高一年级下册数学人教A版必修第二册第八章立体几何（选择填空）基础综合练习

2020-2021学年度高中数学试卷（基础版）

立体几何初步

考试范围：新人教版第八章；考试时间：120分钟；

第I卷（选择题）

一、单选题

1.在正方体ABC。-A与G。中，M是正方形ABCD的中心，则直线4。与直线

B.M所成角大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.菱形ABCD中，AB=2,ZDAB=12Q0,将DCBZ）沿BO折起，C点变为E点，

当四面体E-A3。的体积最大时，四面体石一ABZ）的外接球的面积为（）

A.20乃B.40〃C.60〃D.80万

3.已知三棱锥4—BCD的所有顶点都在球。的球面上，且A3,平面BCD,AB=2B

AC=A£>=4,CD=2五,则球。的表面积为（）

A.20万B.181C.364D.24万

4.设a,4是两个不同平面，加，〃是两条直线，下列命题中正确的是（）

A.如果m±a.〃〃尸，那么aJ•4

B.如果m_L〃，/w_La,nL（3,那么a///?

C.如果加〃八，m±«,n工。,那么a〃/?

D.如果a〃6，”与a所成的角和〃与月所成的角相等，那么加〃〃

5.棱长为4的正方体的内切球的表面积为（）

A.4不B.12万C.16〃D.20乃

6.已知两个平面相互垂直，下列命题

口一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线

口一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线

口一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面

口过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

其中正确命题个数是（）

A.1B.2C.3D.4

7.如图，在棱长为1的正方体ABC。一中，尸为线段上的动点，下列说

法不正确的是（）

A.对任意点P,。尸//平面

B.三棱锥P—4OA的体积为，

6

C.线段DP长度的最小值为逅

2

TT

D.存在点P,使得。P与平面A£）AA所成角的大小为§

8.已知三棱锥产一ABC，面RtB上面ABC,PA=PB=4,AB=40，ZACB=90°，

则三棱锥P-ABC外接球的表面积（）

A.20）B.32万C.647rD.80%

9.设匕，C表示两条直线，。，夕表示两个平面，则下列命题正确的是（）

A.若Z?//a,.cua,则/?//c

B.若bua,bile,则cua

C.若c//a，a，/3,则c_L4

D.若c//a，cL（3,则

10.如图所示，如？是口。的直径，以垂直于匚。所在的平面，点C是圆周上不同于4

8的任意一点，M,N分别为E4,-C的中点，则下列结论正确的是（)

A.MN//ABB.MN与8C所成的角为45。

C.OC_L平面VACD.平面E4C_L平面VBC

第II卷（非选择题）

二、解答题

11.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，底面A8CD.

（1）求证：AC_L平面尸8。；

（2）若PD=2,直线依与平面ABC。所成的角为45。，求四棱锥P—ABC。的体

积.

12.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面A8CD为正方形，E为侧棱PC的中点.

（1）求证：经过A、B、E三点的截面平分侧棱P£＞；

（2）若B4_L底面A3CO,且R4=AD=2,求四面体ABEP的体积.

13.如图，在直三棱柱ABC-AIBICI中，D,E分别为AB,BC的中点，点F在侧棱BiB

上，且瓦.

求证：(1)直线DE□平面AiCiF；

(2)平面BiDE1平面AiCiF.

14.如图，在三棱柱ABC—44a中，BCi^cq,点、E，尸分别是BC,AB1的

中点，平面AGC4，平面BCQB,.

(1)求证：耳C|_LA。；

(2)求证：EF〃平面AGCA.

15.如图，在四棱锥P/8CD中，底面/8C。为正方形，侧面以。是正三角形，侧面

24QJ_底面/8c。，M是的中点.

(1)求证：AM，平面「CD；

(2)求侧面尸8c与底面/8CZ)所成二面角的余弦值.

三、填空题

16.在正三棱锥S-45C中，AB=3C=C4=6,点。是M的中点，若S3LCD,

则该三棱锥外接球的表面积为.

17.已知三棱锥0-A8C中，A6,C三点在以。为球心的球面上，若A3=3C=2,

NABC=120°，且三棱锥0-ABC的体积为G，则球。的表面积为.

