6.2.2导数与函数的极值最值（第2课时导数与函数的最值）课件高二下学期数学人教B版选择性

6.2.2

导数与函数的极值、最值第2课时导数与函数的最值第六章人教B版

数学选择性必修第三册课标定位素养阐释1.理解函数的最值的概念.2.了解函数的最值与极值的区别与联系.3.会用导数求函数在给定区间上的最值.4.进一步提升直观想象、逻辑推理与数学运算的核心素养.自主预习新知导学函数存在最值的条件1.如图,观察函数f(x)在区间[a,b]上的图象,你能找出f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值吗?提示:函数f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(x3),最大值是f(b).2.如何求函数的最大(小)值呢?假设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值一定在

极值点

或区间端点

取得,由于可导函数在区间(a,b)内的极值只可能在使

f'(x)=0的点取得,因此把函数在区间端点的值与区间内使f'(x)=0的点的值作比较,最大的就是函数在[a,b]上的最大值,最小的就是最小值.3.函数f(x)在开区间(a,b)内一定有最值吗?提示:不一定.4.设M,m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,则f'(x)(

)A.等于0 B.小于0C.等于1 D.不确定解析:因为M=m,所以f(x)为常数函数,故f'(x)=0.故选A.答案:A【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)闭区间上的函数一定有最值.(×)(2)极值只能在区间内取得,最值则可以在区间端点处取得.(√)(3)函数的最大值一定是极大值,函数的最小值一定是极小值.(×)(4)一次函数y=ax+b在闭区间[m,n]上一定有最大值和最小值.(√)合作探究释疑解惑探究一求函数在闭区间上的最值【例1】

求函数f(x)=2x3-12x,x∈[-1,3]的最值.用导数求函数在给定区间上的最值问题的一般步骤第一步:(求导数)求函数f(x)的导数f'(x);第二步:(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值;第三步:(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值;第四步:(求最值)将f(x)的极值与端点值进行比较,确定f(x)的最大值与最小值.反思感悟探究二由函数最值求参数的值或取值范围【例2】

已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在实数a,b,使f(x)在区间[-1,2]上取得最大值3,最小值-29?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.解:存在.显然a≠0.f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4).令f'(x)=0,解得x=0或x=4(舍去后者).(1)当a>0时,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,2)2f'(x)

+0-

f(x)b-7a↗极大值b↘b-16a所以当x=0时,f(x)取得最大值,所以f(0)=b=3.又f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f(2),所以当x=2时,f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,解得a=2.(2)当a<0时,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,2)2f'(x)

-0+

f(x)b-7a↘极小值b↗b-16a所以当x=0时,f(x)取得最小值,所以b=-29.又f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1).所以当x=2时,f(x)取得最大值,即-16a-29=3,解得a=-2.综上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.1.用导数求函数的最值和求函数的极值方法类似,当给定区间是闭区间时,极值要和区间端点的函数值进行比较,并且要注意极值点是否在区间内.2.当函数中多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时,可考虑用导数的方法求解.反思感悟【变式训练2】

已知函数f(x)=ax4lnx+bx4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.若对任意x>0,不等式f(x)≥-2c2恒成立,求c的取值范围.解:由题意知f(1)=-3-c.所以b-c=-3-c,即b=-3.由题意知f'(1)=0,所以a+4b=0,解得a=12.所以f'(x)=48x3ln

x(x>0).令f'(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-3-c,并且此极小值也是最小值.所以要使f(x)≥-2c2(x>0)恒成立,只需-3-c≥-2c2即可.探究三函数最值的综合应用利用导数法证明不等式的思路(1)要证明f(x)>a成立,只需证明f(x)min>a即可.(2)要证明f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))在区间D上成立,基本方法是构造函数h(x)=f(x)-g(x),根据函数h(x)的单调性证明h(x)min>0(或h(x)max<0).反思感悟【变式训练3】

已知x>0,证明:1+2x<e2x.证明:设f(x)=1+2x-e2x,则f'(x)=2-2e2x=2(1-e2x).当x>0时,2x>0,e2x>e0=1,∴f'(x)=2(1-e2x)<0,∴函数f(x)=1+2x-e2x在区间(0,+∞)内单调递减.∴f(x)<f(0)=0.∴当x>0时,1+2x-e2x<0,即1+2x<e2x.【易错辨析】

混淆极值与最值而致误【典例】

已知函数f(x)=(x2+1)(x+a)(a∈R),当f'(-1)=0时,函数y=f(x)在区间错解:∵f(x)=x3+ax2+x+a,∴f'(x)=3x2+2ax+1,∴f'(-1)=3-2a+1=0,解得a=2.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解误认为极值就是最值,而函数的最值也可能在区间端点处取得.正解:∵f(x)=x3+ax2+x+a,∴f'(x)=3x2+2ax+1.∴f'(-1)=3-2a+1=0,解得a=2.求函数最值时,若函数的定义域是闭区间,则需比较极值点处函数值与端点处函数值的大小;若函数的定义域是开区间且只有一个极值点,则该极值点就是最值点.防范措施当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:随堂练习答案:A答案:A3.若函数f(x)=x3-x2-x+a在区间[0,2]上的最大值是3,则a等于(

)A.3 B.1

C.2

D.-1解析:f'(x)=3x2-2x-1,令f'(x)=0,解得x=

(舍去)或x=1.又f(0)=a,f(1)=a-1,f(2)=a+2,故f(2)最大,即a+2=3,所以a=1.答案:B4.在区间(0,π)上,sinx与x的大小关系是

.

解析:构造函数f(x)=sin

x-x,则f'