高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第06讲 总体离散程度的估计（解析版）

第06讲9.2.4总体离散程度的估计课程标准学习目标①理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差。②.掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法。平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法．但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策．这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识．知识点1：总体离散程度的估计（1）极差一组数据中的最大值与最小值的差称为极差.（2）方差与标准差一组数据，，，，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差：；标准差：【即学即练1】（2024·陕西安康·校联考模拟预测）已知五个数，，，，的平均数为，则这五个数的方差为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题可知，得，则方差.故选：A.【即学即练2】（2023·广东珠海·统考模拟预测）已知数据的平均数是5，则这组数据的标准差为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，解得，故这组数据的方差为，故标准差为.故选：D（3）总体方差和标准差如果总体中所有个体的变量值分别为,,总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差．（4）样本方差和标准差如果一个样本中个体的变量值分别为，，，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差．（5）加权方差如果总体的个变量值中，不同的值共有()个，记为,,，其中出现的频数为()，则总体方差为.题型01计算几个数据的极差，方差，标准差【典例1】（多选）（2023上·四川成都·高二校考阶段练习）已知一组数据的平均数为5，则此组数据的（

）A．众数为2 B．上四分位数为4C．极差为3 D．方差为【答案】AD【详解】由题意可得，所以A正确：对于B，从小到大排列这组数为，则，故上四分位数为第4个数7，故B错误.极差为，故C错误;对于D：，D正确．故选：AD【典例2】（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）某台机床生产一种零件，在10天中每天生产的次品零件数依次是：0，1，0，2，2，0，3，1，2，4，这组数据的平均数是，中位数是，标准差是.【答案】/【详解】由题意可知，.将10天中每天生产的次品零件数从小到大的顺序排列是0，0，0，1，1，2，2，2，3，4，所以在10天中每天生产的次品零件数的中位数为.标准差为.故答案为：；；.【典例3】（2024上·广西桂林·高一统考期末）一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2.现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，方差为.【答案】【详解】设这个样本容量为7的样本数据分别为则，所以，，所以.当加入新数据4，5，6后，平均数，方差故答案为：【变式1】（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）已知一组数据1，3，9，5，7，则这组数据的标准差为．【答案】【详解】这组数据的平均数为，所以这组数据的方差为，所以这组数据的标准差为．故答案为：.【变式2】（2023上·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）已知数据15，14，14，a，16的平均数为15，则其方差为.【答案】/【详解】因为，所以，所以.故答案为：【变式3】（2024上·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为22，现场作的7个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则5个剩余分数的方差为【答案】【详解】由题设7个得分为，易知最低分为，最高分为，所以，即，故剩余的5个得分为，其方差为.故答案为：题型02根据方差，标准差求参数【典例1】（2023下·江西赣州·高三统考阶段练习）某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，8.7，9.3，x，y.已知这5名参赛选手的得分的平均数为9，方差为0.1，则（

）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8【答案】D【详解】因为平均数为，所以.因为方差为所以，所以，又因为，所以，所以，所以.故选：D.【典例2】（2024上·湖北武汉·高三统考期末）已知如下的两组数据：第一组：10、11、12、15、14、13第二组：12、14、13、15、a、16若两组数据的方差相等，则实数的值为.【答案】11或17【详解】第一组的平均数，第二组的平均数，则第一组的方差为，则第二组的方差为，解得或17.故答案为：11或17.【典例3】（2023下·湖北武汉·高一校联考期末）已知一组数据，，，的平均值为，，删去一个数之后，平均值没有改变，方差比原来大4，则这组数据的个数．【答案】9【详解】由题意删去一个数之后，平均值没有改变，所以删除的数为5，由题意，得，删除一个数后的方差为：得，即，故答案为：9【变式1】（2022上·湖北·高二校联考阶段练习）已知样本的平均数是9，方差是2，则（

）A．41 B．71 C．55 D．45【答案】B【详解】的平均数是9，，即①；又方差是2，，即②；由①②联立，解得：或；故选：B.【变式2】（2023下·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考阶段练习）已知，一组数据4，2，，，7的方差为3.6，则．【答案】1【详解】这组数据的平均数为，所以这组数据的方差为，得，解得舍去，或.故答案为：1.【变式3】（2022下·河南焦作·高一统考期末）已知一组数据的平均数，方差，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数.【答案】8【详解】因为去掉一个数据之后，数据的平均数没有变，所以去掉的数据为6，去掉6后方差变为24，故得到，解得：故答案为：8题型03方差，标准差性质【典例1】（2024上·云南保山·高三统考期末）将每个数均加上9，得到，则两组数数字特征不同的是（