18.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E,F分别是AB和AAi的中点，则下列命题:

□E,C,D”F四点共面；

□CE,DiF,DA三线共点；DEF和BDi所成的角为90。；匚平面CDiE.其中正确

的是（填序号）.

19.如图，在正方体山iGDi中，E,尸依次是49和的中点，则异面

直线AE与C厂所成角的余弦值为.

20.在长方体ABC。-中，AB=5,BC=4,AA,=3,则这个长方体的体对

角线长为，其外接球的表面积是

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参考答案

1.A

【分析】

如图，连接BC，MC,MB,利用余弦定理可求的值，从而可得直线AQ与直

线片M所成角大小.

【详解】

设正方体的棱长为2"，连接gC,MC,MB,

因为4C//A。，故或其补角为直线4。与直线所成角.

而4c=20"，MC=屑‘B】M=J452+BM2="L+2a2=a,

故耳。2=用”2+。”2,所以

2.A

【分析】

根据题意，当平面平面加时，此时的体积取得最大值，且C为

的外心，过点。作平面河的垂线/,设/存在点。点，使得OE=OA=OB=OD,利用

球的性质，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.

【详解】

由题意，三棱锥E-A3。的底面△ABD的面积为定值，当平面平面/WD时，此

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新人教版必修二数学第八章基础综合练习参考答案

时点E到底面A3。的距离最大，此时三棱锥E—ABO的体积取得最大值，

因为四边形ABC。为菱形，且ND43=12()°,连接AC交区0与点A/，

可得C£)=C4=CB,所以。为△A3。的外心，

过点C作平面ABD的垂线/,可得/上点到AB,D三点的距离相等，

设I存在点。点，使得QE==。3=OD,即点0为三棱锥E-ABD的外接球的球心,

设OC=x,可得AC?+0C2=皿2+(6"+。。)2,

即4+f=l+(x+l)2,解得x=l,

所以外接球的半径为r=JAC2+OC2=722+12=6，

所以外接球的表面积为S=4兀产=4万x(石尸=2()乃.

【点睛】

解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，

其解题思维流程：

(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接

点的距离相等且为半径；

(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元

素以及体现这些元素间的关系)，达到空间问题平面化的目的；

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.

3.A

【分析】

根据平面8CD得到ABL3C,AB.LBDf再由AB=2g，AC=AD=4,

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新人教版必修二数学第八章基础综合练习参考答案

CD=2五,得到则三棱锥A-BCD截取于一个长方体，然后由长方体的外

接球即为三棱锥的外接球求解.

【详解】

因为ABJ_平面BCD,

所以AB_LBC,AB±BD，

匚BC=BD=j42-Q6)2=2,

在△BC。中，CD=2叵,

0CD2=BC2+BD2，

UBCLBD.

如图所示：

三棱锥A-BCD的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球，

设球。的半径为R,则2H=。BA1+BC2+BD)=7(2\/3)2+22+22=2后，

解得R=布,

所以球。的表面积为2Sr,

故选：A.

4.C

【分析】

A.由加_L〃，mla,得到〃〃a或九ua,再利用平行于同一直线的两平面的位置关系判

断；B.由加，“，mla,得到M/a或〃ua,再利用面面垂直的判定定理判断；C.由

mlIn,mVa,得到“_L。，再利用垂直于同一直线的两平面平行判断；D.利用空间直线

的位置关系判断.

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新人教版必修二数学第八章基础综合练习参考答案

【详解】

A.因为〃?_!_〃，mVay所以〃〃a或〃ua,又"〃/7,则a,/位置不确定，故错误；

B.因为〃所以“〃a或〃ua,又〃_!_，，所以a_L/，故错误；

C.因为〃?//〃，〃z_La,所以〃_La,又〃_L尸，所以a〃力，故正确；

D.如果a〃2，阳与a所成的角和“与夕所成的角相等，那么小//〃，相交或异面，故错误.

故选：C

5.C

【分析】

由正方体的内切球直径为正方体棱长，直接求解.

【详解】

由球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径，

得2r=4，r=2，故表面积为5=4%产=16万，

故选：C.

