山东省青岛市2025届高三数学自主检测试题含解析

PAGE27-山东省青岛市2025届高三数学自主检测试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用复数的四则运算得到，从而得到复数对应的点，故可得正确的选项.【详解】，复数z在复平面上对应的点为，该点在其次象限，故复数z在复平面上对应的点所在的象限为其次象限，故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算以及复数的几何意义，留意复数的除法是分子分母同乘以分母的共轭复数，本题属于基础题.2.已知全集，集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合M，N，依据集合的交集、补集运算求解即可.【详解】,,,,故选：A【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，考查了一元二次不等式，余弦函数，属于简洁题.3.如图是一个列联表，则表中、处的值分别为（）总计总计A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】【分析】依据表格中的数据可先求出、的值，再结合总数为可分别求得和的值.【详解】由表格中的数据可得，，，.故选：B.【点睛】本题考查列联表的完善，考查计算实力，属于基础题.4.若直线，．，与平行，则下列选项中正确的（）A.p是q的必要非充分条件 B.q是p的充分非必要条件C.p是q的充分非必要条件 D.q是p的非充分也非必要条件【答案】C【解析】【分析】依据与平行，得到或，再依据集合的关系推断充分性和必要性得解.【详解】因为与平行，所以或.经检验，当或时，两直线平行.设，或，因为,所以p是q的充分非必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查两直线平行应用，考查充分必要条件的推断，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.5.在中，假如，那么的形态为（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形【答案】A【解析】【分析】结合以及两角和与差的余弦公式，可将原不等式化简为，即，又，，所以与一正一负，故而得解.【详解】解：，，，即与异号，又，，与一正一负，为钝角三角形．故选：A.【点睛】本题考查三角形形态的推断，涉及到三角形内角和、两角和与差的余弦公式，考查学生的逻辑推理实力和运算实力，属于基础题.6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的诞生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的祥瑞物各一个，已知甲同学喜爱牛、马和猴，乙同学喜爱牛、狗和羊，丙同学全部的祥瑞物都喜爱，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜爱的，则不同的选法有（）A.50种 B.60种 C.80种 D.90种【答案】C【解析】【分析】依据题意，按甲的选择不同分成2种状况探讨，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种状况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案.【详解】解：依据题意，按甲的选择不同分成2种状况探讨：若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法；若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法；则一共有种选法.故选：C.【点睛】本题考查分步乘法和分类加法的计数原理的应用，属于基础题.7.在三棱柱中，，侧棱底面ABC，若该三棱柱的全部顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】设三棱柱的上、下底面中心分别为、，则的中点为，设球的半径为，则，设，，在△中，依据勾股定理和基本不等式求出的最小值为，结合已知可得，从而可得侧面积.【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为、，则的中点为，设球的半径为，则，设，，则，，则在△中，，当且仅当时，等号成立，所以，所以，所以，所以该三棱柱的侧面积为.故选：B.【点睛】本题考查了球的表面积公式，基本不等式求最值，考查了求三棱柱的侧面积，属于基础题.8.已知函数，若函数有13个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题可知，设，且恒过定点，转化为函数与函数的图象有13个交点，画出函数与函数的图象，利用数形结合法，即可求出的取值范围.【详解】解：由题可知，函数有13个零点，令，有，设，可知恒过定点，画出函数，的图象，如图所示：则函数与函数的图象有13个交点，由图象可得：，则，即，解得：，，.故选：D.【点睛】本题考查将函数零点的个数转化为函数图象交点问题，从而求参数的范围，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（）A. B.1 C. D.2【答案】ABC【解析】【分析】依据图象平移求得函数的解析式，再利用函数的单调性列出不等式求得的取值范围，即可求解.【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则满意，解得，所以实数的可能的取值为.故选：ABC.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与运算实力，属于基础题.10.在悠久绚丽的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标记性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从其次天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从其次天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若这一个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列、，下列选项中正确的为（）A. B.