新高考数学三轮冲刺 押题卷练习第14题 立体几何综合（解析版）

立体几何综合考点4年考题考情分析立体几何综合2023年新高考Ⅰ卷第12题2022年新高考Ⅰ卷第8题2022年新高考Ⅱ卷第11题2021年新高考Ⅰ卷第12题立体几何会以单选题、多选题、填空题、解答题4类题型进行考查，也常在压轴题位置进行考查，难度较难，纵观近几年的新高考试题，压轴题分别考查以正方体为出题背景的相关几何体的体积计算、正四棱锥的外接球及体积范围、锥体体积的相关计算、空间向量的计算等综合问题，本内容是新高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测2024年新高考命题方向将继续以立体几何压轴内容等综合问题展开命题．1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第12题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

）A．直径为SKIPIF1<0的球体B．所有棱长均为SKIPIF1<0的四面体C．底面直径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的圆柱体D．底面直径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的圆柱体【答案】ABD【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.【详解】对于选项A：因为SKIPIF1<0，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A正确；对于选项B：因为正方体的面对角线长为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以能够被整体放入正方体内，故B正确；对于选项C：因为正方体的体对角线长为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；对于选项D：因为SKIPIF1<0，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故以SKIPIF1<0为轴可能对称放置底面直径为SKIPIF1<0圆柱，若底面直径为SKIPIF1<0的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心SKIPIF1<0，与正方体的下底面的切点为SKIPIF1<0，可知：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，根据对称性可知圆柱的高为SKIPIF1<0，所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD.2．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第8题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】设正四棱锥的高为SKIPIF1<0，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为SKIPIF1<0，所以球的半径SKIPIF1<0,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以正四棱锥的体积SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，正四棱锥的体积SKIPIF1<0取最大值，最大值为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,所以正四棱锥的体积SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，所以该正四棱锥体积的取值范围是SKIPIF1<0.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0取到SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，球心在正四棱锥高线上，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正四棱锥体积SKIPIF1<0，故该正四棱锥体积的取值范围是SKIPIF1<03．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第11题）如图，四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记三棱锥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的体积分别为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【分析】直接由体积公式计算SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0计算出SKIPIF1<0，依次判断选项即可.【详解】设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，易得四边形SKIPIF1<0为矩形，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.4．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第12题）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的周长为定值B．当SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值C．当SKIPIF1<0时，有且仅有一个点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，有且仅有一个点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】BD【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B，将SKIPIF1<0点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C，考虑借助向量的平移将SKIPIF1<0点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解SKIPIF1<0点的个数；对于D，考虑借助向量的平移将SKIPIF1<0点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解SKIPIF1<0点的个数．【详解】易知，点SKIPIF1<0在矩形SKIPIF1<0内部（含边界）．对于A，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即此时SKIPIF1<0线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0周长不是定值，故A错误；对于B，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故此时SKIPIF1<0点轨迹为线段SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0点轨迹为线段SKIPIF1<0，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0均满足，故C错误；对于D，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0点轨迹为线段SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，故D正确．故选：BD．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．立体几何基础公式所有椎体体积公式：SKIPIF1<0，所有柱体体积公式：SKIPIF1<0，球体体积公式：SKIPIF1<0球体表面积公式：SKIPIF1<0，圆柱：SKIPIF1<0圆锥：SKIPIF1<0长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式已知长宽高求体对角线：SKIPIF1<0已知共点三面对角线求体对角线：SKIPIF1<0棱长为SKIPIF1<0的正四面体的内切球的半径为SKIPIF1<0,外接球的半径为SKIPIF1<0.欧拉定理(欧拉公式)SKIPIF1<0(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).（1）SKIPIF1<0=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为SKIPIF1<0的多边形，则面数F与棱数E的关系：SKIPIF1<0；（2）若每个顶点引出的棱数为SKIPIF1<0，则顶点数V与棱数E的关系：SKIPIF1<0.5．空间的线线平行或垂直设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.夹角公式设SKIPIF1<0，b＝SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.6．异面直线所成角SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）为异面直线SKIPIF1<0所成角，SKIPIF1<0分别表示异面直线SKIPIF1<0的方向向量）7．直线SKIPIF1<0与平面所成角，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量).8..二面角SKIPIF1<0的平面角SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量）.异面直线间的距离SKIPIF1<0(SKIPIF1<0是两异面直线，其公垂向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0上任一点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0间的距离).点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，SKIPIF1<0是经过面SKIPIF1<0的一条斜线，SKIPIF1<0）.1．（2024·全国·模拟预测）已知三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为2的等边三角形，四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为.【答案】SKIPIF1<0【分析】解法一