）A．平均数 B．方差C．极差 D．众数的个数【答案】A【详解】依题意，，的平均数，因此两组数的平均数不同，A是；，的方差，因此两组数的方差相同，B不是；由于数据中的最大与最小，同加9后，在数据中对应的数仍是最大与最小，因此两组数的极差相同，C不是；显然数据中出现次数最多的数，同加9后，在数据中对应的数出现次数最多，因此两组数的众数的个数不变，D不是.故选：A【典例2】（2023上·吉林白城·高三校考阶段练习）已知数据，，…，的极差为8，方差为6，则数据，，…，的极差和方差分别为（

）A．24，19 B．25，19C．24，54 D．25，54【答案】C【详解】不妨设，则，且，所以，所以数据，，…，的极差为24．设，，…，的平均数为，所以．又数据，，…，的平均数为，所以数据，，…，的方差为．故选：C．【典例3】（多选）（2023上·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）已知一组样本数据为不全相等的个正数，其中，若由生成一组新的数据，则这组新数据与原数据中可能相等的量有（

）A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差【答案】BC【详解】对于A，因为样本数据为不全相等的个正数，所以极差大于0，所以由生成一组新的的极差是极差的3倍，故A错误；对于B，设为的平均数，为的平均数，可得，当时，可得，故B正确；对于C，当为正奇数时，设样本数据的中位数为，则数据的中位数，当时，，故C正确；对于D，为的标准差，因为样本数据为不全相等的个正数，所以，设为的标准差，可得，则，，故D错误.故选：BC.【典例4】（2023上·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）数据，，，的平均数为6，方差为4，若数据，，，的平均数为，方差为，则．【答案】【详解】数据，，，的平均数为6，数据，，，的平均数,数据，，，的方差为4，数据，，，的方差,.故答案为：.【变式1】（2023上·云南保山·高一校考开学考试）若一组数据，，的平均数为4，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别是（

）A．4，3 B．6，3 C．3，4 D．6，5【答案】B【详解】若一组数据，，的平均数为4，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别是6，3，故选：B【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知样本数据，，…，的平均数为，方差为，若样本数据，，…，的平均数为，方差为，则（

）A．5 B． C．1或5 D．或【答案】C【详解】由方差的性质，得，，…，的方差为，故，解得．由平均数的性质，得，，…，的平均数为，故，解得或5.故选：C．【变式3】（2023下·江苏苏州·高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知一组数据的平均数是2，方差是，那么另一组数据的平均数，方差分别为，【答案】/【详解】∵一组数据的平均数是2,方差是，∴另一组数据的平均数为：，方差为：.故答案为：；【变式4】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）设一组样本数据的方差为0.01，则数据，，，的方差为．【答案】1【详解】因为数据的方差是数据的方差的倍，所以所求数据的方差为，故答案为：1.题型04用方差，标准差说明数据波动程度【典例1】（2023上·黑龙江鸡西·高三密山市第一中学校考期末）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：）记录下来并绘制出折线图：(1)分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值；(2)轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好?【答案】(1)195mm；194(2)乙厂的轮胎相对更好【详解】（1）记甲厂提供的个轮胎宽度的平均值为，乙厂提供的个轮胎宽度的平均值为，，.（2）甲厂个轮胎宽度在内的数据为，则平均数为，所以方差；乙厂个轮胎宽度在内的数据为，则平均数为，所以方差；因为甲、乙两厂生产的标准轮胎宽度的平均值一样，但乙厂的方差更小，所有乙厂的轮胎相对更好.【典例2】（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期中）某大学共有“机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100个、200个、300个、400个.为挑选优秀团队，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从以上团队中抽取20个.(1)应从大三团队中抽取多少个团队？(2)将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲、乙两组的成绩如下：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛.分别计算两组成绩的平均数和方差，并分析应选择哪一组参赛，理由是什么？【答案】(1)6(2)，，，，甲组或乙组，理由见解析【详解】（1）由题意知，大三团队个数占总团队个数的，则应从大三中抽取(个)团队．（2）甲组成绩的平均数，乙组成绩的平均数，甲组数据的方差

