研究生考试考研数学（二）2024年试卷及答案解析

2024年研究生考试考研数学（二）试卷及答案解析一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1、已知函数f(x)={

(3-a)x-3a,x≤7

a^(x-6),x>7

}是R上的增函数，则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2]C.(1,3]D.(2,3)

首先，我们考虑函数的第一部分：fx=3要使这部分函数单调递增，需要其导数大于0。但因为是线性函数，所以只需系数3−a>接下来，我们考虑函数的第二部分：fx=a由于这是一个指数函数，且底数为a，要使函数单调递增，需要底数a>最后，我们需要考虑两部分函数在x=由于fx在R上是增函数，那么在x即：3−a×7−3a≤a7−62故答案为：D.(22、设随机变量ξ服从正态分布N(1,4)，若P(ξ>c+1)=P(ξ<2c-1)，则c=_______．

本题主要考察正态分布的对称性质。已知随机变量ξ服从正态分布N1,4，其中均值μ根据正态分布的对称性质，其对称轴为x=题目给出Pξ>c+1=Pξ<即，有：c+13c=2c=3、设函数f(x)=|x-1|+|x-2|的最小值为a，则1/a+a=_______．答案：5解析：首先，我们考虑函数fx根据绝对值的性质，我们可以将数轴分为三个区间进行讨论：当x≤1时，当1<x<当x≥2时，接下来，我们分别求这三个区间上的最小值：在x≤1时，fx=−在1<x<在x≥2时，fx综合以上三个区间，函数fx的最小值出现在1<x最后，代入1a+a，得到11+1=2。但这里有一个错误，因为a=注意：原答案中的52可能是基于1a2+a的求解，但按照题目给出的1a+a，并且已知4、已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x，x∈[1,+∞)．当a=1/2时，求函数f(x)的最小值；若对任意x∈[1,+∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．答案：(1)52；(2)解析：当a=12时，

fxx+1fx=x+12x+进一步观察可知，函数fx在[1,+∞)上是单调递增的（因为f′x=对于fxx2+x2+2x令gx=x2+2x+a因此，要使gx>012+2⋅但题目中x∈[1,+f1=1+2+a>0解得a>−3。然而，当a=5、已知向量a=(1,-1)，b=(2,m)，若a⊥b，则m=_______．答案：2解析：已知向量a=1,−1根据向量垂直的充要条件，有a⋅计算a⋅b，即化简得2−解得m=故答案为：2。6、设随机变量X～N(2,σ^2)，若P(X<a)=0.3，则P(a≤X<4-a)=()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7答案：B解析：首先，随机变量X服从正态分布N2,σ由于正态分布曲线是关于其均值μ对称的，即关于x=已知PX<a接下来，我们需要求Pa注意到Pa≤X<4−a因此，P由于PXP所以，P故答案为：B.0.47、已知f(x)=(x^2-2x-3)e^x，则f(x)的单调递减区间为()A.(-∞,0)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(-∞,-1)和(2,+∞)答案：B解析：首先，求函数fx利用乘法法则，有：f′x=接下来，我们需要找出f′x<由f′x=x2−4ex解这个不等式，得到：−因此，函数fx的单调递减区间为0注意：虽然−2<x<0时f′x<0，但题目要求的是fx在哪个区间内是单调递减的，并且这个区间需要是连续的。由于fx在x8、设随机变量X服从正态分布N(2,4)，若P(X<a)=0.3，则P(a<X<4-a)=()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7答案：B解析：首先，随机变量X服从正态分布N2,4，其中均值μ=2正态分布曲线是关于其均值μ对称的，即关于x=已知PX<a接下来，我们需要求Pa由于正态分布的全概率为1，且PX我们可以将Pa<X代入已知条件PX<a得到Pa故答案为：B.0.4。9、设随机变量ξ服从正态分布N(2,σ^2)，若P(ξ<4)=0.9，则P(0<ξ<2)=()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4答案：B解析：首先，由于随机变量ξ服从正态分布N2,σ已知Pξ<4接下来，我们需要求P0由于正态分布的对称性，区间0,2关于均值x=因此，P0又因为P2<ξ<4所以，P2由于P0<ξ<2故答案为：B.0.2。注意：这里有一个常见的误解，即直接认为P0<ξ10、设函数fx=2x−1,答案：−解析：函数fxf我们需要找到满足fx<2当x≤0时，函数解不等式2x−1由于2x是增函数，且21=2<但由于x≤0的限制，所以在这个区间内，解集为当x>0时，函数解不等式log2利用对数的性质，转化为x+1<解得x<但由于x>0的限制，所以在这个区间内，解集为综合两个区间的解集，得到x∈(−∞,0]∪0,3=−故答案为：−1二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）1、设函数f(x)={

