四川省雅安市2023-2024学年高二下学期开学联考数学试题（含答案解析）

数学开学考试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第8，9，10章，选择性必修第一册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将直线方程转化为斜截式，进而可得倾斜角.【详解】由直线，即，所以倾斜角满足，，所以，故选：C.2.双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】先将双曲线化为标准方程，根据离心率的定义可得.【详解】双曲线的标准方程为．因为，，所以，所以离心率为．故选：B3.抛物线的准线方程是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将方程化为标准方程，进而得到准线方程.【详解】由得抛物线标准方程为：准线方程为：故选：【点睛】本题考查抛物线准线的求解，易错点是未把抛物线方程化为标准方程，将焦点所在轴判断错误.4.一组数据3，5，6，8，12，10，则该组数据的第60百分位数为（）A.6 B.8 C.9 D.7【答案】B【解析】【分析】根据百分位数的计算公式即可求解.【详解】将这组数据从小到大排列为3,5,6,8,10,12,因为，所以该组数据的第60百分位数为第四个数8．故选：B5.点关于直线对称的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设所求对称点的坐标为，根据垂直平分列方程组求解即可.【详解】设所求对称点的坐标为，则，解得，故点关于直线对称的点的坐标为.故选：D.6.经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（）A.24 B.12 C.36 D.48【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】因为，所以的周长为24．故选：A.7.一圆台上、下底面的直径分别为4，12，高为10，则该圆台的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将圆台补形为圆锥，利用圆锥的性质，可得圆锥的侧面积，进而可得圆台的侧面积.【详解】如图，将圆台补形为圆锥，可得圆锥的底面半径为．因为圆台的高为，根据圆锥的性质可得,所以圆锥的高，可得圆锥的母线长，.则该圆台的侧面积为．故选：D8.某学校开展关于“饮食民俗”的选修课程，课程内容分为日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6个模块，甲、乙两名学生准备从中各选择2个模块学习，则甲、乙选修的模块中至少有1个模块相同的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】记6个模块分别为，求出总的基本事件数，然后求出甲、乙选择都不同的基本事件数，利用间接法求概率.【详解】记6个模块分别为，则甲从中选择2个共有共种不同的选择，而甲每种的选择中乙与甲都不同有6种，所以甲、乙各选2个共有种不同选择，而甲、乙选择都不同有种不同选择，所以甲、乙选修的模块中至少有1个相同的概率．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知椭圆，则（）A.椭圆的长轴长为 B.椭圆的焦距为12C.椭圆的短半轴长为 D.椭圆的离心率为【答案】AD【解析】【分析】利用椭圆的标准方程分析其性质即可得解.【详解】因为椭圆，所以，且椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的长轴长为，焦距为，短半轴长为，离心率．故选：AD10.2023年春节影市非常火爆，其中有三部电影票房不断刷新以往记录，为了解某校3000名学生（其中高一1200人，高二1000人，高三800人）的观影情况，按年级采用分层抽样的方式随机调查了300名在校学生，看过这三部电影的学生共有240人，其中高一100人，高二80人，高三60人，据统计观看过这二部电影的学生对这三部电影的综合评分的平均数和方差如下：高一高二高三平均数987方差321则下列说法正确的是（）A.抽取的300名学生中高三学生有80人B.估计该校高一学生观看这三部电影的概率为C.估计该校学生对这三部电影综合评分的平均数为8D.该校高三学生对这三部电影的综合评分波动最小【答案】AD【解析】【分析】对于A：根据比例计算；对于B：根据频率直接求出概率；对于C：计算加权平均数即可；对于D：根据方差的大小判断.【详解】因为3000人中抽取300人，所以按抽取，所以抽取的300人中高三有80人，故A正确；因为抽取的高一学生人数为120，其中观看这三部电影的有100人，所以观看这三部电影的频率为，所以估计该校高一学生观看这三部电影的概率为，故B错误；因为观看这三部电影的学生共240人，其中高一100人，高二80人，高三60人，设高一、高二、高三学生对这三部电影的综合评分的平均数分别为，方差分别为，则，所以该校学生对这三部电影综合评分的平均数，故C错误；因为该校高三学生对这三部电影的综合评分的方差最小，所以该校高三学生对这三部电影的综合评分波动最小，故D正确．故选：AD.11.已知圆，直线，则下列选项正确的是（）A.直线恒过定点B.直线与圆可能相切C.直线被圆截得的弦长的最小值为4D.当时，圆上到直线距离为2的点恰有三个【答案】ACD【解析】【分析】对A，整理方程可得，再令求解即可；对B，由点在圆内部判断即可；对C，设点为，根据当时，直线被圆截得的弦长最小求解即可；对D，代入，求解圆心到直线的距离判断即可.