【点睛】

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接

点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为

正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球

面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

6.A

【分析】

利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对口、匚、口、口四个

选项逐一判断，即可得到答案.

【详解】

由题意，对于口，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平

面内的任意一条直线，故U错误；

对于口,设平面aCl平面。=m,na,hP，

□平面a□平面p,□当10m时，必有10a,而nla,DlDn,

而在平面B内与1平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必

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新人教版必修二数学第八章基础综合练习参考答案

垂直于另一个平面内的无数条直线，即口正确；

对于口，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故[错

误；

对于口，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平

面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故口错误；

故选A.

【点睛】

本题考查命题的真假判断与应用，着重考查面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平

面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题.

7.D

【分析】

连接08,证得平面。BCJ/平面4用3,可判定A正确；根据%一人叫=%一4四，可判

定B正确；当点P为线段BQ的中点时，求得线段。P的长度最小值，可判定C正确；求

得。P与平面AO24所成角的正切值的取值范围，可判定D错误.

【详解】

连接DB，由84//。。且BB[=DD、,

可得四边形B。。片为平行四边形，所以DB//RB-

又由350平面且。与u平面所以BD//平面,

同理可得。G〃平面ABQi,又BDcDC]=D,可得平面。//平面,

所以对于任意点PeBCi，则OP//平面A耳A，所以A正确；

=XX1X1X1=

由匕=VC「A眄326,所以B正确:

当点P为线段的中点时，可得。P人BC-

此时线段。尸的长度最小，最小值为+（*）2=乎

，所以C正确;

当点p在线段BG上运动时，OP长度的最小值为立，

最大值为0,

2

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新人教版必修二数学第八章基础综合练习参考答案

又由PC长度的取值范围为[芋,1],而点P到平面A。。A的距离为定值1，

因为平面ADD,4//平面BCC,男，

所以DP与平面AO24所成角与。尸与平面8CG4所成角相等，

又由OC_L平面BCQBi,可得在平面BCCM射影为PC,

所以。尸在平面BCQBi所成角的正切值为tan^=—e[—,1]，

CP2

即OP与平面ADD14所成角的正切值的取值范围为

其最大值小于G,则不存在点P使得0P与平面AORA所成角的大小为?，

所以D错误.

故选：D.

【点睛】

1、对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解；

2、等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一

种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.

3、求解直线与平面所成角时，根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度

比求得线面角的正弦值.

8.C

【分析】

作出图形，取A3的中点。，连接P。、CD,推导出PDJ_平面ABC,可知球心。在直

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新人教版必修二数学第八章基础综合练习参考答案

线PZ）上，然后在R/EQ4£＞中由勾股定理可求得外接球的半径R,则外接球的表面积可求.

【详解】

如下图所示，取A3的中点。，连接PD、CD,

,.•PA=PB=4,。为AB的中点，.-.PD1AB，

•••平面Q4B_L平面A8C,交线为AB，PDu平面A8C,

PD±平面ABC,vZACB=90°,」•D为R1TABC外接圆圆心，

则球心0在直线PD上,设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,

则0£）=|我一2|,...A8=4G，则40=2』，PD7P笛-AD?=2，

在R1DOAD中，由勾股定理得。兴=OD2+ADit

即R2=（R-2）2+12,解得R=4,

因此，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4万夫2=64万.

故选：C.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解答的关键在于找出球心的位置，并通过列等式计算

球的半径，考查计算能力，属于中等题.

9.D

【分析】

利用线面平行的位置关系可判断A；根据线面之间的位置关系可判断B、C；利用面面垂直

的判定定理可判断D.

【详解】

N错，□线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面，

B错，口与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行，

C错，U两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；

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新人教版必修二数学第八重基础综合练习参考答案

。对，匚线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直，

故选：D.

10.D

【分析】

由中位线性质，平移异面直线即可判断不与48平行，根据异面直线平面角知与

8c所成的角为90。，应用反证知OC不与平面%1C垂直，由面面垂直的判定知面以C_L面

VBC,即可知正确选项.

