5.1平面向量的概念及线性运算答案

5.1平面向量的概念及线性运算课标要求精细考点素养达成1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义,了解平面向量的几何表示和基本要素2.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加减运算及运算规则,理解其几何意义3.借助实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义平面向量的概念通过平面向量概念的学习,培养数学抽象的核心素养平面向量的线性运算通过平面向量的线性运算,能够培养数学运算的核心素养平面向量共线定理及其应用通过共线定理的应用,培养逻辑推理、数学运算的核心素养1.(概念辨析)下列关于平面向量的命题中,正确命题的个数是().①任一向量与它的相反向量都不相等;②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量;③平行且模相等的两个向量是相等向量;④若a≠b,则|a|≠|b|;⑤若两个向量相等,则它们的起点与终点相同.A.0 B.1 C.2 D.3答案B解析只有②正确.2.(对接教材)如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,则与AB不相等的向量为().A.OC B.FO C.ED D.FC答案D3.(对接教材)已知向量e1,e2不共线,a=e1+3e2,b=2e1+λe2,若a∥b,则实数λ=.

答案6解析因为a=e1+3e2,b=2e1+λe2,且a∥b,所以存在t∈R,使得a=tb,即e1+3e2=t(2e1+λe2).因为e1,e2不共线,所以2t=1,4.(易错自纠)下列说法错误的是().A.向量AB与向量BA长度相同B.单位向量并不全相等C.向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小D.与向量a共线的向量,均可以用λa表示,其中λ∈R答案D解析对于D,与向量a共线的向量均可以用λa(λ∈R)表示的前提是a不是零向量,D错误.5.(模拟演练)(2023·江苏通州中学月考)如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,BF=2FO,且FC=λFD+μFE,则λ+μ等于().A.1 B.2C.3 D.4答案D解析因为FC=FO+OC=4FO=4×12(FD+FE)=2FD+2FE,所以λ=μ=2,所以平面向量的概念典例1判断下列命题是否正确,请说明理由:(1)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;(2)若|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;(3)若|a|=|b|,a与b的方向相同,则a=b;(4)由于0方向不确定,故0不与任意向量平行;(5)若向量a与b平行,则向量a与b方向相同或相反.解析(1)不正确.因为向量由两个因素来确定,即大小和方向,所以两个向量不能比较大小.(2)不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,不能确定它们的方向关系.(3)正确.因为|a|=|b|,且a与b同向,由两向量相等的条件,可得a=b.(4)不正确.依据规定:0与任意向量平行.(5)不正确.如果向量a与b中有一个是零向量,那么其方向不能确定.1.相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性,零向量与任意向量共线.2.共线向量即平行向量,它们均与起点无关.3.向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.训练1下列命题中,假命题的个数是().①两个相等向量,若它们的起点相同,则终点也相同;②若|a|=|b|,则a=b;③若|AB|=|DC|,则四边形ABCD是平行四边形;④若m=n,n=k,则m=k;⑤若a∥b,b∥c,则a∥c;⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段;⑦任何一个非零向量都可以平行移动.A.2 B.3 C.4 D.5答案C解析假命题是②③⑤⑥,共4个.平面向量的线性运算典例2在△ABC中,若AB=a,AC=b.(1)若P,Q是线段BC的三等分点,求证:AP+AQ=a+b.(2)若P,Q,S是线段BC的四等分点,求证:AP+AQ+AS=32(a+b)(3)如果A1,A2,A3,…,An1是线段BC的n(n≥3)等分点,你能得到什么结论?不必证明.解析(1)当P,Q是线段BC的三等分点时,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,连接AD,交BC于点O,连接PD,QD,如图所示,则AB+AC=AD.因为OB=OC,BP=CQ=13BC,所以OP=OQ且OA=OD所以四边形APDQ是平行四边形,所以AP+AQ=AD=AB+AC=a+b.