第一节平面向量的概念及线性运算课件高三数学一轮复习

第一节平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念

名称定义备注向量既有

大小

又有

方向

的量叫做向量;向量

的大小称为向量

的

长度

(或称

模

)

记作零向量长度为

0

的向量叫做零向量

记作0单位向量长度等于

1个单位长度

的向量,叫做单位向量

与非零向量a共线的单位向量为平行向量(共线向量)方向

相同

或

相反

的非零向量叫做平行向量(共线向量)

零向量与任意向量平行名称定义备注相等向量长度

相等

且方向

相同

的向量叫做相等向量

两向量只有相等或不相等,不能比较大小相反向量长度

相等

且方向

相反

的向量叫做相反向量

零向量的相反向量仍是零向量微点拨1.注意0与0的区别,0是一个向量,0是一个实数,且|0|=0,一个向量是零向量的充要条件是其模等于0.2.单位向量有无数个,它们的模相等,都等于1,但方向不一定相同.微思考

向量平行与直线平行有何不同?提示

向量平行与向量共线是完全相同的一个概念,指两个向量的方向相同或相反,亦即向量所在的直线可以平行,也可以重合;但直线平行不包含直线重合的情况.2.向量的线性运算指向量的加法、减法、数乘运算,向量的线性运算的结果仍为向量向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算,叫做向量的加法

三角形法则

平行四边形法则适用于任意两个非零向量求和交换律:a+b=b+a结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

只能用于两个不共线向量求和

向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差.求两个向量差的运算叫做向量的减法

三角形法则—数乘求实数λ与向量a的积的运算叫做向量的数乘|λa|=

|λ||a|

;

当λ>0时,λa的方向与a的方向

相同

;当λ<0时,λa的方向与a的方向

相反

;当λ=0时,λa=0

λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb(λ,μ为实数)3.共线向量定理不能漏掉这一条件向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得

b=λa

.

微点拨

三点共线的几个等价关系

微思考

共线向量定理中为什么规定a≠0?提示

(1)若将条件a≠0去掉,即当a=0时,显然a与b共线;(2)当a=0时,若b≠0,则不存在实数λ,使得b=λa,但此时向量a与b共线;(3)当a=0时,若b=0,则对任意实数λ,都有b=λa,与有唯一一个实数λ矛盾.常用结论

自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)√××题组二

回源教材4.(人教A版必修第二册6.4.3节第16页练习第3题改编)已知e1,e2是两个不共线的向量,a=e1-2e2,b=2e1+ke2.若a与b是共线向量,则实数k的值为

.

答案

-4研考点精准突破考点一平面向量的概念题组(1)(2023·山东烟台高三月考)下列说法正确的是(

)A.若a,b都是单位向量,则a=bB.若存在实数λ,μ,使得a=λb,c=μb,则a∥cC.与非零向量a共线的单位向量是唯一的D.若存在实数λ,μ满足λa=μb,则a与b共线(2)(多选)(2023·河南郑州高三月考)若a,b均为非零向量,则

成立的一个充分条件是(

)A.a∥b

B.b=-2aC.|a-b|=|a|+|b| D.a·b=-|a||b|答案

(1)B

(2)BCD规律方法

关于平面向量概念的几个注意点(1)单位向量不一定相等.(2)向量的相等具有传递性,非零向量的平行(共线)具有传递性.(3)表示与a同向的单位向量.(4)向量可以任意平移,平移后的向量与原向量是相等向量.考点二平面向量的线性运算(多考向探究预测)考向1线性运算

A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3nA.1 B.2 C.3 D.4答案

(1)B

(2)C规律方法

平面向量的线性运算的求解策略

答案

D考向2线性运算的几何意义

答案

D引申探究(变条件变结论)本例中,其他条件不变,将“x=-”变为“y=”,则x的取值范围是

.

规律方法

对点训练(2023·福建厦门高三月考)若a,b为非零向量,且满足|2a+3b|=|2a-3b|,则(

)A.3|a|=2|b| B.a∥bC.a⊥b

D.2|a|=3|b|答案

C解析

由于|2a+3b|=|2a-3b|,作

,则以OA,OB为邻边的平行四边形的两条对角线长度相等,所以该平行四边形为矩形,所以2a⊥3b,因此a⊥b.故选C.考点三共线向量定理及其应用答案

(1)A

(2)D规律方法

利用共线向量定理解题的方法(1)若b≠0,则a∥b⇔a=λb是判断两个向量共线的主要依据,注意待定系数法和方程思想的运用.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线⇔共线