是等比数列 C. D.【答案】BD【解析】【分析】由题意可知，数列为等差数列，求出数列的公差，可得出数列的通项公式，利用等比数列的定义推断出数列是等比数列，然后利用数列的通项公式即可推断出各选项的正误.【详解】由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，，由题意可得，解得，，，（非零常数），则数列等比数列，B选项正确；，，，A选项错误；，，C选项错误；，，所以，，D选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合问题，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算实力，属于中等题.11.已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（）A. B.3 C. D.【答案】AC【解析】【分析】依据题意，得出的导数，可令切点的横坐标为，求得切线的斜率，由题意可得关于的方程有两个不等的正根，考虑判别式大于0，且两根之和大于0，两根之积大于0，计算可得的范围，即可得答案.【详解】解：由题可知，，则，可令切点的横坐标为，且，可得切线斜率，由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，且可知，则，即，解得：，的取值可能为，.故选：AC.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及依据一元二次方程根的分布求参数范围，考查转化思想和运算实力.12.在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的为（）A.若点P总满意，则动点P的轨迹是一条直线B.若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆C.若点P到直线的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆D.若点P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线【答案】ABD【解析】【分析】A.依据平面，推断点的轨迹；B.依据平面与球相交的性质，推断选项；C.由条件可转化为，依据椭圆的定义推断；D.由条件建立坐标系，求点的轨迹方程，推断轨迹是否是双曲线.【详解】A.在正方体中，平面，所以，所以平面，平面，所以，同理，所以平面，而点P在侧面所在的平面上运动，且，所以点的轨迹就是直线，故A正确；B.点的轨迹是以为球心，半径为的球面与平面的交线，即点的轨迹为小圆，设小圆的半径为，球心到平面的距离为1，则，所以小圆周长，故B正确；C.点P到直线AB的距离就是点到点的距离，即平面内的点满意，即满意条件的点的轨迹就是线段，不是椭圆，故C不正确；D.如图，过分别做于点，于点，则平面，所以，过做，连结，，所以平面，所以，如图建立平面直角坐标系，设，，则，，即，整理为：，则动点的轨迹是双曲线，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题，截面的形态推断，重点考查空间想象实力，逻辑推理，计算实力，属于中档题型.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】依据题意，由椭圆的标准方程的特点，结合已知条件列出不等式，求解即可得出实数的取值范围.【详解】解：由题可知，方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得：，所以实数的取值范围为：.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的特点，是基础学问的考查，属于基础题.14.已知定义在的偶函数在单调递减，，若，则x的取值范围________．【答案】【解析】【分析】由题意结合偶函数的性质可得，再由函数的单调性即可得，即可得解.【详解】因为为偶函数，，所以，又在单调递减，，所以，解得.所以x的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了运算求解实力与逻辑推理实力，属于基础题.15.若，则（1）________；（2）________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）化简二项式为，利用通项，求得，再令，求得，即可求解；（2）令，求得，依据和（1）中，即可求解.【详解】（1）由题意，可化为，由，可得，令，即时，可得，所以.（2）令，则，则，由（1）可得，所以.【点睛】本题主要考查了二项绽开式的应用，以及导数四则运算的应用，其中解答中精确赋值，以及利用导数的运算合理构造是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的实力，属于中档试题.16.已知，是平面上不共线的两个向量，向量与，共面，若，，与的夹角为，且，，则________．【答案】【解析】分析】设，由已知，可得，，从而可求出，则，即可求出模长.【详解】解：设，因为与的夹角为，所以，则，，解得，则，故答案为:.【点睛】本题考查了向量的数量积运算，考查了平面对量基本定理，考查了向量模的求解.本题的难点是用已知表示.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在直角梯形中，，，，，，点是线段的中点，将，分别沿，向上折起，使，重合于点，得到三棱锥．试在三棱锥中，（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）依据勾股定理的逆定理，得出，而，依据线面垂直的判定定理证出平面，最终利用面面垂直的判定定理，即可证明平面平面；（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，依据空间坐标的运算可得出和平面的法向量，利用空间向量法求夹角的公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值．【详解】解：（1）由题知：在直角梯形中，，所以在三棱锥中，，所以，又因为，，所以平面，又因为平面，所以，平面平面.