3tan30°＝1，∵3tan（α+10°）＝1，∴α+10°＝30°，∴α＝20°，故选：C．2.某渔船在海上进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，发现正北方向（6+63）海里的C处有海盗出没，为了安全，请求A处的海警前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A和C之间的距离为（）海里．A．62 B．63 C．123 D．12解：过点A作AD⊥BC于点D，由题意得，BC＝（6+63）海里，∠CAD＝45°，∠ABD＝30°，设AD＝x海里，在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴AD＝CD＝x海里，在Rt△ABD中，tan30°=AD解得BD=3x∴x+3x＝6+63解得x＝6，∴AD＝CD＝6海里，∴AC=AD2故选：A．B组3.在△ABC中，若sinA=22，cosB=12，∠A，∠B都是锐角，则∠解：∵sinA=22，cosB=12，∠∴∠A＝45°，∠B＝60°．∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝75°．故答案为：75°.C组4.计算（1）sin230°+2sin60°+tan45°﹣tan60°+cos230°；（2）sin30°+|sin60°﹣1|﹣（﹣1）2021．解：（1）sin230°+2sin60°+tan45°﹣tan60°+cos230°＝sin230°+cos230°+2×32＝1+3+＝2；（2）sin30°+|sin60°﹣1|﹣（﹣1）2021=12+=12+=55.某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上．C村在Bkm．有关部门计划在两村之间修一条笔直的公路来连接两村．