高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第06讲 总体离散程度的估计（原卷版）

第06讲9.2.4总体离散程度的估计课程标准学习目标①理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差。②.掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法。平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法．但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策．这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识．知识点1：总体离散程度的估计（1）极差一组数据中的最大值与最小值的差称为极差.（2）方差与标准差一组数据，，，，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差：；标准差：【即学即练1】（2024·陕西安康·校联考模拟预测）已知五个数，，，，的平均数为，则这五个数的方差为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题可知，得，则方差.故选：A.【即学即练2】（2023·广东珠海·统考模拟预测）已知数据的平均数是5，则这组数据的标准差为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，解得，故这组数据的方差为，故标准差为.故选：D（3）总体方差和标准差如果总体中所有个体的变量值分别为,,总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差．（4）样本方差和标准差如果一个样本中个体的变量值分别为，，，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差．（5）加权方差如果总体的个变量值中，不同的值共有()个，记为,,，其中出现的频数为()，则总体方差为.题型01计算几个数据的极差，方差，标准差【典例1】（多选）（2023上·四川成都·高二校考阶段练习）已知一组数据的平均数为5，则此组数据的（

）A．众数为2 B．上四分位数为4C．极差为3 D．方差为【典例2】（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）某台机床生产一种零件，在10天中每天生产的次品零件数依次是：0，1，0，2，2，0，3，1，2，4，这组数据的平均数是，中位数是，标准差是.【典例3】（2024上·广西桂林·高一统考期末）一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2.现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，方差为.【变式1】（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）已知一组数据1，3，9，5，7，则这组数据的标准差为．【变式2】（2023上·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）已知数据15，14，14，a，16的平均数为15，则其方差为.【变式3】（2024上·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为22，现场作的7个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则5个剩余分数的方差为题型02根据方差，标准差求参数【典例1】（2023下·江西赣州·高三统考阶段练习）某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，8.7，9.3，x，y.已知这5名参赛选手的得分的平均数为9，方差为0.1，则（

）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8【典例2】（2024上·湖北武汉·高三统考期末）已知如下的两组数据：第一组：10、11、12、15、14、13第二组：12、14、13、15、a、16若两组数据的方差相等，则实数的值为.【典例3】（2023下·湖北武汉·高一校联考期末）已知一组数据，，，的平均值为，，删去一个数之后，平均值没有改变，方差比原来大4，则这组数据的个数．【变式1】（2022上·湖北·高二校联考阶段练习）已知样本的平均数是9，方差是2，则（

）A．41 B．71 C．55 D．45【变式2】（2023下·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考阶段练习）已知，一组数据4，2，，，7的方差为3.6，则．【变式3】（2022下·河南焦作·高一统考期末）已知一组数据的平均数，方差，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数.题型03方差，标准差性质【典例1】（2024上·云南保山·高三统考期末）将每个数均加上9，得到，则两组数数字特征不同的是（

）A．平均数 B．方差C．极差 D．众数的个数【典例2】（2023上·吉林白城·高三校考阶段练习）已知数据，，…，的极差为8，方差为6，则数据，，…，的极差和方差分别为（

）A．24，19 B．25，19C．24，54 D．25，54【典例3】（多选）（2023上·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）已知一组样本数据为不全相等的个正数，其中，若由生成一组新的数据，则这组新数据与原数据中可能相等的量有（

）A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差【典例4】（2023上·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）数据，，，的平均数为6，方差为4，若数据，，，的平均数为，方差为，则．【变式1】（2023上·云南保山·高一校考开学考试）若一组数据，，的平均数为4，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别是（

）A．4，3 B．6，3 C．3，4 D．6，5【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知样本数据，，…，的平均数为，方差为，若样本数据，，…，的平均数为，方差为，则（