(2)当P,Q,S是线段BC的四等分点时,如图所示,则Q是BC的中点,所以AP+AQ+AS=AD+12(AB+AC)=32(a+b(3)结论:AA1+AA2+AA3+…+AAn向量的线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则.(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.训练2(2023·江苏常州中学调研)已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA4OB+3OC=0,则|AB||CA|A.13 B.34C.12答案B解析由OA4OB+3OC=0,得OAOB=3(OBOC),即BA=3CB,所以CA=CB+BA=43BA,所以|AB|=34|CA|,即|向量共线定理及其应用典例3如图,在△OAB中,OC=14OA,OD=12OB,AD与BC交于点M,设OA=a,OB=b,在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点M,设OE=pOA,OF=qOB,求证:解析因为B,M,C三点共线,所以存在实数m,使得OM=mOC+(1m)OB=m·14OA+(1m)OB=14ma+(1m又A,M,D三点共线,所以存在实数n,使得OM=nOA+(1n)OD=na+12(1n)b因为a,b不共线,所以14m=n故OM=17a+37因为E,M,F三点共线,所以存在实数λ,使得OM=λOE+(1λ)OF=λpa+(1λ)qb,所以λp=17,(1-λ)q向量共线定理的应用(1)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.(2)向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立;若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量a,b不共线.(3)已知O在直线BC外,点A满足OA=λOB+μOC(λ,μ为实数),A,B,C三点共线的充要条件为λ+μ=1.训练3(2023·江苏如东中学月考)在△ABC中,AD=2DB,AE=2EC,P为线段DE上的动点,若AP=λAB+μAC,λ,μ∈R,则λ+μ等于().A.1 B.23 C.32答案B解析如图所示,由题意知,AE=23AC,AD=23AB,设DP=xDE,所以AP=AD+DP=AD+xDE=AD+x=xAE+(1x)AD=23xAC+23(1x)因为AB,AC不共线,所以μ=23x,λ=23(1所以λ+μ=23x+23(1x)=分点恒等式(1)已知AB,AC为不共线的两个向量,则对于向量AD,必存在x,y,使得AD=xAB+yAC,则B,C,D三点共线⇔x+y=1.若0<x+y<1,则D与A位于BC同侧,且D位于A与BC之间;若x+y>1,则D与A位于BC两侧;若x+y=1,当x>0,y>0时,D在线段BC上;当xy<0时,D在线段BC的延长线上或反向延长线上.(2)已知D在线段BC上,且BD∶CD=m∶n,则AD=nm+n典例在△ABC中,D为边BC的中点,H为AD的中点,过点H作一直线MN分别交AB,AC于点M,N,若AM=xAB,AN=yAC,则x+4y的最小值是().A.94 B.2C.3 答案A解析若要求出x+4y的最值,则需从条件中得到x,y的关系.由M,H,N三点共线可想到“爪”字型图,所以存在m,n∈R,使得AH=mAM+nAN,其中m+n=1,下面考虑将m,n的关系转为x,y的关系.由题意得AH=12AD且AD=12(AB+AC),所以AH=14(AB+AC).因为AM=xAB,AN=yAC,所以AH=mxAB+nyAC.又AH=14AB+14AC,mx=14,ny=14,即m=14x,n=14y,由m+n=1,得AD=xAB+yAC中x,y的确定方法(1)在几何图形中,若D,B,C三点共线,则可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示,进而确定x,y;(2)若题目中某些向量的数量积已知,则对于向量方程AD=xAB+yAC,可考虑两边对同一向量作数量积运算,从而得到关于x,y的方程,再进行求解;(3)若所给图形比较特殊(矩形,特殊梯形等),则可通过建系将向量坐标化,从而得到关于x,y的方程,再进行求解.训练如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为BC,CD上的点,且BM=MC,CN=23CD,连接AM,BN交于点P,若AP=λPM,BP=μPN,则λ+μ=(A.135 B.257 C.185答案C解析在▱ABCD中,取AB,AD为平面的一组基底,由BM=MC,得AM=AB+BM=AB+12由AP=λPM,得AP=λ1+λAM=λ由CN=23CD,得BN=BC+CN=23由BP=μPN,得BP=μ1+μBN=2因此AP=AB+BP=3+μ3(1+μ)AB+μ所以λ+μ=185一、单选题1.有关向量a和向量b的下列四个说法:①若|a|=0,则a=0;②若|a|=|b|,则a=b或a=b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a=0,则a=0.