【详解】

M,N分别为〃，W的中点，在ULAC中有"N//AC,

在面ABC中ABcAC=A,MV不与力8平行；

ACC\BC^C,知：MN与8c所成的角为N6C4=90°；

因为OCc面L4C=C,OC与平面内交线AC,VC都不垂直，OC不与平面K4C垂直；

由以，面ABC,BCu面ABC即而404=90。知AC1BC,

4。＜^"4=4有8。1.面忆4。，又BCu面VBC，所以面VAC_L面VBC；

故选：D

【点睛】

本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于

基础题.

11.(1)证明见解析；(2)逑

3

【分析】

(1)通过ACCBD与PD匚4c可得AC_L平面PBD；

(2)由题先得出口尸8。是直线尸8与平面N8CZ)所成的角，即匚尸8。=45。，则可先求出菱形

Z8C。的面积，进而可得四棱锥尸的体积.

【详解】

解：(1)因为四边形是菱形，所以/。口8口，

又因为尸。口平面48c0,ACu平面N8CZ),

所以PO」/C,又PDcBD=D,

故ZCI平面PBD-.

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新人教版必修二数学第八堂基础综合练习参考答案

（2）因为PD匚平面N8C。，

所以口？8。是直线PB与平面ABCD所成的角，

于是

因此BD=PD=2.又AB=AD=2,

所以菱形ABCD的面积为S=ABAD-sin60°=2G，

故四棱锥尸”8CD的体积丫=15-尸。=拽.

33

2

12.（1）证明见解析；（2）

3

【分析】

（1）设截面ME与侧棱PD交于点尸，连结瓦证明CD//E尸.即得尸为PO的

中点，即截面AflE平分侧棱PD；

（2）取依中点“，连EH，证明平面7^3，即得解.

【详解】

（1）

证明：设截面A5E与侧棱PZ）交于点F，连结EEAE.

因为底面ABC。为矩形，所以AB//C。.

又平面PCD,且COu平面PCD，

所以AB//平面PCD.

又平面ABE,且平面ABED平面PCD=防，

所以AB//EF.

又因为AB//CD,所以CD//EF.

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新人教版必修二数学第八章）基础综合练习参考答案

因为E为PC的中点，所以F为PO的中点，即截面ABE平分侧棱PD.

（2）

•.•Q4_L平面ABC。，8c1平面A8CO,

：.BC±PA,又3c

.,.8C_L平面Q4B.

取心中点”，连EH,

是PC中点，

..EH//BC,即E"=l且平面RW,

又E/DP45的面积S=-PAAB=2.

2

12

•••四面体的体积V=VE_PAB=]SEH=].

【点睛】

方法点睛：求几何体的体积常用的方法有：（1）规则的公式法；（2）不规则的割补法；（3）

等体积法.要根据已知条件灵活选择方法求解.

13.（1）详见解析（2）详见解析

【详解】

试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何

的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，

而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理.

试题解析：证明：（1）在直三棱柱A5C—4月加中，A,C,□AC,

在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点，

所以。£口4。，于是。EUAG，

答案第10页，总17页

新人教版必修二数学第八章基础综合练习参考答案

又因为DE6平面AGEAGU平面AC/，

所以直线DE〃平面AGR.

(2)在直三棱柱中，A4,_L平面A4cl

因为ACu平面4耳G，所以AA_LAG，

5

又因为AG-LA11MU平面43旦4,4与u平面cA4t=A，

所以AG工平面ABB14.

因为BQu平面,所以AGJ_3Q.

又因为51£>_L4/，AGu平面AGEA/U平面A£F，AGc4F=4,

所以与。上平面4£口.

因为直线4Du平面用£>E,所以平面耳。E_L平面AGE

【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系

【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面

平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线

垂直，需转化为证明线面垂直；(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证

明线线垂直.

14.(1)见解析；(2)见解析

【分析】

(1)根据平面A£CAJ_平面BCC4,可得耳GJ•平面ACGA,可得结果.

(2)取AC的中点G,根据ECHFG,且EC=FG,可得平行四边形正CG是平行四

边形，然后根据EF〃GC,以及线面平行的判定定理，可得结果.