（2）由（1）知：，，又，以为坐标原点，以的方向分别作为轴，轴，轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，所以，，，，设为平面的法向量，，，由，可得，令得：，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的判定定理，考查利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值，考查推理证明实力和运算求解实力.18.已知为等差数列，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且，，中的任何两个数都不在下表的同一列．第一列其次列第三列第一行其次行469第三行1287请从①，②，③的三个条件中选一个填入上表，使满意以上条件的数列存在；并在此存在的数列中，试解答下列两个问题（1）求数列的通项公式；（2）设数列满意，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)分别代入①，②，③，结合已知条件可推断，，，求出数列的公差，即可求出通项公式.(2)由(1)知，当n为偶数时，结合数列的求和的定义求出，由等差数列的求和公式即可求解；当n为奇数时，即可求解.【详解】解：（1）若选择条件①，当第一行第一列为时，由题意知，可能的组合有，不是等差数列，不是等差数列；当第一行其次列为时，由题意知，可能的组合有，不是等差数列，不是等差数列；当第一行第三列为时，由题意知，可能的组合有，不是等差数列，不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满意条件的等差数列都不存在，若选择条件②，则放在第一行其次列，结合条件可知，，，则公差，所以，，若选择条件③，当第一行第一列为时，由题意知，可能的组合有，不是等差数列，不是等差数列；当第一行其次列为时，由题意知，可能的组合有，不是等差数列，不是等差数列；当第一行第三列为时，由题意知，可能的组合有，不是等差数列，不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满意条件的等差数列都不存在，综上可知：，.（2）由（1）知，，所以当n为偶数时，，当n为奇数时，，【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求解，考查了等差数列的求和公式，考查了数列求和.本题的难点是其次问求和时，分状况探讨.19.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）若还同时满意下列四个条件中的三个：①，②，③，④的面积，请指出这三个条件，并说明理由；（2）若，求周长L的取值范围．【答案】（1）①③④，理由见解析；（2）．【解析】【分析】（1）首先条件变形，利用两角差的正弦公式变形，求得，再推断①②不能同时成立，最终依据③④推断能同时成立的第三个条件；（2）首先利用正弦定理边角互化，表示，，再利用三角函数恒等变形表示周长，最终依据角的范围求周长的取值范围.【详解】解：因为所以即所以因为A，B，，所以，即，所以（1）还同时满意条件①③④理由如下：若同时满意条件①②则由正弦定理得，这不行能所以不能同时满意条件①②，所以同时满意条件③④所以的面积所以与②冲突所以还同时满意条件①③④（2）在中，由正弦定理得：因为，所以，所以因为，所以，所以周长L的取值范围为.【点睛】本题考查三角恒等变形，正余弦定理解三角形，重点考查转化与化归的思想，计算实力，逻辑推理实力，属于中档题型.20.某市居民用自然气实行阶梯价格制度，详细见下表：阶梯年用气量（立方米）价格（元/立方米）第一阶梯不超过228的部分3.25其次阶梯超过228而不超过348的部分3.83第三阶梯超过348的部分4.70从该市随机抽取10户（一套住宅为一户）同一年的自然气运用状况，得到统计表如下：居民用气编号12345678910年用气量（立方米）95106112161210227256313325457（1）求一户居民年用气费y（元）关于年用气量x（立方米）的函数关系式；（2）现要在这10户家庭中随意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；（3）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气状况，现从全市中依次抽取10户，其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为，求取最大值时的值．【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为；（3）6．【解析】【分析】（1）由表格中的数据结合题意，即可求得一户居民年用气费y（元）关于年用气量x（立方米）的函数关系式；（2）由题意知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，得到随机变量可取，利用超几何分布求得相应的概率，得到随机变量的分布列，进而求得期望；（3）由，列出不等式组由，求得的值，即可求解.【详解】（1）由题意，当时，；当时，；当时，，所以年用气费y关于年用气量x的函数关系式为.（2）由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为，则可取，则，，，，故随机变量的分布列为：0123P所以.（3）由题意知，由，解得，，所以当时，概率最大，所以.【点睛】本题主要考查了分段函数模型的性质及其应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的求解，着重考查了分析问题和解答问题的实力，属于中档试题.21.已知函数，（其中是自然对数的底数），，．（1）探讨函数单调性；（2）设函数，若对随意的恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）在定义域上单调递增；（2）．【解析】【分析】（1）先求得，利用导数可得恒成立，故可得的单调区间.（2）对随意的恒成立等价于对随意恒成立，就和结合的单调性分类探讨可得对随意恒成立，参变分别后再次利用导数可求的取值范围.【详解】解：（1）因为，所以.令，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以，又因为，，所以，在定义域上单调递增.（2）由得，即，所以，即对随意恒成立，设，则所以，当时，，函数单调递增，且当时，，当时，，若，则，若，因为，且在上单调递增，所以，综上可知，对随意恒成立，即对随意恒成立.设，，则，所以在单调递增，所以，即a的取值范围为．【点睛】本题考查函数的单调性以及含参数的不等式的恒成立，前者利用导数的符号来探讨，后者需