其中的正确的有().A.1个 B.2个C.3个 D.4个答案B解析由零向量的定义,可知①④正确;由向量模的定义,可知②不正确;由向量共线可知③不正确.2.下列选项中的式子,结果为零向量的是().A.AB+BCCA B.AB+MB+BO+OMC.OA+OB+BO+CO D.ABAC+BDCD答案D解析利用向量运算,易知D中的式子结果为零向量.3.(2023·江苏启东中学月考)已知△ABC是正三角形,则下列等式不成立的是().A.|AB+BC|=|BC+CA|B.|AC+CB|=|BA+BC|C.|AB+AC|=|CA+CB|D.|AB+BC+CA|=|CB+BA+AC|答案B解析对于A,因为|AB+BC|=|AC|,|BC+CA|=|BA|=|AC|,所以|AB+BC|=|BC+CA|,故A正确;对于B,因为|AC+CB|=|AB|,|BA+BC|=2|BD|=3|AB|(D为AC的中点),故B错误;对于C,因为|AB+AC|=2|AE|=3|AB|(E为BC的中点),|CA+CB|=2|CF|=3|AB|(F为AB的中点),所以|AB+AC|=|CA+CB|,故C正确;对于D,因为|AB+BC+CA|=|0|=0,|CB+BA+AC|=|0|=0,所以|AB+BC+CA|=|CB+BA+AC|,故D正确.4.(2023·江苏东海中学期中)如图,在△ABC中,AN=13NC,P是BN上的一点,若AP=m+29AB+29BCA.19 B.13 C.1 D.3答案A解析由题意可知,AN=13NC,所以AC=4AN,又AP=m+29AB+29BC=mAB+29AC,即AP=mAB+89AN.因为B,P,二、多选题5.已知A,B,C是三个不同的点,OA=ab,OB=2a3b,OC=3a5b,则下列结论正确的是().A.AC=2AB B.AB=BCC.AC=3BC D.A,B,C三点共线答案ABD解析由题意得AB=OBOA=a2b,AC=OCOA=2a4b,BC=OCOB=a2b,所以AC=2AB,故A正确;AB=BC,故B正确;AC=2BC,故C错误;由AC=2AB可得AC∥AB,又A为公共点,故A,B,C三点共线,故D正确.6.(2024·河北邯郸第一次调研)设a,b是两个非零向量,且|a+b|<|a|+|b|,则下列结论正确的是().A.|ab|≤|a|+|b| B.|ab|<|a+b|C.a,b的夹角为钝角 D.若实数λ使得a=λb成立,则λ为负数答案AD解析对于A,当a,b不共线时,根据向量减法的三角形法则知|ab|<|a|+|b|,当a,b反向共线时,|ab|=|a|+|b|,故|ab|≤|a|+|b|,A正确;对于B,若a⊥b,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形,且|a+b|和|ab|是这个矩形的两条对角线长,则|a+b|=|ab|,故B错误;对于C,若a,b的夹角范围为(0,π],根据向量加法的平行四边形法则知|a+b|<|a|+|b|,故C错误;对于D,若存在实数λ,使得a=λb成立,则a,b共线,由于|a+b|<|a|+|b|,则a,b反向共线,所以λ为负数,故D正确.三、填空题7.(2023·江苏靖江中学质检)设向量a,b不共线,若向量ta+b与a+3b共线,则实数t的值为.

答案1解析因为向量ta+b与a+3b共线,所以存在实数k,使得ta+b=k(a+3b),化简得(tk)a+(13k)b=0.因为向量a,b不共线,所以t-k=0,1−38.(2023·河北张家口调研)在△ABC中,点P满足AB+AC=4AP,则△ABP与△ABC的面积比为.

答案1解析取边BC的中点D,连接AD,如图所示.因为AB+AC=4AP,即AB+AC=2AD=4AP,所以AD=2AP,即点P为AD的中点,所以S△ABP=12S△ABD=14S△ABC.故答案为四、解答题9.设e1,e2是两个不共线的向量,如果AB=3e12e2,BC=4e1+e2,CD=8e19e2.(1)求证:A,B,D三点共线.(2)试确定λ的值,使2λe1+e2和e1+λe2共线.(3)若e1+λe2与λe1+e2不共线,试求λ的取值范围.解析(1)因为BD=BC+CD=4e1+e2+8e19e2=12e18e2=4(3e12e2)=4AB,所以AB与BD共线.因为AB与BD有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)因为2λe1+e2与e1+λe2共线,所以存在实数μ,使2λe1+e2=μ(e1+λe2).因为e1,e2不共线,所以2所以λ=±22(3)假设e1+λe2与λe1+e2共线,则存在实数m,使e1+λe2=m(λe1+e2).因为e1,e2不共线,所以1=所以λ=±1.因为e1+λe2与λe1+e2不共线,所以λ≠±1.10.如图所示,AD是△ABC的一条中线,点O满足AO=2OD,过点O的直线分别与射线AB,射线AC交于M,N两点.(1)若AO=λAB+μAC,求λ,μ的值;(2)设AM=mAB,AN=nAC,m>0,n>0,求1m+1n解析(1)因为AO=2OD,所以AO=23又因为D为BC的中点,所以AD=12(AB+AC),所以AO=23AD=13AB+13AC,所以λ=