连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，确定SKIPIF1<0为SKIPIF1<0外接圆的圆心，然后利用面面垂直的性质定理证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，利用球的性质建立方程求解外接球的半径，代入球的表面积公式求解即可；解法二连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用面面垂直的性质定理证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，建立空间直角坐标系，先求出SKIPIF1<0的外接圆圆心SKIPIF1<0，然后计算出球心的坐标，即可求出球的半径，代入球的表面积公式求解即可.【详解】解法一

连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为SKIPIF1<0外接圆的圆心.取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的外接圆上．连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为等边三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，知平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.设三棱锥SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0.

解法二

连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为正三角形，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立如图所示的空间直角坐标系，

得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为等边三角形，则SKIPIF1<0的外接圆圆心为SKIPIF1<0.设三棱锥SKIPIF1<0的外接球的球心为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此球心SKIPIF1<0，故外接球半径SKIPIF1<0，故三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【点睛】关键点点睛：求几何体外接球的半径，可以根据题意先画出图形，确定球心的位置，进而得到关于球的半径的式子，解题时要注意球心在过底面外接圆圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等.在确定球心的位置后可在直角三角形中表示出球的半径，此类问题对空间想象能力和运算求解能力要求较高，难度比较大.2．（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则四面体ABMN的外接球的表面积为．

【答案】SKIPIF1<0【分析】取BN的中点SKIPIF1<0，连接CD，由等腰三角形的性质与面面垂直的性质定理证SKIPIF1<0平面ABN，由线面垂直的性质定理与判定定理证SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，进而推出SKIPIF1<0，利用勾股定理的逆定理证SKIPIF1<0，进而确定四面体ABMN的外接球的球心与半径，利用球的表面积公式即可得解.【详解】如图，取BN的中点SKIPIF1<0，连接CD，