(x^2+1)(e^x-1),x≤0

(1+ln(x+1))/(x^2),x>0

}

，则∫(0,1)f(x-1)dx=_______．

首先，我们观察函数fx当x≤0时，fx=x2+1ex−1当x>当0≤x≤1时，−1≤x−1≤0因此，在这个区间内，fx−1应该使用fx在x01x−1∫t2+2代入上下限进行计算，得到：−10t2+2、已知函数f(x)=x^3-3x^2+ax+b(a,b∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x-1，则a+b=_______．答案：0解析：首先，求函数fxf然后，根据题目给出的切线方程y=2xf′1=接着，将x=1代入原函数fxf由于点1,f13+b=21最后，求a+a故答案为：0。3、已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<π/2)的图象关于直线x=π/3对称，且f(π/12)=0，f(5π/12)=1，则f(x)的单调递减区间是_______．答案：5解析：已知fπ12=0和f5π12由正弦函数的周期性，我们知道T=2πω。将已知函数图象关于直线x=π3对称，且f5π解得φ=2kπ−π4因此，函数fx的解析式为f接下来，我们需要找出函数的单调递减区间。正弦函数在π2+2kπ≤θ≤3解得5π12+因此，函数fx的单调递减区间是54、若双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2c，P为双曲线右支上一点，PF₁交y轴于点A，PF₂交y轴于点B，若△PAB的面积S₁与△F₁OF₂的面积S₂满足S₁=4S₂，且|PF₁|=5，则双曲线的离心率为_______．答案：5解析：设PF2的长度为m，由于P在双曲线的右支上，根据双曲线的定义，有已知PF1=5，代入得设A0,y由于△PAB的面积S1与△F1OF2的面积S三角形PAB的面积S1可以用底AB和高（即PF2在x轴上的投影长度）来表示。由于A和B分别在但由于F1F2是双曲线的焦点连线，且PF1和PF2是双曲线的两条切线（注意这里实际是割线，但由于A进一步，有y1由于S1=12×化简得y1又因为y1PF即c×又因为c2=a但题目已给出F1F2将c2=a2+b25、已知函数f(x)={