）A．5 B． C．1或5 D．或【变式3】（2023下·江苏苏州·高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知一组数据的平均数是2，方差是，那么另一组数据的平均数，方差分别为，【变式4】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）设一组样本数据的方差为0.01，则数据，，，的方差为．题型04用方差，标准差说明数据波动程度【典例1】（2023上·黑龙江鸡西·高三密山市第一中学校考期末）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：）记录下来并绘制出折线图：(1)分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值；(2)轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好?【典例2】（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期中）某大学共有“机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100个、200个、300个、400个.为挑选优秀团队，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从以上团队中抽取20个.(1)应从大三团队中抽取多少个团队？(2)将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲、乙两组的成绩如下：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛.分别计算两组成绩的平均数和方差，并分析应选择哪一组参赛，理由是什么？【典例3】（2023下·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）某果园试种了两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和.（单位/kg）60504060708070305090（单位/kg）40605080805060208070(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；(2)求，，，；(3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由.【变式1】（2023下·山西吕梁·高一校联考阶段练习）某果园试种了，两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记，两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和.（单位）55505060708080808590（单位）45606080755580807095(1)求，，，；(2)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适？并说明理由.【变式2】（2023·高一单元测试）某赛季甲、乙两名运动员在若干场比赛中的得分情况如下：甲：18，20，21，22，23，25，28，29，30，30，32，34；乙：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，48．求：(1)分别计算甲、乙两人每场得分的平均数；(2)计算甲、乙两人每场得分的中位数；(3)计算甲、乙两人得分的标准差，并回答谁的成绩比较稳定．【变式3】（2022上·广东江门·高三统考阶段练习）在一个文艺比赛中,由10名专业评审、10名媒体评审和10名大众评审各组成一个评委小组,给参赛选手打分.打分均采用100分制,下面是三组评委对选手小明的打分:小组A85918793888497949586小组B84879296899592919490小组C95899596979392908994(1)选择一个可以度量每一组评委打分相似性的量,并对每组评委的打分计算度量值;(2)你能依据(1)的度量值判断小组A,B与C中哪一个更象是由专业人士组成的吗？(3)已知选手小华专业评审得分的平均数和方差分别为,,媒体评审得分的平均数和方差分别为,,大众评审得分的平均数和方差分别为,,将这30名评审的平均分作为最终得分,求该选手最终的得分和方差.题型05估计总体的方差，标准差【典例1】（2023上·四川凉山·高二校联考期末）某学校高一高二年级共1000人，其中高一年级400人，现按照年级进行分层随机抽样调查学生身高，得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为，和样本标准差分别为3，4，则总体方差（

）A．18.5 B．19.2 C．19.4 D．20【典例2】（2023上·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性，在对某高中2000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这2000名高二年级学生中男生有1200人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和13.36，女生的平均数和方差分别为和17.56．(1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人；(2)求抽取的总样本的平均数，并估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.（参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：．记总样本的平均数为，样本方差为，则）【典例3】（2023上·湖北黄石·高二黄石二中校考阶段练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.【变式1】（2023上·四川成都·高二统考期中）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校甲、乙两个班共70人（甲班40人，乙班30人）参加了共产主义青年团知识竞赛，甲班的平均成绩为77分，方差为123，乙班的平均成绩为70分，方差为130，则甲、乙两班全部同学的成绩的方差为（

）A．74 B．129 C．136 D．138【变式2】（2024上·云南昆明·高二校考期末）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为170，方差为17，女生样本的均值为160，方差为30．(1)根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？(2)如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吧？【变式3】（2023上·广东东莞·高二校联考阶段练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是51，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．题型06计算评率分布直方图中的方程，标准差【典例1】（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图．(1)估计这100名学生的平均成绩；(2)若在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在内的所有学生测试成绩的平均数和方差．【典例2】（2023上·辽宁沈阳·高一辽宁实验中学校考阶段练习）某次考试后，年级组抽取了100名同学的数学考试成绩，绘制了如下图所示的频率分布直方图．(1)根据图中数据计算参数的值，并估算这100名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位；(2)已知这100名同学中，成绩位于内的同学成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数和方差．【典例3】（2023上·四川成都·高二校考期中）某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试。已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：，，····，，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.(1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值；(2)试估计这200名学生的分数的方差，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（参考数据：）【变式1】（2023上·重庆·高二重庆八中校考阶段练习）某单位举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有100人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计年龄落在区间内的人的年龄的平均数（结果保留一位小数）；(2)若这100人的原始数据中第三组的年龄的平均数与方差分别为33和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1.①据此计算这100人中30~45岁所有人的年龄的平均数与方差.②将所得平均数与（1）中平均数的估计值作比较，解释其有差异的原因.【变式2】（2023上·河南南阳·高一统考期末）年入冬以来，为进一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆发，地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将地区个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在以上（含）的有人．口罩使用数量频率

