2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测八第一章集合与常用逻辑用语1.5.1全称量词与存在量词含解析新人教A版必修第一册

PAGE课时素养检测八全称量词与存在量词(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)下列四个命题中是假命题的为 ()A.存在x∈Z,1<4x<3B.存在x∈Z,5x+1=0C.随意x∈R,x2-1=0D.随意x∈R,x2+x+2>0【解析】选ABC.选项A中,QUOTE<x<QUOTE且x∈Z,不成立;选项B中,x=-QUOTE,与x∈Z冲突;选项C中,x≠±1时,x2-1≠0;选项D正确.2.下列是全称量词命题并且是真命题的是 ()A.∀x∈R,x2>0 B.∀x,y∈R,x2+y2>0C.∀x∈Q,x2∈Q D.∃x∈Z,x2>1【解析】选C.首先D项是存在量词命题,不符合要求;A项不是真命题,因为当x=0时,x2=0;B项也不是真命题,因为当x=y=0时,x2+y2=0;只有C项是真命题,同时也是全称量词命题.3.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c.若x0满意关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是 ()A.∃x∈R,f(x)≤f(x0) B.∃x∈R,f(x)≥f(x0)C.∀x∈R,f(x)≤f(x0) D.∀x∈R,f(x)≥f(x0)【解析】选C.由题知:x0=-QUOTE为函数f(x)图象的对称轴方程,所以f(x0)为函数的最小值,即对全部的实数x,都有f(x)≥f(x0),因此∀x∈R,f(x)≤f(x0)是错误的.4.给出四个命题:①末位数字是偶数的整数能被2整除;②有的菱形是正方形;③存在实数x,使x>0;④对于随意实数x,2x+1都是奇数.下列说法正确的是()A.四个命题都是真命题 B.①②是全称量词命题C.②③是存在量词命题 D.四个命题中有两个假命题【解析】选C.①④为全称量词命题;②③为存在量词命题;①②③为真命题;④为假命题.5.下列说法中,正确的个数是 ()①存在一个实数,使-2x2+x-4=0;②全部的质数都是奇数;③在同一平面中斜率相等且不重合的两条直线都平行;④至少存在一个正整数,能被5和7整除.A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①方程-2x2+x-4=0无实根;②2是质数,但不是奇数;③④正确.6.已知a>0,则“x0满意关于x的方程ax=b”的充要条件是 ()A.∃x∈R,QUOTEax2-bx≥QUOTEaQUOTE-bx0B.∃x∈R,QUOTEax2-bx≤QUOTEaQUOTE-bx0C.∀x∈R,QUOTEax2-bx≥QUOTEaQUOTE-bx0D.∀x∈R,QUOTEax2-bx≤QUOTEaQUOTE-bx0【解析】选C.由于a>0,令函数y=QUOTEax2-bx=QUOTE-QUOTE,故此函数图象的开口向上,且当x=QUOTE时,取得y=-QUOTE,且y=QUOTEax2-bx≥-QUOTE,而x0满意关于x的方程ax=b,那么x0=QUOTE,故∀x∈R,QUOTEax2-bx≥QUOTEaQUOTE-bx0.二、填空题(每小题5分,共10分)7.下列命题中全称量词命题是________;存在量词命题是________.

①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.【解析】①②③是全称量词命题,④是存在量词命题.答案:①②③④8.已知命题“∃x∈R,2x2+(a-1)x+QUOTE≤0”是假命题,则实数a的取值范围是________.

【解析】由题意可得“对∀x∈R,2x2+(a-1)x+QUOTE>0恒成立”是真命题,令Δ=(a-1)2-4<0得-1<a<3.答案:QUOTE【补偿训练】若“对随意x∈R,ax2-2ax-1<0”为真命题,则实数a的取值范围是________.

【解析】依题意,问题等价于对随意x∈R,ax2-2ax-1<0恒成立.当a=0时,不等式明显成立;当a≠0时,有Δ=4a2+4a<0且a<0,解得-1<a<0,故实数a的取值范围是QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题,并推断真假.(1)肯定有实数x能使2x2+x+2=0成立.(2)对全部实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解.(3)肯定有整数x,y,使得3x-2y=10成立.(4)全部的有理数x都能使QUOTEx2+QUOTEx+1是有理数.【解析】(1)∃x∈R,2x2+x+2=0;假命题.(2)∀a,b∈R,ax+b=0恰有一解;假命题.如当a=0,b=0时,该方程的解有多数个.(3)∃x,y∈Z,3x-2y=10;真命题.(4)∀x∈Q,QUOTEx2+QUOTEx+1是有理数;真命题.10.若命题“∃x∈R