【详解】

(1)因为4G，c。，平面A0CA，平面BCGg,

平面AGC4C平面BCC}B}=C,C,

qGU平面8CG4,则，平面ACC,4.

答案第11页，总17页

新人教版必修二数学第八章基础综合练习参考答案

又因为ACu平面AC。，

所以与£_L4C.

(2)取AC的中点G,连接FG,GC.

在△AgG中，因为尸，G分别是44，AC的中点，

所以FG//B©,且/G=；4G.

在平行四边形BCC4中，因为E是BC的中点，

所以EC〃用G，且EC=g4G，

所以EC//FG,且EC=FG

在平行四边形FECG是平行四边形，

所以EF〃GC.

又因为平面AGCA,GCu平面ACCA,

所以石尸〃平面4CCA.

【点睛】

本题考查面面垂直的性质定理，以及线面平行的判定，属基础题.

15.(1)见解析；(2)冬红

7

【分析】

(1)在正方形N8CQ中，证得再在△%£＞中得到AWL/Y),利用线面垂

直的判定，即可得到A"_L平面P8；

(2)取力。，8c的中点分别为E,F,连接ERPE,PF,证得NP庄是侧面P8C与底面

45CD所成二面角的平面角，再直角APT/中，即可求得侧面尸8c与底面所成二面

答案第12页，总17页

新人教版必修二数学第八章基础综合练习参考答案

角的余弦值.

【详解】

(1)在正方形中，CDLAD,

又侧面PAD_L底面ABCD,侧面PAD。底面ABCD=AD,

所以CC平面以。，

♦.•4〃(=平面用。，所以CD_LAM,

QVQ4O是正三角形，M是尸。的中点，所以AMJ_77),

又CZ)nPD=。，所以AM_L平面PCD

(2)取8c的中点分别为£,F,连接EF,PE,PF,

则EF=CD,EF//CD,所以EE_LAD,

又在正△E4Z)中，PE±AD，•.•£FcPE=E,.・.AO_L平面尸所，

□正方形/8C。中，AO//BC".BCJ_平面PER

NPEE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，

由CDJ•平面以。，EF//CD，：.EF工平面PEF,QPEu平面均。,

EF±PE.设正方形ABCD的边长4。=2。，则EF=2a,PE=43a,

所以PF=NPE2+EF?=5a，所以cosNPFE=r^=^~,

即侧面PBC与底面48CZ)所成二面角的余弦值为名且.

【点睛】

本题主要考查了线面垂直的判定与证明，以及两个平面所成角的求解，其中解答中熟练应用

线面位置关系的判定定理与性质定理，以及熟记二面角的平面角的概念，确定出二面角的平

面角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

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新人教版必修二数学第八章基础综合练习参考答案

16.54)

【分析】

通过线面垂直的判定定理和性质可得出SA，SB,SC两两垂直，则可求出外接球的半径,

进而求出球的表面积.

【详解】

设口45c的中心为G，连接SG,BG,匚SG_L平面A8C,

•.♦ACu面ABC,0SG1AC,

又ACLBG,BGcSG=G,口4。,平面S3G,

•.•SBu平面SBG，UACYSB,

又SBLCD,ACC\CD=C,L1S3_L平面ACS.

□5—ABC为正三棱锥，匚&4,SB,SC两两垂直，

:.SA=SB=SC=3®，

故外接球直径为3⑹2+(3何+(3何=3屈,

故三棱锥S—A6c外接球的表面积为4%x(乎)=547.

故答案为：54〃.

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球问题，解题的关键是通过线面垂直的判定定理和性质可得出SA,

SB,SC两两垂直，即可求出半径.

17.52万

答案第14页，总17页

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【分析】

利用面积公式求出口ABC的面积，再利用余弦定理求出AC的长度，利用正弦定理求出

□A6C的外接圆半径，根据勾股定理求出球的半径，由球的表面积公式即可求解.

【详解】

□AJ9c的面积SABc=gx2x2sinl20°=6,

设球心。到平面ABC的距离为h,

则％-布=；5做〃=36人=石，解得〃=3，

在DABC中，由余弦定理

AC2=AB2+BC2-2AB•8Ccos120°=8+4=12，

AC=2