(1)求的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图；（只画图，不要过程）(2)根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的分位数和中位数；（四舍五入，精确到）(3)根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差．（每组数据用每组中点值代替）【变式3】（2023下·福建泉州·高一统考期末）泉州，作为古代海上丝绸之路的起点，具有深厚的历史文化底蕴，是全国同时拥有联合国三大类非遗项目的唯一城市.为高效统筹整合优质文旅资源，文旅局在“五一”假期精心策划文旅活动，使得来泉旅游人数突破了万人次.某数学兴趣小组为了解来泉游客的旅游体验满意度，用问卷的方式随机调查了名来泉旅游的游客，被抽到的游客根据旅游体验给出满意度分值（满分分），该兴趣小组将收集到的数据分成五段：，，，，，处理后绘制了如下频率分布直方图.

(1)求图中的值并估计名游客满意度分值的中位数（结果用分数表示）；(2)已知在的平均数为，方差为，在的平均数为，方差为，试求被调查的名游客的满意度分值的平均数及方差.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024·陕西安康·校联考模拟预测）已知五个数，，，，的平均数为，则这五个数的方差为（

）A． B． C． D．2．（2024·广东·高三学业考试）若一组数据，，的平均数为4，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别是（

）A．4，3 B．6，3 C．3，4 D．6，53．（2024·四川成都·成都七中校考一模）一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为（

）A． B． C．10 D．504．（2024上·四川成都·高二校考期末）已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示：

令，分别表示甲、乙射中环数的均值；，分别表示甲、乙射中环数的方差，则（

）A．， B．，C．， D．，5．（2024上·广东广州·高二广东实验中学校联考期末）一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是（

）A．4 B．5 C．6 D．96．（2024·陕西宝鸡·统考一模）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，中国代表团共获得201枚金牌，111枚银牌，71枚铜牌，共383枚奖牌的历史最好成绩.某个项目的比赛的六个裁判为某运动员的打分分别为95，95，95，93，94，94，评分规则为去掉六个原始分的一个最高分和一个最低分，剩下四个有效分的平均分为该选手的最后得分，设这六个原始分的中位数为，方差为，四个有效分的中位数为，方差为，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．， D．，7．（2024·全国·模拟预测）设实数，满足，若数据1，3，4，，，的平均数和第50百分位数相等，则数据，，的方差为（

）A． B． C． D．8．（2024上·北京顺义·高三统考期末）地铁某换乘站设有编号为的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号疏散乘客时间120220160140200用表示安全出口的疏散效率（疏散时间越短，疏散效率越高），给出下列四个说法：①；②；③；④．其中，正确说法的个数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、多选题9．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（

）A．极差变小 B．平均数变大 C．方差变小 D．第25百分位数变小10．（2024·福建厦门·统考一模）已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（

）A．甲组数据的第70百分位数为23 B．甲、乙两组数据的极差相同C．乙组数据的中位数为24.5 D．甲、乙两组数据的方差相同三、填空题11．（2024上·云南德宏·高三统考期末）已知样本数据为1，a，b，7，9，且a、b是方程的两根，则这组样本数据的方差是.12．（2024上·北京海淀·高一统考期末）农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如下图（单位：）:

记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a，b，则；若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为，则（用“<，>或=”连接）．四、解答题13．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）某地区为了解在乡村振兴过程中乡村集体经济的发展情况，随机调查了100个乡村，得到这些乡村今年先对于去年集体经济产值增长率W的频数分布表.分组乡村数61030401031(1)估计这个地区乡村集体经济产值增长率不低于40%的乡村比例；(2)求这个地区乡村集体经济产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）14．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图．(1)估计这100名学生的平均成绩；(2)若在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间内的学生测试成绩的平