，乙组数据的方差，选甲组理由：甲、乙两组平均数相差不大，但，由此可以估计甲组比乙组成绩稳定；选乙组理由：，在比赛中，估计获胜的可能性大．【典例3】（2023下·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）某果园试种了两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和.（单位/kg）60504060708070305090（单位/kg）40605080805060208070(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；(2)求，，，；(3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由.【答案】(1)A品种极差为，中位数为60；B品种极差为，中位数为60(2)，，，(3)应该选种品种桃树，理由见解析【详解】（1）这10棵A品种桃树的产量从小到大分别为，这10棵A品种桃树产量的极差为，中位数为，这10棵B品种桃树产量从小到大分别为20，40，，这10棵B品种桃树产量的极差为，中位数为.（2），，（3）由第一问可知这两个品种极差和中位数都相等，由第二问可知，，则品种桃树平均产量高，波动小，所以应该选种品种桃树.【变式1】（2023下·山西吕梁·高一校联考阶段练习）某果园试种了，两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记，两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和.（单位）55505060708080808590（单位）45606080755580807095(1)求，，，；(2)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适？并说明理由.【答案】(1)，，，(2)选择品种，理由见解析【详解】（1），，，.（2）由可得，两个品种平均产量相等，又，则品种产量较稳定，故选择品种.【变式2】（2023·高一单元测试）某赛季甲、乙两名运动员在若干场比赛中的得分情况如下：甲：18，20，21，22，23，25，28，29，30，30，32，34；乙：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，48．求：(1)分别计算甲、乙两人每场得分的平均数；(2)计算甲、乙两人每场得分的中位数；(3)计算甲、乙两人得分的标准差，并回答谁的成绩比较稳定．【答案】(1)甲每场得分的平均数为26，乙每场得分的平均数为26；(2)甲每场得分的中位数为，乙每场得分的中位数为26；(3)甲的得分的标准差4.97；乙的得分的标准差为12.05；甲的成绩稳定.【详解】（1）设甲运动员的各场比赛得分的平均数为，乙运动员的各场比赛得分的平均数为，因为甲运动员的12场比赛得分依次为18，20，21，22，23，25，28，29，30，30，32，34；所以，因为乙运动员的11场比赛得分依次为8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，48，所以，所以甲每场得分的平均数为26，乙每场得分的平均数为26；（2）由中位数定义可得甲每场得分的中位数为，乙每场得分的中位数为26；（3）设甲运动员的各场比赛得分的标准差为，乙运动员的各场比赛得分的标准差为，因为，，，，因为甲运动员的各场比赛得分的标准差小于乙运动员的各场比赛得分的标准差，所以甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定.【变式3】（2022上·广东江门·高三统考阶段练习）在一个文艺比赛中,由10名专业评审、10名媒体评审和10名大众评审各组成一个评委小组,给参赛选手打分.打分均采用100分制,下面是三组评委对选手小明的打分:小组A85918793888497949586小组B84879296899592919490小组C95899596979392908994(1)选择一个可以度量每一组评委打分相似性的量,并对每组评委的打分计算度量值;(2)你能依据(1)的度量值判断小组A,B与C中哪一个更象是由专业人士组成的吗？(3)已知选手小华专业评审得分的平均数和方差分别为,,媒体评审得分的平均数和方差分别为,,大众评审得分的平均数和方差分别为,,将这30名评审的平均分作为最终得分,求该选手最终的得分和方差.【答案】(1)答案见解析(2)C组(3)90分;160【详解】（1）（1）可以用方差来度量每一组评委打分的相似性,方差越小,相似程度越高.小组的平均数,小组的方差,小组B的平均数,小组B的方差,小组C的平均数,小组C的方差.（2）由于专业评委给分更符合专业规则,相似程度应该高,即方差小,因而C组评委更像是专业人士组成的.（3）小华的得分分.方差,,.题型05估计总体的方差，标准差【典例1】（2023上·四川凉山·高二校联考期末）某学校高一高二年级共1000人，其中高一年级400人，现按照年级进行分层随机抽样调查学生身高，得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为，和样本标准差分别为3，4，则总体方差（

