5.1.2导数的概念及其几何意义课件高二上学期数学人教A版选择性

导数的概念及其几何意义第五章一元函数的导数及其应用人教A版

数学选择性必修第二册课程标准1.会求函数在某一点附近的平均变化率,会利用导数的定义求函数在某点处的导数.2.理解导数的几何意义,会求导函数,并能根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

基础落实·必备知识一遍过知识点1函数的平均变化率对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=

.(x0+Δx)-x0f(x0+Δx)-f(x0)

平均变化率

名师点睛1.Δx是自变量的变化量,它可以为正,也可以为负,但不能等于零,而Δy是相应函数值的变化量,它可以为正,可以为负,也可以等于零.2.函数平均变化率的物理意义:如果物体的运动规律是s=s(t),那么函数s(t)在t到t+Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均思考辨析函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率的几何意义是什么?提示

已知P1(x1,f(x1)),P2(x1+Δx,f(x1+Δx))是函数y=f(x)的图象上两点,则平均变化率

表示割线P1P2的斜率.自主诊断1.

如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是(

)A.1B.-1C.2D.-2B2.[人教B版教材例题]求函数f(x)=x2在下列区间上的平均变化率.(1)[1,3];(2)以1和1+Δx为端点的闭区间.f(x)在以1和1+Δx为端点的闭区间上的平均变化率为2+Δx.知识点2导数的概念1.函数y=f(x)在x=x0处的导数

导数的本质是一个极限值

导数

2.函数y=f(x)的导函数对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个确定的数,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为函数y=f(x)的

(简称

),y=f(x)导函数导数

名师点睛对于导数f'(x0)的概念,注意以下几点:(1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在;(2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与Δx无关.思考辨析导数f'(x0)与导函数f'(x)有什么区别与联系?提示

f'(x0)是指函数y=f(x)在x=x0时的瞬时变化率,是一个确定的数;导函数f'(x)是针对函数y=f(x)在某一区间上而言,它是一个确定的函数,依赖于函数本身.f'(x0)是导函数f'(x)当x=x0时的函数值.自主诊断1.[北师大版教材习题]已知函数y=,求自变量x在以下的变化过程中,该函数的平均变化率:(1)自变量x从1变到1.1;(2)自变量x从1变到1.01;(3)自变量x从1变到1.001.估算当x=1时,该函数的瞬时变化率.2.已知函数f(x)=x2的导函数f'(x)=2x,则f'(1)=

.2解析

f'(1)=2×1=2.知识点3导数的几何意义如图,在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的

.则割线P0P的斜率切线

记Δx=x-x0,当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时,即当Δx→0时,k无限趋近于函数y=f(x)在x=x0处的导数.因此,函数y=f(x)在x=x0处的导数f

'(x0)就是切线P0T的斜率k0,即k0==f

'(x0).这就是导数的几何意义.函数在点(x0,f(x0))处的切线斜率

思考辨析1.如何求曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程?提示

根据导数的几何意义,求出函数y=f(x)在x=x0处的导数,即曲线在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率,再由直线方程的点斜式求出切线方程.2.曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?提示

不一定.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线l与曲线y=f(x)的交点不一定只有一个,如图所示.自主诊断1.[苏教版教材习题]已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是

,求f(1)+f'(1)的值.2.[人教B版教材例题]已知函数,求曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的方程.重难探究·能力素养速提升探究点一求函数的平均变化率(1)[1,3];(2)[-4,-2];(3)[x0,x0+Δx].分析根据平均变化率的定义求解.规律方法

求函数平均变化率的步骤(1)先计算函数值的变化量Δy=f(x1)-f(x0);(2)再计算自变量的变化量Δx=x1-x0;变式训练1(1)[2024广东梅州高二期末]函数f(x)=x3+1在区间[1,2]上的平均变化率为(

)A.1 B.2

C.7 D.9C(2)[2024广东广州高二阶段检测]已知函数y=f(x)的图象如图所示.设函数y=f(x)从-1到1的平均变化率为v1,从1到2的平均变化率为v2,则v1与v2的大小关系为(

)A.v1>v2

B.v1=v2C.v1<v2

D.不能确定C探究点二利用导数的定义求函数的导数【例2】

[苏教版教材例题]已知f(x)=x2+2.求:(1)f(x)在x=1处的导数f'(1);(2)f(x)在x=a处的导数f'(a).所以f(x)在x=1处的导数等于2,即f'(1)=2.所以f(x)在x=a处的导数等于2a,即f'(a)=2a.变式探究求函数f(x)=x2+2的导函数.规律方法

1.利用定义求函数y=f(x)的导数的步骤给定函数y=f(x)↓2.求函数f(x)在某一点x0处的导数,通常可以有两种方法:一是直接利用函数在某一点x0处的导数的定义求解;二是先利用导数的定义求出函数的导函数,再计算导函数在x0处的函数值.变式训练2已知f(x)=x2-3x,则f'(0)=(

)A.Δx-3 B.(Δx)2-3ΔxC.-3 D.0C探究点三导数定义式的理解与应用等于(

)A.-4 B.-2 C.2

D.4D规律方法

由导数的定义可知,若函数y=f(x)在x=x0处可导,则C探究点四导数几何意义的应用角度1.求切线方程【例4-1】

已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线方程;(2)求曲线C过点P(1,1)的切线方程.解

(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,∴切点坐标为(1,1).∴k=y'|x=1=3.∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.规律方法

利用导数几何意义研究切线方程的方法(1)利用导数的几何意义求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程的步骤①求函数f(x)在x0处的导数,即切线的斜率;②根据直线方程的点斜式可得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).(2)运用导数的几何意义解决切线问题时,一定要注意所给的点是否恰好在曲线上.若点在曲线上,则该点的导数值就是该点处的切线的斜率.变式训练4[2024四川泸州高二期末]若经过点P(2,8)作曲线y=x3的切线,则切线方程为(

)A.12x-y-16=0B.3x-y+2=0C.12x-y+16=0或3x-y-2=0D.12x-y-16=0或3x-y+2=0D角度2.根据切线斜率求切点坐标【例4-2】

在曲线y=x2上某点P处的切线满足下列条件,分别求出点P.(1)平行于直线y=4x-5;(2)垂直于直线2x-6y+5=0;(3)与x轴成135°的倾斜角.设P(x0,y0)是满足条件的点.(1)∵切线与直线y=4x-5平行,∴2x0=4,得x0=2,y0=4,此时切线方程是y-4=4(x-2),即y=4x-4,与直线y=4x-5平行,∴P(2,4)是满足条件的点.规律方法

根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0,y0);(2)求导函数f'(x);(3)求切线的斜率f'(x0);(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;(5)将x0代入f(x)求y0,得切点坐标.变式训练5已知曲线y=2x2-7在点P处的切线方程为8x-y-15=0,求切点P的坐标.由题意可知4m=8,则m=2,代入y=2x2-7,得n=1.故所求切点P的坐标为(2,1).本节要点归纳1.知识清单:(1)函数的平均变化率.(2)导数的概念及其几何意义.(3)导函数的概念.(4)曲线在某点(或过某点)的切线问题.2.方法归纳:定义法,极限思想、数形结合思想.3.常见误区:(1)利用定义求函数在某点处的导数时易忽视分子、分母的对应关系;(2)求切线时容易忽视先检验点是否在曲线上.学以致用·随堂检测促达标1234C12342.曲线f(x)=在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于(

)A.45°

B.60° C.135°

D.120°C又切线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°,所以所求倾斜角α=135°.1