因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面ABN，又SKIPIF1<0平面ABN，所以SKIPIF1<0，依题意SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又BN，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共斜边SKIPIF1<0，所以四面体ABMN的外接球的球心为SKIPIF1<0的中点，且外接球半径SKIPIF1<0，所以该球的表面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【点睛】结论点睛：（1）正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点；（2）正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点；（3）直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点；（4）正棱锥的外接球的球心在其高上；（5）若三棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是外接球的球心．3．（2024·全国·模拟预测）某礼品生产厂准备给如图所示的八面体形玻璃制品设计一个球形包装盒．已知该八面体可以看成由一个棱长为SKIPIF1<0的大正四面体截去四个全等的棱长均为SKIPIF1<0的小正四面体得到的，且小正四面体的其中一个顶点为大正四面体的顶点，则该球形包装盒的半径的最小值为．（不考虑包装盒的质量、厚度等）【答案】SKIPIF1<0【分析】分析球形包装盒半径最小时球心的位置以及八面体与正四面体SKIPIF1<0外接球之间的关系，求正四面体SKIPIF1<0的外接球的半径，求球形包装盒的半径的最小值；【详解】如图，已知正四面体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，在正四面体SKIPIF1<0中截去一个小正四面体SKIPIF1<0，且正四面体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等边三角形SKIPIF1<0的中心．易知球形包装盒的半径的最小值即该八面体外接球的半径，由对称性可知，这个八面体的外接球的球心与正四面体SKIPIF1<0的外接球的球心重合，且正四面体SKIPIF1<0的外接球球心在线段SKIPIF1<0上．设正四面体SKIPIF1<0的外接球的球心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为正四面体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则正四面体SKIPIF1<0的外接球半径为3．因为截去的小正四面体的棱长为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以球形包装盒的半径的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于正四面体的外接球的解决问题：首先要确定其外接球的球心位置，其次利用正三角形的几何性质以及勾股定理建立方程，最后求出外接球半径；同时清晰的作图也很重要.4．（2024·全国·模拟预测）如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分别为BC，SKIPIF1<0的中点，点P在矩形SKIPIF1<0内运动（包括边界），若SKIPIF1<0平面AMN，则SKIPIF1<0取最小值时，三棱锥SKIPIF1<0的体积为．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】先利用面面平行的判定定理证得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而得到点SKIPIF1<0的轨迹，进而求得SKIPIF1<0取得最小值时点SKIPIF1<0的位置，再利用三棱锥的体积公式即可得解.【详解】取SKIPIF1<0的中点E，SKIPIF1<0的中点F，连接EF，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理：SKIPIF1<0平面AMN，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面AMN，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线EF上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值．易知SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0取最小值时，P为EF的中点，此时SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是找到利用面面平行求得点SKIPIF1<0的轨迹，从而得解.5．（2024·全国·模拟预测）如图，该“四角反棱柱”是由两个相互平行且全等的正方形经过旋转、连接而成，其侧面均为等边三角形，则该“四角反棱柱”外接球的表面积与侧面面积的比为．【答案】SKIPIF1<0【分析】设几何体棱长为4a，计算出几何体侧面积，设上、下正四边形的中心分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过点B作SKIPIF1<0于点C，其中点B为所在棱的中点，得OA即该几何体外接球的半径，得外接球表面积，计算比值即得.【详解】如图，由题意可知旋转角度为SKIPIF1<0，设上、下正四边形的中心分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的中点O即为外接球的球心，其中点B为所在棱的中点，OA即该几何体外接球的半径，设棱长为4a，则侧面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点B作SKIPIF1<0于点C，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易得四边形SKIPIF1<0为矩形，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即该“四角反棱柱”外接球的半径SKIPIF1<0．外接球表面积为SKIPIF1<0，该“四角反棱柱”外接球的表面积与侧面面积的比为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】由题意，侧面均为正三角形，所以可知旋转角度为SKIPIF1<0，OA即该几何体外接球的半径.6．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥SKIPIF1<0的母线SKIPIF1<0，侧面积为SKIPIF1<0，则圆锥SKIPIF1<0的内切球半径为；若正四面体SKIPIF1<0能在圆锥SKIPIF1<0内任意转动，则正四面体SKIPIF1<0的最大棱长为．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【分析】根据题意可求得底面圆半径SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0，求出轴截面SKIPIF1<0内切圆半径即可得圆锥SKIPIF1<0的内切球半径为SKIPIF1<0，再根据正四面体外接球与棱长之间的关系即可求得最大棱长为SKIPIF1<0.【详解】如图，在圆锥SKIPIF1<0中，设圆锥母线长为SKIPIF1<0，底面圆半径为SKIPIF1<0，

因为侧面积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．棱长为SKIPIF1<0的正四面体SKIPIF1<0如图所示，

则正方体的棱长为SKIPIF1<0，体对角线长为SKIPIF1<0，所以棱长为SKIPIF1<0的正四面体SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0．取轴截面SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0内切圆的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即圆锥SKIPIF1<0的内切球半径为SKIPIF1<0．因为正四面体SKIPIF1<0能在圆锥SKIPIF1<0内任意转动，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以正四面体SKIPIF1<0的最大棱长为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【点睛】方法点睛：在求解正四面体外接球（内切球）问题时，可根据正四面体的结构特征构造正方体求出外接球半径，也可直接利用结论：棱长为SKIPIF1<0的正四面体的外接球半径为SKIPIF1<0，内切球半径为SKIPIF1<0.7．（2024·云南昆明·一模）已知球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，正四棱锥SKIPIF1<0的所有顶点都在球SKIPIF1<0的球面上，则该正四棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为.【答案】SKIPIF1<0【分析】由球的表面积计算出球的半径，设出该正四棱锥底面边长及高，由球的半径可得底面边长与高的关系，求出该正四棱锥体积的表达式，结合导数计算即可得.【详解】由SKIPIF1<0，故该球半径SKIPIF1<0，设正四棱锥SKIPIF1<0底面边长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0有极大值SKIPIF1<0，即该正四棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】关键点睛：本题关键在于得出体积的表达式后构造函数，借助导数研究函数单调性后可得最值.8．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0两两互相垂直，SKIPIF1<0，当三棱锥SKIPIF1<0的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为.【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，表示出三棱锥SKIPIF1<0的体积的表达式，利用导数求出体积取最大值时x的值，从而确定棱锥的各棱长，再根据等体积法，即可求得答案.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0两两互相垂直，可得三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最大值，此时三棱锥SKIPIF1<0的体积取得最大值，设此时三棱锥SKIPIF1<0的内切球的半径为r，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【点睛】关键点睛：本题考查三棱锥体积最大时，其内切球的半径问题，解答的关键是求出当三棱锥体积最大时棱锥的棱长，从而再根据棱锥的等体积法求解.9．（2024·湖南长沙·一模）已知正四棱锥SKIPIF1<0的顶点均在球SKIPIF1<0的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球SKIPIF1<0体积的最小值为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】由底面外接圆的半径、正四棱锥的高以及外接球的半径的关系，结合已知条件可得SKIPIF1<0，故只需求出外接球半径的最小值即可.【详解】设球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.如图，球心在正四棱锥内时，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（*）.

