人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案：5 1 2 第2课时 导数的几何意义

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE1第2课时导数的几何意义学习目标1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．导语同学们，经过前两节课的学习，我们经历了从物理中的瞬时变化，到几何中的切线的斜率，再到数学中函数在某点处的导数，不禁会想，我们学习导数的意义何在，其实，之前所学只为今天，今天我们将揭开谜底，一探导数的几何意义．一、导数的几何意义问题1导数f′(x0)的几何意义是什么？〖提示〗我们知道导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况，如下图．容易发现，平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)表示的是割线P0P的斜率，当P点沿着曲线无限趋近于P0点时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线，因此函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)，这就是导数的几何意义．知识梳理函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．例1已知曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．解(1)∵P(2,4)在曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)上，∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为k＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\f(1,3)2＋Δx3＋\f(4,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×23＋\f(4,3))),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋2Δx＋\f(1,3)Δx2))＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)与过点P(2,4)的切线相切于点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))，则切线的斜率为k＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\f(1,3)x0＋Δx3－\f(1,3)x\o\al(3,0),Δx)＝xeq\o\al(2,0)，∴切线方程为y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝xeq\o\al(2,0)·x－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3).∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2xeq\o\al(2,0)－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3)，即xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋4＝0.∴xeq\o\al(3,0)＋xeq\o\al(2,0)－4xeq\o\al(2,0)＋4＝0，∴xeq\o\al(2,0)(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.反思感悟求曲线过某点的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．跟踪训练1求曲线y＝eq\f(1,x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))处的切线方程．解曲线在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))处的切线的斜率为k＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\f(1,2＋Δx)－\f(1,2),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(－1,22＋Δx)＝－eq\f(1,4)，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)(x－2)，即x＋4y－4＝0.二、函数的单调性与导数的关系问题2函数的单调性和导数有什么关系？〖提示〗如图当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线平行于t轴，即h′(t0)＝0，这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0，这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减．当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0，这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减．通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的缓慢．知识梳理若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0；若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快；若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f′x0|越大，说明函数图象变化的越快．例2已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定〖答案〗B〖解析〗由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB)．反思感悟导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．跟踪训练2已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设eq\f(f2－f1,2－1)＝a，则下列不等式正确的是()A．f′(1)<f′(2)<a B．f′(1)<a<f′(2)C．f′(2)<f′(1)<a D．a<f′(1)<f′(2)〖答案〗B〖解析〗由图象可知，函数在区间(0，＋∞)上的增长越来越快，∴f′(1)<f′(2)，∵eq\f(f2－f1,2－1)＝a，∴通过作切线与割线可得f′(1)<a<f′(2)，故选B.三、导函数(导数)问题3以上我们知道，求函数某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？〖提示〗这涉及到函数在任意一点的导数问题，通过f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)可知f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)，这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个确定的数，而是一个函数．知识梳理导函数的定义从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).注意点：(1)f′(x0)是具体的值，是数值．(2)f′(x)是函数，f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数．例3求函数y＝eq\r(x＋1)(x>－1)的导函数．解令f(x)＝eq\r(x＋1)，则f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋Δx))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\r(x＋Δx＋1)－\r(x＋1),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x＋Δx＋1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1)),Δx\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x＋Δx＋1)＋\r(x＋1))))＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(1,\r(x＋Δx＋1)＋\r(x＋1))＝eq\f(1,2\r(x＋1)).反思感悟不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数．若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导．然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导．跟踪训练3已知函数f(x)＝x2－eq\f(1,2)x.求f′(x)．解∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2x·Δx－eq\f(1,2)Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝2x＋Δx－eq\f(1,2).∴f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝2x－eq\f(1,2).1．知识清单：(1)导数的几何意义．(2)函数的单调性与导数的关系．(3)导函数的概念．2．方法归纳：方程思想、数形结合．3．常见误区：切线过某点，这点不一定是切点．1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于()A．4B．－4C．－2D．2〖答案〗D〖解析〗由导数的几何意义知f′(1)＝2.2．已知曲线f(x)＝eq\f(1,2)x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为()A．－2B．－1C．1D．2〖答案〗D〖解析〗∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝eq\f(1,2)(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－eq\f(1,2)x2－x＝x·Δx＋eq\f(1,2)(Δx)2＋Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝x＋eq\f(1,2)Δx＋1，∴f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝x＋1.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.3．曲线f(x)＝eq\f(9,x)在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于()A．45°B．60°C．135°D．120°〖答案〗C〖解析〗f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝9eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝－9eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1,x＋Δxx)＝－eq\f(9,x2)，所以f′(3)＝－1.又切线的倾斜角α的范围为0°