【详解】圆，故该圆半径为3.对A，直线的方程整理可得，由，得即直线恒过定点，故A正确．对B，因为点在圆内部，所以直线与圆不可能相切，故B不正确．对C，设点为，当时，直线被圆截得的弦长最小．因为，所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故C正确．对D，圆心，半径为3，当时，直线的方程为．因为圆心到直线的距离为，所以圆上到直线距离为2的点恰有三个，故D正确．故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一圆柱侧面展开图是边长为8的正方形，则该圆柱的体积为______．【答案】【解析】【分析】根据侧面展开图求出半径，进而利用体积公式计算.【详解】设该圆柱的底面半径为，则，所以，故该圆柱体积为．故答案为：.13.已知，则在方向上的投影向量的模为______．【答案】##【解析】【分析】根据空间向量的投影公式求解即可.【详解】因为，所以，所以在方向上的投影向量的模为．故答案为：14.在三棱锥中，和是边长为2的正三角形，且平面平面，是棱上一点，点是三棱锥外接球上一动点，当的周长最小时，的最小值为______．【答案】【解析】【分析】先确定当为的中点时，的周长最小，然后三棱锥为图2中右侧长方体的外接球，求出半径，然后建立坐标系求出，则.【详解】如图1，的周长为，其中为定值，，则当最小值时，的周长最小，明显此时为的中点，即．此时，又面面，面面，面，所以面，而面，故，且．三棱锥的外接球为图2中右侧长方体的外接球，因为该长方体的长宽高分别为，所以外接球的半径为．如图建立空间直角坐标系，可知球心，则，所以．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直线，直线．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意可得，求出参数的值，再代入检验；（2）根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可.【小问1详解】因为，所以，整理得，即，解得或．当时，，此时与重合，不符合题意；当时，，符合题意．故．【小问2详解】因为，所以，解得．16.设抛物线焦点为，是抛物线上的点，且．（1）求抛物线的方程；（2）已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由抛物线的焦半径公式可得，进而可得抛物线的方程；（2）根据点差法求中点弦所在直线方程.【小问1详解】因为，所以，故抛物线的方程为．【小问2详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则两式相减得，整理得．因为的中点为，所以，所以直线的方程为，即．17.镇安大板栗又称中国甘栗､东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；（2）现采用分层抽样的方法从质量在和内的板栗中抽取5颗，再从这5颗板栗中随机抽取2颗，求抽取到的2颗板栗中至少有1颗的质量在内的概率.【答案】（1）57.5（2）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可求判断板栗质量的中位数在内，然后设该板栗园的板栗质量的中位数为，列方程可求得结果；（2）根据分层抽样的定义结频率分布直方图可求出从质量在和内的板栗中所抽取的数量，然后利用列举法可求得答案.【小问1详解】因为，所以该板栗园板栗质量的中位数在内.设该板栗园的板栗质量的中位数为，则，解得，即该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5.【小问2详解】由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取2颗，分别记为；从质量在内的板栗中抽取颗，分别记为.从这5颗板栗中随机抽取2颗的情况有，共10种，其中符合条件的情况有，共7种，故所求概率.18.如图，在四棱台中，底面是菱形，，平面．（1）求三棱锥的体积；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等体积法的思想结合台体体积公式求解；（2）利用空间向量的坐标运算，求平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】在直角梯形中，因为，所以,连接,因为，所以．因为，所以．【小问2详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，．设平面的法向量为，因为，所以,令，得．设平面的法向量为，因为，所以,令，得．因为，所以平面与平面夹角的余弦值为．19.已知焦点在轴上的等轴双曲线的左、右顶点分别为，且到的渐近线的距离为，直线与双曲线的左、右支分别交于点（异于点）．（1）当时，证明：以为直径的圆经过两点．（2）设直线的斜率分别为，若点在双曲线上，证明为定值，并求出该定值．【答案】（1）证明见解析（2），证明见解析【解析】【分析】（1）只需要证明，就可得以为直径的圆经过点，同理可证，所以可得以为直径的圆经过两点；（2）联立直线方程与双曲线方程，结合韦达定理表示出，通过消元化简即可得定值.【小问1详解】设双曲线，则，渐近线方程为，因为到的渐近线的距离为，所以，所以，所以双曲线的方程为．当时，设，则，因为，所以．因为，所