球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式.又正四棱锥的体积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，代入（*）式可得SKIPIF1<0.通过对关于SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0求导，即SKIPIF1<0，易得函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0.从而，球SKIPIF1<0的体积的最小值SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】关键点点睛：关键是首先得到SKIPIF1<0，从而通过导数求得外接球半径的最小值即可顺利得解.10．（2024·全国·一模）在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四面体SKIPIF1<0体积的最大值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】如图，作SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据线面垂直的判定定理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，进而四面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，利用导数求出SKIPIF1<0即可求解.【详解】如图，作SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为矩形.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以四面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点F，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故四面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间几何体的体积，解题关键是证明线面垂直和利用导数求解体积的最大值.本题中证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，表示出四面体的体积为SKIPIF1<0，得到所要求的量．11．（2024·湖南长沙·一模）如图是一个球形围墙灯，该灯的底座可以近似看作正四棱台.球形灯与底座刚好相切，切点为正四棱台上底面中心，且球形灯内切于底座四棱台的外接球.若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，侧棱长为SKIPIF1<0，则球形灯半径SKIPIF1<0与正四棱台外接球半径SKIPIF1<0的比值为.【答案】SKIPIF1<0【分析】设正四棱台SKIPIF1<0上底面与下底面中心分别为SKIPIF1<0，则正四棱台的外接球球心为SKIPIF1<0及球形灯的圆心SKIPIF1<0均在直线SKIPIF1<0上.由几何关系，求出SKIPIF1<0，求出R的值，再根据SKIPIF1<0求出r的值，即可得到比值.【详解】如图所示，设正四棱台SKIPIF1<0上底面与下底面中心分别为SKIPIF1<0,作截面SKIPIF1<0，则正四棱台外接球球心SKIPIF1<0及球形灯的圆心SKIPIF1<0均在直线SKIPIF1<0上，作SKIPIF1<0于H.因为正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，侧棱长为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.由图可知，在圆SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出相关图形，利用勾股定理等得到相关方程，从而解出两个半径长.12．（2024·山东日照·一模）已知正四棱锥SKIPIF1<0的所有棱长都为2；点E在侧棱SC上，过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形H，则H的边数至多为，H的面积的最大值为．【答案】5SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】数形结合，作平面与平面SKIPIF1<0平行，即可解决；令SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示相关长度，整理得SKIPIF1<0，结合二次函数即可解决.【详解】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，根据平面的基本性质，作平面与平面SKIPIF1<0平行，如图至多为五边形.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角，而SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可知：当SKIPIF1<0时，S取最大值SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【点睛】关键点点睛：根据平面的性质分析截面的形状，结合几何知识求相应的长度和面积，进而分析求解.13．（2024·山东菏泽·一模）如图，在正四棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，该棱台体积SKIPIF1<0，则该棱台外接球的表面积为．

【答案】SKIPIF1<0【分析】作出辅助线，找到球心的位置，求出外接球半径，得到外接球表面积.【详解】连接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则外接球球心在直线SKIPIF1<0上，设球心为SKIPIF1<0，如图所示，则SKIPIF1<0，

则SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，因为正四棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设四棱台的高为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故半径SKIPIF1<0，故该棱台外接球的表面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径14．（2024·广东汕头·一模）如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，记平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线为SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/0.5SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】利用平面基本事实作出直线SKIPIF1<0，进而求出SKIPIF1<0；利用面面平行的性质结合等角定理，再利用和角的正切计算即得.【详解】在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，延长SKIPIF1<0与SKIPIF1<0延长线交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0即为直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0