(x-1)^2,x≤0

ln(x+1),x>0

}若关于x的方程f(x)=kx+b有两个不相等的实数根x₁,x₂(x₁<x₂)，则(x₁+1)·f(x₂)的取值范围是_______．答案：1解析：首先，我们考虑函数fx当x≤0时，fx=x−1当x>0时，fx=ln接下来，我们考虑直线y=kx由于方程fx=kx+b有两个不相等的实数根进一步，由于f0=1，当直线y=kx+b过点0,1时，直线与fx的图像在x>0的区间内相切。设切点为x最后，我们求x1由于x1≤0又因为fx2=lnx2+1，且因此，x1+1注意：这里的1e是通过直线与fx在x>0的区间内相切得出的，即当k=1e时，b=1−1e，此时直线与fx在x>0的区间内有一个切点，同时与fx在x≤0的区间内有一个交点。由于题目要求有两个不相等的实数根，所以k必须大于1e，但此时b会小于16、已知点P(1,2)在椭圆C：((x2))/(a2)+((y2))/(b2)=1(a>b>0)上，且椭圆C的焦距为2√3．求椭圆C的方程；设过点P的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若线段AB的中点为M，且直线OM的斜率为(1/2)，求直线l的方程．答案：(1)x24+y2解析：已知点P11a2+4c=3a2=b2a2=a2=x设过点P的直线l的方程为：y−2x241+4k2x2Mx1x1+x2M4kk−2k1k=−12或kx−2三、解答题（本大题有7小题，每小题10分，共70分）第一题设函数fx=ln当a=1时，求曲线y=若函数fx在0,+【答案】当a=1时，函数首先求导数：f在x=1处，f′因此，曲线y=fx在点1,f(注意：这里的答案可能与常规理解不同，因为切线斜率为0时切线实际上是水平线y=对于函数fxf由于fx在0,+∞上单调递增，那么考虑分子−2Δ由于Δ≥0恒成立，但我们需要找到使−2ax当a=0时，f′当a≠0时，由于二次项系数为负（−2a<0），函数开口向下。要使其在整个0,+∞上非负，需要满足两个条件：一是判别式Δ≤0综合以上分析，a的取值范围是(−第二题设函数fx=x2+ax+bx+答案：求导数：首先，对函数fx=利用极值条件：题目给出在x=1处有极值2，即

f1=2, f′1=解方程组：解方程组（方程1和方程2）得

1+a+b求单调区间：将a,b的值代入f′x，得

f当x<−1或x>2当−1<x<2因此，函数fx的单调递增区间为−∞,−1第三题设函数fx=ln当a=1时，求函数若对任意x∈0,+∞【答案】当a=首先确定函数fx的定义域。由于有自然对数lnx+1，所以x+1>计算导数。f′判断单调性。当−1<x<0时，f′x<0，所以fx在对于任意x∈0,转化为不等式。即lnx构造函数。令gx=lnx+计算导数。g′分类讨论。当a≤1时，由于x>0，则x+1−a>0，从而当a>1时，令g′x=0，解得x=a−1。在0,a−1上，g′令ha=lna−a+1，计算其导数h′a=1a−1因此，当a>1时，综上，实数a的取值范围是1,第四题设函数fx=ln当a=1时，求函数求函数fx【答案】当a=1时，函数首先确定函数的定义域。由于有自然对数lnx，所以x>0计算导数。f′找出导数的零点。令f′x=判断单调性。当0<x<1时，f′x=1x−2x+1>0（因为1x在0对于一般的a，函数fx计算导数。f′找出导数的零点。令f′x=0，即解这个二次方程。其解为x1=1和x当a>0时，−12a<0，不在定义域内，所以只有x当a<0时，−12a>0，在定义域内。由于f′x在x当a=0时，函数退化为fx=lnx−x，其导数f′x=1x−1第五题设函数fx=ln求实数a的取值范围；当a=1时，若关于x的不等式fx>k【答案】首先求fx的导数：计算得：f由于fx在区间0,+∞上单调递增，所以由此可得：x+1−因为x>0，所以x+当a=1时，要使不等式fx>kx+整理得：k<令gx=x+1当x∈0,+∞时，g因此，gx>g第六题设函数f(x)=∫(0,x)(t^2-4t+3)dt，求f(x)在区间[0,4]上的最大值和最小值。答案：首先，我们需要求出函数f(x)的解析式。由题意，f(x)=∫(0,x)(t^2-4t+3)dt对t^2-4t+3进行不定积分，得到∫(t^2-4t+3)dt=1/3t^3-2t^2+3t+C其中C是积分常数。然后，利用定积分的性质，将上下限代入上述不定积分的结果中，得到f(x)=(1/3x^3-2x^2+3x)-(1/30^3-20^2+30)

=1/3x^3-2x^2+3x接下来，对f(x)求导，得到其导数f’(x)=x^2-4x+3为了找到f(x)在区间[0,4]上的最大值和最小值，我们需要找到f’(x)=0的解，以及区间端点处的函数值。令f’(x)=0，解得x=1或x=3。计算区间端点和极值点处的函数值：f(0)=0

f(1)=1/3-2+3=4/3

f(3)