新高考数学一轮复习 讲与练第23讲 空间中的垂直关系（解析版）

第23讲空间中的垂直关系学校____________姓名____________班级____________一、知识梳理1.直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作l⊥α，其中A为垂足.(2)直线与平面垂直的充要条件：直线l与平面α内的任意直线都垂直.符号表示为：l⊥α⇔∀m⊂α，l⊥m.(3)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直m⊂α，n⊂α，m∩n≠∅，l⊥m，l⊥n，则l⊥α性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,m⊥α))⇒l∥m2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角称为这条斜线与平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面；(2)二面角的平面角：在二面角αlβ的棱上任取一点O，以O为垂足分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.(3)二面角的范围：[0，π].4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊂α,l⊥β))⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面如果α⊥β，α∩β＝m，AO⊂α，AO⊥m，则AO⊥β.考点和典型例题1、直线、平面垂直的判定与性质【典例1-1】（2022·全国·高二）设m、n是两条不同的直线，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】D【详解】A选项，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可能平行，相交，异面，故A错误；B选项，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则可能SKIPIF1<0，故B错误；C选项，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则可能SKIPIF1<0，也可能SKIPIF1<0，故C错误；D选项，根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面，则另一条也垂直该平面，故D正确.故选：D.【典例1-2】（2022·山东烟台·三模）若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别为空间中的直线和平面，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0内无数条直线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0内所有直线，因此，命题“若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0内无数条直线”正确，SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线SKIPIF1<0可以在平面SKIPIF1<0内，即不能推出SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0内无数条直线”的充分不必要条件.故选：A【典例1-3】（2019·山西·东康一中高二阶段练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【答案】C【详解】对于A，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，故A错误；对于B，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，故B错误；对于C，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故C正确；对于D，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，故D错误.故选：C.【典例1-4】（2022·全国·高二课时练习）直三棱柱SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的中点，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，连接SKIPIF1<0，由题知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点是棱SKIPIF1<0上的中点，根据勾股定理，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.【典例1-5】（2022·湖南岳阳·模拟预测）如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（）A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面【答案】A【详解】解析：原图中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，FH∩EH＝H，又FHSKIPIF1<0平面EFH，EHSKIPIF1<0平面EFH，所以AH⊥△EFH所在平面．故A正确，B错误；由上知，SKIPIF1<0，故D错误；由原图知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不垂直，故C错误.2、平面与平面垂直的判定与性质【典例2-1】（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（文））设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为两个平面，则SKIPIF1<0的充要条件是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平行于同一个平面 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直于同一个平面C．SKIPIF1<0内一条直线垂直于SKIPIF1<0内一条直线 D．SKIPIF1<0内存在一条直线垂直于SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平行于同一个平面时，则SKIPIF1<0，A错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直于同一个平面时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，B错误；SKIPIF1<0内一条直线垂直于SKIPIF1<0内一条直线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，C错误；SKIPIF1<0内一条直线垂直于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，反之也成立，D正确.故选：D．【典例2-2】（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））设m，n，l是三条不同的直线，SKIPIF1<0是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】C【详解】A选项，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可能异面，所以A选项错误.B选项，若SKIPIF1<0，则可能SKIPIF1<0，所以B选项错误.C选项，若SKIPIF1<0，根据面面垂直的判定定理可知SKIPIF1<0，所以C选项正确.D选项，若SKIPIF1<0，则可能SKIPIF1<0，所以D选项错误.故选：C【典例2-3】（2022·贵州·模拟预测（理））如图，在四面体ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC【答案】C【详解】因AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面ABC⊥平面BDE，C正确；在平面SKIPIF1<0内取点P，作SKIPIF1<0，垂足分别为M，N，如图，因平面ABC⊥平面BDE，平面ABCSKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面BDE，则有SKIPIF1<0，若平面ABC⊥平面ABD，同理可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，显然BD与平面SKIPIF1<0不一定垂直，A不正确；过A作SKIPIF1<0边SKIPIF1<0上的高SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边SKIPIF1<0上的高，则SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，而SKIPIF1<0不一定是直角，即平面ABD与平面BDC不一定垂直，B不正确；因SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，SKIPIF1<0不一定是直角，平面ABC与平面ADC不一定垂直，D不正确.故选：C【典例2-4】（2022·江西南昌·一模（理））已知在边长为6的菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0.将四边形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，当折起后得到的几何体SKIPIF1<0的体积最大时，下列说法：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；③平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；④平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】将四边形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折,得到几何体SKIPIF1<0在几何体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0又SKIPIF1<0,所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故②正确.过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0则四棱锥SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是全等的两个四棱锥.由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不垂直，故①不正确三棱柱SKIPIF1<0为直三棱柱.几何体SKIPIF1<0的体积与三棱柱SKIPIF1<0体积相同.三棱柱SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0在直角三角形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0当SKIPIF1<0面积最大值时，几何体SKIPIF1<0的体积最大.当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0面积最大值.由SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;故③正确.若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0则过点SKIPIF1<0有两条直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0垂直，这与过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直相矛盾.所以④不正确.故选：B【典例2-5】（2022·全国·高三专题练习）如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【答案】C【详解】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选：C3、平行、垂直关系的综合应用【典例3-1】（2022·安徽省舒城中学三模（理））设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是不同的直线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是不同的平面，则下面说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】C【详解】A：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0相交，错误；B：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0相交，错误；C：由SKIPIF1<0，则存在直线SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，根据面面垂直的判定易知SKIPIF1<0，正确；D：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，错误.故选：C【典例3-2】（2022·北京·北大附中三模）已知平面SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则下列命题中正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】A【详解】选项A正确，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行；选项B错误，平面SKIPIF1<0和SKIPIF1<0也可以相交；选项C错误，直线SKIPIF1<0可能在平面SKIPIF1<0内；选项D错误，直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0还可能相交或者异面.故选：A.【典例3-3】（2021·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）如图，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为矩形，四边形SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【解析】(1)证明：因为四边形ABEF为矩形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面BCE，SKIPIF1<0平面BCE，所以SKIPIF1<0平面BCE．(2)过C作SKIPIF1<0，垂足为M，因为SKIPIF1<0，所以四边形ADCM为矩形．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面ABCD，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面BCE，SKIPIF1<0平面BCE，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面BCE，又SKIPIF1<0平面ACF，所以平面SKIPIF1<0平面BCE．【典例3-4】（2022·江西南昌·高二期中（理））两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，过M作SKIPIF1<0于H，求证：(1)平面SKIPIF1<0平面BCE；(2)SKIPIF1<0平面BCE.【解析】(1)在正方形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0