人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册第五章 一元函数的导数及其应用章末复习课

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE1章末复习课一、导数的计算1．此部分内容涉及到导数的几何意义，基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导，作为数形结合的桥梁，导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档．2．通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养．例1(1)已知函数f(x)＝eq\f(lnx,x2)，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)等于()A.eq\f(lnx,x3) B.eq\f(1,x3)C.eq\f(1－lnx,x3) D.eq\f(1－2lnx,x3)〖答案〗D〖解析〗根据题意，知函数f(x)＝eq\f(lnx,x2)，其导函数f′(x)＝eq\f(lnx′·x2－lnx·x2′,x4)＝eq\f(x－2x·lnx,x4)＝eq\f(1－2lnx,x3).(2)设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)＝x·ln(2x－1)，则f′(1)＝________.〖答案〗2〖解析〗因为f(x)＝x·ln(2x－1)，所以f′(x)＝ln(2x－1)＋eq\f(x,2x－1)·(2x－1)′＝ln(2x－1)＋eq\f(2x,2x－1)，则f′(1)＝2.反思感悟导数的运算是解决一切导数问题的基础，熟练掌握基本初等函数的求导法则，掌握函数的和、差、积、商的运算法则，复合函数求导的关键是分清层次，逐层求导，一般我们只解决有两层复合的关系，求导时不要忘了对内层函数求导即可．跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝lnx＋2x2－4x，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为()A．x－y＋3＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y－3＝0 D．x＋y＋3＝0〖答案〗C〖解析〗由f(x)＝lnx＋2x2－4x，得f′(x)＝eq\f(1,x)＋4x－4，所以f′(1)＝1，又f(1)＝－2，所以函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＋2＝1×(x－1)，即x－y－3＝0.(2)已知曲线f(x)＝alnx＋x2在点(1,1)处的切线与直线x＋y＝0平行，则实数a的值为()A．－3B．1C．2D．3〖答案〗A〖解析〗由f(x)＝alnx＋x2，得f′(x)＝eq\f(a,x)＋2x，则曲线在点(1,1)处的切线斜率为k＝a＋2，由切线与直线x＋y＝0平行，可得k＝－1，即a＋2＝－1，解得a＝－3.二、函数的单调性与导数1．利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题，是最近几年高考的重点内容，难度中高档．2．通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．例2已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥eq\f(1,2)x3＋1，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1，由于φ′(x)＝ex＋2>0，故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．(2)由f(x)≥eq\f(1,2)x3＋1得，ex＋ax2－x≥eq\f(1,2)x3＋1，其中x≥0，①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；②当x>0时，分离参数a得，a≥－eq\f(ex－\f(1,2)x3－x－1,x2)，记g(x)＝－eq\f(ex－\f(1,2)x3－x－1,x2)，g′(x)＝－eq\f(x－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,2)x2－x－1)),x3)，令h(x)＝ex－eq\f(1,2)x2－x－1(x≥0)，则h′(x)＝ex－x－1，令t(x)＝h′(x)，x≥0，则t′(x)＝ex－1≥0，故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0，故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0，由h(x)≥0可得ex－eq\f(1,2)x2－x－1≥0恒成立，故当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；因此，g(x)max＝g(2)＝eq\f(7－e2,4)，综上可得，a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7－e2,4)，＋∞)).反思感悟利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的．跟踪训练2设函数f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，则()A．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极大值点B．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点〖答案〗D〖解析〗因为f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，x>0，所以f′(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x)，令f′(x)＝0，即－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－2,x2)＝0，解得x＝2.当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，所以x＝2为f(x)的极小值点．三、与导数有关的综合性问题1．以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间．导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具，多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档．从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在解答题中．其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．一般出现在高考题解答题中，难度中高档．2．通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，解决函数方程问题，提升逻辑推理，直观想象及数学运算等核心素养．例3已知函数f(x)＝－ax2＋lnx(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若存在x∈(1，＋∞)，使f(x)>－a，求a的取值范围．解(1)f′(x)＝－2ax＋eq\f(1,x)＝eq\f(1－2ax2,x)，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,\r(2a))，令f′(x)>0，得x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,\r(2a))))；令f′(x)<0，得x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2a))，＋∞))，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,\r(2a))))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2a))，＋∞))上单调递减．(2)由f(x)>－a，得a(x2－1)－lnx<0，因为x∈(1，＋∞)，所以－lnx<0，x2－1>0，当a≤0时，a(x2－1)－lnx<0，符合题意；当a≥eq\f(1,2)时，设g(x)＝a(x2－1)－lnx(x>1)，则g′(x)＝eq\f(2ax2－1,x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)>g(1)＝0，不符合题意；当0<a<eq\f(1,2)时，令g′(x)>0，得x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2a))，＋∞))，令g′(x)<0，得x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,\r(2a))))，所以g(x)min＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2a))))<g(1)＝0，则存在x∈(1，＋∞)，使g(x)<0，综上，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).反思感悟综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学中的思想方法，关键是分类讨论时，是否做到了不重不漏；数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势；构造函数时是否合理等问题．跟踪训练3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解(1)因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的建造成本为160πr2元，所以蓄水池的总建造成本为(200πrh＋160πr2)元，又200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝eq\f(1,5r)(300－4r2)，所以V(r)＝πr2h＝eq\f(π,5)(300r－4r3)．因为r>0，又由h>0可得r<5eq\r(3)，故函数V(r)的定义域为(0,5eq\r(3))．(2)因为V(r)＝eq\f(π,5)(300r－4r3)，所以V′(r)＝eq\f(π,5)(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上单调递增；当r∈(5,5eq\r(3))时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5eq\r(3))上单调递减．由此可知，V(r)在r＝5处取得极大值也为最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．1．曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处的切线斜率为8，则实数a的值为()A．－6B．6C．12D．－12〖答案〗A〖解析〗由y＝x4＋ax2＋1，得y′＝4x3＋2ax，则曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处的切线斜率为－4－2a＝8，得a＝－6.2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4D．5〖答案〗D〖解析〗f′(x)＝3x2＋2ax＋3.∵f(x)在x＝－3时取得极值，即f′(－3)＝0，∴27－6a＋3＝0，∴a＝5.3．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为()A．(－∞，－1)和(0,1