）A．18.5 B．19.2 C．19.4 D．20【答案】B【详解】总体样本平均数，.故选：B.【典例2】（2023上·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性，在对某高中2000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这2000名高二年级学生中男生有1200人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和13.36，女生的平均数和方差分别为和17.56．(1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人；(2)求抽取的总样本的平均数，并估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.（参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：．记总样本的平均数为，样本方差为，则）【答案】(1)60；40(2)平均数为，16．【详解】（1）设在男生､女生中分别抽取m名和n名，则，解得．（2）记抽取的总样本的平均数为，可得，所以抽取的总样本的平均数为．男生样本的平均数为，样本方差为；女生样本的平均数为，样本方差为；记总样本的样本方差为，则所以估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16．【典例3】（2023上·湖北黄石·高二黄石二中校考阶段练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.【答案】(1)(2)(3)，【详解】（1）利用每组小矩形的面积之和为1可得，，解得.（2）成绩落在内的频率为，落在内的频率为，设第75百分位数为，由，得，故第75百分位数为84；（3）由图可知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，故；由样本方差计算总体方差公式可得总方差为.【变式1】（2023上·四川成都·高二统考期中）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校甲、乙两个班共70人（甲班40人，乙班30人）参加了共产主义青年团知识竞赛，甲班的平均成绩为77分，方差为123，乙班的平均成绩为70分，方差为130，则甲、乙两班全部同学的成绩的方差为（

）A．74 B．129 C．136 D．138【答案】D【详解】设甲班平均成绩为，方差为，乙班平均成绩为，方差为，总体平均成绩为，方差为，由题知，则由总样本方差公式，可得甲，乙两班全部同学的成绩的方差为.故选：D【变式2】（2024上·云南昆明·高二校考期末）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为170，方差为17，女生样本的均值为160，方差为30．(1)根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？(2)如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吧？【答案】(1)不能，因为题目没有给出男、女生的样本量(2)均值为166，方差为46.2【详解】（1）不能，因为题目没有给出男、女生的样本量．（2）总体样本的均值为，总体样本的方差为．【变式3】（2023上·广东东莞·高二校联考阶段练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是51，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．【答案】(1)0.030(2)84(3)两组市民成绩的总平均数是59，总方差是37【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1，则，解得．（2）结合（1）可得，成绩落在内的频率为，成绩落在内的频率为，设第75百分位数为，则，解得，故第75百分位数为84．（3）由图可知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，故两组成绩的总平均数为，设成绩在中10人的分数分别为，，，…，；成绩在中20人的分数分别为，，，…，，则由题意可得，，，即，，所以，所以两组市民成绩的总平均数是59，总方差是37．题型06计算评率分布直方图中的方程，标准差【典例1】（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图．(1)估计这100名学生的平均成绩；(2)若在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在内的所有学生测试成绩的平均数和方差．【答案】(1)69.5分(2)平均数80，方差112【详解】（1）由图表可知，这100名学生的平均成绩为分（2）在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，区间的学生频率为，在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，区间的学生频率为，所以在内的所有学生测试成绩的平均数为，方差为【典例2】（2023上·辽宁沈阳·高一辽宁实验中学校考阶段练习）某次考试后，年级组抽取了100名同学的数学考试成绩，绘制了如下图所示的频率分布直方图．(1)根据图中数据计算参数的值，并估算这100名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位；(2)已知这100名同学中，成绩位于内的同学成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数和方差．【答案】(1)，平均数为76.50分，中位数为77.14分(2)平均数87.5分，方差30.25．【详解】（1）依题意，，得，各组的频率依次为，平均数为分，中位数为分．（2）分数在区间内的人数为，分数在区间内的人数为，所以成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为分，方差为.【典例3】（2023上·四川成都·高二校考期中）某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试。已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：，，····，，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.(1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值；(2)试估计这200名学生的分数的方差，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（参考数据：）【答案】(1)，；(2)，得分为52分的同学的成绩没有进入到内，得分为94分的同学的成绩进入到了内.【详解】（1）因为，所以.此次校内测试分数的平均值估计值为：.（2），所以，所以，，所以得分为52分的同学的成绩没有进入到了内，得分为94分的同学的成绩进入到了内.【变式1】（2023上·重庆·高二重庆八中校考阶段练习）某单位举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有100人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计年龄落在区间内的人的年龄的平均数（结果保留一位小数）；(2)若这100人的原始数据中第三组的年龄的平均数与方差分别为33和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1.①据此计算这100人中30~45岁所有人的年龄的平均数与方差.②将所得平均数与（1）中平均数的估计值作比较，解释其有差异的原因.【答案】(1)35.8(2)①平均数为36，方差为15；②答案见解析【详解】（1）平均数；（2）①设这100人中30~45岁所有人的年龄的平均数与方差分别为、则，②，其有差异的原因为（1）中平均数是取数据的中间值作为样本数据的代表值估算的，而所得平均数是以具体的数据计算而得，因此不相等.【变式2】（2023上·河南南阳·高一统考期末）年入冬以来，为进一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆发，地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将地区个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在以上（含）的有人．口罩使用数量频率

