新高考数学一轮复习 讲与练第22讲 空间中的平行关系（解析版）

第22讲空间中的平行关系学校____________姓名____________班级____________一、知识梳理1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行如果l⊄α，m⊂α，l∥m，则l∥α性质定理一条直线和一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，则这条直线就与两平面的交线平行如果l∥α，l⊂β，α∩β＝m，则l∥m2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义如果平面α与平面β没有公共点，则α∥β.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行如果l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅，l∥β，m∥β，则α∥β性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行如果α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，则m∥l考点和典型例题1、直线与平面平行【典例1-1】已知a，b是两条不重合的直线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则a与b是异面直线C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则a，b一定相交【答案】C【详解】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，A错误；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则a与b平行或a与b是异面直线，B错误；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由面面平行的性质可得：存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，由线面平行的判定可得SKIPIF1<0，C正确；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则a，b相交或平行，D错误.故选：C【典例1-2】如图，正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则下列说法正确的是（

）A．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0异面，直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交，直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】A【详解】连接SKIPIF1<0；由正方体的性质可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直；由正方体的性质可知SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故A正确；以SKIPIF1<0为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，SKIPIF1<0显然直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0不平行，故B不正确；直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0异面正确，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不垂直，故C不正确；直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0异面，不相交，故D不正确；故选：A.【典例1-3】已知m，n为两条不同的直线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（

）A．若m//SKIPIF1<0，m//n，则n//SKIPIF1<0 B．若m//SKIPIF1<0，n//SKIPIF1<0，则m//nC．若m//SKIPIF1<0，nSKIPIF1<0SKIPIF1<0，则m//n D．若m//SKIPIF1<0，mSKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝n，则m//n【答案】D【详解】如图，长方体SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0视为平面SKIPIF1<0，对于A，直线AB视为m，直线SKIPIF1<0视为n，满足m//SKIPIF1<0，m//n，而SKIPIF1<0，A不正确；对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//SKIPIF1<0，n//SKIPIF1<0，而m与n相交，B不正确；对于C，直线AB视为m，直线SKIPIF1<0视为n，满足m//SKIPIF1<0，nSKIPIF1<0SKIPIF1<0，显然m与n是异面直线，C不正确；对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.故选：D【典例1-4】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空间两个不同的平面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（

）A．SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0内的不共线三点SKIPIF1<0到平面β的距离相等，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行【答案】D【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选项A错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选项B错误；当平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0相交时，可以在平面SKIPIF1<0内找到不共线三点SKIPIF1<0到平面β的距离相等，故选项C错误；如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，故选项D正确.故选：D.【典例1-5】如图，在下列四个正方体中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为正方体的两个顶点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线SKIPIF1<0不平行于平面SKIPIF1<0的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A选项，连接SKIPIF1<0，如下图所示：因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；对于B选项，连接SKIPIF1<0，如下图所示：因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；对于C选项，连接SKIPIF1<0，如下图所示：因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；对于D选项，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0内，过该平面内的点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的平行线，有且只有一条，与题设矛盾.假设不成立，故D选项中的直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不平行.2、平面与平面平行【典例2-1】已知直线l，m和平面、，下列命题正确的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】D【详解】A：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，错误；B：若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0相交；若SKIPIF1<0相交时，SKIPIF1<0，错误；C：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平行、相交、重合都有可能，错误；D：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据面面平行的判定知：SKIPIF1<0，正确.故选：D【典例2-2】设m，n是不同的直线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】D【详解】A选项，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，或m，n相交或m，n异面，A错误；B选项，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交，B错误；C选项，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，C错误；D选项，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，D正确.故选：D【典例2-3】在正方体SKIPIF1<0中，下列四对截面彼此平行的是（

）A．平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0 D．平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0【答案】A【详解】如图，正方体SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.故选：A【典例2-4】在三棱台SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0内（含边界）的一个动点，且有平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹是（

）A．三角形SKIPIF1<0边界的一部分 B．一个点C．线段的一部分 D．圆的一部分【答案】C【详解】如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0重合，否则没有平面SKIPIF1<0），故选：C．【典例2-5】如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【解析】(1)证明：连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)证明：因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，因此，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.平行关系的综合应用【典例3-1】如图，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为2，则下列四个结论错误的是（

）A．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为异面直线B．SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．三棱锥SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0D．三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为异面直线,故A对.SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故B对.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以三棱锥SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，故C对.SKIPIF1<0,故D错.故选:D【典例3-2】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为不同的直线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为不同的平面，则下列结论正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】C【详解】如图所示：A.若SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0异面，故错误；B.若SKIPIF1<0平面ABCD，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则a，b相交；故错误；C.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由垂直同一直线的两个平面平行，则SKIPIF1<0，故正确；D.若SKIPIF1<0平面ABCD，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故错误；故选：C【典例3-3】如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点F为棱CD的中点，与E，F相异的动点P在棱EF上.(1)当P为EF的中点时，证明：SKIPIF1<0平面ADE；(2)设平面EAD与平面EBC的交线为l，是否存在点P使得SKIPIF1<0平面PBD？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)如图，设点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)如图，延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由线面平行的性质可知SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴存在满足条件的点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.【典例3-4】如图，四边形ABCD为长方形，SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0平面PBE；(2)证明：SKIPIF1<0；(3)求三棱锥SKIPIF1<0的体积．【解析】(1)取PB中点SKIPIF1<0，连接FG，EG，因为点E、F分别为AD、PC的中点所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为四边形ABCD为长方形，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四边形DEGF为平行四边形，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0平面PBE，SKIPIF1<0平面PBE，SKIPIF1<0平面PBE(2)由（1）知SKIPIF1<0平面PBE，又SKIPIF1<0平面PDC，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0(3)因为SKIPIF1<0平面ABCD，所以PD为三棱锥SKIPIF1<0的高，所以SKIPIF1<0．【典例3-5】如图所示的几何体中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0