新高考数学一轮复习 讲与练第9讲 导数的概念及运算（解析版）

第9讲导数的概念及运算学校____________姓名____________班级____________一、知识梳理1.导数的概念(1)称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝.(2)在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作f′(x)(或y′，yx′)，即f′(x)＝y′＝yx′＝，导函数也简称为导数.2.导数的几何意义f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，从而在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0).3.基本初等函数的导数公式(1)C′＝0；(2)(xα)′＝α·xα－1；(3)(ax)′＝ax·lna；(4)(logax)′＝eq\f(1,xlna)；(5)(sinx)′＝cosx；(6)(cosx)′＝－sinx；(7)(ex)′＝ex；(8)(lnx)′＝eq\f(1,x).4.导数的运算法则如果f(x)，g(x)都可导，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；(4)[Cf(x)]′＝Cf′(x).5.复合函数的导数如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)＝f′(g(x))·g′(x)，即yx′＝yu′·ux′.考点和典型例题1、导数的概念及几何意义【典例1-1】（2022·河北·模拟预测）曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线斜率为（

）A．0 B．1 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B.【典例1-2】（2022·山东枣庄·三模）曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.【典例1-3】（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若过点SKIPIF1<0可以作曲线SKIPIF1<0的两条切线，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【答案】D【详解】作出SKIPIF1<0的图象，由图可知，若过点SKIPIF1<0可以作曲线SKIPIF1<0的两条切线，点SKIPIF1<0应在曲线外，设切点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以切线斜率为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即方程在SKIPIF1<0上有两个不同的解，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故选：D．【典例1-4】（2022·广西广西·模拟预测（理））曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：A.【典例1-5】（2022·河南洛阳·三模（理））若过点SKIPIF1<0可作出曲线SKIPIF1<0的三条切线，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由已知，曲线SKIPIF1<0，即令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，切线方程的斜率为SKIPIF1<0，所以切线方程为：SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入方程得：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0可作出曲线SKIPIF1<0的三条切线，可知两个函数图像SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有三个不同的交点，又因为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以函数SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，如图所示，当SKIPIF1<0时，两个函数图像有三个不同的交点.故选：C.2、导数的运算【典例2-1】（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．-1 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0.【典例2-2】（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知实数x满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的值为(

)A．0 B．1 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由SKIPIF1<0两边同时乘x可得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：C﹒【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】取SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C【典例2-4】（2022·江苏盐城·三模）已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数，且满足SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0总有SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为__________．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【详解】设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0又SKIPIF1<0

SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0故不等式SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0由SKIPIF1<0的单调性可得该不等式的解集为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0【典例2-5】（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3、导数运算的综合【典例3-1】（2020·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习（理））已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数a的值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：D．【典例3-2】（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l的斜率为2，l与曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0均相切，则SKIPIF1<0（

）A．－4 B．－1 C．1 D．4【答案】D【详解】设直线l：SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，切点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的导数为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以切点为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0.将SKIPIF1<0化为标准方程为SKIPIF1<0，因为l与圆SKIPIF1<0相切，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D【典例3-3】（2022·山西太原·二模（理））已知函数SKIPIF1<0图象上存在两条互相垂直的切线，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由题意可知，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，只需要SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选:D.【典例3-4】（2022·江西南昌·二模（理））已知函数fSKIPIF1<0SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0的图象上存在两个点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由函数解析式，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，综上SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数，易知SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，显然有SKIPIF1<0，因此要使得SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0两点在SKIPIF1<0的同侧，由SKIPIF1<0是偶函数，不妨设SKIPIF1<0两点都在SKIPIF1<0轴右侧，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的图象上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等价于存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的图象过原点的切线的切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，