(1)求的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图；（只画图，不要过程）(2)根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的分位数和中位数；（四舍五入，精确到）(3)根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差．（每组数据用每组中点值代替）【答案】(1)，；频率分布直方图见解析(2)分位数为个，中位数为个(3)平均数为个，方差为．【详解】（1）由每周的口罩使用个数在以上（含）的有人得：，解得：，，则频率分布直方图如下：

（2），，分位数位于，设其为，则，解得：，即估计分位数为个；，，中位数位于，设其为，则，解得：，即估计中位数为个.（3）由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为：（个），方差为，则所求平均数估计为个，方差估计为．【变式3】（2023下·福建泉州·高一统考期末）泉州，作为古代海上丝绸之路的起点，具有深厚的历史文化底蕴，是全国同时拥有联合国三大类非遗项目的唯一城市.为高效统筹整合优质文旅资源，文旅局在“五一”假期精心策划文旅活动，使得来泉旅游人数突破了万人次.某数学兴趣小组为了解来泉游客的旅游体验满意度，用问卷的方式随机调查了名来泉旅游的游客，被抽到的游客根据旅游体验给出满意度分值（满分分），该兴趣小组将收集到的数据分成五段：，，，，，处理后绘制了如下频率分布直方图.

(1)求图中的值并估计名游客满意度分值的中位数（结果用分数表示）；(2)已知在的平均数为，方差为，在的平均数为，方差为，试求被调查的名游客的满意度分值的平均数及方差.【答案】(1)，(2)平均数为71，方差为510【详解】（1）由频率分布直方图可得：，解得

由频率分布直方图，

因此，中位数落在区间内，

可以估计名游客满意度分值的中位数为（2）把在的平均数记为，方差记为；在的平均数记为，方差记为；在的平均数记为，方差记为

由题得，，，，，在的频率为，在的频率为则

由

可得

即被调查的名游客的满意度分值的方差为A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024·陕西安康·校联考模拟预测）已知五个数，，，，的平均数为，则这五个数的方差为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平均数求出的值，再利用公式计算方差即可.【详解】由题可知，得，则方差.故选：A.2．（2024·广东·高三学业考试）若一组数据，，的平均数为4，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别是（

）A．4，3 B．6，3 C．3，4 D．6，5【答案】B【分析】根据平均数以及方差的性质及可求解.【详解】若一组数据，，的平均数为4，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别是6，3，故选：B3．（2024·四川成都·成都七中校考一模）一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为（

）A． B． C．10 D．50【答案】A【分析】根据平均数、方差公式计算可得.【详解】依题意这组数据的平均数为，所以方差为，则标准差为.故选：A4．（2024上·四川成都·高二校考期末）已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示：

令，分别表示甲、乙射中环数的均值；，分别表示甲、乙射中环数的方差，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据频率分布图分别计算，，比较大小可得.【详解】由图可知，，，所以，.故选：D.5．（2024上·广东广州·高二广东实验中学校联考期末）一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是（

）A．4 B．5 C．6 D．9【答案】C【分析】根据题意算出极差，进而得到该组数据的中位数，列式求出，进而利用百分位数的定义得出答案.【详解】根据题意，数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，则极差为，故该组数据的中位数是，数据共6个，故中位数为，解得，因为，所以该组数据的第40百分位数是第3个数6，故选：C.6．（2024·陕西宝鸡·统考一模）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，中国代表团共获得201枚金牌，111枚银牌，71枚铜牌，共383枚奖牌的历史最好成绩.某个项目的比赛的六个裁判为某运动员的打分分别为95，95，95，93，94，94，评分规则为去掉六个原始分的一个最高分和一个最低分，剩下四个有效分的平均分为该选手的最后得分，设这六个原始分的中位数为，方差为，四个有效分的中位数为，方差为，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】可求出六个原始分和四个有效分的中位数，再根据方差的定义判断方差的大小．【详解】容易求出这六个原始分95，95，95，93，94，94的中位数为，方差为；四个有效分95，95，94，94的中位数为，方差为；根据方差的定义知四个有效分的波动性变小，所以．故选：D．7．（2024·全国·模拟预测）设实数，满足，若数据1，3，4，，，的平均数和第50百分位数相等，则数据，，的方差为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题可得，即，继而按方差公式计算即可；得到后，也可以设，按方差公式计算即可.【详解】解法一：数据1，3，4，，，的第50百分位数为，所以，化简得，此时，，即，，，这组数据的平均值为，方差．故选：B．解法二：数据1，3，4，，，的第50百分位数为，所以，化简得，此时，，即，，，不妨设，此时这组数据为5，6，8，容易求出这组数据的方差为．故选：B．8．（2024上·北京顺义·高三统考期末）地铁某换乘站设有编号为的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号疏散乘客时间120220160140200用表示安全出口的疏散效率（疏散时间越短，疏散效率越高），给出下列四个说法：①；②；③；④．其中，正确说法的个数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据题意，列方程组，根据方程组解的值，判断正确的说法.【详解】设每个出口每秒可疏散的人数为（），由题意，可得方程组：，可得：.因为，所以，所以①正确；因为，所以，所以②正确；因为，所以，所以③正确；因为，所以，所以④错误.故选：B二、多选题9．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（

）A．极差变小 B．平均数变大 C．方差变小 D．第25百分位数变小【答案】AC【分析】根据极差，平均数，方差与百分位数的定义计算出去掉前后的相关数据，比较后得到答案.【详解】由于，故，，……，，，A选项，原来的极差为，去掉后，极差为，极差变小，A正确；B选项，原来的平均数为，去掉后的平均数为，平均数不变，B错误；C选项，原来的方差为，去掉后的方差为，方差变小，C正确；D选项，，从小到大排列，选第3个数作为第25百分位数，即，，故从小到大排列，选择第3个数作为第25百分位数，即，由于，第25百分位数变大，D错误.故选：AC10．（2024·福建厦门·统考一模）已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（

）A．甲组数据的第70百分位数为23 B．甲、乙两组数据的极差相同C．乙组数据的中位数为24.5 D．甲、乙两组数据的方差相同【答案】BD【分析】根据已知平均数的关系求得，再由极差、中位数、方差求法判断各项正误即可.【详解】由题设，，所以，甲组数据中，故第70百分位数为24，A错；甲乙组数据的极差都为5，B对；乙组数据从小到大为，故其中位数为，C错；由上易知：甲的平均数为，乙的平均数为，所以甲的方差为，乙的方差为，故两组数据的方差相同，D对.故选：BD三、填空题11．（2024上·云南德宏·高三统考期末）已知样本数据为1，a，b，7，9，且a、b是方程的两根，则这组样本数据的方差是.【答案】8【分析】由求出，利用方差公式即可求.【详解】由可得或，因为a、b是方程的两根，不妨设，，所以样本平均数为，故样本方差为：.故答案为：812．（2024上·北京海淀·高一统考期末）农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如下图（单位：）:

记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a，b，则；若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为，则（用“<，>或=”连接）．【答案】【分析】空根据题意分别求出甲乙环境下的个高度数据，从而求出中位数，即可求解；空利用标准差公式分别求出，从而求解.【详解】对空：由题意得甲环境的幼苗高度为：，其中位数，乙环境的幼苗高度为：，其中位数，所以；对空：甲环境下的幼苗平均高度为：，所以甲环境下的幼苗平均高度为：所以所以.故答案为：；.四、解答题13．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）某地区为了解在乡村振兴过程中乡村集体经济的发展情况，随机调查了100个乡村，得到这些乡村今年先对于去年集体经济产值增长率W的频数分布表.分组乡村数61030401031(1)估计这个地区乡村集体经济产值增长率不低于40%的乡村比例；(2)求这个地区乡村集体经济产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）【答案】(1)(2)平均数与标准差的估计值分别为，.【分析】（1）利用频率分布表中数据计算并估计得解.（2）利用频率分布表中数据计算平均数及方差即得.【详解】（1）根据集体经济产值增长率频数分布表，得所调查的100个乡村中，集体经济产值增长率不低于的乡村频率为，用样本频率分布估计总体分布，得这个地区集体经济产值增长率不低于的乡村比例为.（2），，.所以这个地区乡村集体经济产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为，.14．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图．(1)估计这100名学生的平均成绩；(2)若在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在内的所有学生测试成绩的平均数和方差．【答案】(1)69.5分(2)平均数80，方差112【分析】（1）根据频率分布直方图直接求平均数即可；（2）利用平均数和方差公式直接计算求解即可.【详解】（1）由图表可知，这100名学生的平均成绩为分（2）在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，区间的学生频率为，在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，区间的学生频率为，所以在内的所有学生测试成绩的平均数为，方差为B能力提升1．（2024·全国·高三专题练习）为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生